2023年浙江省杭州市中考数学第一次适应性试卷（含解析）

2023年浙江省杭州市中考数学第一次适应性试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某物体如图所示，它的主视图是(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.  据统计，年杭州市达万亿元数据万亿元用科学记数法表示为(    )

A. 元 B. 元
C. 元 D. 元

4.  在同一副扑克牌中抽取张“方块”，张”梅花”，张“红桃”将这张牌背面朝上，从中任意抽取张，是“方块”的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  山茶花是某市的市花、品种多样，“金心大红”是其中的一种，某兴趣小组对株“金心大红”的花径进行测量、记录，统计如表：

这批“金心大红”花径的众数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  验光师测得一组关于近视眼镜的度数度与镜片焦距米的对应数据如下表，根据表中数据，可得关于的函数表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片像到镜头的距离．已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，一块矩形木板斜靠在墙边，点，，，，在同一平面内，已知，，，则点到的距离等于(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上不与点，点重合，与交于点设，，则(    )
 

A.
B.
C.
D.

10.  在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  某计算机程序第一次算得个数据的平均数为，第二次算得另外个数据的平均数为，则这个数据的平均数等于______．

13.  如图是一个圆锥形冰淇淋外壳不计厚度，已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于        结果精确到个位．

14.  已知一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，则方程组的解是        ．

15.  如图，分别切的两边，于点，，点在优弧上，若，则等于______度．

16.  如图是一张矩形纸片，点在边上，把沿直线对折，使点落在对角线上的点处，连接若点，，在同一条直线上，，则          ，          ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
化简：
圆圆的解答如下：

圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．

18.  本小题分
某工厂生产某种产品，月份的产量为件，月份的产量为件．用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图每组不含前一个边界值，含后一个边界值已知检测综合得分大于分的产品为合格产品．
求月份生产的该产品抽样检测的合格率；
在月份和月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数最多？为什么？
 

19.  本小题分
如图，在中，．
已知线段的垂直平分线与边交于点，连接，求证：．
以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接若，求的度数．
 

20.  本小题分
设函数，函数是常数，，．
若函数和函数的图象交于点，点，
求函数，的表达式；
当时，比较与的大小直接写出结果．
若点在函数的图象上，点先向下平移个单位，再向左平移个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求的值．

21.  本小题分

如图，已知正方形的边长为，正方形的面积为，点在边上，点在的延长线上，设以线段和为邻边的矩形的面积为，且．

求线段的长；
若点为边的中点，连接，求证：．

22.  本小题分
设二次函数是常数的图象与轴交于，两点．
若，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的对称轴．
若函数的表达式可以写成是常数的形式，求的最小值．
设一次函数是常数，若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图象经过点时，求的值．

23.  本小题分
如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接．
 

若，

求证：．

当时，求面积的最大值．

点在线段上，，连接，设，是正数，若，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，是有理数，是无理数，
故选：．
利用有理数，无理数的概念对每个选项进行判断即可得出结论．
本题主要考查了有理数，无理数的意义，掌握上述概念并熟练应用是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可知，该几何体的主视图是：

故选：．
根据主视图的定义和画法进行判断即可．
本题考查简单组合体的主视图，解题的关键是明确主视图就是从正面看物体所得到的图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：万亿元元元，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：从中任意抽取张，是“方块”的概率为，
故选：．
直接利用概率公式计算可得．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

5.【答案】 

【解析】解：由表格中的数据可得，
这批“金心大红”花径的众数为，
故选：．
根据表格中的数据，可以得到这组数据的众数，本题得以解决．
本题考查众数，解答本题的关键是明确众数的含义，会求一组数据的众数．
 

6.【答案】 

【解析】解：由表格中数据可得：，
故关于的函数表达式为：．
故选：．
直接利用已知数据可得，进而得出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含、的代数式表示．
考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形的应用坡度角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点到的距离，本题得以解决．
【解答】
解：作于点，作于点，

四边形是矩形，
，
，，
，
，
，，
，
故选D．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，关键是用表示．
根据直角三角形两锐角互余性质，用表示，进而由圆心角与圆周角关系，用表示，最后由角的和差关系得结果．
【解答】
解：

，
，
，
，
，
，
，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查一次函数和二次函数与轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为，确定它是什么函数，进而确定与轴的交点个数．
先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与轴的交点个数，若一次函数，则与轴只有一个交点，据此解答．
【解答】
解：，
，
函数的图象与轴有个交点，
，
函数，
当时，，函数的图象与轴有个交点，即，此时；
当时，不妨令，，，函数为一次函数，与轴有一个交点，即，此时；
综上可知，或．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用平方差公式，把写成的形式即可．
本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键，是一道基础题，比较简单．
 

12.【答案】 

【解析】解：某计算机程序第一次算得个数据的平均数为，第二次算得另外个数据的平均数为，
则这个数据的总和为：，
所以平均数为：．
故答案为：．
直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数．
此题主要考查了加权平均数，正确得出两组数据的总和是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：底面圆的半径为，
底面圆的周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为，
这个冰淇淋外壳的侧面积，
故答案为：．
根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，
方程组的解是．
故答案为：．
根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，

分别切的两边，于点，
，
又



故答案为：
连接，，由切线的性质可得，，由四边形内角和定理可求，即可求的度数．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练运用切线的性质是本题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了翻折变换折叠问题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到；根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，
把沿直线对折，使点落在对角线上的点处，
，，，
，，
，
，
≌，
；
，
，
，
∽，
，
，
负值舍去，
，
故答案为；．  

17.【答案】解：圆圆的解答错误，
正确解法：



． 

【解析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案．
此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．
 

18.【答案】解：，
答：月份生产的该产品抽样检测的合格率为；
估计月份生产的产品中，不合格的件数多．
理由：月份生产的产品中，不合格的件数为件，
月份生产的产品中，不合格的件数为件，
，
估计月份生产的产品中，不合格的件数多． 

【解析】根据题意列式计算即可；
分别求得月份生产的产品中不合格的件数和月份生产的产品中不合格的件数，比较即可得到结论．
本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．
 

19.【答案】解：线段的垂直平分线与边交于点，
，
，
，
；

根据题意可知，
，
，，
，
，
，
． 

【解析】根据线段垂直平分线的性质可知，根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的外角性质即可证得；
根据题意可知，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和公式即可解答．
本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．
 

20.【答案】解：把点代入，
，
解得：，
函数的表达式为，
把点代入，解得，
把点，点代入，
，
解得，
函数的表达式为；
如图，

当时，；
由平移，可得点坐标为，
，
解得：，
的值为． 

【解析】利用待定系数法求函数解析式；
利用函数图像分析比较；
根据平移确定点的坐标，然后利用函数图像上点的坐标特征代入求解．
本题考查反比例函数与一次函数，理解反比例函数和一次函数的图像性质，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解题是关键．
 

21.【答案】解：设正方形的边长为，
正方形的边长为，
，
，
，
解得，舍去，，
即线段的长是；
证明：点为边的中点，，
，
，
，，
，
． 

【解析】本题考查正方形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
设出正方形的边长，然后根据，即可求得线段的长；
根据中的结果和题目中的条件，可以分别计算出和的长，即可证明结论成立．
 

22.【答案】解：二次函数过点、，
，即．
抛物线的对称轴为．
把化成一般式得，
．
，．

．
把的值看作是的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
当时，的最小值是．
由题意得，
 
．
函数的图象经过点 ，
．
，或．
  即或． 

【解析】根据、两点的坐标特征，可设函数的表达式为，其中，是抛物线与轴交点的横坐标；
把函数，化成一般式，求出对应的、的值，再根据式子的特点求出其最小值；
把，代入求出关于的函数表达式，再根据其图象过点，把代入其表达式，形成关于的一元二次方程，解方程即可．
本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：，顶点式：，交点式：
 

23.【答案】解：连接、，

则，
，
；
长度为定值，
求面积的最大值，要求边上的高最大，
当过点时，最大，即：，
根据勾股定理求出，
面积的最大值；
如图，连接，

设：，
则，，
则，
，
，
，
，
即：，
化简得：． 

【解析】连接、，则，即可求解；长度为定值，面积的最大值，要求边上的高最大，即可求解；
，而，即可求解．
本题考查圆周角顶点，含角直角三角形的性质、三角形内角和公式，其中是本题容易忽视的地方．