章末检测卷(六)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)

1.某大学中文系共有本科生5 000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5∶4∶3∶1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生(　　)

A.100人   B.60人 

C.80人   D.20人

答案　C

解析　要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽取二年级的学生人数为：×260＝80.

2.下列说法错误的是(　　)

A.在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法

B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据

C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势

D.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大

答案　B

解析　平均数不大于最大值，不小于最小值，选B.

3.为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话系统开展专项调查，成功访问了2022位市民，在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是(　　)

A.总体是上海市民家庭总数量，样本是2022位市民家庭的存书量，样本的容量是2022

B.总体是上海市民的家庭存书量，样本是2022位市民的家庭存书量，样本的容量是2022

C.总体是上海市民的家庭存书量，样本是2022位市民，样本的容量是2022

D.总体是上海市民家庭总数量，样本是2022位市民，样本的容量是2022

答案　B

4.小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为(　　)

A.1%   B.2% 

C.3%   D.5%

答案　C

解析　由题图1所示，食品开支占总开支的30%，由题图2所示，鸡蛋开支占食品开支的＝，

∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×＝3%.

5.我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣(　　)

A.104人   B.108人

C.112人   D.120人

答案　B

解析　由题意可知，这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×＝300×＝108，故选B.

6.下表记录了某地区一年之内的月平均降水量.

则第25百分位数为(　　)

A.5.1   B.5.2 

C.5.3   D.5.6

答案　B

解析　把这组数据由小到大的顺序排列，得：4.6，4.8，5.1，5.3，5.3，5.6，5.6，5.6，5.8，6.4，6.6，7.1，则第25百分位数为＝5.2，故选B.

7.某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1 120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内.现将这100名学生的成绩按照[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A.频率分布直方图中a的值为0.040

B.样本数据低于130分的频率为0.3

C.总体的中位数(保留1位小数)估计为123.3分

D.总体分布在[90，100)的频数一定与总体分布在[100，110)的频数相等

答案　C

解析　由频率分布直方图得：

(0.005×2＋0.010×2＋0.015＋a＋0.025)×10＝1，

解得a＝0.030，故A错误；

样本数据低于130分的频率为1－(0.025＋0.005)×10＝0.7，故B错误；

[80，120)的频率为(0.005＋0.010×2＋0.015)×10＝0.4，

[120，130)的频率为0.030×10＝0.3.

∴总体的中位数(保留1位小数)估计为120＋×10≈123.3分，故C正确；

样本分布在[90，100)的频数一定与样本分布在[100，110)的频数相等，

但总体分布在[90，100)的频数不一定与总体分布在[100，110)的频数相等，故D错误.

8.如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则(　　)

A.A>B，sA>sB   B.A<B，sA>sB

C.A>B，sA<sB   D.A<B，sA<sB

答案　B

解析　由题图可知A组的6个数分别为2.5，10，5，7.5，2.5，10，B组的6个数分别为15，10，12.5，10，12.5，10，

所以A＝＝，

B＝＝.

显然A<B.

又由图形可知，B组的数据分布比A组均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，从而标准差较小，所以sA>sB，故选B.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)

9.对一组数据xi(i＝1，2，3，…，n)，如果将它们改变为xi＋c(i＝1，2，3，…，n)，其中c≠0，则下面结论中正确的是(　　)

A.均值变了 B.方差不变

C.均值与方差均不变 D.均值与方差均变了

答案　AB

解析　设原来数据的均值为，将它们改变为xi＋c后均值为′，则′＝＋c，而方差s′2＝[(x1＋c－－c)2＋…＋(xn＋c－－c)2]＝s2.

10.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是(　　)

A.甲地：总体平均数为3，中位数为4

B.乙地：中位数为2，众数为3

C.丙地：极差为3，第80百分位数为4

D.丁地：总体平均数为2，总体方差为3

答案　CD

解析　因为平均数和中位数不能保证某一天的病例不超过7人，故A不正确；

乙地中位数为2，众数为3，可以有一天的感染人数为8，故B不正确；

C中数据的最大可能取值为7，故C正确；

当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则s2＞(8－2)2＝3.6，则方差就超过3，∴总体平均数是2，总体方差为3时，没有数据超过7，故D正确.

11.某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况记录如下，

甲：18，20，35，33，47，41；

乙：17，26，19，27，19，29.

则下列四个结论中，正确的是(　　)

A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差

B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数

C.甲运动员得分的平均数大于乙运动员得分的平均数

D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

答案　ABC

解析　对于A，甲运动员得分的极差为47－18＝29，乙运动员得分的极差为29－17＝12，甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，因此A正确；

对于B，甲的数据从小到大排列后，处于中间的数是33，35，所以甲运动员得分的中位数是34，同理求得乙运动员得分的中位数是22.5，因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B正确；

对于C，甲运动员得分的平均数为≈32.33，

乙运动员得分的平均数为≈22.83，

因此甲运动员得分的平均数大于乙运动员得分的平均数，故C正确；

对于D，分别计算甲、乙两个运动员得分的方差，方差小的成绩更稳定.

可以算出甲的方差为s≈109.22，乙的方差为s≈21.47，因为乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D不正确.

12.如图1为某省2022年1～4月份快递业务量统计图，图2为该省2022年1～4月份快递业务收入统计图，对统计图理解正确的是(　　)

图1

图2

A.2022年1～4月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2 000万件

B.2022年1～4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关

C.从两图中看，业务量与业务收入变化高度一致

D.从1～4月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长

答案　ABC

解析　由图1可知快递业务量3月份为4 397万件，2月份为2 411万件，差值为4 397－2 411＝1 986万件，故A正确；

由图1可知B也正确；

对于C，由两图易知业务量从高到低变化是3月→4月→1月→2月，业务收入从高到低变化是3月→4月→1月→2月，保持高度一致，所以C正确；

对于D，由图知业务收入2月比1月减少，4月比3月减少，整体不具备高速增长之说，所以D不正确.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

13.将一个容量为n的样本分成若干组，已知甲组的频数和频率分别为36和，则容量n＝________，频率为的乙组的频数是________(第一空2分，第二空3分).

答案　144　24

解析　＝，所以n＝36×4＝144，

同理＝，x＝24.

14.某校高中部有三个年级，其中高三年级有学生1 000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有学生________人.

答案　3 700

解析　从高三年级抽取的学生为185－(75＋60)＝50(人)，则抽取的比例为＝，所以高中部共有的学生为185÷＝3 700(人).

15.某中学为了了解全校学生的阅读情况，在全校采用随机抽样的方法抽取一个样本进行问卷调查，并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了统计，将学生去图书馆的次数分为5组：[0，4)，[4，8)，[8，12)，[12，16)，[16，20]制作了如下所示的频率分布表，则抽样总人数为________.

答案　20

解析　总体人数占的频率是1，也可以理解成每个人在整体占的比重一样，所以[0，4)，[4，8)，[8，12)三组的频率为：1－(0.2＋0.1)＝0.7，共有14人，即14人占了整体的0.7，那么整体共有＝20人.

16.某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天读书时间的平均数为＝3小时，方差为s2＝2.003，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为1＝2.6，2＝3.2，又已知高一、高二、高三三个年级学生每天读书时间的方差分别为s＝1，s＝2，s＝3，则高三学生每天读书时间的平均数3＝________.

答案　3.3或2.7

解析　由题意可得

2.003＝[1＋(2.6－3)2]＋[2＋(3.2－3)2]＋[3＋(3－3)2]，

解得3＝3.3或2.7.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数如下表：

已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.

(1)求x的值；

(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间抽取多少名工人？

解　(1)依题意有＝0.15，

解得x＝150.

(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350，第二车间的工人数是100＋150＝250，

∴第三车间的工人数是1 000－350－250＝400.

设应从第三车间抽取m名工人，

则有＝，解得m＝20，

∴应在第三车间抽取20名工人.

18.(12分)2022年春节前，有超过20万名来自广西、四川的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个休息站，让过往的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所.交警小李在某休息站连续15天对进站休息的驾驶人员省籍询问的记录中，随机取了5天的询问结果作出如下折线图：

(1)交警小李抽取5天进站休息的驾驶人员的省籍询问记录可以采用什么抽样方法？

(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？

解　(1)根据题意，因为总体与样本量都较小，所以交警小李可以采用抽签法.

(2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员中广西籍的有5＋20＋25＋20＋30＝100(人)，四川籍的有15＋10＋5＋5＋5＝40(人)，

设四川籍的驾驶人员应抽取x名，

依题意得＝，解得x＝2，

即四川籍的应抽取2名.

19.(12分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如下频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

(1)估计这次考试的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；

(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.

解　(1)众数是最高小矩形底边中点的横坐标，∴众数为m＝75.

前三个小矩形面积为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4.

∵中位数平分直方图的面积，

∴n＝70＋×10≈73.3.

(2)依题意60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，

∴抽样学生成绩的合格率是75%.

利用组中值估算抽样学生的平均分为

45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.

估计这次考试的平均分是71分.

20.(12分)某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：

(1)若要从管理中抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？

(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？

解　(1)不同年龄段的人的身体状况有所差异，

所以应该按年龄段用分层抽样的方法来调查单位职工的身体状况，

管理部门中老年、中年、青年所占的比例分别为＝，＝，＝，

所以在抽取40人的样本中，老年人抽40×＝10(人)，中年人抽80×＝20(人)，青年人抽取40×＝10(人).

(2)因为不同部门的人对单位的发展及薪金要求有所差异，

所以应该按部门用分层抽样的方法来确定参加座谈会的人员，

管理、技术开发、营销、生产人数分别占的比例为＝，＝，＝，＝，

所以在抽取25人出席座谈会中，管理人员抽25×＝2(人)，技术开发人员抽25×＝4(人)，营销人员抽25×＝6(人)，生产人员抽25×＝13(人).

21.(12分)某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下：

男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，44，56，75，35，58，94，52；

女：77，55，69，58，76，70，77，89，51，52，63，63，69，83，83，65，100，74.

(1)分别计算和比较男女生得分的平均数和标准差；

(2)分别计算男、女生得分的四分位数.

解　(1)男生的平均得分为甲＝(35＋38＋44＋…＋94)≈61.

男生的方差是s＝[(35－61)2＋(38－61)2＋…＋(94－61)2]＝256.25，

∴s甲≈16.

女生的平均得分是乙＝(51＋52＋55＋…＋89＋100)≈71.

女生的方差是s＝[(51－71)2＋(52－71)2＋…＋(100－71)2]≈162.11，

∴s乙≈13.

(2)男生的数据从小到大的排序为：

35，38，44，46，46，52，54，55，56，57，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94.

女生的数据从小到大排序为：

51，52，55，58，63，63，65，69，69，70，74，76，77，77，83，83，89，100.

所以男、女生的四分位数分别为：

22.(12分)“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示.根据GB/T18801－2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量(CCM)有如下等级划分：

为了了解一批空气净化器(共2 000台)的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化量都分布在区间(4，14]中.按照(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，(12，14]均匀分组，其中累积净化量在(4，6]的所有数据有：4.5，4.6，5.2，5.3，5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图：

(1)求n的值及频率分布直方图中的x值；

(2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器(共2 000台)中等级为P2的空气净化器有多少台？

解　(1)因为(4，6]之间的数据一共有6个，

再由频率分布直方图可知：落在(4，6]之间的频率为0.03×2＝0.06.

因此，n＝＝100.

(0.03＋x＋0.12＋0.14＋0.15)×2＝1，

∴x＝0.06.

(2)由频率分布直方图可知：落在(6，8]之间共：0.12×2×100＝24(台)，

又因为在(5，6]之间共4台，

∴落在(5，8]之间共28台，

由×2 000＝560(台).

故这批空气净化器等级为P2的空气净化器共有560台.