新高考数学一轮复习讲义 第2章 §2.1　函数的概念及其表示

这是一份新高考数学一轮复习讲义 第2章 §2.1　函数的概念及其表示，共14页。试卷主要包含了揣摩例题，精练习题，加强审题的规范性，重视错题等内容，欢迎下载使用。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§2.1 函数的概念及其表示
考试要求 1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × )
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．( × )
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．( × )
(4)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥0，,x2，x＜0))的定义域为R.( √ )
教材改编题
1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是( )
答案 C
2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝eq \f(x2－1,x＋1)
C．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x<0))
D．f(x)＝eq \r(－x3)，g(x)＝xeq \r(－x)
答案 AC
3．(2022·长沙质检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x，x≤0，,lg3x，x>0，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))等于( )
A．－1 B．2 C.eq \r(3) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg3eq \f(1,2)<0，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝＝eq \f(1,2).
题型一 函数的定义域
例1 (1)(2022·武汉模拟)函数f(x)＝eq \f(1,lnx＋1)＋eq \r(4－x2)的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
答案 B
解析 要使函数有意义，
则需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x＋1≠1，,4－x2≥0，))
解得－1所以x∈(－1,0)∪(0,2]．
所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．
(2)若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x－1)的定义域为________．
答案 [1,3]
解析 ∵f(x)的定义域为[0,2]，
∴0≤x－1≤2，即1≤x≤3，
∴函数f(x－1)的定义域为[1,3]．
延伸探究 将本例(2)改成“若函数f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f(x－1)的定义域为________．
答案 [2,4]
解析 ∵f(x＋1)的定义域为[0,2]，
∴0≤x≤2，
∴1≤x＋1≤3，
∴1≤x－1≤3，
∴2≤x≤4，
∴f(x－1)的定义域为[2,4]．
教师备选
1．(2022·西北师大附中月考)函数y＝lg(x2－4)＋eq \r(x2＋6x)的定义域是( )
A．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
答案 B
解析 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4>0，,x2＋6x≥0，))
解得x>2或x≤－6.
因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)．
2．已知函数f(x)＝eq \f(x,\r(1－2x))，则函数eq \f(fx－1,x＋1)的定义域为( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)
答案 D
解析 令1－2x>0，
即2x<1，即x<0.
∴f(x)的定义域为(－∞，0)．
∴函数eq \f(fx－1,x＋1)中，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1<0，,x＋1≠0，))解得x<1且x≠－1.
故函数eq \f(fx－1,x＋1)的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．
思维升华 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求复合函数的定义域
①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝eq \f(1,\r(1－4x2))＋ln(3x－1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
答案 B
解析 要使函数f(x)＝eq \f(1,\r(1－4x2))＋ln(3x－1)有意义，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－4x2>0，,3x－1>0))⇒eq \f(1,3)∴函数f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))).
(2)已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋eq \r(1－2x)的定义域为__________．
答案 [－1,0]
解析 由条件可知，函数的定义域需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤2x≤2，,1－2x≥0，))
解得－1≤x≤0，
所以函数g(x)的定义域是[－1,0]．
题型二 函数的解析式
例2 (1)(2022·哈尔滨三中月考)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋1))＝lg x，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝lg eq \f(2,x－1)(x>1)
解析 令eq \f(2,x)＋1＝t(t>1)，
则x＝eq \f(2,t－1)，
所以f(t)＝lg eq \f(2,t－1)(t>1)，
所以f(x)＝lg eq \f(2,x－1)(x>1)．
(2)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________.
答案 x2＋2x＋1
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，
则a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c，
又f(x)＝0，
即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根．
∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)已知函数对任意的x都有f(x)－2f(－x)＝2x，则f(x)＝________.
答案 eq \f(2,3)x
解析 ∵f(x)－2f(－x)＝2x，①
∴f(－x)－2f(x)＝－2x，②
由①②得f(x)＝eq \f(2,3)x.
教师备选
已知f(x)满足f(x)－2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝2x，则f(x)＝________.
答案 －eq \f(2x,3)－eq \f(4,3x)
解析 ∵f(x)－2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝2x，①
以eq \f(1,x)代替①中的x，得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))－2f(x)＝eq \f(2,x)，②
①＋②×2得－3f(x)＝2x＋eq \f(4,x)，
∴f(x)＝－eq \f(2x,3)－eq \f(4,3x).
思维升华 函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
跟踪训练2 (1)已知f(1－sin x)＝cs2x，则f(x)＝________.
答案 －x2＋2x，x∈[0,2]
解析 令t＝1－sin x，
∴t∈[0,2]，sin x＝1－t，
∴f(t)＝1－sin2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，t∈[0,2]，
∴f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]．
(2)(2022·黄冈质检)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋eq \f(1,x4)，则f(x)＝__________.
答案 x2－2，x∈[2，＋∞)
解析 ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))2－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)．
题型三 分段函数
例3 (1)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs πx，x≤1，,fx－1＋1，x>1，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))的值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．－1 D．1
答案 D
解析 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)－1))＋1＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋1
＝cs eq \f(π,3)＋1＝eq \f(3,2)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))
＝cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝1.
(2)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3，x>0，,x2－4，x≤0，))若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是__________．
答案 1或－3 [－eq \r(5)，－1]
解析 ①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；
当a≤0时，a2－4＝5，
解得a＝－3或a＝3(舍)．
综上，a＝1或－3.
②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.
由－3≤f(a)≤1，解得－eq \r(5)≤a≤－1.
教师备选
1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,6)))，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x<1，))则f(f(2 022))等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(2)
答案 B
解析 f(2 022)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 022π＋\f(π,6)))＝sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，
∴f(f(2 022))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝＝eq \f(\r(2),2).
2．(2022·百校联盟联考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3，x≥0，,－x2，x<0，))若对于任意的x∈R，|f(x)|≥ax，则a＝________.
答案 0
解析 当x≥0时，|f(x)|＝x3≥ax，即x(x2－a)≥0恒成立，则有a≤0；
当x<0时，|f(x)|＝x2≥ax，即a≥x恒成立，
则有a≥0，所以a＝0.
思维升华 分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
跟踪训练3 (1)(2022·河北冀州一中模拟)设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,x2＋1，x<1.))则f(f(－1))＝________，f(x)的最小值是________．
答案 0 2eq \r(2)－3
解析 ∵f(－1)＝2，
∴f(f(－1))＝f(2)＝2＋eq \f(2,2)－3＝0，
当x≥1时，f(x)＝x＋eq \f(2,x)－3≥2eq \r(2)－3，
当且仅当x＝eq \r(2)时取等号，f(x)min＝2eq \r(2)－3，
当x<1时，f(x)＝x2＋1≥1，x＝0时取等号，
∴f(x)min＝1，综上有f(x)的最小值为2eq \r(2)－3.
(2)(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>1，,x2－1，x≤1，))则f(x)答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
解析 当x≤0时，x＋1≤1，f(x)等价于x2－1<(x＋1)2－1，
解得－eq \f(1,2)当01，
此时f(x)＝x2－1≤0，
f(x＋1)＝lg2(x＋1)>0，
∴当0当x>1时，f(x)综上知，不等式f(x)课时精练
1．(2022·重庆模拟)函数f(x)＝eq \f(\r(3－x),lg x)的定义域是( )
A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)
C．(0,3] D．(0,1)∪(1,3]
答案 D
解析 ∵f(x)＝eq \f(\r(3－x),lg x)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x≥0，,lg x≠0，,x>0，))
解得0故函数的定义域为(0,1)∪(1,3]．
2．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
答案 B
解析 A中函数定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0,2]．
3．(2022·安徽江淮十校联考)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－\f(1,2)，x<1，,ax，x≥1，))若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))))＝8，则a等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,4)
C．1 D．2
答案 D
解析 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))＝4×eq \f(7,8)－eq \f(1,2)＝3，
则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))))＝f(3)＝a3，
得a3＝8，解得a＝2.
4．设函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝x，则f(x)的表达式为( )
A.eq \f(1＋x,1－x)(x≠－1) B.eq \f(1＋x,x－1)(x≠－1)
C.eq \f(1－x,1＋x)(x≠－1) D.eq \f(2x,x＋1)(x≠－1)
答案 C
解析 令t＝eq \f(1－x,1＋x)，则x＝eq \f(1－t,1＋t)，
∴f(t)＝eq \f(1－t,1＋t)，即f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)(x≠－1)．
5．如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿A－B－C－M运动时，设点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
答案 A
解析 由题意可得
y＝f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x，0≤x＜1，,\f(3,4)－\f(x,4)，1≤x＜2，,\f(5,4)－\f(1,2)x，2≤x≤\f(5,2).))
画出函数f(x)的大致图象，故选A.
6．(多选)下列函数中，与y＝x是同一个函数的是( )
A．y＝eq \r(3,x3) B．y＝eq \r(x2)
C．y＝lg 10x D．y＝10lg x
答案 AC
解析 y＝x的定义域为x∈R，值域为y∈R，
对于A选项，函数y＝eq \r(3,x3)＝x的定义域为x∈R，故是同一函数；
对于B选项，函数y＝eq \r(x2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))≥0，与y＝x的解析式、值域均不同，故不是同一函数；
对于C选项，函数y＝lg 10x＝x，且定义域为R，故是同一函数；
对于D选项，y＝10lg x＝x的定义域为(0，＋∞)，与函数y＝x的定义域不相同，故不是同一函数．
7．(多选)(2022·张家界质检)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x，x≤a，,2x，x>a，))若f(1)＝2f(0)，则实数a可以为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 AB
解析 若a<0，
则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；
若0≤a<1，
则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；
若a≥1，
则f(0)＝1，f(1)＝0，f(1)＝2f(0)不成立．
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．
8．(多选)具有性质：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是( )
A．f(x)＝x－eq \f(1,x) B．f(x)＝ln eq \f(1－x,1＋x)
C．f(x)＝ D．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，01))
答案 AD
解析 对于A，f(x)＝x－eq \f(1,x)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)－x＝－f(x)，满足题意；
对于B，f(x)＝ln eq \f(1－x,1＋x)，
则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝ln eq \f(x－1,x＋1)≠－f(x)，不满足；
对于C，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝＝ex－1，
－f(x)＝≠f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))，不满足；
对于D，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，0<\f(1,x)<1，,0，\f(1,x)＝1，,－x，\f(1,x)>1，))
即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x>1，,0，x＝1，,－x，0则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)满足“倒负”变换，故选AD.
9．已知f(x5)＝lg x，则f(100)＝________.
答案 eq \f(2,5)
解析 令x5＝100，
则x＝＝，
∴f(100)＝＝eq \f(2,5).
10．函数f(x)＝ln(x－1)＋eq \r(4＋3x－x2)的定义域为________．
答案 (1,4]
解析 依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,4＋3x－x2≥0，))
解得1∴f(x)的定义域为(1,4]．
11．(2022·广州质检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2ax＋3a，x<1，,ln x，x≥1))的值域为R，则实数a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
解析 ∵当x≥1时，f(x)＝ln x≥ln 1＝0，
又f(x)的值域为R，
故当x<1时，f(x)的值域包含(－∞，0)．
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2a>0，,1－2a＋3a≥0，))
解得－1≤a12．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x<0，,1，x>0，))则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．
答案 [－2,0)∪(0,1]
解析 当x<0时，f(x)＝x，
代入xf(x)＋x≤2得x2＋x－2≤0，
解得－2≤x<0；
当x>0时，f(x)＝1，
代入xf(x)＋x≤2，解得0综上有－2≤x＜0或0＜x≤1.
13．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
答案 D
解析 当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.
作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1<0，,2x<0，,2x解得x<－1或－1≤x<0，即x<0.
14．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋λ，x<1λ∈R，,2x，x≥1，))若对任意的a∈R都有f(f(a))＝2f(a)成立，则λ的取值范围是______．
答案 [2，＋∞)
解析 当a≥1时，2a≥2.
∴f(f(a))＝f(2a)＝＝2f(a)恒成立．
当a<1时，
f(f(a))＝f(－a＋λ)＝2f(a)＝2λ－a，
∴λ－a≥1，即λ≥a＋1恒成立，
由题意λ≥(a＋1)max，∴λ≥2，
综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．
15．(多选)若函数f(x)满足：对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，有f(x1)＋f(x2)>2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))，则称函数f(x)具有H性质．则下列函数中具有H性质的是( )
A．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x
B．f(x)＝ln x
C．f(x)＝x2(x≥0)
D．f(x)＝tan xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤x<\f(π,2)))
答案 ACD
解析 若对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，有f(x1)＋f(x2)>2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))，则点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的中点在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))))的上方，如图eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中a＝f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))，b＝\f(fx1＋fx2,2))).根据函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，f(x)＝ln x，f(x)＝x2(x≥0)，f(x)＝tan xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤x<\f(π,2)))的图象可知，函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，
f(x)＝x2(x≥0)，f(x)＝tan xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤x<\f(π,2)))具有H性质，函数f(x)＝ln x不具有H性质．
16．设f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)＝eq \r(2)f(x)，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋a，－1答案 (eq \r(2)e，＋∞)
解析 因为f(x＋2)＝eq \r(2)f(x)，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋4))＝(eq \r(2))2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2eb，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋2))＝eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))
＝eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋a))＝eq \r(2)(a－1)，
因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，所以eq \r(2)(a－1)＝2eb，
所以a＝eq \r(2)eb＋1，
因为b为正实数，
所以eq \f(a,b)＝eq \f(\r(2)eb＋1,b)＝eq \r(2)e＋eq \f(1,b)∈(eq \r(2)e，＋∞)，
故eq \f(a,b)的取值范围为(eq \r(2)e，＋∞)．