人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.1 条件概率与事件的独立性4.1.2 乘法公式与全概率公式课文内容课件ppt

www.ks5u.com4.1.2　乘法公式与全概率公式

第1课时　乘法公式

乘法公式及其推广

(1)乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)，其中P(A)＞0.

(2)乘法公式的推广：

设Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)＞0，P(A1A2)＞0，

则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)．

其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1A2A3同时发生的概率．

思考：P(AB)，P(B)，P(A|B)(其中P(B)＞0)之间存在怎样的等量关系？

[提示]　P(AB)＝P(B)P(A|B)，其中P(B)＞0.

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)P(AB)＝P(BA)．  (　　)

(2)P(AB)＝P(A)P(B)．  (　　)

(3)P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)，其中P(A1)＞0，P(A2A1)＞0，P(A1A2A3)＞0.               (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√

2．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于(　　)

A.　　　　 B.

C.   D.

C　[P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，故选C.]

3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

A　[记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝，P(B|A)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝.]

4．若P(B|A)＝，则P(|A)＝________.

　[P(|A)＝1－P(B|A)＝1－＝.]

【例1】　一袋中装10个球， 其中3个黑球、7个白球， 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率．

[解]　设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1,2)，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”. 由题设知P(A1)＝，P(A2|A1)＝，

于是根据乘法公式， 有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝.

乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算PAB不好计算时，可先求出PA及PB|A或先求出PB及PA|B，再利用乘法公式PAB＝PAPB|A＝PBPA|B求解即可.

【例2】　设某光学仪器厂制造的透镜， 第一次落下时打破的概率为， 若第一次落下未打破， 第二次落下打破的概率为， 若前两次落下未打破， 第三次落下打破的概率为. 试求透镜落下三次而未打破的概率．

[解]　以Ai(i＝1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，B表示事件“透镜落下三次而未打破”，则B＝123，故有

P(B)＝P(123)＝P(1)P(2|1)P(3|12)＝＝.

该类问题在概率中被称为“机遇问题”，求解的关键是分清事件之间的互相关系，充分利用P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An－1)求解．

1．在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率．(结果保留两位有效数字)

[解]　设Ai表示“第i次取得次品”(i＝1,2,3)，B表示“第三次才取到次品”，则

B＝12A3，

∴P(B)＝P(12A3)＝P(1)·P(2|1)·

P(A3|12)＝××≈0.046.

[探究问题]

1．P(B|A)与P(|A)存在怎样的等量关系？

[提示]　P(B|A)＋P(|A)＝1.

2．若A1，A2，A3是互斥事件，且A1∪A2∪A3＝Ω，则A1∪A2∪A3的对立事件与123相同吗？

[提示]　相同．

【例3】　已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品．但采购员不知有几件次品，为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产品．求采购员拒绝购买这批产品的概率．

[思路点拨]　本题可借助对立事件及乘法公式的推广进行求解．

[解]　设Ai＝{被抽查的第i件产品是废品}，i＝1,2,3,4,5.

设A＝{采购员拒绝购买}，则A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5，从而＝12345，

由题意，得

P(1)＝，P(2|1)＝，P(3|12)＝，P(4|123)＝，P(5|1234)＝.

∴P()＝P(12345)＝P(5|1234)P(4|123)P(3|12)P(2|1)P(1)

＝≈0.7696.

故P(A)＝1－P()≈0.2304.

分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个或若干个互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.

2．某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为0.3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为0.6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率．

[解]　设A1＝“第一次患病心肌受损害”，A2＝“第二次患病心肌受损害”， 则所求概率为P(12)．

由题意可知：P(A1)＝0.3，P(A2|1)＝0.6.

又P(1)＝1－P(A1)＝0.7，

P(2|1)＝1－P(A2|1)＝0.4，

所以P(12)＝P(1)P(2|1)＝0.7×0.4＝0.28.

1．乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)进一步揭示了P(A)，P(B|A)及P(AB)三者之间的内在联系，体现了“知二求一”的转化化归思想．

2．该公式同时也给出了“积事件”概率的另一种求解方式，即在事件A，B不相互独立的前提下可考虑条件概率的变形公式，即乘法公式．

3．注意P(A)P(B|A)与P(B)P(A|B)的等价转化．

1．若P(B)＝，P(A|B)＝，则P(AB)为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

A　[P(AB)＝P(B)P(A|B)＝×＝，故选A.]

2．从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽一张，则第2次才抽到A的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

C　[法一：所求概率P＝＝.

法二：设Ai表示第i次抽到A，i＝1,2，则

P(1)＝＝，

P(A2|1)＝，

∴P(1A2)＝P(1)P(A2|1)＝×＝.故选C.]

3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是________．

0.72　[设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件A∩B，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝0.72.]

4．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取，若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率为________．

　[由题意可知，最后一名同学中奖的概率P＝××1＝.]

5．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次取1个，不放回地取两次，求两次均取到不合格球的概率．

[解]　法一：所求事件的概率P＝＝.

法二：用Ai表示第i次取到不合格球，i＝1,2.

则P(A1)＝，P(A2|A1)＝，

∴P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝.