2022-2023学年广东省广州市第十三中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市第十三中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．与向量平行，且经过点的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用点斜式求得直线方程.

【详解】依题意可知，所求直线的斜率为，

所以所求直线方程为，即.

故选：A

2．已知等边三角形的一个顶点在椭圆E上，另两个顶点位于E的两个焦点处，则E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件求得的关系式，从而求得椭圆的离心率.

【详解】依题意可知，

所以.

故选：B

3．如图，在平行六面体中，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．

【详解】

连接，可得，又，

所以．

故选：B.

4．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】比较大小，可先与常见的常数进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小

【详解】

则有：

故有：

故选：D

5．如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，的中点，，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.

【详解】

，

故选：D．

6．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】就直线与平行或过的中点可求直线的方程.

【详解】若过的直线与平行，因为，

故直线的方程为：即.

若过的直线过的中点，因为的中点为，此时，

故直线的方程为：即.

故选：D.

7．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】对选项逐一分析排除，由此得出正确选项.

【详解】对于A选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.对于B选项，双曲线的渐近线为，且过点，符合题意.对于C选项，双曲线的渐近线为，但不过点，不符合题意.对于D选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.综上所述，本小题选B.

【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线标准方程的求法，属于基础题.

8．P为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由椭圆的，，所以，可得动点Q的轨迹为以为圆心，为半径的圆，即可求得动点Q的轨迹方程.

【详解】由可得：，

因为，，

所以，

所以动点Q的轨迹为以为圆心，为半径的圆，

故动点Q的轨迹方程为.

故选：B.

【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法

（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；

（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；

（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；

（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；

（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.

二、多选题

9．已知函数的图象关于直线对称，则（    ）

A．函数为偶函数

B．函数在上单调递增

C．若，则的最小值为

D．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象

【答案】BC

【分析】根据函数的图象关于直线对称，由求得函数的解析式，再逐项判断.

【详解】因为函数的图象关于直线对称，

所以，即，

又因为，则，

所以，

A.函数为奇函数，故错误；

B. 因为，则，又 在上递增，所以函数在上单调递增，故正确；

C. 因为，则 分别为函数的最大值和最小值，则的最小值为，故正确；

D.将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，故错误；

故选：BC

10．下列说法正确的是（    ）

A．设是两个空间向量，则一定共面

B．设是三个空间向量，则一定不共面

C．设是两个空间向量，则

D．设是三个空间向量，则

【答案】AC

【分析】直接利用空间向量的定义、数量积的定义，空间向量的应用逐一判断A、B、C、D的结论即可．

【详解】对于A：因为是两个空间向量，则一定共面，故A正确；

对于B：因为是三个空间向量，则可能共面也可能不共面，故B错误；

对于C：因为是两个空间向量，则，故C正确；

对于D：因为是三个空间向量，则与向量共线，与向量共线，则D错误．

故选：AC．

11．已知双曲线C：，则（    ）

A．双曲线C与圆有3个公共点

B．双曲线C的离心率与椭圆的离心率的乘积为1

C．双曲线C与双曲线有相同的渐近线

D．双曲线C的一个焦点与抛物线的焦点相同

【答案】BCD

【分析】由圆锥曲线的几何性质直接可得.

【详解】解：作图可知A不正确；由已知得双曲线C中，，，，所以双曲线C的焦点为，顶点为，渐近线方程为，

离心率为，易知选项BCD正确．

故选：BCD

12．已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线、，切点为、，则下列结论正确的是（    ）

A．四边形面积的最小值为

B．四边形面积的最大值为

C．当最大时，

D．当最大时，直线的方程为

【答案】AD

【分析】分析可知当时，四边形面积最小，且最大，利用三角形的面积公式可判断AB选项，分析出四边形为正方形，利用正方形的几何性质可判断CD选项.

【详解】如下图所示：

由圆的几何性质可得，，

由切线长定理可得，又因为，，所以，，

所以，，

因为，当时，取最小值，

且，所以，四边形的面积的最小值为，A对；

因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，B错；

因为为锐角，，且，

故当最小时，最大，此时最大，此时，C错；

由上可知，当最大时，且，

故四边形为正方形，且有，则的方程为，

联立，可得，即点，

由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，此时直线的方程为，D对.

故选：AD.

三、填空题

13．命题“，”的否定为__________．

【答案】

【详解】根据全称命题的否定是特称命题可知，原命题的否定为“”

14．设向量，，，则实数________.

【答案】

【解析】利用向量数量积坐标计算公式直接求解.

【详解】因为，

所以，

解得.

故答案为：.

【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

15．若一个圆锥的侧面是半径为6的半圆围成，则这个圆锥的表面积为________.

【答案】

【分析】求出底面半径，代入公式即可.

【详解】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，

所以圆锥的母线长为，

设圆锥的底面半径为，则，所以，

所以圆锥的表面积为.

故答案为：.

16．一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.

【答案】

【分析】设动圆的圆心为，半径为R，根据动圆与圆外切，与圆内切，得到，两式相加得到，再根据椭圆的定义求解.

【详解】设动圆的圆心为，半径为R，

因为动圆与圆外切，与圆内切，

所以，

所以，

所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，

所以，

所以动圆圆心的轨迹方程为，

故答案为：

【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

四、解答题

17．已知圆D经过点A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.

(1)求圆D的标准方程；

(2)若直线l：与圆D交于M、N两点，求线段MN的长度.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设圆D的标准方程，利用待定系数法即可得出答案；

（2）利用圆的弦长公式即可得出答案.

【详解】（1）解：设圆D的标准方程，

由题意可得，解得，

所以圆D的标准方程为；

（2）解：由（1）可知圆心，半径，

所以圆心D（1，0）到直线l：的距离，

所以.

18．已知抛物线上的点M（5，m）到焦点F的距离为6.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程.

（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k，即可得直线l方程．

【详解】（1）由题设，抛物线准线方程为，

∴抛物线定义知：可得，故

（2）由题设，直线l的斜率存在且不为0，设

联立方程，得，

整理得，则.

又P是线段AB的中点，∴，即

故l

19．如图，平面平面，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求证：.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)过点分别作、的平行线，交点为、，利用平行关系和线段长度关系证明四边形为平行四边形，从而有，再利用线面平行的判定定理证明平面；(2)利用面面垂直的性质得到平面，从而，又由，得.

【详解】(1) 证明：过点作的平行线，交于点，连接.

过点作的平行线交于点，连接.

则四边形为平行四边形，有平行且等于.

因为，所以.

因为，所以，

故，所以，

又，所以四边形为平行四边形，有平行且等于，

所以平行且等于，四边形为平行四边形，有.

又平面，平面，所以平面.

(2)证明：因为，，所以.

因为平面与平面垂直，且交线为，又平面，

所以平面，又平面，所以.

又由(1)知，所以.

20．已知椭圆与椭圆具有共同的焦点，，点P在椭圆上，，______．在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．

①椭圆过点；②椭圆的短轴长为10；③椭圆的离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设椭圆C的方程为（），，由题意可得.

选①：可得即可求解椭圆方程；选②：可得即可求解椭圆方程；选③：可得即可求解椭圆方程；

（2）根据椭圆的定义，结合勾股定理可得，再求解面积即可.

【详解】（1）设椭圆C的方程为（），，则椭圆与椭圆具有共同的焦点，则．

选①，由已知可得，则，所以椭圆的方程为．

选②，由已知可得，则，所以椭圆的方程为．

选②，由已知可得，则，所以，椭圆的方程为．

（2）由椭圆的定义知，①

又因为，所以，②

由①②可得，解得，因此．

21．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，．

(1)求证：平面ACF；

(2)在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的正弦值为？若存在，求出线段PH的长度；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，的长为或，理由见解析.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.

（2）设，求出，根据与平面所成角的正弦值列方程，由此求得，进而求得的长.

【详解】（1）依题意，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，

底面ABCD为直角梯形，其中，，，，

以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

，，

设平面的法向量为，

则，故可设，

由于，

所以平面.

（2）存在，理由如下：

设，，

，

，

依题意与平面所成角的正弦值为，

即，

，解得或.

，即的长为或，使与平面所成角的正弦值为.

22．已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点P.

(1)求动点P的轨迹的方程；

(2)过点的动直线l交曲线C于A、B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；

(2)存在，T(0，1)﹒

【分析】(1)根据椭圆的定义，结合即可求P的轨迹方程；

(2)假设存在T(0，t)，设AB方程为，联立直线方程和椭圆方程，代入＝0即可求出定点T.

【详解】（1）由题可知，，

则，

由椭圆定义知P的轨迹是以F1、为焦点，且长轴长为的椭圆，

∴，∴，

∴P的轨迹方程为C：；

（2）假设存在T(0，t)满足题意，易得AB的斜率一定存在，否则不会存在T满足题意，设直线AB的方程为，

联立，化为，易知恒成立，

∴(*)

由题可知，

将(*)代入可得：

即

∴，解，

∴在y轴上存在定点T(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个点T.