第4章测评卷

第4章测评

(时间:60分钟　满分:100分)

一、单项选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分。每个小题中只有一个选项是正确的)

1.下列说法不符合史实的是(　　)

A.第谷通过长期观察,建立了日心说

B.开普勒总结了行星运动的三大定律

C.卡文迪许测出了引力常量G

D.利用万有引力定律发现的海王星,被称为“笔尖下发现的行星”

解析哥白尼通过长期观察,提出“日心说”,故选项A不符合史实;开普勒总结了行星运动的三大定律,故选项B符合史实;卡文迪许测出了引力常量G,故选项C符合史实;海王星是人们依据万有引力定律计算而发现的,被称为“笔尖下发现的行星”,故选项D符合史实。

答案A

2.火箭在高空某处所受的引力为它在地面某处所受引力的一半,则火箭离地面的高度与地球半径之比为(　　)

A.(+1)∶1 B.(-1)∶1

C.∶1 D.1∶

解析设地球半径为R,火箭的轨道半径为(h+R),则

在地面上有F1=G,在某高空处有F2=G,

又F2=F1,解得h=(-1)R,所以h∶R=(-1)∶1,B正确。

答案B

3.地球绕太阳运行的半长轴比火星绕太阳运行的半长轴小,下列说法正确的是(　　)

A.在相等的时间内,地球与太阳的连线扫过的面积等于火星与太阳的连线扫过的面积

B.地球绕太阳运行的周期比火星绕太阳运行的周期大

C.地球绕太阳运行的角速度比火星绕太阳运行的角速度大

D.地球绕太阳运行的线速度比火星绕太阳运行的线速度小

解析地球和火星绕太阳的轨道不同,在相等的时间内,地球与太阳的连线扫过的面积并不等于火星与太阳的连线扫过的面积,选项A错误;根据开普勒第三定律,因为地球绕太阳运行的半长轴比火星绕太阳运行的半长轴小,所以地球绕太阳运行的周期比火星绕太阳运行的周期小,选项B错误;把椭圆轨道近似看成是圆轨道,根据ω=,地球绕太阳运行的半长轴比火星绕太阳运行的半长轴小,地球绕太阳运行的角速度比火星绕太阳运行的角速度大,选项C正确;把椭圆轨道近似看成是圆轨道,根据v=,地球绕太阳运行的半长轴比火星绕太阳运行的半长轴小,可以推出地球绕太阳运行的线速度比火星绕太阳运行的线速度大,选项D错误。

答案C

4.(2021全国甲卷)2021年2月,执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后,进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道,轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m,火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2,则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为(　　)

A.6×105 m B.6×106 m 

C.6×107 m D.6×108 m

解析探测器做椭圆运动,根据开普勒第三定律,=k,对同一中心天体k相同。由=mr和黄金代换GM=gR2,可求出=k,将k代入开普勒第三定律=k,求得a==3.3×107 m,“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离h远=2a-h近-2R=5.89×107 m,故选C。

答案C

5.我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了交会对接,对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比,组合体运行的(　　)

A.周期变大 B.速率变大

C.动能变大 D.向心加速度变大

解析根据题意,组合体的轨道半径与天宫二号相同,由=ma,得T=2π,v=,a=,组合体的周期、速率、向心加速度大小均与天宫二号相同,A、B、D错;组合体的质量大于天宫二号的质量,而速率相同,故动能变大,C正确。

答案C

6.我国500 m口径射电望远镜发现了毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms,假设星体为质量均匀分布的球体,已知引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)

A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3

C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3

解析设星体“赤道”表面上有一质量为m的物体,当其刚好不脱离星体时,星体的体积最大,密度最小,其所受万有引力提供物体随星体做匀速圆周运动的向心力,有G=mr,星体密度ρ=,解得ρ==5×1015 kg/m3,选项C正确。

答案C

7.如图所示,一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行,在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)

A.不论在轨道1还是在轨道2运行,卫星在P点的速度都相同

B.不论在轨道1还是在轨道2运行,卫星在P点的加速度都相同

C.卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度

D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同加速度

解析从轨道1变轨到轨道2,需要在P点加速,故A错误;根据公式G=ma可得a=,故只要半径相同,加速度大小都相同,由于卫星在轨道1做椭圆运动,运动半径在变化,所以运动的加速度在变,故B正确,C错误;卫星在轨道2做匀速圆周运动,加速度方向时刻在变,故D错误。

答案B

8.质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时,引力势能可表示为Ep=-,其中G为引力常量,M为地球质量。该卫星原来在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动,由于受到极稀薄空气的摩擦作用,飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2,此过程中因摩擦而产生的热量为(　　)

A.GMm 

B.GMm

C. 

D.

解析卫星做匀速圆周运动,有=m,变形得mv2=,即卫星的动能Ek=,结合题意,卫星的机械能E=Ek+Ep=-。题述过程中因摩擦产生的热量等于卫星损失的机械能,即Q=E1-E2=---=,选项C正确。

答案C

二、多项选择题(本题共4小题,每小题4分,共16分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)

9.科学家发现一颗迄今为止与地球最类似的太阳系外的行星,与地球的相似度为0.98,并且可能拥有大气层和流动的水,这颗名叫Kepler 452b的行星距离地球约1 400光年,公转周期约37年,它的半径大约是地球的1.6倍,重力加速度与地球相近。已知地球表面第一宇宙速度为7.9 km/s,则下列说法正确的是(　　)

A.飞船在Kepler 452b表面附近运行时的速度大于7.9 km/s

B.该行星的质量约为地球质量的1.6倍

C.该行星的平均密度约是地球平均密度的

D.在地球上发射航天器到达该星球,航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度

解析设Kepler 452b行星的半径为R,飞船的质量为m,第一宇宙速度为v,由万有引力定律得,mg=m,解得v=,则>1,故vK>7.9 km/s,选项A正确;设Kepler 452b行星的质量为M,由万有引力近似等于重力得,G=mg,解得M=,则=2.56,选项B错误;行星的密度ρ=,则,选项C错误;第三宇宙速度是卫星脱离太阳引力束缚的发射速度,由于该行星是太阳系以外的行星,因此发射航天器到达该星球,航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度,选项D正确。

答案AD

10.某宇宙飞船轨道示意图如图中椭圆Ⅱ所示,其中A、C分别是近日点和远日点,图中Ⅰ、Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道,B点为轨道Ⅱ、Ⅲ的交点,若运动中只考虑太阳的万有引力,则以下说法正确的是(　　)

A.宇宙飞船经过A点时的速率大于火星绕日的速率

B.宇宙飞船经过B点时的加速度大小等于火星经过B点时的加速度大小

C.宇宙飞船在C点的速率大于火星绕日的速率

D.宇宙飞船在C点的速率小于火星绕日的速率

解析由题意知,Ⅰ、Ⅲ轨道分别是地球、火星围绕太阳做匀速圆周运动的轨道,则有G=m,解得v=,因地球轨道半径小于火星的轨道半径,故地球的线速度大于火星的线速度,而宇宙飞船从Ⅰ轨道的A点至Ⅱ轨道的A点时要加速,即宇宙飞船经过A点时的速率大于地球的线速度,故宇宙飞船经过A点时的速率大于火星绕日的速率,故A正确;根据牛顿第二定律得G=ma,解得a=,在同一点离太阳的距离一样,故加速度大小相等,故B正确;根据开普勒第二定律可知,在C点和A点,宇宙飞船在相同时间内扫过相同的面积,故宇宙飞船在C点的速率小于其在A点的速率,故无法比较宇宙飞船在C点的速率与火星绕日的速率的大小关系,故C、D错误。

答案AB

11.万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重力,随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为m地,小物体质量为m,万有引力常量为G。将地球视为半径为R质量均匀分布的球体。下列选项中正确的是              (　　)

A.在赤道地面称量时,弹簧测力计读数为F1=G

B.在北极地面称量时,弹簧测力计读数为F0=G

C.在北极上空高出地面h处称量时,弹簧测力计读数为F2=G

D.在赤道上空高出地面h处称量时,弹簧测力计读数为F3=G

解析在赤道地面称量时,万有引力等于重力加上随地球一起自转所需要的向心力,则有F1<G,故A错误;北极地面物体不随地球自转,万有引力等于重力,则有F0=G,故B正确;在北极上空高出地面h处称量时,万有引力等于重力,则有F2=G,故C正确;在赤道上空高出地面h处称量时,万有引力和弹力的合力提供向心力,可知弹簧测力计读数F3<G,故D错误。

答案BC

12.如图所示,三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上,设地球质量为M、半径为R。下列说法正确的是(　　)

A.地球对一颗卫星的引力大小为

B.一颗卫星对地球的引力大小为

C.两颗卫星之间的引力大小为

D.三颗卫星对地球引力的合力大小为

解析地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离,选项A错误,B正确;两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角,间距为r,代入数据得,两颗卫星之间引力大小为,选项C正确;三颗卫星对地球引力的合力为零,选项D错误。

答案BC

三、非选择题(本题共6小题,共60分。按题目要求作答,计算题要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要注明单位)

13.(6分)若两颗人造地球卫星的周期之比为T1∶T2=2∶1,则它们的轨道半径之比R1∶R2=　　　　　　,向心加速度之比a1∶a2=　　　　　　　。 

解析由开普勒第三定律得∶1,向心加速度a=,所以=1∶。

答案∶1　1∶

14.(6分)在物理学中,常常用等效替代法、类比法、微小量放大法等来研究问题。如在牛顿发现万有引力定律一百多年后,卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了引力常量G的数值。卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量”的实验,因为由G的数值及其他已知量,就可计算出地球的质量,卡文迪许也因此被誉为“第一个称量地球的人”。如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图。

(1)若在某次实验中,卡文迪许测出质量分别为m1、m2且球心相距为r的两个小球之间引力的大小为F,则万有引力常量G=　　　; 

(2)若已知地球半径为R,地球表面重力加速度为g,引力常量为G,忽略地球自转的影响,请推导出地球质量的表达式M=　　　。 

解析(1)根据万有引力定律得F=G,得G=。

(2)设地球质量为M,质量为m的任一物体在地球表面附近满足G=mg,得GM=R2g,解得地球的质量M=。

答案(1)　(2)

15.(10分)假设某卫星绕月球表面做圆周运动,月球绕地球也做圆周运动,且轨道都在同一平面内。已知卫星绕月球运动的周期T0,地球表面处的重力加速度为g,地球半径为R0,月心与地心间的距离为r,引力常量为G,试求:

(1)月球的平均密度ρ。

(2)月球绕地球运动的周期T。

解析(1)设月球质量为m,卫星质量为m',月球的半径为Rm,对于绕月球表面飞行的卫星,由万有引力提供向心力有=m'Rm,解得m=

又根据ρ=,解得ρ=。

(2)设地球的质量为M,对于在地球表面的物体m表有=m表g,即GM=g

月球绕地球做圆周运动的向心力来自地球引力

即=mr,解得T=。

答案(1)　(2)

16.(10分)所谓“双星系统”,是指在相互间引力的作用下,绕连线上某点O做匀速圆周运动的两个星体A和B,如图所示。若忽略其他星体的影响,可以将月球和地球看作“双星系统”。已知月球的公转周期为T,月地间距离为L,地球表面重力加速度为g,地球半径为R,引力常量为G,求:

(1)地球的质量;

(2)月球的质量。

解析(1)设地球的质量为m地,地球表面某物体质量为m,忽略地球自转的影响,则有G=mg,解得m地=。

(2)设月球的质量为m月,地球的轨道半径为r1,月球的轨道半径为r2,根据万有引力提供向心力公式得,对地球有G=m地r1,对月球G=m月r2,又因为L=r1+r2,解得m地+m月=,所以月球的质量m月=-m地=。

答案(1)　(2)

17.(14分)一颗在赤道上空运行的人造卫星,其轨道半径为r=2R(R为地球半径),卫星的转动方向与地球自转方向相同。已知地球自转的角速度为ω0,地球表面处的重力加速度为g。求:

(1)该卫星所在处的重力加速度;

(2)该卫星绕地球转动的角速度;

(3)若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方,求它下次通过该建筑物正上方需要的时间。

解析(1)在地球表面处物体受到的重力等于万有引力

mg=

在轨道半径为r=2R处,仍有万有引力等于重力m'g'=

解得g'=。

(2)根据万有引力提供向心力=mω2·2R

mg=

联立可得ω=。

(3)卫星绕地球做匀速圆周运动,建筑物随地球自转做匀速圆周运动,当卫星转过的角度与建筑物转过的角度之差等于2π时,卫星再次出现在建筑物正上方,以地面为参照物,卫星再次出现在建筑物正上方时,建筑物随地球转过的弧度比卫星转过弧度少2π,

即ωΔt-ω0Δt=2π,解得Δt=。

答案(1)　(2)　(3)

18.(14分)嫦娥三号携带“玉兔号”月球车在月球表面成功软着陆后,文文同学为了求出“玉兔号”月球车的高度,设想了一个实验,其具体方案如下:让小物块以某一速度v0沿着静止的月球车顶层的水平板发射出去,物块滑行距离l后到达平板的边缘,以速度v垂直边缘线飞出,测得其水平射程为x,则高度可求。若l=0.4 m,v=2 m/s,x=2.8 m,物块与顶层平板的动摩擦因数为0.5,查得月球质量大约是地球的,半径是地球半径的。(不考虑地球自转对重力的影响,地球表面的重力加速度g取9.8 m/s2,结果均保留两位有效数字)求:

(1)月球表面的重力加速度g月。

(2)“玉兔号”月球车的高度h。

(3)小物块的初速度v0大小。

解析(1)由万有引力定律可知

m'g=G

mg月=G

解得g月=g=1.6 m/s2。

(2)物块离开顶层平板后做类平抛运动

据x=vt解得t=1.4 s

代入h=g月t2得h=1.6 m。

(3)设物块在平板上做匀减速运动的加速度大小为a,则有μmg月=ma

根据-v2=2al

解得v0=2.2 m/s。

答案(1)1.6 m/s2　(2)1.6 m　(3)2.2 m/s