内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（理）

赤峰四中2022-2023学年第二学期月考试题

高二数学（理科）

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1.随机变量，若，则（    ）

A.0.4    B.0.2    C.0.1    D.0.6

2.设函数在上存在导函数的图象在点处的切线方程为，那么（    ）

A.1    B.2    C.3    D.4

3.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用列联表进行独立性检验.经计算，则所得到的统计学结论是：有（    ）的把握认为“学生性别与支持该活动有系”.

A.    B.    C.    D.

4.为了开展精神文明创建活动，社区决定安排5名工作人员到3个小区进行宣传指导，每个小区至少分配1名工作人员，则不同分配方案共（    ）种

A.150    B.240    C.300    D.720

5.投掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为偶数两次的点数之和为6，则（    ）

A.    B.    C.    D.

6.田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛.在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8（每次试跳之间互不影响），则本次比赛他获得冠军的概率是（    ）

A.0.832    B.    C.0.960    D.0.992

7.若，则（    ）

A.-2    B.-1    C.0    D.2

8.五个人站成一排，和分别站在的两边（可以与相邻，也可以与不相邻）的不同站法共有（    ）

A.12种    B.16种    C.28种    D.40种

9.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

10.某日，甲､乙､丙三个单位被系统随机预约到三家医院接种疫苗，每家医院每日至多接待两个单位.已知医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

11.已知，若成立，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

12.下列命题中不正确的为（    ）

①随机变量服从二项分布，若，则；

②将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后，则方差也随之扩大为2倍；

③随机变量服从正态分布，若，则；

④某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大.

A.②    B.②③    C.②④    D.②③

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.甲､乙､丙､丁､戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有__________种

14.在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于__________.

15.某份资料显示，人群中患肺癌的概率约为，在人群中有是吸烟者，他们患肺㾔的概率约为，则不吸烟者中患肺癌的概率是__________.

16.已知，，使得成立，则实数的取值范围是__________.

三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）随着生活水平不断的提高，人们越来越注重养生.科学健身有利于降低脂肪含量，健身器材成为人们新宠.某小区物业决定选购一款健身器材，物业管理员从该品牌的销售网站了解到近五个月实际销量如表：

（1）求出销量关于月份编号的线性回归方程，并预测该年12月份该品牌器材销量；

（2）该品牌销售商为了促销采取“摸球定价格”的优惠方式，其规则为：盒子有编号为的三个完全相同的小球，有放回的摸三次，三次摸的是相同编号的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同编号的享受八折优惠，其余的均九折优惠.已知此款器材一台标价为10000元，设物业公司购买此健身器材的价格为，求的分布列与期望.

附：参考公式与数据：对于线性回归方程，其中

18.（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为的中点，.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19.（12分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一·种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.

（1）根据频率分布直方图，估计这100位年经人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）

（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；

（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构乎用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组和的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于）的人数的分布列和数学期望.

附参考数据：若，则①；②③

20.（12分）足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为2：0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.

（1）已知小明在点球训练中射进点球的概率是.在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记为射进点球的次数，求的分布列及数学期望.

（2）现有甲､乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为，乙队每名球员射进点球的概率为.每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率.

21.（12分）已知椭圆的离心率为，其左､右焦点分别为为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点为椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.

22.（12分）已知函数.

（1）若曲线在点处的切线的斜率为4，求的值；

（2）当时，求的单调区间；

（2）已知的导函数在区间上存在零点.求证：当时，.

答案

1-6BCCACD    7-12BDBDBA

13.24    14.112    15.0.00025    16.

17.解：（1）依题意，

故销量关于月份编号的线性回归方程为

令.预测12月份销量为2万台.

（2）有放回的摸球，每次摸到某个号的概率为，

则三次摸的是相同编号的概率为，

仅有两次相同编号的概率为.

公司购买此健身器材的价格的取值为7000元，8000元，9000元其分布列为

故（元）.

18.（1）在中，，由余弦定理可得，

所以.

由题意且平面，而平面，

所以，又，所以.

（2）由，而与相交，所以平面，

因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系，

则

又为中点，所.

由（1）得平面，所以平面的一个法向量

从而直线与平面所成角的正弦值为.

19.解：（1）估计频率分布直方图可得，

（2）由题意可知，，

所以；

（3）由于和的频率之比为，

故抽取的10人中和的人数分别为人，

所以随机变量的可能取值为，

所以，

所以的分布列为：

则.

20.解：（1）由题意可得，所有可能的取值为，

，

故的分布列为：

故.

（2）记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件，

由题意可知，在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，甲乙两队进球数之

比为：“甲乙：3：0”记为事件，或：“甲VS乙：3：1”记为事件，

则，且与互斥，

，，

故

21.（1）解：因为椭圆的离心率为，所以.

又当位于上顶点或者下顶点时，面积最大，即.

又，即，所以.

所以椭圆的标准方程为.

（2）证明：由题知，直线的斜率存在，

所以设直线的方程为，设，

将直线代入椭圆的方程得：，

由韦达定理得：，

直线的方程为，直线的方程为，

所以，所以以为直径的圆为，

整理得：①

因为

，

令（1）中的，可得，所以，以为直径的圆过定点.

22.解（1）.

（2）由（1）得，

①当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.

②当时，，所以函数的单调递增区间为，

③当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.

（3）因为导函数在区间上存在零点，则，

由（2）可知在上单调递减，在单调递增，

所以在上的最小值为，

设，

因为，所以，在上单调递减，

所以，所以在上单调递减，

又因为，所以，，即，

所以当时，.