高考复习 2.3　函数的奇偶性、周期性与对称性课件PPT

这是一份高考复习 2.3　函数的奇偶性、周期性与对称性课件PPT，共59页。PPT课件主要包含了f－x＝fx，最小的正数，最小正数，答案BC，答案D，答案BD，答案C，答案A，答案B，答案ABC等内容，欢迎下载使用。

【课标标准】　1.了解函数奇偶性的含义.2.结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义．
知识梳理1.函数的奇偶性
f(－x)＝－f(x)
2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有____________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个___________，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．
f(x＋T)＝f(x)
[常用结论]1．函数奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(5)只有f(x)＝0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数．
夯实双基1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．(　　)(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　)(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．(　　)
解析：由奇函数的定义可知BC为奇函数．故选BC.
3．(教材改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是______________．
5．(易错)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(x)的解析式为____________________．
解析：当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)＝－x(1－x)，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x(1－x)，即f(x)＝x(1－x)．
题型一　函数的奇偶性角度一 判断下列函数的奇偶性例 1 (1)f(x)＝x4＋3x2，x∈(－2，2]；
解析：因为函数f(x)＝x4＋3x2，x∈(－2，2]的定义域为(－2，2]，不关于原点对称，所以函数f(x)＝x4＋3x2，x∈(－2，2]既不是奇函数又不是偶函数．
(2)f(x)＝2x2＋|x|；
解析：∵函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝2(－x)2＋|－x|＝2x2＋|x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
解析：函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称．①当x＝0时，－x＝0，所以f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)；②当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)；③当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．综上，可知函数f(x)为奇函数．
题后师说判断函数奇偶性的方法
巩固训练1(1)(多选)下列函数为偶函数的是(　　)A．y＝x2sin x B．y＝x2cs xC．y＝|ln x| D．y＝2|x|
解析：由偶函数的定义可知B、D为偶函数．故选BD.
解析：设x<0，则－x>0，则f(x)＝g(x)＋1，f(－x)＝lg2(1－x)．又f(x)是奇函数，则有f(－x)＝－f(x)，即lg2(1－x)＝－[g(x)＋1]，则g(x)＝－lg2(1－x)－1，则g(－3)＝－lg2(1＋3)－1＝－2－1＝－3.故选C.
题后师说利用函数的奇偶性可解决以下三类问题 (1)求解析式(或函数值)：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出． (2)求参数：根据f(－x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，再求出参数的值．在解答选择题、填空题时，一般选用特值法，如函数f(x)为奇函数(在x＝0处有定义)，则用f(0)＝0求解等．(3)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象．
解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.故选A.
(2)[2023·辽宁葫芦岛模拟]已知函数f(x)＝x2(aex－e－x)是奇函数，则a＝________．
解析：由题知，f(x)的定义域为R，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(－x)＝(－x)2(ae－x－ex)＝－x2(aex－e－x)＝－f(x)，所以ae－x－ex＝－aex＋e－x，所以(a－1)e－x＝(1－a)ex恒成立，所以a＝1.
题后师说(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值，求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
题型三　函数的对称性例 4 [2023·辽宁抚顺模拟]已知函数y＝f(2x－1)是R上的奇函数，函数y＝f(x)图象与函数y＝g(x)关于y＝－x对称，则g(x)＋g(－x)＝(　　)A．0　　　B．－1　　　C．2　　　D．1
解析：函数y＝f(2x－1)是R上的奇函数，则－f(－2x－1)＝f(2x－1)．设2x－1＝t，则f(t)＝－f(－2－t)，则函数y＝f(x)的图象关于点(－1，0)对称，函数y＝f(x)图象与函数y＝g(x)关于y＝－x对称，所以函数y＝g(x)的图象关于点(0，1)对称，所以g(x)＋g(－x)＝2.故选C.
题后师说(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．(2)注意一个函数图象自身的对称性和两个函数图象之间对称性的区别，同时也要注意不要混淆对称性和周期性常用结论．
解析：因为定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，且当x≥1时，f(x)＝x2＋mx＋n，若f(－1)＝－7，则f(3)＝－f(－1)＝7.故f(3)＝32＋3m＋n＝7，即3m＋n＝－2.故选C.
专题突破❷　函数性质的综合应用微专题1 函数的单调性与奇偶性例 1 (1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－lg2 5.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a解析：易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，因为奇函数f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0.所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又3>lg25.1>2>20.8，且a＝g(－lg25.1)＝g(lg25.1)，所以g(3)>g(lg25.1)>g(20.8)，即c>a>b.故选C.
题后师说(1)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用单调性比较大小．(2)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
(2)已知f(x)是定义在R上的函数，f(2x＋1)为偶函数且f(4x＋2)为奇函数，则下列选项正确的是(　　)A．函数f(x)的周期为2B．函数f(x)的周期为3C．f(2 024)＝0D．f(2 023)＝0
解析：因为f(2x＋1)为偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以f(x)＝f(－x＋2)，因为f(4x＋2)为奇函数，所以f(4x＋2)＝－f(－4x＋2)，所以f(x＋2)＝－f(－x＋2)，所以f(x)＝－f(x＋2)，所以f(x＋2)＝－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)的周期为4，故A、B不正确；又f(0＋2)＝－f(0＋2)，即f(2)＝0，所以f(0)＝f(2)＝0，所以f(2 024)＝f(506×4)＝f(0)＝0，故C正确；f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)的值不确定，故D不正确．故选C.
题后师说周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
微专题3 函数的奇偶性、周期性与对称性的结合例 3 [2023·黑龙江哈尔滨六中模拟](多选)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，若函数y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，若f(－2)＝0，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)是偶函数B．f(2 022)＝0C．f(x)的图象关于点(1，0)对称D．f(－2)>f(－1)
解析：对于选项A：由函数f(x－1)的图象关于x＝1对称，根据函数的图象变换，可得函数f(x)的图象关于x＝0对称，所以函数f(x)为偶函数，所以A正确；对于选项B：由函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，因为f(－2)＝0，可得f(2)＝0，则f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝0，所以B正确；又因为函数f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)＝－f(－x)，可得f(x＋2)＋f(－x)＝0，所以函数f(x)关于点(1，0)成中心对称，所以C正确；所以f(－1)＝f(1)＝0，所以f(－2)＝f(－1)，所以D错误．故选ABC.
题后师说函数的奇偶性与对称性之间的转化是解决此类问题的关键，同时牢记图象平移的规律． 
题后师说周期性、奇偶性与单调性结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
解析：因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其它三个选项未知．故选B.
4．[2022·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
解析：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)，故f(－x)＝－x3(a·2－x－2x)，因为f(x)为偶函数，故f(－x)＝f(x)，所以x3(a·2x－2－x)＝－x3(a·2－x－2x)，整理得到(a－1)(2x＋2－x)＝0，故a＝1.