初二下册一次函数考点归纳

这是一份初二下册一次函数考点归纳，共10页。

一次函数考点梳理
函数的定义：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数（也称因变量）。

一、 变量与函数
知识点一：函数的定义
例1、写出下列问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：
（1）圆的周长C与半径r
（2）圆的面积S与半径r

例2、下列变量之间的关系不是函数关系的是
A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边与面积 D．球的体积与球的半径
知识点二：求自变量取值范围（ ）
例3、求下列函数中的自变量x的取值范围．
（1）y=3x2-2； （2）； （3）； （4）．


知识点三：函数值

例4、 已知函数 ，当函数值y=6时，求自变量x的值。




例5、如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=8，动点P沿着C→D→A→B的方向运动至点B停止，设点P运动的路程为x，△PBC的面积为y
（1）当点P在CD上运动时，y与x的函数关系式为 。
（2）当x=1.5时，y= ；
（3）当点P在AB上运动时，y与x的函数关系式为 。
（4）若y=12，求x的值。



练习
1.设路程s，速度v，时间t，在关系式s=vt中，说法正确的是
A．当s一定时，v是常量，t是变量 B．当v一定时，t是常量，s是变量
C．当t一定时，t是常量，s，v是变量 D．当t一定时，s是常量，v是变量
2.若函数y=3x−2x−3，则自变量x的取值范围是 。
3.函数y＝＋的自变量x的取值范围是(　　)
A． x≥1 B．x≥1且x≠3 C．x≠3 D．1≤x≤3
4.已知函数y=2x-3．
（1）求当x=-4时的函数值；
（2）当x为何值时，函数值为0？
5.如图甲所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，若△ABP的面积为y，若y关于x的函数图象如图乙所示，则△ABC的面积是（ ）
A.10 B.16 C.18 D.20
6. *汽车油箱中有汽油50升，如果不再加油，那么油箱中的余油量y（升）随行驶路程x（千米）的增加而减少，平均耗油量为0.1升/千米。
（1） 求y与x的函数关系式；
（2） 指出自变量x的取值范围；
（3） 汽车行驶200千米时，油箱中还有多少汽油？
（4） 油箱中有汽油10升时，汽车行驶了多少千米？



二、函数图象及函数表示法
例1、（ ）下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）




例2、如图所示，点P是菱形ABCD边上点一动点，它从点A出发沿A→B→C→D路径
匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y
关于x的函数图像大致为（ ）



例3、如图，是直线行驶的物体离出发点的距离s与时间t的函数图像：①表示物体 ；②表示物体 ；③表示物体 。
A.匀速运动 B.反向运动回到原出发点 C.停止运动 D.速度变大

例4、（ ）小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买本书，于是又返回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他离家距离与所用时间的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的距离是 米，小明在书店停留了 分钟。
（2）本次上学途中，小明一共行驶了 米，一共用了 分钟。
（3）若骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度，问：在整个上
学的途中，哪个时间段小明汽车速度最快，速度在安全限度内吗？



练习：
1.下列图象中，表示y是x的函数的是(　　)

2.（ ）小李家距学校3km，中午12点他从家出发到学校，途中经过文具店买了些学习用品，12点50分到校，下列图像中能大致表示他离家的距离s（km）与离家的时间t（min）之间的函数关系的是（ ）



3.某一函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1） 确定自变量x的取值范围；
（2） 分别求当x=-4，-2，4时对应的y的值是多少？
（3） 分别求y=0，4时，x的值是多少？
（4） 当x取何值时，y的值最大？当x取何值时，y的值最小？
（5） 当x的值在什么范围内时，y随x的增大而增大，
当x的值在什么范围内时，y随x的增大而减小？


4. *如图，分别表示甲步行与乙骑自行车（在同一路上）行走的路程s甲，s乙与时间t的关
系，观察图象并回答下列问题：
（1） 乙出发时，乙与甲相距__________千米；
（2） 走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为__________小时；
（3） 乙从出发起，经过__________小时与甲相遇；
（4） 乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？



三、一次函数的定义及解析式
例1、已知函数y=（k-1）为正比例函数，则 （ ）
A．k≠±1 B．k=±1 C．k=-1 D．k=1
例2、已知y与x-2成正比例，且它的图象经过点（1，2）
（1）求y与x的函数解析式；
（2）若点P（m，m-2）在此函数图象上，求点P的坐标
例3、若点M（x1，y1）在函数y=kx+b（k≠0）的图象上，当-1≤x1≤2时，-2≤y1≤1，则这条直线的函数解析式为__________．
例4、*如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），OA=OC，∠AOC=60°，且CB∥OA，OB平分∠AOC，点P是四边形OABC内一点，且点P到四边形OABC的四条边的距离相等
（1）求点P的坐标；
（2）若一次函数y=x+b的图象经过点P，求b的值
（3）若一次函数y=x+m的图象与四边形OABC有两个公共点时，直接写出m的取值范围。

练习：
1.若y=x+2-b是正比例函数，则b的值是
A．0 B．-2 C．2 D．-0.5
2.已知y=（k-3）x+-9是关于x的正比例函数，求当x=-4时，y的值．
3.已知y=（m+1）x2-｜m｜+n+4
（1）当m，n取何值时，y是x的一次函数；
（2）当m，n取何值时，y是x的正比例函数；
4.已知y-2与x+1成正比例，且x=1时，y=6
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）求当x=-2时，y的值；
（3）求当y=4时，x的值



四、一次函数的性质
知识点一：一次函数的增减性
例1、一次函数y=-2x+1的图象经过
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
例2、若式子k−1+（k-1）0有意义，则一次函数y=(k-1)x+1-k的图像可能是（ ）



例3、在同一坐标系中，函数y=kx与y=3x-k的图像大致是（ ）



例4、若实数a，b满足ab<0，且a
例5、 已知一次函数y=ax-a+1（a为常数，且a≠0）.
（1） 若点（- 12 ，3）在一次函数y=ax-a+1的图象上，求a的值；
（2） 当-1≤x≤2时，函数有最大值2，请求出a的值。





练习：
1.关于函数y=-x+1，下列结论正确的是
A．图象必经过点（-1，1） B．y随x的减小而减小
C．当x>1时，y<0 D．图象经过第二、三、四象限
2.如果函数y=3x+m的图象一定经过第二象限，那么m的取值范围是
A．m>0 B．m≥0 C．m<0 D．m≤0
3.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.两条直线y=kx+b与y=bx+k（k，b为常数，且kb≠0）在同一坐标系中的图像可能是（ ）




知识点二：一次函数的图象的平移性（左加右减，上加下减，一次函数图象平行则K相等，图象互相垂直则k互为负倒数）
例1、要得到y= -3x-4的图象，可把直线y= -3x （ ）
A.向左平移4个单位 B.向右平移4个单位
C.向上平移4个单位 D.向下平移4个单位
例2、已知一次函数的图象与直线y=12 x+3平行，并且经过点（-2，-4），则这个一次函数的解析式为__________．

例3、 将直线y=2x+1向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，则两次平移后此直线的函数关系式为 。
例4、 将直线y=kx+3沿y轴翻折后恰好经过点P（2，1），求k的值。

例5、如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P（1，b）
（1） 求b，m的值；
（2） 垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别相交于点C、D，
若CD=2，求a的值。

例6、*如图，直线y=43x+4分别交x轴，y轴于点A，B两点，M是AB的中点，将△AOM沿OM翻折，点A落在点C处。
（1）求点A，B的坐标；
（2）求直线BC的解析

练习：
1.已知一次函数y=（4-k）x-2k2+32．
（1）k为何值时，它的图象经过原点；
（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）；
（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x；
（4）k为何值时，y随x的增大而减小．
2.将直线y=2x-2向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则两次平移后此直线的函数关系式为（ ）
A.y=2x+5 B.y=2x-1 C.y=2x-9 D.y=2x-3
3.将直线y=kx-2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后正好经过点（2，4），求k的值。


5. 将y=kx+b沿x轴翻折后恰好经过点P（-2，1），Q（1，-2）求原函数解析式（结合例
题4探索你所发现的规律）


6.已知一次函数y=kx+2k-4的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是 。
7.已知点（-1，y1），（-0.5，y2），（1.5，y3）是直线y= -2x+1上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A.y3>y2>y1 B.y1>y2>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2
五、 一次函数与方程不等式
例：
1. 当x 时，直线y=x+2上的点在直线y=3x-2上相应点的上方。
2. 如图所示，直线y=kx和y=ax+4交于A（1，k），
则不等式ax+4 3. 直线y=4x-2与直线y= -x+3m的交点不可能在第 象限。
4. 直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象
如图所示，则关于x的不等式k2x>k1x+b的解集为 。

5. 若直线y＝－2x＋m与直线y＝2x－1的交点在第四象限，则m的取值范围是(　　)
A．m＞－1 B．m＜1 C．－1＜m＜1 D．－1≤m≤1
6. 如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是(　　)
A．乙前4 s行驶的路程为48 m
B．在0到8 s内甲的速度每秒增加4 m
C．两车到第3 s时行驶的路程相等
D．在4至8 s内甲的速度都大于乙的速度

7.已知x满足-5≤x≤6，y1=x+1，y2=-2x+4，对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是（ ）
A. 14 B. 7 C. 4 D. 2
8.已知直线y=-x+2与x轴和y轴交于点A和点B，另一直线y=kx+b（k≠0）经过点C（1，0），且把△AOB分成两个面积相等的三角形，求k和b的值


9.*已知直线y=-x+b经过点A（2，-4），且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为 。

练习：
1.如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
2.若直线y=-2x+k与两坐标所围成的三角形的面积是9，那么k的值为 。

3.*已知一次函数y1=kx+b的图象经过点（1，2）
（1）请直接写出k，b满足的关系式为 ；
（2）若-1≤x≤4时，y1有最大值3，求k的值

4. 已知一次函数y1=kx+2（k为常数，k≠0）和y2=x-3
（1） 当k=-2时，若y1>y2，求x的取值范围；
（2） 当x<1时，y1>y2。结合图象，直接写出k的取值范围。

六、一次函数的应用
例1、如图甲所示，某容器由A，B，C三个长方体组成，其中A，B，C的底面积分别为25cm2，10cm2，5cm2，整个容器容积是长方体C的容积的4倍（容器各面的厚度忽略不计）。现以速度v（cm3/s）均匀地向容器注水，直至注满为止。图乙所示是注水全过程中容器的水面高度h（cm）与注水时间t（s）的函数图象。
（1）在注水过程中，注满A所用的时间为 s，再注满B又用了 s；
（2）求A的高度hA及注水的速度v；
（3）求注满容器所需时间及容器的高度。

例2、 已知A，B两地相距50km，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按同路从A地出发驶向B地，如图所示，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程s（km）与该日下午时间t（h）之间的关系，根据图象回答下列问题：
（1）甲出发 小时后，乙才开始出发；
（2）乙的速度为 km/h；
（3） 甲骑自行车在全程的平均速度为 km/h；
（4） 求乙出发几小时后就追上了甲？





例3、 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y= - 12x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）
（1） 求m的值及l2的解析式；
（2） 求S△AOC - 求S△BOC 的值；
（3） 一次函数y=kx+1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值。




练习：
1.一名农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆千克数x与他手中持有的钱数y（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）农民自带的零钱是多少？
（2）试求降价前y与x之间的关系式；
（3）降价后他按每千克0.4元将剩余的土豆售完，这时他手中的钱
（含备用零钱）是26元，试问他一共带了多少千克土豆？



2. 小明骑自行车上学，当他骑了一段路时想起要买某本书，于是又返回到刚刚经过的某书店，买到书后继续去学校，如图所示是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1） 小明家到学校的路程是 m，本次上学途中小明一共行驶了 m；
（2） 小明在书店停留了 分钟，本次上学小明一共用了 分钟；
（3） 在整个上学途中，哪个时间段小明骑车速度最快？最快的速度是多少？