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2021年浙江省杭州市中考数学真题试卷 (含解析)
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这是一份2021年浙江省杭州市中考数学真题试卷 (含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省杭州市中考数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．﹣（﹣2021）＝（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
2．“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜记录．数据10909用科学记数法可表示为（ ）
A．0.10909×105 B．1.0909×104
C．10.909×103 D．109.09×102
3．因式分解：1﹣4y2＝（ ）
A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y）
C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）
4．如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（ ）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
5．下列计算正确的是（ ）
A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2
6．某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则（ ）
A．60.5（1﹣x）＝25 B．25（1﹣x）＝60.5
C．60.5（1+x）＝25 D．25（1+x）＝60.5
7．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3），发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ）
A． B． C． D．
9．已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；③以点A为圆心，AB长为半径作弧；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（ ）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
10．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（ ）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1
C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）计算：sin30°＝ ．
12．（4分）计算：2a+3a＝ ．
13．（4分）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，T为切点，连结OT ．
14．（4分）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．
甲种糖果
乙种糖果
单价（元/千克）
30
20
千克数
2
3
将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为 元/千克．
15．（4分）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1），AC，AD（1，1），点C（1，3），点D（4，4）（5，2），则∠BAC ∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．
16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，则∠DAF＝ 度．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17．（6分）以下是圆圆解不等式组的解答过程：
解：由①，得2+x＞﹣1，
所以x＞﹣3．
由②，得1﹣x＞2，
所以﹣x＞1，
所以x＞﹣1．
所以原不等式组的解是x＞﹣1．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
18．（8分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．
某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表
组别（次）
频数
100~130
48
130~160
96
160~190
a
190~220
72
（1）求a的值；
（2）把频数直方图补充完整；
（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．
19．（8分）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，BE与CD相交于点F．若 ，求证：BE＝CD．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
20．（10分）在直角坐标系中，设函数y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．
（1）若点B的坐标为（﹣1，2），
①求k1，k2的值；
②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（2）若点B在函数y3＝（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，∠C＝45°．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若AE＝3，求△ABC的面积．
22．（12分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式；
（2）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，求证：P+Q＞6．
23．（12分）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE2＝GE•GD．
2021年浙江省杭州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．﹣（﹣2021）＝（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：﹣（﹣2021）＝2021．
故选：B．
2．“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜记录．数据10909用科学记数法可表示为（ ）
A．0.10909×105 B．1.0909×104
C．10.909×103 D．109.09×102
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：10909＝1.0909×104．
故选：B．
3．因式分解：1﹣4y2＝（ ）
A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y）
C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：1﹣4y2
＝1﹣（2y)7
＝（1﹣2y）（2+2y）．
故选：A．
4．如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（ ）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论．
【解答】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，
∴PT≥PQ，
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）
A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2
【分析】求出＝2，＝2，再逐个判断即可．
【解答】解：A．＝4；
B．＝7；
C．＝7；
D．＝4；
故选：A．
6．某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则（ ）
A．60.5（1﹣x）＝25 B．25（1﹣x）＝60.5
C．60.5（1+x）＝25 D．25（1+x）＝60.5
【分析】依题意可知四月份接待游客25万，则五月份接待游客人次为：25（1+x），进而得出答案．
【解答】解：设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则
25（1+x）＝60.8．
故选：D．
7．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把3节车厢分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，
∴甲和乙从同一节车厢上车的概率为＝，
故选：C．
8．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3），发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ）
A． B． C． D．
【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a＜0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．
【解答】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上；
A、B、C组成的二次函数开口向上；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下；
即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B．
设A、B、C组成的二次函数为y1＝a1x7+b1x+c1，
把A（4，2），0），5）代入上式得，
，
解得a1＝；
设A、B、D组成的二次函数为y＝ax2+bx+c，
把A（0，4），0），3）代入上式得，
，
解得a＝，
即a最大的值为，
故选：A．
9．已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；③以点A为圆心，AB长为半径作弧；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（ ）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
【分析】直接利用基本作图方法得出AP＝PE,再结合等腰直角三角形的性质表示出AE,AP的长，即可得出答案．
【解答】解：∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAB＝×90°＝45°,
∵EP⊥AB,
∴∠APE＝90°,
∴∠EAP＝∠AEP＝45°,
∴AP＝PE,
∴设AP＝PE＝x,
故AE＝AB＝x,
∴AP：AB＝x:x＝1:．
故选：D．
10．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（ ）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1
C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1
【分析】根据题干信息可知，直接令y1+y2＝0，若方程有解，则具有性质P，若无解，则不具有性质P．
【解答】解：A．令y1+y2＝4，则x2+2x﹣x﹣3＝0，解得x＝，即函数y1和y6具有性质P，符合题意；
B．令y1+y2＝7，则x2+2x﹣x+8＝0，整理得，x2+x+8＝0，方程无解1和y7不具有有性质P，不符合题意；
C．令y1+y2＝6，则﹣，整理得，x2+x+6＝0，方程无解1和y3不具有有性质P，不符合题意；
D．令y1+y2＝6，则﹣，整理得，x2﹣x+8＝0，方程无解1和y6不具有有性质P，不符合题意；
故选：A．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）计算：sin30°＝ ．
【分析】根据sin30°＝直接解答即可．
【解答】解：sin30°＝．
12．（4分）计算：2a+3a＝ 5a ．
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变求解．
【解答】解：2a+3a＝5a，故答案为5a．
13．（4分）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，T为切点，连结OT ．
【分析】根据圆的切线性质可得出△OPT为直角三角形，再利用勾股定理求得PT长度．
【解答】解：∵PT是⊙O的切线，T为切点，
∴OT⊥PT，
在Rt△OPT中，OT═1，
∴PT═══，
故：PT═．
14．（4分）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．
甲种糖果
乙种糖果
单价（元/千克）
30
20
千克数
2
3
将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为 24 元/千克．
【分析】将两种糖果的总价算出，用它们的和除以混合后的总重量即可．
【解答】解：这5千克什锦糖果的单价为：（30×2+20×2）÷5＝24（元/千克）．
故答案为：24．
15．（4分）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1），AC，AD（1，1），点C（1，3），点D（4，4）（5，2），则∠BAC ═ ∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．
【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系．
【解答】解：连接DE，
由上图可知AB═2，BC═2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC═45°，
又∵AE═══，
同理可得DE══，
AD══，
则在△ADE中，有AE2+DE2═AD7，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE═45°，
∴∠BAC═∠DAE，
故答案为：═．
16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，则∠DAF＝ 18 度．
【分析】连接DM,利用斜边上的中线等于斜边的一半可得△AMD和△MCD为等腰三角形，∠DAF＝∠MDA,∠MCD＝∠MDC；由折叠可知DF＝DC,可得∠DFC＝∠DCF；由MF＝AB,AB＝CD,DF＝DC,可得FM＝FD,进而得到∠FMD＝∠FDM；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠DFC＝2∠FMD；最后在△MDC中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．
【解答】解：连接DM,如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°．
∵M是AC的中点，
∴DM＝AM＝CM,
∴∠FAD＝∠MDA,∠MDC＝∠MCD．
∵DC,DF关DE对称，
∴DF＝DC,
∴∠DFC＝∠DCF．
∵MF＝AB,AB＝CD,
∴MF＝FD．
∴∠FMD＝∠FDM．
∵∠DFC＝∠FMD+∠FDM,
∴∠DFC＝2∠FMD．
∵∠DMC＝∠FAD+∠ADM,
∴∠DMC＝2∠FAD．
设∠FAD＝x°,则∠DFC＝8x°,
∴∠MCD＝∠MDC＝4x°．
∵∠DMC+∠MCD+∠MDC＝180°,
∴2x+3x+4x＝180．
∴x＝18．
故答案为：18．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17．（6分）以下是圆圆解不等式组的解答过程：
解：由①，得2+x＞﹣1，
所以x＞﹣3．
由②，得1﹣x＞2，
所以﹣x＞1，
所以x＞﹣1．
所以原不等式组的解是x＞﹣1．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：圆圆的解答过程有错误，
正确过程如下：由①得2+2x＞﹣7，
∴2x＞﹣3，
∴x＞﹣，
由②得1﹣x＜7，
∴﹣x＜1，
∴x＞﹣1，
∴不等式组的解集为x＞﹣4．
18．（8分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．
某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表
组别（次）
频数
100~130
48
130~160
96
160~190
a
190~220
72
（1）求a的值；
（2）把频数直方图补充完整；
（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．
【分析】（1）用360减去第1、2、4组的频数和即可；
（2）根据以上所求结果即可补全图形；
（3）用第4组的频数除以该年级的总人数即可得出答案．
【解答】解：（1）a＝360﹣（48+96+72）＝144；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为×100%＝20%．
19．（8分）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，BE与CD相交于点F．若 ①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC） ，求证：BE＝CD．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【分析】若选择条件①，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，则可根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD；
选择条件②，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，则可根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD；
选择条件③，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，再证明∠ABE＝∠ACD，则可根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD．
【解答】证明：选择条件①的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD；
选择条件②的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD；
选择条件③的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵FB＝FC，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠FCB，
即∠ABE＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD．
故答案为①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC）
20．（10分）在直角坐标系中，设函数y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．
（1）若点B的坐标为（﹣1，2），
①求k1，k2的值；
②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（2）若点B在函数y3＝（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．
【分析】（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2），分别代入y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0），y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）即可求得k1，k2的值；
②根据图象即可求得；
（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），根据待定系数法即可求得k1＝x0•y，k3＝﹣x0•y，即可求得k1+k3＝0．
【解答】解：（1）①由题意得，点A的坐标是（1，
∵函数y1＝（k1是常数，k1＞4，x＞0）与函数y2＝k8x（k2是常数，k2≠7）的图象交于点A，
∴2＝，2＝k2，
∴k7＝2，k2＝4；
②由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＞2；
（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），
∴k5＝x0•y，k3＝﹣x7•y，
∴k1+k3＝5．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，∠C＝45°．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若AE＝3，求△ABC的面积．
【分析】（1）计算出∠ADB和∠BAC，利用等角对等边即可证明；
（2）利用锐角三角函数求出BC即可计算△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，
∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，
∴∠BAC＝∠ADB，
∴AB＝BD；
（2）解：由题意得，BE＝＝＝3，
∴BC＝3+，
∴S△ABC＝BC×AE＝．
22．（12分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式；
（2）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，求证：P+Q＞6．
【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；
（2）已知a＝b＝1,则y＝x2+x+1．容易得到P+Q＝p2+p+1+q2+q+1，利用p+q＝2，即p＝2﹣q代入对代数式P+Q进行化简，并配方得出P+Q＝2(q﹣1)2+6≥6．最后注意利用p≠q条件判断q≠1，得证．
【解答】解：（1）由题意，得,
解得,
所以，该函数表达式为y＝x6﹣2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为（2,0）．
（2）由题意，得P＝p2+p+5,Q＝q2+q+1,
所以 P+Q＝p4+p+1+q2+q+5
＝p2+q2+8
＝(2﹣q)2+q3+4
＝2(q﹣8)2+6≥3，
由条件p≠q，知q≠1 P+Q＞6．
23．（12分）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE2＝GE•GD．
【分析】(1)根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAC＝∠FAC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABC∽△AFC；
(2)由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；
(3)先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD．
【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABC∽△AFC；
（2）解：由（1）知，△ABC∽△AFC，
∴＝，
∵AC＝AF＝b，
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴＝，
∴BG2＝GE•GD．
2021年浙江省杭州市中考数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．﹣（﹣2021）＝（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
2．“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜记录．数据10909用科学记数法可表示为（ ）
A．0.10909×105 B．1.0909×104
C．10.909×103 D．109.09×102
3．因式分解：1﹣4y2＝（ ）
A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y）
C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）
4．如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（ ）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
5．下列计算正确的是（ ）
A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2
6．某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则（ ）
A．60.5（1﹣x）＝25 B．25（1﹣x）＝60.5
C．60.5（1+x）＝25 D．25（1+x）＝60.5
7．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3），发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ）
A． B． C． D．
9．已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；③以点A为圆心，AB长为半径作弧；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（ ）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
10．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（ ）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1
C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）计算：sin30°＝ ．
12．（4分）计算：2a+3a＝ ．
13．（4分）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，T为切点，连结OT ．
14．（4分）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．
甲种糖果
乙种糖果
单价（元/千克）
30
20
千克数
2
3
将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为 元/千克．
15．（4分）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1），AC，AD（1，1），点C（1，3），点D（4，4）（5，2），则∠BAC ∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．
16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，则∠DAF＝ 度．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17．（6分）以下是圆圆解不等式组的解答过程：
解：由①，得2+x＞﹣1，
所以x＞﹣3．
由②，得1﹣x＞2，
所以﹣x＞1，
所以x＞﹣1．
所以原不等式组的解是x＞﹣1．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
18．（8分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．
某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表
组别（次）
频数
100~130
48
130~160
96
160~190
a
190~220
72
（1）求a的值；
（2）把频数直方图补充完整；
（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．
19．（8分）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，BE与CD相交于点F．若 ，求证：BE＝CD．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
20．（10分）在直角坐标系中，设函数y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．
（1）若点B的坐标为（﹣1，2），
①求k1，k2的值；
②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（2）若点B在函数y3＝（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，∠C＝45°．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若AE＝3，求△ABC的面积．
22．（12分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式；
（2）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，求证：P+Q＞6．
23．（12分）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE2＝GE•GD．
2021年浙江省杭州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．﹣（﹣2021）＝（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：﹣（﹣2021）＝2021．
故选：B．
2．“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜记录．数据10909用科学记数法可表示为（ ）
A．0.10909×105 B．1.0909×104
C．10.909×103 D．109.09×102
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：10909＝1.0909×104．
故选：B．
3．因式分解：1﹣4y2＝（ ）
A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y）
C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：1﹣4y2
＝1﹣（2y)7
＝（1﹣2y）（2+2y）．
故选：A．
4．如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（ ）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论．
【解答】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，
∴PT≥PQ，
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）
A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2
【分析】求出＝2，＝2，再逐个判断即可．
【解答】解：A．＝4；
B．＝7；
C．＝7；
D．＝4；
故选：A．
6．某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则（ ）
A．60.5（1﹣x）＝25 B．25（1﹣x）＝60.5
C．60.5（1+x）＝25 D．25（1+x）＝60.5
【分析】依题意可知四月份接待游客25万，则五月份接待游客人次为：25（1+x），进而得出答案．
【解答】解：设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则
25（1+x）＝60.8．
故选：D．
7．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把3节车厢分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，
∴甲和乙从同一节车厢上车的概率为＝，
故选：C．
8．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3），发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ）
A． B． C． D．
【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a＜0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．
【解答】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上；
A、B、C组成的二次函数开口向上；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下；
即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B．
设A、B、C组成的二次函数为y1＝a1x7+b1x+c1，
把A（4，2），0），5）代入上式得，
，
解得a1＝；
设A、B、D组成的二次函数为y＝ax2+bx+c，
把A（0，4），0），3）代入上式得，
，
解得a＝，
即a最大的值为，
故选：A．
9．已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；③以点A为圆心，AB长为半径作弧；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（ ）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
【分析】直接利用基本作图方法得出AP＝PE,再结合等腰直角三角形的性质表示出AE,AP的长，即可得出答案．
【解答】解：∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAB＝×90°＝45°,
∵EP⊥AB,
∴∠APE＝90°,
∴∠EAP＝∠AEP＝45°,
∴AP＝PE,
∴设AP＝PE＝x,
故AE＝AB＝x,
∴AP：AB＝x:x＝1:．
故选：D．
10．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（ ）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1
C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1
【分析】根据题干信息可知，直接令y1+y2＝0，若方程有解，则具有性质P，若无解，则不具有性质P．
【解答】解：A．令y1+y2＝4，则x2+2x﹣x﹣3＝0，解得x＝，即函数y1和y6具有性质P，符合题意；
B．令y1+y2＝7，则x2+2x﹣x+8＝0，整理得，x2+x+8＝0，方程无解1和y7不具有有性质P，不符合题意；
C．令y1+y2＝6，则﹣，整理得，x2+x+6＝0，方程无解1和y3不具有有性质P，不符合题意；
D．令y1+y2＝6，则﹣，整理得，x2﹣x+8＝0，方程无解1和y6不具有有性质P，不符合题意；
故选：A．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）计算：sin30°＝ ．
【分析】根据sin30°＝直接解答即可．
【解答】解：sin30°＝．
12．（4分）计算：2a+3a＝ 5a ．
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变求解．
【解答】解：2a+3a＝5a，故答案为5a．
13．（4分）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，T为切点，连结OT ．
【分析】根据圆的切线性质可得出△OPT为直角三角形，再利用勾股定理求得PT长度．
【解答】解：∵PT是⊙O的切线，T为切点，
∴OT⊥PT，
在Rt△OPT中，OT═1，
∴PT═══，
故：PT═．
14．（4分）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．
甲种糖果
乙种糖果
单价（元/千克）
30
20
千克数
2
3
将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为 24 元/千克．
【分析】将两种糖果的总价算出，用它们的和除以混合后的总重量即可．
【解答】解：这5千克什锦糖果的单价为：（30×2+20×2）÷5＝24（元/千克）．
故答案为：24．
15．（4分）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1），AC，AD（1，1），点C（1，3），点D（4，4）（5，2），则∠BAC ═ ∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．
【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系．
【解答】解：连接DE，
由上图可知AB═2，BC═2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC═45°，
又∵AE═══，
同理可得DE══，
AD══，
则在△ADE中，有AE2+DE2═AD7，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE═45°，
∴∠BAC═∠DAE，
故答案为：═．
16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，则∠DAF＝ 18 度．
【分析】连接DM,利用斜边上的中线等于斜边的一半可得△AMD和△MCD为等腰三角形，∠DAF＝∠MDA,∠MCD＝∠MDC；由折叠可知DF＝DC,可得∠DFC＝∠DCF；由MF＝AB,AB＝CD,DF＝DC,可得FM＝FD,进而得到∠FMD＝∠FDM；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠DFC＝2∠FMD；最后在△MDC中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．
【解答】解：连接DM,如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°．
∵M是AC的中点，
∴DM＝AM＝CM,
∴∠FAD＝∠MDA,∠MDC＝∠MCD．
∵DC,DF关DE对称，
∴DF＝DC,
∴∠DFC＝∠DCF．
∵MF＝AB,AB＝CD,
∴MF＝FD．
∴∠FMD＝∠FDM．
∵∠DFC＝∠FMD+∠FDM,
∴∠DFC＝2∠FMD．
∵∠DMC＝∠FAD+∠ADM,
∴∠DMC＝2∠FAD．
设∠FAD＝x°,则∠DFC＝8x°,
∴∠MCD＝∠MDC＝4x°．
∵∠DMC+∠MCD+∠MDC＝180°,
∴2x+3x+4x＝180．
∴x＝18．
故答案为：18．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17．（6分）以下是圆圆解不等式组的解答过程：
解：由①，得2+x＞﹣1，
所以x＞﹣3．
由②，得1﹣x＞2，
所以﹣x＞1，
所以x＞﹣1．
所以原不等式组的解是x＞﹣1．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：圆圆的解答过程有错误，
正确过程如下：由①得2+2x＞﹣7，
∴2x＞﹣3，
∴x＞﹣，
由②得1﹣x＜7，
∴﹣x＜1，
∴x＞﹣1，
∴不等式组的解集为x＞﹣4．
18．（8分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．
某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表
组别（次）
频数
100~130
48
130~160
96
160~190
a
190~220
72
（1）求a的值；
（2）把频数直方图补充完整；
（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．
【分析】（1）用360减去第1、2、4组的频数和即可；
（2）根据以上所求结果即可补全图形；
（3）用第4组的频数除以该年级的总人数即可得出答案．
【解答】解：（1）a＝360﹣（48+96+72）＝144；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为×100%＝20%．
19．（8分）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，BE与CD相交于点F．若 ①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC） ，求证：BE＝CD．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【分析】若选择条件①，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，则可根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD；
选择条件②，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，则可根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD；
选择条件③，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，再证明∠ABE＝∠ACD，则可根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD．
【解答】证明：选择条件①的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD；
选择条件②的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD；
选择条件③的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵FB＝FC，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠FCB，
即∠ABE＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD．
故答案为①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC）
20．（10分）在直角坐标系中，设函数y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．
（1）若点B的坐标为（﹣1，2），
①求k1，k2的值；
②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（2）若点B在函数y3＝（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．
【分析】（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2），分别代入y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0），y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）即可求得k1，k2的值；
②根据图象即可求得；
（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），根据待定系数法即可求得k1＝x0•y，k3＝﹣x0•y，即可求得k1+k3＝0．
【解答】解：（1）①由题意得，点A的坐标是（1，
∵函数y1＝（k1是常数，k1＞4，x＞0）与函数y2＝k8x（k2是常数，k2≠7）的图象交于点A，
∴2＝，2＝k2，
∴k7＝2，k2＝4；
②由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＞2；
（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），
∴k5＝x0•y，k3＝﹣x7•y，
∴k1+k3＝5．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，∠C＝45°．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若AE＝3，求△ABC的面积．
【分析】（1）计算出∠ADB和∠BAC，利用等角对等边即可证明；
（2）利用锐角三角函数求出BC即可计算△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，
∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，
∴∠BAC＝∠ADB，
∴AB＝BD；
（2）解：由题意得，BE＝＝＝3，
∴BC＝3+，
∴S△ABC＝BC×AE＝．
22．（12分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式；
（2）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，求证：P+Q＞6．
【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；
（2）已知a＝b＝1,则y＝x2+x+1．容易得到P+Q＝p2+p+1+q2+q+1，利用p+q＝2，即p＝2﹣q代入对代数式P+Q进行化简，并配方得出P+Q＝2(q﹣1)2+6≥6．最后注意利用p≠q条件判断q≠1，得证．
【解答】解：（1）由题意，得,
解得,
所以，该函数表达式为y＝x6﹣2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为（2,0）．
（2）由题意，得P＝p2+p+5,Q＝q2+q+1,
所以 P+Q＝p4+p+1+q2+q+5
＝p2+q2+8
＝(2﹣q)2+q3+4
＝2(q﹣8)2+6≥3，
由条件p≠q，知q≠1 P+Q＞6．
23．（12分）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE2＝GE•GD．
【分析】(1)根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAC＝∠FAC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABC∽△AFC；
(2)由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；
(3)先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD．
【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABC∽△AFC；
（2）解：由（1）知，△ABC∽△AFC，
∴＝，
∵AC＝AF＝b，
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴＝，
∴BG2＝GE•GD．
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