章末检测卷(四)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)

1.化简的结果为(　　)

A.－   B.

C.－   D.

答案　A

解析　要使式子有意义，只需－x3>0，即x<0，所以＝＝－.

2.函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　)

A.(0，1) B.[0，1]

C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)

答案　C

解析　由x2－x>0，得x>1或x<0，

故选C.

3.设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是(　　)

A.(0，1)   B.(1，2)

C.(－2，－1)   D.(－1，0)

答案　D

解析　∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝－1＝－<0，f(0)＝30－02＝1>0，

∴f(－1)·f(0)<0，

∴有零点的区间是(－1，0).

4.1.5－3.1，23.1，2－3.1的大小关系是(　　)

A.23.1<2－3.1<1.5－3.1 B.1.5－3.1<23.1<2－3.1

C.1.5－3.1<2－3.1<23.1 D.2－3.1<1.5－3.1<23.1

答案　D

解析　1.5－3.1＝，2－3.1＝，

又幂函数y＝x3.1在(0，＋∞)上是增函数，且<<2，

∴<<23.1，故选D.

5.函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为(　　)

A.(0，＋∞)   B.(－∞，0)

C.(2，＋∞)   D.(－∞，－2)

答案　D

解析　f(x)＝log(x2－4).

由y＝logu及u＝x2－4复合而成，

y＝logu在定义域内为减函数，而u＝x2－4在(－∞，－2)上是减函数，在(2，

＋∞)上是增函数，

所以f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为(－∞，－2)，选D.

6.四人赛跑，其跑过的路程f(x)和时间x的关系分别是f1(x)＝x，f2(x)＝x，f3(x)＝log2(x＋1)，f4(x)＝log8(x＋1)，如果他们一直跑下去，最终跑到最前面的人所具有的函数关系是(　　)

A.f1(x)＝x B.f2(x)＝x

C.f3(x)＝log2(x＋1) D.f4(x)＝log8(x＋1)

答案　B

解析　在同一坐标系下画出四个函数的图象(图略)，由图象可知f2(x)＝x增长的最快.

7.函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为(　　)

A.3   B.2 

C.1   D.0

答案　B

解析　∵g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，

又当x＝2时，f(x)＝2ln 2＝ln 4＞1，

在同一直角坐标系内画出函数f(x)＝2ln x与g(x)＝x2－4x＋5的图象，如图所示，可知f(x)与g(x)有两个不同的交点.故选B.

8.已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A.a＜b＜c   B.c＜a＜b

C.a＜c＜b   D.c＜b＜a

答案　B

解析　由f(x)为偶函数得m＝0，所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2.

b＝f(log25)＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b，故选B.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)

9.下列运算正确的是(　　)

A.3log94＝2 B.2lg 5＋lg 4＝2

C.＝lg  6 D.log2 32 021－log2＝2 021

答案　ABD

解析　＝＝2，C错，ABD都正确.

10.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)

A.y＝   B.y＝e－x

C.y＝lg|x|   D.y＝－x2＋1

答案　AD

解析　y＝＝x－2是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，y＝e－x非奇非偶，y＝lg|x|是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，D符合.

11.下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)

A.y＝   B.y＝2－

C.y＝3   D.y＝

答案　BD

解析　A中，由1－2x≥0，知2x≤1，

又2x>0，故∈[0，1)；

B中，值域为(0，＋∞)；

C中，≠0，∴y＝3的值域为(0，1)∪(1，＋∞)；

D中，y＝的值域为(0，＋∞).

12.已知函数f(x)＝则对函数f(x)的说法正确的是(　　)

A.函数在(－∞，＋∞)上是增函数 B.值域为R

C.函数的零点为0 D.非奇非偶

答案　ACD

解析　f(x)＝2x－1在(－∞，1]上是增函数，且f(1)＝1，1＋log2x在(1，＋∞)上是增函数，且x＝1时，1＋log2x＝1，故f(x)是增函数，

又2x>0，∴2x－1>－1，

值域为(－1，＋∞)，

令2x－1＝0得x＝0，故0为函数零点，且非奇非偶.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

13.已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝{y|y＝，x＞1}，则A∩B＝________.

答案　(0，)

解析　∵x＞1，∴y＝log2x＞log21＝0，

∴A＝(0，＋∞)，

又∵x＞1，∴y＝()x＜，∴B＝(0，).

∴A∩B＝(0，).

14.若函数y＝log(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________.

答案　(－8，－6]

解析　令g(x)＝3x2－ax＋5，其对称轴为直线x＝.

依题意，有即

则a的取值范围为(－8，－6].

15.已知函数f(x)＝则f＝______.若f(a)＝1，则a＝________(第一空2分，第二空3分).

答案　　0或2

解析　由题意，得f＝log2＝log22－2＝－2，

∴f＝f(－2)＝3－2＝.

由log2a＝1得a＝2且2>0，

由3a＝1，则a＝0.

16.已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.

答案　－2

解析　由f(a)＝ln(－a)＋1＝4，

得ln(－a)＝3，

所以f(－a)＝ln(＋a)＋1＝－ln＋1

＝－ln(－a)＋1＝－3＋1＝－2.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)计算：(1)－＋(0.008)－÷(0.02)－×(0.32)；

(2)2(lg)2＋lg·lg 5＋.

解　(1)原式＝－＋÷×＝－＋25××＝－＋2＝.

(2)原式＝(lg 2)2＋lg 2(1－lg 2)＋ ＝(lg 2)2＋lg 2－(lg 2)2＋1－lg 2＝1.

18.(12分)已知函数y＝log4(2x＋3－x2)，

(1)求函数的定义域；

(2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值.

解　(1)由真数2x＋3－x2>0，

解得－1<x<3，

所以函数的定义域为{x|－1<x<3}.

(2)将原函数分解为y＝log4u，u＝2x＋3－x2两个函数.因为u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4≤4，

所以当x＝1时，u取得最大值4，

又y＝log4u为单调增函数，

所以y＝log4(2x＋3－x2)≤log44＝1.

所以y的最大值为1，此时x＝1.

19.(12分)已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(－1)＝，f(0)＝2.

(1)求函数f(x)的解析式并判断奇偶性；

(2)若f(x)＝，求x的值.

解　(1)由已知得

解得∴f(x)＝2x＋2－x.

显然函数的定义域为R，

因为f(－x)＝2－x＋2x＝2x＋2－x＝f(x)，

所以函数f(x)为偶函数.

(2)设2x＝t(t>0)，则有t＋＝，

即＝，

解得t＝8或t＝，即2x＝8或2x＝，

所以x＝3或x＝－3.

20.(12分)设函数f(x)＝

求函数g(x)＝f(x)－的零点.

解　求函数g(x)＝f(x)－的零点，即求方程f(x)－＝0的根.

当x≥1时，由2x－2－＝0得x＝；

当x<1时，由x2－2x－＝0得x＝(舍去)或x＝.

∴函数g(x)＝f(x)－的零点是和.

21.(12分)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元.若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R).

(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；

(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况.

解　(1)依题意：由

有解得a1＝4，b1＝－4，

∴f(x)＝4x2－4x＋6.

由有

解得a2＝，b2＝5，

∴g(x)＝×3x＋5＝3x－1＋5.

所以甲厂在今年5月份的利润为f(5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g(5)＝86万元，故有f(5)＝g(5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等.

(2)作函数图象如下：

从图中可以看出今年甲、乙两个工厂的利润情况：

当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；

当1<x<5时，有f(x)>g(x)；

当5<x≤12时，有f(x)<g(x).

22.(12分)已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a>0，且a≠1).

(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；

(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围.

解　(1)由解得1<x<3.

故函数φ(x)的定义域为{x|1<x<3}.

(2)不等式f(x)≤g(x)，

即为loga(x－1)≤loga(6－2x).(*)

①当a>1时，不等式(*)等价于解得1<x≤；

②当0<a<1时，不等式(*)等价于

解得≤x<3.

综上可知，当a>1时，不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围是；

当0<a<1时，不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围是.