中考几何模型压轴题 专题3《函数图象的公共点》

中考数学几何专项复习策略

在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：

策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。

策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊

　  总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。

策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。

几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。  

专题3《函数图象的公共点》

破解策略

根据公共点的个数，求待定系数的取值范围的一般步骤为：

（1）画图．

（2）确定待定系数所在位置，明确图象的变化趋势．

例如：

①直线y＝2x＋b．其中待定系数是b．则直线y＝2x＋b与直线y＝2x是平行或重合的；

②直线y＝kx－1，其中待定系数是k，则直线y＝kx－1是绕着固定点（0，－l）旋转的；

③抛物线y＝ax2＋5．其中待定系数是a，则该抛物线的顶点是固定的，开口大小和方向是变化的；

④抛物线y＝x2＋bx＋c，其中待定系数是b，c．则可将一般式化为顶点式，再将抛物线y＝x2 上下左右平移得到．

（3）找临界点，

例题讲解

例1  若二次函数y＝ x2－ x－1的图象与y轴的交点为A．过点A作直线l∥x轴．将抛物线在y轴左侧部分沿直线l翻折，其余部分保持不变．得到一个新图象，直线y＝x＋b与新图象只有一个公共点p（x0，y0），且y0≤7，求b的取值范围．

解：当直线y＝x＋b经过点（0，－1）时，得b＝－l，

当直线与原抛物线只有一个交点时，令x2－ x－1＝x＋b，

整理得x2－3x－3－3b＝0．

则△＝9＋4（3＋3b）＝0，即b＝－；

当x2－ x－1＝7时，解得x1＝6，x2＝－4（舍），

将（6，7）代入直线y＝x＋b，得b＝5．

结合函数图象，可得当－l＜b≤5或b＜时，直线与新图象只有一个公共点．

例2   若二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象与x轴交于A，B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折·其余部分保持不变，得到一个新图象．当直线y＝ kx＋3与新图象恰有三个公共点时，求k的值．

解：当直线y＝kx＋3经过点A（－1，0）时，得k＝3;

当直线y＝kx＋3经过点B（3，0）时，得k＝－1；

当直线与原抛物线只有一个公共点时，令kx＋3＝－x2＋2x＋3，则△＝（k－2）2＝0．即k＝2．

结合函数图象．可得当k＝ －1，2或3时，直线y＝kx＋3与新图象恰有三个公共点．

例3  已知抛物线L：y＝－（x－t）（x－t＋4）（常数t＞0）与双曲线y＝有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6．通过L位置随t变化的过程，求出t的取值范围．

解：如图，双曲线在4≤x0≤6时．1≤y0≤，所以L与双曲线在点C（4，）．D（6，1）之间的一段有个交点，圆为抛物线与x轴的两个交点为（t，0）．（t－4，0）（t－4＜t），所以（t，0）在（t－4，0）的右侧．

由＝－（x－t）（x－t＋4），x＝4．得t1＝5．t2＝7，

   由1＝－（x－t）（x－t＋4）．x＝6，得t3＝ 8－，t4＝8＋．

因为5＜8－＜7＜8＋，所以当t＝5时，L右侧过点C；

当t＝ 8－时，L右侧过点D；

当t＝7时．L左侧过点C；

当t ＝8＋时．L左侧过点D;

所以5≤t≤8－，或7≤t≤8＋

例4  定义：对于给定的两个函数，任取自变量．x的一个值．当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数，例如：一次函数y＝－x－1，它的相关函数为y＝

  在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（，1）．（，1）．连结MN．求线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象有两个公共点时，n的取值范围．

  解 由题意可得，二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数为：

①当相关函数的图象经过点（2，1）时，如图， 此时n＋4＝1．即n＝ －3;

②当相关函教的图形经过点（0，－1）时，如图，此时n＝ －1;

③当相关函数的图形经过点（0，1）时，如图，此时n ＝ 1；

④当相关函数的图形经过点（，1）时．如图， 此时（）2－4×（）－n＝1，解得n ＝．

结合函数图象，满足题意的n的取值范围为－3＜n≤－1或1＜n≤．

例5  在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且点B的距离都为2，若抛物线与线段BC有两个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．

解：因为抛物线y＝mx2－2mx＋2＝m（x－1）2＋2－m，所以抛物线的顶点为（1，2－m），对称轴为x＝1，点A（0，2），所以点B的坐标为（1，0），从而点C（－1，0），D（3，0）．

①若m＞0，如图1．

当顶点（1，2－m）位于x轴下方时，抛物线与CD有两个交点．

所以2－m＜0，即m＞2．

②若m＜0，如图2．

若抛物线经过点C，D，则m＋2m＋2＝0，即m＝－．

当m≤－时，抛物线与CD有两个交点．

综上所述，m的取值范围为m＞2或m≤－．

进阶训练

1．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x－3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x－3交于点C，如果抛物线y＝nx2－4nx＋5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．

【答案】≤n＜或n＝3．

【提示】如图，根据题意可得B（0，3），C（3，3），若抛物线经过点B，则n＝，此时抛物线与线段BC有一个公共点；若抛物线经过点C，则n＝，此时抛物线与线段BC有两个公共点；当抛物线顶点在直线l上，则n＝3，此时抛物线与线段BC有一个公共点，所以n的取值范围为≤n＜或n＝3．

2．在平面直角坐标系xOy中，点P在抛物线y＝x2―x―4上，过点P作y轴的垂线l，垂足为D（0，d），将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．当图象G与直线y＝x2―2只有两个公共点时，求d的取值范围．

【答案】 ＜d＜0．

【提示】令直线y＝与原抛物线的两交点为A，B，则直线l经过点A，B时为临界状态，再结合图象，即可得d的取值范围．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A （1，1），B（2，2），双曲线y＝与线段AB有公共点，则k的取值范围是________．

【答案】1≤k≤4．

【提示】如图，双曲线y＝经过点A，B时为满足题意的两种临界状态，当双曲线经过点A时，k＝1；当双曲线经过点B时，k＝4，所以满足题意的k的取值范围为1≤k≤4．