2022-2023学年广东省广州市第九十七中学高二上学期期末数学试题（解析版）

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2022-2023学年广东省广州市第九十七中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1．等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得等差数列的公差，从而求得. 【详解】， 设等差数列的公差为，则， 所以. 故选：D 2．已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直列方程，求得，进而求得. 【详解】由于，所以， 所以. 故选：D 3．古代《九章算术》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有人分钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前人所得之和与后人所得之和相等，问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设第分到钱，由题意可得出关于、的方程组，解出的值即可. 【详解】设第分到钱，设数列的公差为， 由题意可得，所以，，解得. 故选：A. 4．已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系． 【详解】圆：的圆心为，半径， 圆：，即，圆心，半径， 两圆的圆心距，显然，即， 所以圆与圆相交. 故选：C 5．设是等比数列，且，，则（    ） A．12 B．24 C．30 D．32 【答案】D 【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则， ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题． 6．过点作圆的切线，则切线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设切线为，即，由与圆相切，得，即可解决. 【详解】由题知，圆，圆心为，半径为1， 因为在圆外， 所以设切线为，即， 因为与圆相切， 所以，解得或， 所以切线的方程为，或， 故选：C 7．已知直线：与直线：平行，则a的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．4或 【答案】B 【分析】根据给定条件列出关于a的等式，求解并验证即可作答. 【详解】因直线：与直线：平行， 则有，解得或， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：与直线：，即重合， 所以a的值是1. 故选：B 8．已知是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，根据向量的线性运算法则及数量积的定义可得，从而得到，根据得到，再根据椭圆的定义得到，在直角三角形中利用勾股定理得到，最后根据离心率公式计算可得； 【详解】解：设的中点为，则由，即 所以， 连接可得，所以， 因为，即，即 所以， 在中，， 即，又， 所以，所以，即 解得， 故选：A 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．过点且在x､y轴截距相等的直线方程为 B．直线在y轴上的截距为 C．直线的倾斜角为 D．过点且垂直于直线的直线方程为 【答案】BD 【分析】A选项忽略了过原点的情况，错误，B选项计算截距得到正确，直线斜率为时，倾斜角为，C错误，根据垂直关系计算直线方程得到D正确，得到答案. 【详解】过点且在x､y轴截距相等的直线方程为和，A错误； 取，，则直线在y轴上的截距为，B正确； 直线的斜率为，倾斜角为，C错误； 垂直于直线的直线方程斜率为，过点的直线方程为，即，D正确. 故选：BD. 10．已知无穷等差数列的前项和为，且，则（    ） A．在数列中，最大； B．在数列中，最大 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】由题得，即可解决. 【详解】由题知，无穷等差数列的前项和为，且， 所以， 所以等差数列为递减数列， 所以在数列中，最大；当时，； 故选：AD 11．已知空间中三点，，，则下列命题正确的是（    ） A．方向的单位向量是 B．与夹角的余弦值是 C．的面积为 D．若，则点到直线的距离为 【答案】BCD 【分析】根据单位向量、向量夹角、三角形面积、点线距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，所以方向的单位向量是，A选项错误. B选项，，设与夹角为， 则，B选项正确. C选项，由于，所以，则是锐角， 所以, 所以，C选项正确. D选项，，， 所以点到直线的距离为，D选项正确. 故选：BCD 12．如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B，C，D作答. 【详解】由椭圆和双曲线的定义得：，解得，，A正确； 在中，由余弦定理得：， 整理得，，即， 当时，，即，B正确； 当时，，， 当且仅当时取“=”，而，C不正确； 在椭圆中，，即， 在双曲线中，，即， 于是得，而，则，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明 常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a，c的关系. 三、填空题 13．双曲线的渐近线方程是___________. 【答案】 【分析】直接由双曲线的方程求解即可 【详解】因为双曲线方程为， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故答案为： 14．以点为直径的圆的一般式方程为______________． 【答案】 【分析】根据为直径，得到直径和圆心坐标，然后写方程即可. 【详解】因为，，所以，中点坐标为，所以以为直径的圆的标准方程为，展开得一般式方程为. 故答案为：. 15．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________． 【答案】 【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为， 又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为： 代入抛物线方程消去y并化简得， 解法一：解得    所以 解法二： 设，则, 过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示. 故答案为： 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题. 16．如图，二面角的大小为，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.若，则__________. 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算可得，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解. 【详解】根据题意，， 由二面角大小为，可得， ， 所以， 故答案为： 四、解答题 17．已知公差不为0的等差数列{an}满足a3＝9，a2是a1，a7的等比中项． （1）求{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足，求{bn}的前n项和Sn． 【答案】（1）an＝4n﹣3．（2）Sn． 【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），根据a3＝9，a2是a1，a7的等比中项．利用“ ”法求解. （2）由（1）知，再用裂项相消法求解. 【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0）， 则解得 d＝4或d＝0（舍去），a1＝1， ∴an＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3． （2）∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．已知圆，直线. (1)判断直线与圆的位置关系； (2)若直线与圆交于不同的两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)直线与圆相交； (2)直线的方程为或 【分析】（1）先求出直线l过的定点坐标，判断定点在圆内，则直线l必与圆相交； （2）由圆的半径和弦长求得圆心到直线l的距离，以此列方程求解m的值，即可求出直线l的方程. 【详解】（1）直线，整理得， 令，解得 即直线l过定点. 将P点坐标代入圆C方程得， 故P点在圆C内，直线与圆相交. （2）圆，整理得 即，. 因为， 所以圆心C到直线l的距离为. 又， 所以 故直线的方程为或. 19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，． （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【解析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，即证； （2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面的法向量，用向量的方法求二面角的余弦值． 【详解】（1）平面，平面，. 底面是矩形，，又， 平面，平面， . （2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示 则， ， 设平面的法向量，则 ，即，令，则，. 设直线与平面所成的角为，则 . 所以与平面所成角的正弦值为. （3）. 设平面的法向量，则 ，即，令，则.. 又平面的法向量. 设二面角的大小为，则为锐角， ， 所以二面角的余弦值为． 【点睛】本题考查线线垂直，考查用向量的方法求线面角和面面角，考查学生的运算能力，属于较难的题目. 20．如图，焦点为F的抛物线过点，且． Ⅰ求p的值； Ⅱ过点Q作两条直线，分别交抛物线于，两点，直线，分别交x轴于C，D两点，若，证明：为定值． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析. 【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义可得出p的值； （Ⅱ）先写出抛物线的方程，由条件∠QCD＝∠QDC，得出直线AQ和直线BQ的斜率之和为零，利用两点的斜率公式以及等式，可计算出y1+y2＝-4，进而证明结论成立． 【详解】Ⅰ抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，得； Ⅱ由Ⅰ可知，抛物线的方程为， 将点Q的坐标代入抛物线的方程得， ，得，所以，点Q的坐标为． ，所以，直线AQ和BQ的斜率互为相反数． 则． 所以，，因此，定值． 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的定义，同时考查抛物线性质的应用，考查计算能力，属于中等题． 21．已知数列中，且. （1）求，，并证明是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1），，证明见解析；（2）. 【解析】（1）在已知的数列递推公式中分别取，结合已知的首项即可求得的值，再把递推式两边同时减n即可证明是等比数列； （2）由是等比数列求出数列的通项公式，代入，分组后利用错位相减法求数列的前n项和. 【详解】（1）由已知 ，，， 即， 因为， 所以是以2为公比的等比数列. （2）由（1）得，即， 所以， 设，且前项和为， 所以，    ① ，        ② ①－②得， ， 所以， . 【点睛】该题主要考查的是等比数列的定义，数列的递推公式，错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 22．已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）由椭圆的定义求解 （2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理表示弦长，将面积转化为函数后求求解 【详解】（1）由题意可得， 所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：； （2）由题意可设的方程为， 联立方程得， 设，，则由根与系数关系有， 所以 ， 根据椭圆的对称性可得，与的距离即为点M到直线的距离，为， 所以四边形ABDE面积为，令得， 由对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE面积取得最大值为6．