2023年天津市南开区高考数学一模试卷（含答案解析）

2023年天津市南开区高考数学一模试卷

1.  已知全集，集合，或，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  函数的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  某高中随机选取100名学生一次数学统测测试成绩，分为6组：绘制了频率分布直方图如图所示，则成绩在区间内的学生有(    )

A. 35名 B. 50名 C. 60名 D. 65名

5.  已知直线与圆相交于A，B两点，则AB的长度可能为(    )

A. 6 B. 7 C. 12 D. 14

6.  已知，，，则a，b，c的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知抛物线上一点到准线的距离为5，F是双曲线的左焦点，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为(    )

A. 12 B. 11 C. 10 D. 9

8.  将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D. 1

9.  已知函数则下列结论：
①，
②恒成立
③关于x的方程有三个不同的实根，则
④关于x的方程的所有根之和为
其中正确结论有(    )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

10.  i是虚数单位，复数______ .

11.  在的展开式中，的系数为______ .

12.  已知实数，，，则的最小值为______ .

13.  如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为______ .

14.  假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为__________ ；如果买到的灯泡是合格品，那么它是甲厂产品的概率为__________ .

15.  在平面四边形ABCD中，，则______ ；______ .

16.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
求的值；
求a的值；
求的值.

17.  如图，四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，M是CD中点，N是PB上一点.
当时，
证明：平面PAD；
求直线PM与平面PAD所成角的正弦值；
平面PAD与平面AMN夹角的余弦值为，求的值.

18.  已知，是椭圆C：的两个焦点，过的直线l交C于P，Q两点，当l垂直于x轴时，且的面积是
求椭圆C的标准方程；
设椭圆C的左顶点为A，当l不与x轴重合时，直线AP交直线m：于点M，若直线m上存在另一点N，使，求证：A，Q，N三点共线.

19.  已知等差数列的首项为1，前n项和为，单调递增的等比数列的首项为2，且满足，
求和的通项公式；
证明：；
记的前n项和为，证明：

20.  已知函数
当时，求曲线在点处的切线方程；
若函数有极大值，试确定a的取值范围；
若存在使得成立，求a的值.

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：全集，集合，或，
，
则
故选：
求出，利用交集定义能求出
本题考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：由可得或，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：
先解不等式可得或，然后检验充分性及必要性即可判断．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：设，则，
则是奇函数，图象关于原点对称，排除B选项，
又，排除D选项，
当时，，，与比较，
，变化的快，则，且，排除A选项．
故选：
结合函数解析式的特点和选项中各个图象的不同，利用排除法判断即可．
本题考查函数的图象，函数的性质，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：，
，
成绩在区间内的概率为，
成绩在区间内的人数为
故选：
先利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1求出a的值，进而求出成绩在区间内的频率，结合总人数求解即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：直线过圆内定点，
圆的圆心与M的距离
圆的半径为4，
则弦长的最小值为，最大值为直径
的长度可能为
故选：
由直线方程可知直线过定点，求出直线被圆所截弦长的范围，核对四个选项得答案．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查直线系方程，是基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：，，，
，
，且，，
，即，
，，
，即，
，，且，
，即，

故选：
可得出，，，然后根据对数函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．
本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：由抛物线，得抛物线的准线为，
点到准线的距离，，，
由对称性不妨取，
是双曲线的左焦点，
，，，，

右焦点为，
由双曲线的定义可得
，
当A，P，H三点共线时，取得最小值
故选：
由题意求得点A的坐标，进而求得双曲线右焦点H的坐标，由双曲线的定义可得，从而求得的值．
本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把化为是解题的关键，属中档题．
 

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．
由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得的最大值．

【解答】

解：将的图象向右平移个单位长度后得到
的图象．
因为，所以，
因为在上单调递减，
所以，，即，所以，的最大值为，
故选

9.【答案】B 

【解析】解：对于①：，故①正确；
对于②：由上可知要使得，恒成立，
只需满足时，成立，
即，
即成立，
令，
得，，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以当时有极大值，故②错误；
对于③：作出函数图象：

由图知，要使得方程，有三个不同的实数根，
则，即，故③正确；
对于④：由可知函数在上的函数图象可由上图象向右平移一个单位长度，再将所有点的横坐标不变，纵坐标为原来的倍，
由于的对称轴为，
所以的两根之和为，
同理可得的两根之和为，，的两根之和为，
所有根之和为，故④错误，
故选：
对于①：，即可判断①是否正确；
对于②：由上可知要使得，恒成立，即成立，令，求导分析极值，即可判断②是否正确；
对于③：作出函数图象：由图知，要使得方程，有三个不同的实数根，则，即可判断③是否正确；
对于④：由可知函数在上的函数图象可由上图象向右平移一个单位长度，再将所有点的横坐标不变，纵坐标为原来的倍，
由于的对称轴为，可得的两根之和，的两根之和，，的两根之和，即可判断④是否正确．
本题考查分段函数的应用，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

11.【答案】40 

【解析】解：的展开式通项公式为，
令，解得，
故的系数为
故答案为：
先求出在的展开式的通项公式，令x的系数为2，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以，当且仅当时取等号．
故答案为：
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，
故，侧面边长为，
又三棱柱为直三棱柱，
过ABC三点的截面圆的圆心在BC上，所以，
，
直三棱柱的体积为，
故答案为：
根据已知，求出侧面的长和宽，代入矩形面积，可得答案．
本题考查与球有关的几何体的问题，考查勾股定理，空间点、线、面的位置关系的应用，属基础题．
 

14.【答案】

【解析】解：设A为甲厂产品，B为乙厂产品，C表示合格产品，则，，，
所以，
灯泡是甲厂生产的概率为，所以，
故答案为：；
由全概率公式与条件概率公式求解即可．
本题考查全概率公式与条件概率公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
又，故，
，故，
为等边三角形，则；
，，
又，，
得，
，
根据以上分析作图如下：

则，
则，
故答案为：1；
根据求出B的大小，从而可判断的形状，从而求出；再求出，从而求出的大小，再根即可求出
本题主要考查向量的数量积，属于中档题．
 

16.【答案】解：由于，，所以，
由于，
由正弦定理得：，
故
由于，；
所以，整理得，解得负值舍去；
由得：，且，故负值舍去，
，，
所以 

【解析】首先利用同角三角函数关系式的变换求出的值，进一步利用正弦定理求出的值；
利用的结论和余弦定理求出a的值；
利用同角三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：同角三角函数关系式的变换，正弦定理和余弦定理，倍角公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
 

17.【答案】解：建立空间直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，过点A作ABCD的垂线为z轴，
则，，，，
由，，因为，
所以，，
证明：设平面PAD的一个法向量，
则，
令，则，，
所以是平面PAD的一个法向量，
因为，
所以，
又面PAD，
所以面
由可得，，
所以直线PM与平面PAD所成角的正弦值为
设，，
则，
设是平面AMN的一个法向量，
所以，
取，则是平面AMN的一个法向量，
所以，，
解得或舍去，
所以 

【解析】建立空间直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，过点A作ABCD的垂线为z轴，由得，
设平面PAD的一个法向量，则，解得，进而可得，由线面平行的判定定理可得答案．
由可得，，即可得出答案．
设，，则，设是平面AMN的一个法向量，解得是平面AMN的一个法向量，则，，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

18.【答案】解：由题意可得，
所以，
因为的面积为，
所以，
解得，
所以，
所以，
解得，
所以，
所以椭圆的标准方程为
证明：由知，
设直线l的方程为，，，
由，得，
所以，，
直线AP的斜率为，
所以直线AP的方程为，
直线m的方程为，
所以，
直线的斜率为，
因为，即，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，则点，
所以直线AN的斜率，
又直线AQ的斜率，
所以，
又，
所以，
所以A，Q，N三点共线． 

【解析】由题意可得，，又的面积为，则，解得，，由椭圆的定义可得，解得a，，即可得出答案．
由知，设直线l的方程为，，，联立椭圆的方程，结合韦达定理得，，写出直线AP的方程为，进而可得M点的坐标，直线的斜率，由，得，写出直线的方程为，进而可得点N坐标，计算，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，
因为，，
所以，即，解得舍去，或，
所以；
证明：由知，
所以
；
由知，
所以，
所以，
即 

【解析】根据条件，列出关于q，d的方程组，即可求解；
根据数列的前n项和与的关系，集合等差数列的通项公式，即可证明；
首先化简并放缩不等式，，再利用裂项相消求和，即可证明．
本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：当时，，
依题意，，可得，又，
所以曲线在点处的切线方程为
函数的定义域为，，
①当时，，所以在上单调递增，此时无极大值；
②当时，令，解得或，令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，
此时在处取得极大值，符合题意；
③当时，令，解得或，令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，
此时在处取得极大值，符合题意；
④当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，此时无极大值；
综上，实数a的取值范围为
等价于，
可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点P在函数的图象上，Q在直线的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由，得，解得，
所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，
则，
根据题意，要使，则，此时Q恰好为垂足，
由，可得，
所以 

【解析】利用导数的几何意义，求曲线的切线方程；
首先求函数的导数，再讨论a，判断函数的单调性，讨论函数的极值；
不等式转化为，利用两点间的距离的几何意义，转化为点到直线的距离，求a的值．
本题主要考查利用导数研究函数的最值与极值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．