新高考数学一轮复习讲义 第5章 §5.2　平面向量基本定理及坐标表示

这是一份新高考数学一轮复习讲义 第5章 §5.2　平面向量基本定理及坐标表示，共19页。试卷主要包含了揣摩例题，精练习题，加强审题的规范性，重视错题等内容，欢迎下载使用。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
考试要求 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识梳理
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
常用结论
已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．( × )
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( × )
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ )
教材改编题
1．(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2,3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
答案 BD
2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为( )
A．(2,2) B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
答案 A
解析 设P(x，y)，由题意知eq \(P1P,\s\up6(—→))＝eq \f(1,3)eq \(P1P2,\s\up6(—→))，
∴(x－1，y－3)＝eq \f(1,3)(4－1,0－3)＝(1，－1)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝1，,y－3＝－1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2.))
3．已知向量a＝(x,1)，b＝(2，x－1)，若(2a－b)∥a，则x为________．
答案 2或－1
解析 2a－b＝(2x－2,3－x)，
∵(2a－b)∥a，
∴2x－2＝x(3－x)，
即x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
答案 A
(2)如图，已知平面内有三个向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，其中eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______.
答案 6
解析 方法一 如图，作平行四边形OB1CA1，
则eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB1,\s\up6(—→))＋eq \(OA1,\s\up6(—→))，
因为eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，
所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，
所以|eq \(OB1,\s\up6(—→))|＝2，|eq \(B1C,\s\up6(—→))|＝4，
所以|eq \(OA1,\s\up6(—→))|＝|eq \(B1C,\s\up6(—→))|＝4，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝4eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))，
所以λ＝4，μ＝2，
所以λ＋μ＝6.
方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(3，eq \r(3))．
由eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝λ－\f(1,2)μ，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝4，,μ＝2.))
所以λ＋μ＝6.
教师备选
1.(2022·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A．a＋b B.eq \f(1,2)a＋b
C．a＋eq \f(1,2)b D．a＋eq \f(2,3)b
答案 C
解析 设圆的半径为r，
在Rt△ABC中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AC＝2AB，
所以∠BAC＝eq \f(π,3)，∠ACB＝eq \f(π,6)，
又∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，
所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝eq \f(π,6)，
则根据圆的性质得BD＝AB，
又因为在Rt△ABC中，AB＝eq \f(1,2)AC＝r＝OD，
所以四边形ABDO为菱形，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b.
2.(2022·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若eq \(CG,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))＋μeq \(CB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 由题图可设eq \(CG,\s\up6(→))＝xeq \(CE,\s\up6(→))(0则eq \(CG,\s\up6(→))＝x(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(CD,\s\up6(→))))
＝eq \f(x,2)eq \(CD,\s\up6(→))＋xeq \(CB,\s\up6(→)).
因为eq \(CG,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))＋μeq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))不共线，
所以λ＝eq \f(x,2)，μ＝x，所以eq \f(λ,μ)＝eq \f(1,2).
思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
跟踪训练1 (1)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq \(DE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )
A.eq \f(5,8) B.eq \f(1,4)
C．1 D.eq \f(5,16)
答案 A
解析 eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DO,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(DB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以λ＝eq \f(1,4)，μ＝－eq \f(3,4)，故λ2＋μ2＝eq \f(5,8).
(2)如图，以向量eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b为邻边作平行四边形OADB，eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up6(→))，则eq \(MN,\s\up6(→))＝________.(用a，b表示)
答案 eq \f(1,2)a－eq \f(1,6)b
解析 ∵eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝a－b，
eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)a－eq \f(1,6)b，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)a－\f(1,6)b))
＝eq \f(1,6)a＋eq \f(5,6)b.
∵eq \(OD,\s\up6(→))＝a＋b，
∴eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(OD,\s\up6(→))
＝eq \f(2,3)eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b.
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b－eq \f(1,6)a－eq \f(5,6)b
＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,6)b.
题型二 平面向量的坐标运算
例2 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,3)，\f(8,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,3)，\f(4,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))
答案 D
解析 ∵a－2b＋3c＝0，
∴c＝－eq \f(1,3)(a－2b)．
∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，
∴c＝－eq \f(1,3)(a－2b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).
(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CE,\s\up6(→))＋μeq \(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A.eq \f(6,5) B.eq \f(8,5) C．2 D.eq \f(8,3)
答案 B
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
则D(0,0)．
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，
∴eq \(CA,\s\up6(→))＝(－2,2)，eq \(CE,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(1,2)，
∵eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CE,\s\up6(→))＋μeq \(DB,\s\up6(→))，
∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))
故λ＋μ＝eq \f(8,5).
教师备选
已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，则顶点D的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)))
C．(3,2) D．(1,3)
答案 A
解析 设D(x，y)，
则eq \(AD,\s\up6(→))＝(x，y－2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(4,3)，
又eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝2x，,3＝2y－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝\f(7,2).))
所以顶点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7,2))).
思维升华 向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体．
跟踪训练2 (1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 D
解析 以向量a和b的交点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
∴a＝eq \(AO,\s\up6(→))＝(－1,1)，b＝eq \(OB,\s\up6(→))＝(6,2)，
c＝eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3)，
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－2，,μ＝－\f(1,2)，))
∴eq \f(λ,μ)＝eq \f(－2,－\f(1,2))＝4.
(2)在△ABC中，点P在BC上，且eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，点Q是AC的中点，若eq \(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq \(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，则eq \(AQ,\s\up6(→))＝________，eq \(BC,\s\up6(→))＝________.
答案 (－3,2) (－6,21)
解析 eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))＝(1,5)－(4,3)
＝(－3,2)，
eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(AQ,\s\up6(→))＝(4,3)＋2(－3,2)＝(－2,7)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(PC,\s\up6(→))＝3(－2,7)＝(－6,21)．
题型三 向量共线的坐标表示
例3 (1)已知a＝(1,2＋sin x)，b＝(2，cs x)，c＝(－1,2)，若(a－b)∥c，则锐角x等于( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
答案 C
(2)已知在平面直角坐标系Oxy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量eq \(OP3,\s\up6(—→))与向量a＝(1，－1)共线，若eq \(OP3,\s\up6(—→))＝λeq \(OP1,\s\up6(—→))＋(1－λ)eq \(OP2,\s\up6(—→))，则λ等于( )
A．－3 B．3
C．1 D．－1
答案 D
解析 设eq \(OP3,\s\up6(—→))＝(x，y)，
则由eq \(OP3,\s\up6(—→))∥a知x＋y＝0，
所以eq \(OP3,\s\up6(—→))＝(x，－x)．
若eq \(OP3,\s\up6(—→))＝λeq \(OP1,\s\up6(—→))＋(1－λ)eq \(OP2,\s\up6(—→))，
则(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)·(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4λ－1＝x，,3－2λ＝－x，))
所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.
教师备选
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 由题意得2a＋b＝(4,2)，
因为c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，
所以4λ－2＝0，解得λ＝eq \f(1,2).
2．已知O为坐标原点，点A(6,3)，若点P在直线OA上，且|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(PA,\s\up6(→))|，P是OB的中点，则点B的坐标为________________________．
答案 (4,2)或(－12，－6)
解析 ∵点P在直线OA上，
∴eq \(OP,\s\up6(→))∥eq \(PA,\s\up6(→))，
又∵|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(PA,\s\up6(→))|，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝±eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(→))，
设点P(m，n)，
则eq \(OP,\s\up6(→))＝(m，n)，eq \(PA,\s\up6(→))＝(6－m,3－n)．
①若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(→))，
则(m，n)＝eq \f(1,2)(6－m,3－n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,2)6－m，,n＝\f(1,2)3－n，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝1，))
∴P(2,1)，
∵P是OB的中点，∴B(4,2)．
②若eq \(OP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(→))，
则(m，n)＝－eq \f(1,2)(6－m,3－n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,2)6－m，,n＝－\f(1,2)3－n，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－6，,n＝－3，))
∴P(－6，－3)，
∵P是OB的中点，
∴B(－12，－6)．
综上所述，点B的坐标为(4,2)或(－12，－6)．
思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
跟踪训练3 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq \r(5)，求d的坐标．
解 (1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，
2b－a＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－eq \f(16,13).
(2)设d＝(x，y)，
则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝eq \r(5)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝5，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝3.))
∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．
课时精练
1．(2022·泉州模拟)若向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(4,7)，则eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10) D．(－6，－10)
答案 B
2．(2022·TOP300尖子生联考)已知A(－1,2)，B(2，－1)，若点C满足eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝0，则点C的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2))) B．(－3,3)
C．(3，－3) D．(－4,5)
答案 D
3．下列向量组中，能表示它们所在平面内所有向量的一个基底是( )
A．a＝(1,2)，b＝(0,0)
B．a＝(1，－2)，b＝(3,5)
C．a＝(3,2)，b＝(9,6)
D．a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(1,2)))，b＝(3，－2)
答案 B
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(a，b)，n＝(cs B，cs A)，则“m∥n”是“△ABC是等腰三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 D
解析 由m∥n，
得bcs B－acs A＝0，
即sin Bcs B＝sin Acs A，
所以sin 2B＝sin 2A，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形；
反之，△ABC是等腰三角形，若a＝c≠b，
则不能得到m∥n，
所以“m∥n”是“△ABC是等腰三角形”的既不充分也不必要条件．
5．(多选)(2022·聊城一中模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则下列结论正确的是( )
A.eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋b B.eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋b
C.eq \(BM,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b D.eq \(EF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)a＋b
答案 ABD
解析 eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋b，
故A正确；
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)a＋b，故B正确；
eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b，
故C错误；
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)a＋b，故D正确．
6．(多选)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B.eq \f(1,2) C．1 D．－1
答案 ABD
解析 各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝
(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形．
7．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，若点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
答案 (2,4)
解析 ∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，
AB∥CD，
∴eq \(DC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，
设点D的坐标为(x，y)，则
eq \(DC,\s\up6(→))＝(4－x,2－y)，又eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x＝2，,2－y＝－2，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))
∴点D的坐标为(2,4)．
8．(2022·开封模拟)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)．若(2m＋n)∥(m－2n)，则λ＝________.
答案 0
解析 由题意得，
2m＋n＝(3λ＋4,4)，
m－2n＝(－λ－3，－3)，
∵(2m＋n)∥(m－2n)，
∴－3(3λ＋4)－4(－λ－3)＝0，
解得λ＝0.
9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(CA,\s\up6(→))＝c，且eq \(CM,\s\up6(→))＝3c，eq \(CN,\s\up6(→))＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐标．
解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)方法一 ∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
方法二 ∵a＋b＋c＝0，
∴a＝－b－c，
又a＝mb＋nc，
∴mb＋nc＝－b－c，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
(3)设O为坐标原点，∵eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝3c，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)
＝(0,20)．
∴M(0,20)．
又∵eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝－2b，
∴eq \(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．
10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解 (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，解得k＝－eq \f(1,2).
(2)方法一 ∵A，B，C三点共线，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq \f(3,2).
方法二 eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，
∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝eq \f(3,2).
11．(2022·金华模拟)已知△ABC的三边分别是a，b，c，设向量m＝(sin B－sin A，eq \r(3)a＋c)，n＝(sin C，a＋b)，且m∥n，则B的大小是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(5π,6)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
答案 B
解析 因为m∥n，
所以(a＋b)(sin B－sin A)＝sin C(eq \r(3)a＋c)．
由正弦定理得(a＋b)(b－a)＝c(eq \r(3)a＋c)，
整理得a2＋c2－b2＝－eq \r(3)ac，
由余弦定理得
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(－\r(3)ac,2ac)＝－eq \f(\r(3),2).
又012．(多选)如图，B是AC的中点，eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(OB,\s\up6(→))，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，则下列结论中正确的是( )
A．当x＝0时，y∈[2,3]
B．当P是线段CE的中点时，x＝－eq \f(1,2)，y＝eq \f(5,2)
C．若x＋y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．当P在C点时，x＝1，y＝2
答案 BC
解析 当eq \(OP,\s\up6(→))＝yeq \(OB,\s\up6(→))时，点P在线段BE上，故1≤y≤3，故A中结论错误；
当P是线段CE的中点时，
eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(EP,\s\up6(→))＝3eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))
＝3eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(－2eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))
＝3eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(－2eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(5,2)eq \(OB,\s\up6(→))，故B中结论正确；
当x＋y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，故P的轨迹是一条线段，故C中结论正确；
因为eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→)))，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))，
则eq \(OP,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))，
所以x＝－1，y＝2，D错误．
13．已知|eq \(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，点C在∠AOB内，且eq \(OC,\s\up6(→))与eq \(OA,\s\up6(→))的夹角为30°，设eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，则eq \f(m,n)的值为______．
答案 3
解析 ∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3))，
eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))＝(m，eq \r(3)n)．
∵tan 30°＝eq \f(\r(3)n,m)＝eq \f(\r(3),3)，
∴m＝3n，即eq \f(m,n)＝3.
14．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).则△ABM与△ABC的面积之比为________；若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设eq \(BO,\s\up6(→))＝xeq \(BM,\s\up6(→))＋yeq \(BN,\s\up6(→))，则x＋y＝________.
答案 1∶4 eq \f(10,7)
解析 由eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
可知点M，B，C三点共线，
令eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))(λ∈R)，
则eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λ(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))，
所以λ＝eq \f(1,4)，即点M在边BC上，如图所示，
所以eq \f(S△ABM,S△ABC)＝eq \f(BM,BC)＝eq \f(1,4).
由eq \(BO,\s\up6(→))＝xeq \(BM,\s\up6(→))＋yeq \(BN,\s\up6(→))，
得eq \(BO,\s\up6(→))＝xeq \(BM,\s\up6(→))＋eq \f(y,2)eq \(BA,\s\up6(→))，
eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \f(x,4)eq \(BC,\s\up6(→))＋yeq \(BN,\s\up6(→))，
由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,2)＝1，,\f(x,4)＋y＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,7)，,y＝\f(6,7)，))
所以x＋y＝eq \f(10,7).
15．若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a在基底{m＝
(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐标为______．
答案 (0,2)
解析 因为a在基底{p，q}下的坐标为(－2,2)，
所以a＝－2p＋2q＝(2,4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2，))
所以a在基底{m，n}下的坐标为(0,2)．
16．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设eq \(PG,\s\up6(→))＝λeq \(PQ,\s\up6(→))，将eq \(OG,\s\up6(→))用λ，eq \(OP,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))表示；
(2)设eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝yeq \(OB,\s\up6(→))，求证：eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)是定值．
(1)解 eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(PG,\s\up6(→))
＝eq \(OP,\s\up6(→))＋λeq \(PQ,\s\up6(→))
＝eq \(OP,\s\up6(→))＋λ(eq \(OQ,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))
＝(1－λ)eq \(OP,\s\up6(→))＋λeq \(OQ,\s\up6(→)).
(2)证明 由(1)得eq \(OG,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(OP,\s\up6(→))＋λeq \(OQ,\s\up6(→))
＝(1－λ)xeq \(OA,\s\up6(→))＋λyeq \(OB,\s\up6(→))，
因为G是△OAB的重心，
所以eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→)).
又eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))不共线，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－λx＝\f(1,3)，,λy＝\f(1,3)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＝3－3λ，,\f(1,y)＝3λ.))
所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝3，即eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)为定值．