专题31二次函数与圆压轴问题-中考数学压轴大题之经典模型培优案(全国通用)
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专题31二次函数与圆压轴问题
经典例题
【例1】.(2022·江苏常州·校考二模)已知二次函数图象的顶点坐标为A2,0,且与y轴交于点0,1,B点坐标为2,2,点C为抛物线上一动点,以C为圆心,CB为半径的圆交x轴于M,N两点(M在N的左侧).
(1)求此二次函数的表达式;
(2)当点C在抛物线上运动时,弦MN的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不发生变化,求出弦MN的长;
(3)当△ABM与△ABN相似时,求出M点的坐标.
【答案】(1)y=14x−22
(2)不变,4
(3)M0,0,22,0,−22,0
【分析】(1)设抛物线的表达式为y=ax−22,然后将0,1代入可求得a的值,从而可求得二次函数的表达式;
(2)过点C作CH⊥x轴,垂足为H,连接BC、CN,由勾股定理可知HC2=CN2−CH2=BC2−CH2,依据两点间的距离公式可求得HN=2,结合垂径定理可求得MN的长;
(3)分为点C与点A重合,点C在点A的左侧,点C在点A的右侧三种情况画出图形,然后依据相似三角形的对应边成比例可求得AM的距离,从而可求得点M的坐标.
【详解】(1)设抛物线的表达式为y=ax−22,
将0,1代入得:4a=1,解得:a=14
∴抛物线的表达式为:y=14x−22
(2)MN的长不发生变化.
理由:如图1所示,过点C作CH⊥x轴,垂足为H,连接BC、CN.
设点C的坐标为a,14a−22.
∵CH⊥MN,
∴MH=HN,
∵HN2=CN2−CH2=CB2−CH2,
∴HN2=[2−14a−22]2+(a−2)2−[14a−22]2=4.
∴HN=2,
∴MN=4,
∴MN不发生变化.
(3)如图2所示:
①当点C与点A重合时.
∵MN经过点C,
∴MN为圆C的直径,
∴MC=2,
∵点C2,0,
∴M0,0.
②如图3所示:
∵△ABM∽△ANB,
∴ABAM=ANAB,即AB2=AM•AN,
设AM=a,则4=aa+4,
解得:a1=−2+22,a2=−2−22(舍去),
又∵点A2,0,
∴2+−2+22=22,
∴点M的坐标为22,0.
如图4所示:
∵△ABN∽△AMB,
∴AB2=AM•AN,
设AM=a,则4=aa+4,
解得:a1=−2+22,a2=−2−22(舍去),
又∵点A2,0,
∴2−−2+22=−22,
∴点M的坐标为−22,0.
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数函数的解析式、垂径定理、两点间的距离公式、勾股定理、相似三角形的性质,分为点C与点A重合,点C在点A的左侧,点C在点A的右侧三种情况画出图形,并由相似三角形的性质求得AM的长是解题的关键.
【例2】(2022·湖南岳阳·模拟预测)已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,其中点A为(﹣1,0),与y轴负半轴交于点C(0,﹣2),其对称轴是直线x=32.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式;
(2)圆O′经过点△ABC的外接圆,点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交圆O′于点D,连接AD、BD,求△ACD的面积;
(3)在(2)的条件下,二次函数y=ax2+bx+c的图象上是否存在点P,使得∠PDB=∠CAD?如果存在,请求出所有符合条件的P点坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=12x2﹣32x﹣2
(2)54
(3)存在,点P的坐标为(4+62,6−94)或(72+212,32+21)
【分析】(1)根据抛物线具有对称性,可以求出点B的坐标,再用待定系数法求解析式即可.
(2)根据△AOC∽△COB以及圆的相关性质,可知△ABD为等腰直角三角形,从而得出O'D与AB的数量关系,列式求解即可.
(3)使得∠PDB=∠CAD的点P存在两种情况,利用相似导出线段之间的比值,再用直线和抛物线解析式联立求得相关点的坐标.
(1)
解:∵A(﹣1,0),对称轴为直线x=32,
∴B(4,0),
把点A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣2),代入得∶
c=−2a−b+c=016a+4b+c=0,解得a=12b=32c=−2,
∴抛物线的解析式为y=12x2﹣32x﹣2.
(2)
解∶∵A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣2),
∴OA=1,OB=4,OC=2,
∴OCOA=OBOC,
又∵∠AOC=∠COB=90°,
∴△AOC∽△COB,
∴∠BAC=∠BCO,
∴∠ACB=90°,
∴AB为圆O′的直径,O′点坐标为(32,0),
∴∠ADB=90°,
又∵CD平分∠BCE,
∴∠BCD=∠ECD=45°,
∴∠BAD=45°,
∴△ADB为等腰直角三角形,
连接OD′,则DO′=12AB,DO′⊥AB,
∴DO′=52,D的坐标为(32,﹣52),
设AD与y轴交于点F,
∵∠DAB=45°,
∴OF=OA=1,
∴CF=1,过D作DH垂直于y轴,
∵D(32,﹣52),
∴DH=32,OH=52,
∴S△ACD=S△ACF+S△DCF=12×1×1+12×1×32=54.
(3)
解∶抛物线上存在点P,使得∠PDB=∠CAD,分两种情况讨论:
①过D作MN∥BC,交y轴于点M,
∵MN∥BC,
∴∠BDN=∠CBD,∠OCB=∠HMD,
又∵∠CBD=∠CAD,
∴∠BDN=∠CAD,
∴直线MN与抛物线在D点右侧的交点即为点P,
∵∠OCB=∠HMD,∠COB=∠MHD=90°,
∴△HDM∽△OCB,
∴MHDH=OCOB=24,
∵DH=32,
∴MH=43,M(0,﹣134).
设直线MD的解析式为y=mx+n,则有32m+n=−52n=−134,
解得m=12n=−134,
∴直线MD的解析式为y=12x−134,
联立得∶y=12x2−32x−2y=12x−134,
解得x1=4+62y1=6−94,x2=4−62y2=6+94(舍去),
∴P14+62,6−94.
②过点D作∠O′DG=∠O′BC,交x轴于点G点,
∵∠O′DB=∠O′BD=45°,
∴∠GDB=∠CBD=∠CAD,即直线DG与抛物线在点D右侧的交点即为P点,
又∵∠DO′G=∠COB,
∴△O′GD∽△OCB,
∴OBO′D=OCO′G,
∴452=2O′G,
∴O′G=54 ,
∴G(114,0),
设直线DG的解析式为y=kx+b,
则有0=114k+b−52=32k+b,解得k=2b=−112
∴直线DG的解析式为y=2x﹣112,
联立得∶y=2x−112y=12x2−32x−2,
解得x1=72−212y1=32−21(舍去),x2=72+212y2=32+21,
∴P72+212,32+21,
综上所述,点P的坐标为(4+62,6−94)或(72+212,32+21).
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式,以及几何图形和二次函数相结合的应用,利用相似找到线段之间的比例关系,从而求出点坐标是解题关键.
【例3】(2022·江苏徐州·统考二模)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A−1,0,B2,0两点,与y轴交于点0,2.
(1)求此二次函数的表达式;
(2)点Q在以BC为直径的圆上(点Q与点O,点B,点C均不重合),试探究QO,QB、QC的数量关系,并说明理由.
(3)E点为该图像在第一象限内的一动点,过点E作直线BC的平行线,交x轴于点F.若点E从点C出发,沿着抛物线运动到点B,则点F经过的路程为______.
【答案】(1)y=−x2+x+2
(2)当Q在第一象限内的圆弧上时,QC+QB=2OQ,当Q在OC上时QB−QC=2OQ当Q在OB上时,QC−QB=2OQ 理由见解析
(3)2
【分析】(1)把过点的坐标代入解析式,确定a、b、c值即可.
(2)分点Q在第一象限内的弧上、弧OC和弧OB上,三种情况求解.
(3) 设直线BC的解析式为y=kx+b,确定其解析式,根据直线与抛物线相切时,点F运动最远,确定水平值,结合题意确定距离即可.
【详解】(1)设y=ax+1x−2将0,2代入得a=−1
∴y=−x2+x+2.
(2)如图1,当Q在余下第一象限半圆上时,QC+QB=2OQ.
∵点C(0,2),点B(2,0),
∴OB=OC=2,BC=OC2+OB2=22,
设QO与BC交于点D,
∵∠BOD=∠QOB,∠OCB=∠OBD=∠OQB=45°,
∴△OBD∽△OQB,
∴OBOQ=ODOB=BDQB,
∴OQ=OB2OD=4OD,QB=BD·OQOB=BD·OQ2
同理可证,△OCD∽△OQC,
∴OCOQ=CDQC,
∴QC=OQ·CDOC=OQ·CD2,
∴QB+QC=BD·OQ2+CD·OQ2=(BD+CD)·OQ2=CB·OQ2=22×OQ2=2OQ;
如图2,当Q在OC上时QB−QC=2OQ.
在QB上截取QP=QC,连接CP,并延长,交圆于点N,连接BN,
∵BC是圆的直径,
∴∠CQP=∠PNB=90°,
∴∠QCP=∠QPC=∠BPN=∠PBN=45°,
∴PN=BN,PB=2PN,
∵OB=OC,
∴∠OQB=∠OCB=∠OBC=45°,
∴∠OQB=∠BPN,
∴QO∥PN,
∴QC=ON,∠OQC+∠QCP=180°,∠QCN=∠ONC,
∵∠OQC=135°,
∴∠QCN=∠ONC=45°,
∴∠BPN=∠ONC=45°,
∴QP∥ON,
∴四边形PQON是平行四边形,
∴PN=QO,
∴PB=2QO,
∴QB-QP=2QO,
∴QB-QC=2QO.
如图3,当Q在OB上时,QC−QB=2OQ.
在QC上截取CN=QB,连接ON,
∵BC是圆的直径,
∴∠COB=90°,
∴∠CON+∠NOB=90°,
∵OB=OC,∠OCN=∠OBQ,CN=BQ,
∴△OCN≌△OBQ,
∴ON=OQ,∠O=CON=∠BOQ,
∴∠BOQ +∠NOB=90°,
∴∠NOQ=90°,
∴NQ=2QO,
∴QC-CN=2QO,
∴QC-QB=2QO.
(3)如图4,设直线BC的解析式为y=kx+b,
根据题意,得2k+b=0b=2,
解得k=−1b=2,
∴解析式为y=-x+2,
设E的坐标为(n,−n2+n+2),
∵EF∥BC,
∴设直线EF的解析式为y=-x+p,
∴−n2+n+2= -n+p,
∴p=−n2+2n+2,
∴设直线EF的解析式为y=-x−n2+2n+2,
当直线EF与抛物线相切时,F到达最远位置,此时,
-x−n2+2n+2=−x2+x+2的判别式为0,
故x2−2x−n2+2n=0的判别式为0,
∴(−2)2−4(−n2+2n)=0,
解得n=1,
∴EF的解析式为y=-x+3,
令y=0,得-x+3=0,解得x=3,
此时点F水平运动的最大距离为3,
实际运动距离为3-2=1;
当E经过这个位置后,点F向左运动,回到B位置,此时运动距离也是1,
故F运动的距离为1+1=2.
【点睛】本题考查了抛物线的解析式,圆的基本性质,判别式的应用,三角形的相似和性质,熟练掌握待定系数法,三角形相似和根的判别式是解题的关键.
【例4】(2022·云南德宏·统考一模)二次函数y=34x2+bx+c的图象经过点A(-1,0)和点C(0,-3)与x轴的另一交点为点B.
(1)求b,c的值;
(2)定义:在平面直角坐标系xOy中,经过该二次函数图象与坐标轴交点的圆,称为该二次函数的坐标圆.问:在该二次函数图象的对称轴上是否存在一点Q,以点Q为圆心,5610为半径作⊙Q,使⊙Q是二次函数y=34x2+bx+c的坐标圆?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图所示,点M是线段BC上一点,过点M作MP//y轴,交二次函数的图象于点P,以M为圆心,MP为半径作⊙M,当⊙M与坐标轴相切时,求出CMMB的值.
【答案】(1)b=−94,c=-3
(2)存在,圆心Q的坐标为(32,−56)
(3)CMMB值是2或13
【分析】(1)把点坐标代入解析式求解即可;
(2)先求出二次函数与坐标轴的交点坐标,在通过△ABC两边中垂线的交点确定圆心Q,在计算半径即可;
(3)分两种情况设出点坐标,利用坐标表示出线段,再分别计算出结果即可.
【详解】(1)解:把点A (-1,0)和点C (0,-3)代入y=34x2+bx+c
得:0=34−b+cc=−3 ,
解方程组得:b=−94c=−3,
∴b=−94,c=-3;
(2)存在,理由如下:
如图所示,
由(1)可知二次函数的解析式为:y=34x2−94x−3,
令34x2−94x−3=0,
解得:x1=−1,x2=4,
所以点A (-1,0),点B (4,0)
∵点C (0,-3)
∴AB=BC=5
∴△ABC是等腰三角形
根据坐标圆的定义,⊙Q经过点A、B、C ,
∴圆心Q为AB的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点.
∵AB的垂直平分线即为二次函数的对称轴x=32,可求得AC的中点F的坐标为(−12,−32),
所以AC垂直平分线BF的解析式为y=13x−43,求得点Q坐标为(32,−56)
在Rt△QNB中,根据勾股定理求得QB=5106.
所以存在符合题意的坐标圆,其圆心Q的坐标为(32,−56).
(3)设BC直线的解析式为:y=kx+b,
把B (4,0)、C (0,3)的坐标代入y=kx+b得:0=4k+bb=−3
解得:k=34b=−3,
∴BC直线的解析式为:y=34x−3,
⊙M与坐标轴相切,有两种情况,
①当⊙M与y轴相切时,如图所示:
过点M作MD⊥y轴,垂足为点D,
则点D为⊙M与y轴的切点,即PM=DM=x,
设P(x,34x2−94x−3),M(x,34x−3),
则PM=(34x−3) - (34x2−94x−3),
∴(34x−3)-(34x2−94x−3)=x
解得:x1=83,x2=0,
当x=0时,点M与点C重合,不合题意舍去;
∴⊙M的半径为DM=83,
∴M(83,1)
∵△CDM∽△COB,根据相似三角形的性质,解得CM =103,
∴ MB=5−103= 53
∴CMMB=2
②当⊙M与x轴相切时,如图所示:
延长PM交x轴于点E,由题意可知:
点E为⊙M与x轴的切点,所以PM=ME,
设P(x,34x2−94x−3),M(x,34x−3),
则PM=(34x−3) - (34x2−94x−3),PE=-34 x+3
∴(34x−3)-(34x2−94x−3)=-34 x+3,
解得:x1=1,x2=4
当x=4时,点M与点B重合,所以不合题意舍去,
∴⊙M的半径为:PM=ME=−34+3=94;∴M(1,94)
△MEB∽△COB,根据相似三角形的性质,解得CM =54
∴MB=5−54= 154
∴CMMB=13
综上所述,CMMB值是2或13.
【点睛】本题考查二次函数综合,圆切线的性质,确定圆的条件,理清知识点,求出点坐标,转化为线段,结合函数表达式进行求解是解题的关键.
培优训练
1.(2023秋·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校考阶段练习)如图,已知抛物线经过点A(−1,0),B(3,0),C(0,3)三点,点D是直线BC绕点B逆时针旋转90°后与y轴的交点,点M是线段AB上的一个动点,设点M的坐标为m,0,过点M作x轴的垂线交抛物线于点E,交直线BD于点F.
(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式;
(2)在点M运动过程中,若存在以EF为直径的圆恰好与y轴相切,求m的值;
(3)连接AC,将△AOC绕平面内某点G旋转180°后,得到△A1O1C1,点A、O、C的对应点分别是点A1、O1、C1,是否存在点G使得△AOC旋转后得到的△A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上,若存在,直接写出G点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=−x2+2x+3;
(2)m=2;
(3)点G的坐标为−12,−32或14,158.
【分析】(1)抛物线的表达式为:y=ax+1x−3,将C(0,3)代入求出a的值,即可求解;
(2)以EF为直径的圆与y轴相切,则EF=2OM,即可求解;
(3)分点A1、C1在抛物线上、O1、C1在抛物线上、O1、A1在抛物线上三种情况,分别求解即可.
【详解】(1)解:设抛物线的表达式为:y=ax+1x−3,
将C(0,3)代入得−3a=3,
解得:a=−1,
故抛物线的表达式为:y=−x2+2x+3;
(2)解:∵点C(0,3),
由题意得点D(0,−3),
由B、D的坐标得:直线BD的表达式为:y=x−3,
∵设点M的坐标为m,0,
则点Em,−m2+2m+3,点Fm,m−3,
以EF为直径的圆与y轴相切,
则EF=2OM,
即:EF=−m2+2m+3−m−3=−m2+m+6,
∴−m2+m+6=2m,
解得:m=2或−3(舍去);
综上,m=2;
(3)∵A(−1,0),B(3,0),C(0,3),
∴OA=1,OC=3,
设点A1的坐标为:x,y,
则点O1x−1,y,点C1x−1,y−3,
①当点A1、C1在抛物线上时,
将这两个点的坐标代入抛物线表达式得:
y=−x2+2x+3y−3=−(x−1)2+2(x−1)+3,
解得:x=0y=3,
故点A10,3,
∴点A、A1的中点坐标为:−12,−32,
∴G点的坐标为−12,−32;
②当点O1、C1在抛物线上时,
将这两个点的坐标代入抛物线表达式得:
y=−(x−1)2+2(x−1)+3y−3=−(x−1)2+2(x−1)+3,方程无解,
故此种情况不存在;
③当点O1、A1在抛物线上时,
将这两个点的坐标代入抛物线表达式得:
y=−x2+2x+3y=−(x−1)2+2(x−1)+3,
解得:x=32y=154,
故点A132,154,
∴点A、A1的中点坐标为:14,158,
∴G点的坐标为14,158;
综上,点G的坐标为−12,−32或14,158.
【点睛】本题是二次函数综合题,考查了一次函数的性质、二次函数的性质、圆的基本知识、图形的旋转等,解题的关键是掌握二次函数的性质,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.
2.(2022春·全国·九年级专题练习)如图,一次函数y=−2x的图象与二次函数y=−x2+3x图象的对称轴交于点B.
(1)写出点B的坐标 ;
(2)将直线y=−2x沿y轴向上平移,分别交x轴于点C、交y轴于点D,点A是该抛物线与该动直线的一个公共点,试求当△AOB的面积取最大值时,点C的坐标;
(3)已知点P是二次函数y=−x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点,若△PCD的外接圆直径为PC,试问:以P、C、D为顶点的三角形与△COD能否相似?若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】(1)32,−3
(2)点C的坐标为258,0
(3)相似,点P的坐标为2,2或12,54
【分析】(1)由抛物线解析式求出对称轴,再代入y=−2x即可求出点B的坐标;
(2)如图1,由题意可设直线DC的解析式为y=−2x+b,要是△AOB的面积最大,只需直线DC与抛物线相切,由此可求出b的值,即可求得点C的坐标;
(3)过点P作PH⊥y轴,如图2,由题意可设直线的解析式为y=−2x+b,从而可得OC=b2,OD=b,DC=5b2,由△PCD的外接圆直径为PC可得∠PDC=90°,易证△PHD∽△DOC,根据相似三角形的性质可得PHDO=DHCO=PDDC,然后分两种情况讨论:①△PDC∽△DOC,②△PDC∽△COD,用含b的代数式表示点P的坐标,然后代入抛物线的解析式,求出b,即可得到点P的坐标.
【详解】(1)解:抛物线y=−x2+3x的对称轴为x=−32×−1=32,
当x=32时,y=−2x=−2×32=−3,
则点B的坐标为32,−3.
故答案为:32,−3;
(2)解:如图1,
设直线DC的解析式为y=−2x+b,
联立y=−2x+by=−x2+3x,
消去y并整理得,
x2−5x+b=0,
当直线y=−2x+b与抛物线y=−x2+3x相切时,
Δ=−52−4×1×b=25−4b=0,
解得b=254,
此时直线DC的解析式为y=−2x+254,
令y=0,可得x=258,
∴△AOB的面积最大时,点C的坐标为258,0;
(3)解:过点P作PH⊥y轴,如图2.
设直线的解析式为y=−2x+b,
则有Cb2,0,D0,b,
从而可得OC=b2,OD=b,DC=5b2.
∵△PCD的外接圆直径为PC,
∴∠PDC=90°,
∴∠PDH+∠ODC=90°.
∵∠DOC=90°,
∴∠OCD+∠ODC=90°,
∴∠PDH=∠OCD.
∵∠PHD=∠DOC=90°,
∴△PHD∽△DOC,
∴ PHDO=DHCO=PDDC.
①若△PDC∽△DOC,则有DPDC=ODOC=2.
∴ PHDO=DHCO=2,
∴PH=2DO=2b,DH=2CO=b,
∴OH=b+b=2b,
∴点P的坐标为2b,2b.
∵点P在抛物线y=−x2+3x上,
∴2b=−2b2+3×2b,
解得:b1=0(舍去),b2=1,
∴点P的坐标为2,2;
②若△PDC∽△COD,则有DPDC=OCOD=12.
∴ PHDO=DHCO=12,
∴PH=12DO=12b,DH=12CO=14b,
∴OH=b+14b=54b,
∴点P的坐标为12b,54b.
∵点P在抛物线y=−x2+3x上,
∴ 54b=−12b2+3×12b,
解得:b1=0(舍去),b2=1,
∴点P的坐标为12,54.
综上所述:点P的坐标为2,2或12,54.
【点睛】本题是二次函数的综合题,主要考查了抛物线的对称轴,抛物线与直线的交点的坐标特征,相似三角形的判定与性质,圆周角定理,解一元二次方程,运用分类讨论和构造K型相似是解题的关键.
3.(2023春·福建泉州·九年级泉州七中校考期末)如图(1)所示,y关于x的二次函数y=−33m(x+m)(x−3m) m>0图象的顶点为M,图象交x轴于A、B两点,交y轴正半轴于D点.以AB为直径作圆,圆心为C.定点E的坐标为(−3,0),连接ED.
(1)写出A、B、D三点的坐标;
(2)当m为何值时M点在直线ED上?判定此时直线与圆的位置关系;
(3)当m变化时,用m表示△AED的面积S,并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.
【答案】(1)A(−m,0),B(3m,0),D(0,3m)
(2)m=1 时,直线ED与⊙C相切相切,理由见解析
(3)S=−32m2+332m(0
【分析】(1)根据x轴,y轴上点的坐标特征代入即可求出A、B、D三点的坐标;
(2)待定系数法先求出直线ED的解析式,再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系;
(3)分当0
【详解】(1)解:令y=0,则−33m(x+m)(x−3m)=0,解得x1=−m,x2=3m;
令x=0,则y=−33m(0+m)(0−3m)=3m.
故A(−m,0),B(3m,0),D(0,3m).
(2)解:设直线ED的解析式为y=kx+b,将E(−3,0),D(0,3m)代入得:
−3k+b=0b=3m
解得,k=33m,b=3m.
∴直线ED的解析式为y=33mx+3m.
将y=−33m(x+m)(x−3m)化为顶点式:y=−33m(x−m)2+433m.
∴顶点M的坐标为(m,433m).代入y=33mx+3m得:m2=m
∵m>0,
∴m=1.所以,当m=1时,M点在直线DE上.
连接CD,C为AB中点,C点坐标为C(m,0),
∵OD=3,OC=1,
∴CD=2,D点在圆上
又∵OE=3,DE2=OD2+OE2=12,
EC2=16,CD2=4,
∴CD2+DE2=EC2.
∴∠EDC=90°
∴直线ED与⊙C相切;
(3)解:当0
当m≥3时,S△AED=12AE⋅OD=32m(m−3).
即S=32m2_332m.
S关于m的函数图象的示意图如右:
【点睛】本题是二次函数的综合题型,其中涉及的知识点有x轴,y轴上点的坐标特征,抛物线解析式的确定,抛物线的顶点公式和三角形的面积求法.注意分析题意分情况讨论结果.
4.(2022·江苏·九年级专题练习)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点(0,2).
(1)求此二次函数的表达式;
(2)点Q在以BC为直径的圆上(点Q与点O,点B,点C均不重合),试探究QO,QB,QC的数量关系,并说明理由.
(3)E点为该图象在第一象限内的一动点,过点E作直线BC的平行线,交x轴于点F.若点E从点C出发,沿着抛物线运动到点B,则点F经过的路程为 .
【答案】(1)y=−x2+x+2.
(2)QB+QC=2QO或QC−QB=2QO或QB−QC=2QO,理由见解析.
(3)2.
【分析】(1)利用待定系数法即可得二次函数的解析式;
(2)证明∆BOC为等腰直角三角形,再分三种情况:
①当点Q在半圆BOC相对的半圆上时,如图,连接QC,BQ,OQ,把∆OBQ绕点O逆时针旋转90°,得到ΔOCQ',可证得ΔOQQ'是等腰直角三角形,故QB+QC=2QO;
②当点Q在劣弧OB⏜上时,如图,连接QB、QC,在CQ上截取CQ'=QB,连接OQ',可证ΔOCQ'≌△OBQ(SAS),得出ΔOQQ'是等腰直角三角形,故QC−QB=2QO;
③当点Q在劣弧OC⏜上时,如图,连接QB、QC,在BQ上截取BQ'=QC,连接OQ',同理可得QB−QC=2QO;
(3)先求出直线BC的解析式,设E的坐标E(n,−n2+n+2),设直线EF的解析式为y=−x+b1,将E的坐标代入EF解析式中,联立两个解析式判定∆,当直线EF与抛物线只有一个交点时,可求出直线EF的解析式,计算出F的横坐标即可求出经过的路程.
【详解】(1)解:(1)将A(−1,0),B(2,0),C(0,2)代入y=ax2+bx+c,
得:0=a−b+c0=4a+2b+c2=c,
解得:a=−1b=1c=2,
∴二次函数的表达式为:y=−x2+x+2;
(2)QB+QC=2QO或QC−QB=2QO或QB−QC=2QO,理由如下:
∵Q在以BC为直径圆上,
∴∠BOC=∠BQC=90°,
∵B(2,0),C(0,2),
∴OB=OC=2,∠BOC=90°,
∴∆BOC为等腰直角三角形,
∴∠OCB=∠OBC=45°,
①当点Q在半圆BOC相对的半圆上时,如图,连接QC,BQ,OQ,把∆OBQ绕点O逆时针旋转90°,得到△OCQ',
∵四边形OBQC是圆内接四边形,
∴∠OBQ+∠OCQ=180°,
由旋转知:∠QOQ'=90°,∠OCQ'=∠OBQ,CQ'=BQ,OQ'=OQ,
∴∠OCQ'+∠OCQ=180°,
∴Q、C、Q'三点在同一条直线上,CQ'+CQ=QQ',
∴QB+QC=QQ',
∵ΔOQQ'是等腰直角三角形,
∴QQ'=2QO,
∴QB+QC=2QO;
②当点Q在劣弧OB⏜上时,如图,连接QB、QC,在CQ上截取CQ'=QB,连接OQ',
∵OQ⏜=OQ⏜,
∴∠OCQ=∠OBQ,
在ΔOCQ'和∆OBQ中,
OC=OB∠OCQ′=∠OBQCQ′=BQ,
∴ΔOCQ'≌ΔOBQ(SAS),
∴∠COQ'=∠BOQ,OQ'=OQ,
∵∠COQ'+∠BOQ'=90°,
∴∠BOQ+∠BOQ'=90°,即∠QOQ'=90°,
∴ΔOQQ'是等腰直角三角形,
∴QQ'=2QO,
∵QQ'=QC−CQ'=QC−QB,
∴QC−QB=2QO;
③当点Q在劣弧OC⏜上时,如图,连接QB、QC,在BQ上截取BQ'=QC,连接OQ',
与②同理可得:QB−QC=2QO,
综上所述,QB+QC=2QO或QC−QB=2QO或QB−QC=2QO;
(3)设直线BC:y=kx+m
把点B、点C代入得2k+m=0m=2,
解得:k=−1,m=2,
∴y=−x+2,
又∵EF∥BC,点E在抛物线上,
设E(n,−n2+n+2),
设直线EF解析式为y=−x+b1,
把E代入得:−n2+n+2=−n+b1,
∴b1=−n2+2n+2,
∴y=−x−n2+2n+2,
联立y=−x−n2+2n+2y=−x2+x+2,
∴−x−n2+2n+2=−x2+x+2,
得x2−2x−n2+2n=0
∵∆=4−4−n2+2n=4+4n2−8n=4n−12=0,
∴抛物线与直线EF只有一个交点,此时点F是所能运动的最远位置,
∴n=1,b1=−1+2+2=3,
∴y=−x+3,
当y=0时x=3,
∴F横坐标最大为3,
∴F经过路程为:3−2×2=2,
故答案为:2.
【点睛】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求函数解析式,圆的基本性质,根的判别式的应用,等腰直角三角形的判定和性质,旋转变换的应用,全等三角形的判定和性质,熟练掌握待定系数法,添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.
5.(2022秋·湖南长沙·九年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中点A为(−1,0),与y轴负半轴交于点C(0,−2),其对称轴是直线x=32.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式;
(2)圆O′为△ABC的外接圆,点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交圆O′于点D,连接AD、BD,求△ACD的面积;
(3)在(2)的条件下,y轴上是否存在点P,使得以P,C,B为顶点的三角形与△BCD相似?如果存在,请求出所有符合条件的P点坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=12x2−32x−2
(2)54
(3)0,−4或0,−12
【分析】(1)根据抛物线具有对称性,可以求出点B的坐标,再用待定系数法求解析式即可.
(2)根据△AOC∽△COB以及圆的相关性质,可知△ABD为等腰直角三角形,从而得出O′D与AB的数量关系,列式求解即可.
(3)分4种情况画出图形,利用相似三角形的判定与性质求解即可.
【详解】(1)解:∵A(−1,0),对称轴为直线x=32,
∴B(4,0),
由题意可知,c=−2a−b+c=016a+4b+c=0,
解得a=12b=−32c=−2,
∴抛物线的解析式为y=12x2−32x−2.
(2)解:∵A(−1,,0),B(4,0),C(0,−2),
∴OA=1,OB=4,OC=2,
∴OCOA=OBOC,
又∵∠AOC=∠COB=90°,
∴△AOC∽△COB,
∴∠BAC=∠BCO,
∴∠ACB=90°,
∴AB为圆O′的直径,O′点坐标为(32,0),
∴∠ADB=90°,
又∵CD平分∠BCE,
∴∠BCD=∠ECD=45°,
∴∠BAD=45°,△ADB为等腰直角三角形,
连接O′D′,则DO′=12AB,DO′⊥AB,
∴DO′=52,D的坐标为(32,−52),
如图1,设AD与y轴交于点F,
∵∠DAB=45°,
∴OF=OA=1,
∴CF=1,
过D作DH垂直于y轴,
∵D(32,−52),
∴DH=32,OH=52,
∴SΔACD=SΔACF+SΔDCF=12×1×1+12×1×32=54.
(3)解:∵A(−1,0),B(4,0),C(0,−2),D(32,−52),
∴CD=102,BD=522,BC=25.
由(2)知,∠BCD=45°,∠BDC>90°,∠CBD<45°.
如图2,当点P在点C的上方时,若∠CBP>90°,
∵OB
显然,△PCB和△BCD中不存在两个相等的角,即不可能相似;
如图3,△PCB中不存在45°的角,所以△PCB和△BCD中不存在两个相等的角,即不可能相似;
如图4,当点P在点C下方,∠CPB=45°时,△CPB∽△DCB,
∴CPCD=CBBD,
∴OP−2102=25522,
∴OP=4,
∴P0,−4;
如图5,当点P在点C下方,∠CBP=45°时,△CPB∽△DBC,
∴CPBD=CBCD,
∴OP−2522=25102,
∴OP=12,
∴P0,−12;
综上可知,P点坐标为0,−4或0,−12.
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式,以及几何图形和二次函数相结合的应用,数形结合是解题关键.
6.(2022春·九年级课时练习)如图,二次函数y=−56x2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为−3,0,以点A为圆心作圆A,与该二次函数的图象相交于点B,C,点B,C的横坐标分别为−2,−5,连接AB,AC,并且满足AB⊥AC.过点B作BM⊥x轴于点M,过点C作CN⊥x轴于点N.
(1)求该二次函数的关系式;
(2)经过点B作直线BD,在A点右侧与x轴交于点D,与二次函数的图象交于点E,使得∠ADB=∠ABM,连接AE,求证:AE=AD;
(3)若直线y=kx+1与圆A相切,请求出k的值.
【答案】(1)y=−56x2−376x−11
(2)见解析
(3)−12或2
【分析】(1)证明△ACN≌△BAMAAS,求出CN=AM=−2−−3=1,BM=AN=−3−−5=2,得到点B,C的坐标,然后利用待定系数法求解即可;
(2)证明△ABM∽△BDM,求出DM=4,可得出点D坐标,进而求出直线BD的解析式,联立一次函数和二次函数解析式求出点E坐标,利用勾股定理求出AE即可得出结论;
(3)分两种情况:①当直线y=kx+1与⊙A的切点在x轴上方时,记切点为G,则AG=AB=5,证明四边形POQG是矩形,△AQG≌△FPGAAS,得到AQ=PF,GQ=PG,设点Gm,km+1,表示出AQ=m+3,PF=km,PG=−m,GQ=km+1,得出关于k,m的方程组,解方程组可得答案; ②当切点在x轴下方时,同①的方法求解即可.
【详解】(1)解:∵BM⊥x轴于M,CN⊥x轴于N,
∴∠ANC=∠BMA=90°,
∴∠ABM+∠BAM=90°,
∵AC⊥AB,
∴∠CAN+∠BAM=90°,
∴∠ABM=∠CAN,
∵⊙A过点B,C,
∴AC=AB,
∴△ACN≌△BAMAAS,
∴CN=AM=−2−−3=1,BM=AN=−3−−5=2,
∴B−2,−2,C−5,−1,
将点B,C代入y=−56x2+bx+c得:−56×4−2b+c=−2−56×25−5b+c=−1,
解得:b=−376c=−11,
∴抛物线的解析式为y=−56x2−376x−11;
(2)解:∵BM⊥x轴于点M,
∴∠AMB=∠BMD=90°,
∵∠ADB=∠ABM,
∴△ABM∽△BDM,
∴AMBM=BMDM,即12=2DM,
∴DM=4,
∴D2,0,
∴AD=5,
设直线BD的解析式为y=kx+bk≠0,
代入B−2,−2,D2,0得−2k+b=−22k+b=0,
解得:k=12b=−1,
∴直线BD的解析式为y=12x−1,
联立y=12x−1y=−56x2−376x−11,解得:x=−6y=−1或x=−2y=−2(舍),
∴E−6,−4,
∴AE=−6+32+−4−02=5,
∴AE=AD;
(3)解:∵点B−2,−2在⊙A上,
∴⊙A的半径为:AB=−3+22+22=5,
如图2,记直线y=kx+1与y轴相交于F,令x=0,则y=1,
∴F0,1,
∴OF=1,
①当直线y=kx+1与⊙A的切点在x轴上方时,记切点为G,则AG=AB=5,∠AGF=90°,
连接AF,在Rt△AOF中,OA=3,OF=1,
∴AF=10,
在Rt△AGF中,根据勾股定理得,FG=AF2−AG2=5=AG,
过点G作GP⊥y轴于P,过点G作GQ⊥x轴于Q,
∴∠AQG=∠GQO=∠FPG=∠POQ=90°,
∴四边形POQG是矩形,
∴∠PGQ=90°,
∴∠AGQ=∠FGP,
∴△AQG≌△FPGAAS,
∴AQ=PF,GQ=PG,
设点Gm,km+1,
∴AQ=m+3,PF=km+1−1=km,PG=−m,GQ=km+1,
∴m+3=km①,km+1=−m②,
联立①②解得,m=−2k=−12,
②当切点在x轴下方时,同①的方法可得,k=2;
综上:直线y=kx+1与圆A相切时,k的值为−12或2.
【点睛】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法的应用,三垂线判定两三角形全等,求函数图象的交点坐标,相似三角形的判定和性质,勾股定理,解一元二次方程,切线的性质,矩形的判定和性质等知识,熟练掌握“一线三等角模型”,证明三角形全等是解题的关键.
7.(2022秋·全国·九年级专题练习)如图,二次函数y=ax2+4的图象与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OA=OC
(1)求二次函数的解析式;
(2)若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D,求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形?若存在,直接写出点P坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=−14x2+4
(2)点D的坐标为−2,2
(3)存在,点P的坐标为8,−12或−2−25,−2−25
【分析】(1)由题意可知C坐标,根据题意得到三角形AOC为等腰直角三角形,确定出A坐标,代入二次函数解析式求出a的值,即可确定出解析式;
(2)由题意连接OD,作DE∥y轴,交x轴于点E,DF∥x轴,交y轴于点F,如图1所示,由圆O与直线AC相切于点D,得到OD垂直于AC,由OA=OC,利用三线合一得到D为AC中点,进而求出DE与DF的长,确定出D坐标即可;
(3)根据题意分两种情况考虑:经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y=−x−4,与抛物线解析式联立求出P坐标;经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y=x,与抛物线解析式联立求出P坐标即可.
【详解】(1)解:∵二次函数y=ax2+4的图象与y轴交于点C,
∴点C的坐标为0,4,
∵二次函数y=ax2+4的图象与x轴交于点A,tan∠OAC=1,
∴∠CAO=45°,
∴OA=OC=4,
∴点A的坐标为−4,0,
∴0=a×−42+4,
∴a=−14,
∴二次函数的解析式为y=−14x2+4;
(2)连接OD,作DE轴,交x轴于点E,DF轴,交y轴于点F,如图1所示,
∵⊙O与直线AC相切于点D,
∴OD⊥AC,
∵OA=OC=4,
∴点D是AC的中点,
∴DE=12OC=2,DF=12OA=2,
∴点D的坐标为−2,2;
(3)∵点D的坐标为−2,2;
则直线OD的解析式为y=−x,如图2所示,
则经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y=−x−4,
解方程组y=−x−4y=−14x2+4,消去y,得x2−4x−32=0,即x−8x+4=0,
∴x1=8,x2=−4(舍去),
∴y=-12,
∴点P1的坐标为8,−12;
∵直线AC的解析式为y=x+4,
则经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y=x,
解方程组y=xy=−14x2+4,
消去y,得x2+4x−16=0,即x=−2+25,
∴x1=−2−25,x2=−2+25(舍去),
∴y=−2−25,
∴点P2的坐标为−2−25,−2−25.
综上所述,点P的坐标为8,−12或−2−25,−2−25.
【点睛】本题属于二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法确定二次函数解析式,坐标与图形性质,直线与抛物线的交点,直线与圆相切的性质,锐角三角函数定义,以及等腰直角三角形的性质,熟练掌握二次函数
8.(2020秋·北京朝阳·九年级校考期中)定义:在平面直角坐标系中,图形 G 上点 P(x,y)的纵坐标 y 与其横坐标 x 的差 y﹣x 称为 P 点的“坐标差”,而图形 G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形 G 的“特征值”.
(1)①点 A(1,3)的“坐标差”为 ;
②抛物线 y=−x2+3x+3的“特征值”为 ;
(2)某二次函数y=−x2+bx+cc≠0的“特征值”为﹣1,点 B(m,0)与点 C 分别是此二次函数的图象与 x 轴和 y 轴的交点,且点 B 与点 C 的“坐标差”相等.
①直接写出 m= ;(用含 c 的式子表示)
②求此二次函数的表达式.
(3)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 M(2,3)为圆心,2 为半径的圆与直线 y=x 相交于点 D、E,请直接写出⊙M 的“特征值”为 .
【答案】(1)①2;②4;
(2)①m=−c;②y=−x2+3x−2;
(3)1+22.
【分析】(1)①②根据“坐标差”,“特征值”的定义计算即可;
(2)因为点B与点C的“坐标差”相等,推出B(−c,0),把(−c,0)代入y=−x2+bx+c,得到:0=−c2−bc+c,推出c=1−b,因为二次函数y=−x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为−1,所以y−x=−x2+b−1x+1−b的最大值为−1,可得 −41−b−b−12−4=−1,解得b=3,由此即可解决问题;
(3)如图,设M(2,3),作MK⊥x轴于K,交⊙M于N,MJ⊥y轴于J,作∠JMN的平分线交⊙M于T,观察图象,根据“特征值”的定义,可知点T的“坐标差”的值最大.
(1)
①点A(1,3)的“坐标差”为=3−1=2,
故答案为2;
②设P(x,y)为抛物线y=−x2+3x+3上一点,
坐标差=−x2+2x+3=−x−12+4,最大值为4,
所以抛物线y=−x2+3x+3的“特征值”为4
故答案为4.
(2)
①由题意:0−m=c−0,可得m=−c.
②∵C(0,c),
又∵点B与点C的“坐标差”相等,
∴B(−c,0),
把(−c,0)代入y=−x2+bx+c,得到:0=−c2−bc+c,
∴c=1−b,
∵二次函数y=−x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为−1
所以y−x=−x2+b−1x+1−b的最大值为−1,
∴−41−b−b−12−4=−1,
解得b=3,
∴c=−2,
∴二次函数的解析式为y=−x2+3x−2.
(3)
如图,设M(2,3),作MK⊥x轴于K,交⊙M于N,MJ⊥y轴于J,作∠JMN的平分线交⊙M于T,观察图象,根据“特征值”的定义,可知点T的“坐标差”的值最大.
作TF⊥x轴于E交MJ于F.
易知△TMF是等腰直角三角形,
∵TF=FM=2,EF=KM=3,EK=FK=M=2,
∴OE=OK−EK=2−2,TE=3+2,
半径为2的圆的“特征值”为3+2−(2−2)=1+22.
故答案为1+22.
【点睛】本题考查二次函数综合题、“坐标差”,“特征值”的定义、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识,解题的关键是理解题意,学会利用参数解决问题,学会构建函数解决最值问题,属于中考压轴题.
9.(2022秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习)如图,已知抛物线经过点A−1,0,B3,0,C0,3三点,点D是直线BC绕点B逆时针旋转90°后与y轴的交点,点M是线段AB上的一个动点,设点M的坐标为m,0,过点M作x轴的垂线交抛物线于点E,交直线BD于点F.
(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式;
(2)在点M运动过程中,若存在以EF为直径的圆恰好与y轴相切,求m的值;
(3)连接AC,将ΔAOC绕平面内某点G旋转180°后,得到ΔA1O1C1,点A、O、C的对应点分别是点A1、O1、C1,是否存在点G使得ΔAOC旋转后得到的ΔA1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上,若存在,求出G点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)2
(3)G14,158或−12,32
【分析】(1)设y=ax+1x−3(a≠0),待定系数法求二次函数解析式即可求解;
(2)设Em,−m2+2m+3,Fm,m−3(−1≤m≤3)得出EF=−m2+m+6,则OM=m,根据以EF为直径的圆与y轴相切,得出−m2+m+6=2m,解方程即可求解;
(3)设Ga,b,由对称可得:A12a+1,2b,O12a,2b,C12a,2b−3,分情况讨论,①若A1、O1在抛物线上,②若A1、C1在抛物线上③由O1、C1横坐标相同,所以不可能都在抛物线上,即可求解.
【详解】(1)设y=ax+1x−3(a≠0),
将0,3代入得:−3a=3,
解得:a=−1,
∴y=−x+1x−3,
即y=−x2+2x+3;
(2)在RtΔOBC中,OB=OC,
∴∠OCB=45°,
由旋转可得:∠CBD=90°,
∴ΔBCD为等腰直角三角形,
∴OD=OC=3,
∴D0,−3,
∴BD:y=x−3,
设Em,−m2+2m+3,Fm,m−3(−1≤m≤3),
∴EF=−m2+2m+3−m−3=−m2+m+6,OM=m,
∵以EF为直径的圆与y轴相切,
∴EF=2OM,即−m2+m+6=2m,
解得:m1=2,m2=−3(舍),m3=3+332(舍),m4=3−332(舍),
∴m=2;
(3)设Ga,b,∵A−1,0,O0,0,C0,3,关于Ga,b中心对称,
∴A12a+1,2b,O12a,2b,C12a,2b−3,
①若A1、O1在抛物线上,则A1、O1关于对称轴对称,
对称轴:x=1,
∴2a+1+2a2=1,解得:a=14,
∴O112,154,即2b=154,
解得:b=158,
∴G14,158,
②若A1、C1在抛物线上,
−2a+12+22a+1+3=2b−2a2+2×2a+3=2b−3,
解得:a=−12b=32,
∴G−12,32,
③∵O1、C1横坐标相同,所以不可能都在抛物线上,
综上,G14,158或−12,32.
【点睛】本题考查了二次函数与圆综合,切线的性质,综合运用二次函数与切线的性质是解题的关键.
10.(2022秋·全国·九年级专题练习)如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A(1,0)、B(−3,0),与y轴的正半轴交于点C.
(1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式;
(2)点D是线段OB上一动点,过点D作y轴的平行线,与BC交于点E,与抛物线交于点F,连接CF,探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形?若存在,求点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点P在二次函数图象上,是否存在以P为圆心,2为半径的圆与直线BC相切,若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)y=−x2−2x+3
(2)存在,点D坐标为(-2,0)或(-1,0)
(3)存在,点P坐标为(-1,4)或(-2,3)或(−3+172,−1+172)或(−3−172,−1−172)
【分析】(1)将A、B坐标代入二次函数解析式求解即可;
(2)求得C点坐标,从而得到BC解析式,由此可知∠CEF=45°,因此可分∠CFE=90°、∠ECF=90°两种情况讨论;
(3)过点P作PG⊥BC,过点P作PH∥BC,过点P作x轴的垂线,交BC于点N,交x轴于点M,求出PH的解析式,联立直线PH和二次函数解析式,求解即可.
【详解】(1)解:将点A1,0、B−3,0代入y=ax2+bx+3,得:
a+b+3=09a−3b+3=0,
解得:a=−1b=−2,
∴二次函数解析式为y=−x2−2x+3.
(2)解:∵二次函数解析式为y=−x2−2x+3
∴点C的坐标为(0,3),
∴直线BC的解析式为y=x+3.
① 当∠CFE=90°时,CF∥OB
∴点C,F关于抛物线对称轴直线x=−1对称,
∴点F(-2,3),
此时点D坐标为(-2,0)
②当∠ECF=90°时,作FG⊥y轴于G,
由OB=OC,∠BOC=90°,可知∠BCO=45°
∵CF⊥CB,
∴∠FCG=45°,
∴△CFG是等腰直角三角形,
设CG=a,则点F坐标为(-a,a+3),
代入y=−x2−2x+3得:a+3=−(−a)2−2(−a)+3
解得a1=1,a2=0(舍去)
点F(-1,4),
此时点D坐标为(-1,0).
综上所述:存在这样的点D,点D坐标为(-2,0)或(-1,0)
(3)解:① 当点P在BC上方时,过点P作PG⊥BC于点G,作PM⊥x轴,交BC于点N ,过点P 作直线PH∥BC.
则△PNG是等腰直角三角形,
∵PG=2,
∴PN=2,
∵PM⊥x轴,
∴直线PH由直线BC向上平移两个单位长度得到,
∴直线PH的解析式为y=x+5.
联立直线PH和抛物线的解析式,得:
y=−x2−2x+3y=x+5,
解得:x=−1y=4或x=−2y=3.
∴点P坐标为(-1,4)或(-2,3) .
② 当点P在BC下方时,同理可得直线PH由直线BC向下平移两个单位长度得到,
∴直线PH的解析式为y=x+1.
y=−x2−2x+3y=x+1,
解得:x=−3+172y=−1+172 或x=−3−172y=−1−172 .
∴点P坐标为(−3+172,−1+172)或(−3−172,−1−172).
综上所述:点P坐标为(-1,4)或(-2,3)或(−3+172,−1+172)或(−3−172,−1−172).
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用,涉及了待定系数法求解析式,二次函数的性质,圆的切线的性质,解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解,难度适中.
11.(2022春·广东深圳·九年级校考阶段练习)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0,c>0)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,且以AB为直径的圆经过点C.
(1)若点A(﹣4,0),点B(16,0),求C点坐标和函数关系式.
(2)若点D是圆与抛物线的交点(D与A、B、C不重合),在(1)的条件下,坐标轴上是否存在一点P,使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似?若存在,请求点P坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=−18x2+32x+8
(2)存在,P点坐标为(4,0)或(−323,0)或(0,56)或(443,0)
【分析】(1)由题意可知圆的圆心坐标为G(6,0),半径为10,则CG=10,可求C(0,8),再将A(﹣4,0),B(16,0)代入y=ax2+bx+8,即可求得解析式;
(2)由对称性可求出D(12,8),分四种情况讨论:①如图1,当∠CPB=∠CDB时,△BCD∽△CBP;②如图2,当∠CDB=∠CPB时,△BCD∽△PBC;③如图3,当P点在BD的延长线上时,△BCD∽△BPC;④如图4,当∠DCB=∠PBC时,△BCD∽△PBC,求出点P坐标即可.
(1)
解:∵A(﹣4,0),B(16,0),
∴AB=20,AB的中点G(6,0),
∴CG=10,
令x=0,则y=c,
∴C(0,c),
∴36+c2=100,
∴c=±8,
∵c>0,
∴c=8,
∴C(0,8),
将A(﹣4,0),B(16,0)代入y=ax2+bx+8,
∴16a−4b+8=0256a+16b+8=0,
解得a=−18b=32,
∴y=−18x2+32x+8;
(2)
坐标轴上存在一点P,使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似,理由如下:
∵y=−18x2+32x+8=−18(x﹣6)2+252,
∴抛物线的对称轴为直线x=6,
∵⊙G的圆心为(6,0),
∴C点与D点关于直线x=6对称,
∴D(12,8),
∴CD=12,
∵B(16,0),C(0,8),
∴BD=45,BC=85,
当P点在x轴上,BP∥CD,
∴∠BCD=∠CBP,
①如图1,当∠CPB=∠CDB时,△BCD∽△CBP,
∴∠DBC=∠BCP,
∴四边形CDBP是平行四边形,
∴CD=BP=12,
∴P(4,0);
②如图2,当∠CDB=∠CPB时,△BCD∽△PBC,
∴CDBC=BDPC=BCPB,
∴1285=85PB,
∴PB=803,
∴P(−323,0);
当P点在y轴上时,
∵A、B、C、D四点共圆,
∴∠CAB+∠CDB=180°,
∵CO⊥AB,AC⊥BC,
∴∠CAO=∠BCO,
∴∠OCB+∠CDB=180°,
∴∠PCB=∠CDB,
③如图3,当P点在BD的延长线上时,△BCD∽△BPC,
∴BCBP=CDCP=BDBC,
∴12CP=2585,
∴CP=48,
∴P(0,56);
④如图4,当∠DCB=∠PBC时,△BCD∽△PBC,
∴BCPB=CDBC=BDPC,
∴1285=25PC,
∴PC=203,
∴P(443,0);
综上所在:P点坐标为(4,0)或(−323,0)或(0,56)或(443,0).
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及性质,熟练掌握二次函数图象及性质,圆的性质,三角形相似的判定及性质是解题关键.
12.(2022·山东济宁·济宁学院附属中学校考二模)如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A(1,0)、B(−3,0),与y轴的正半轴交于点C
(1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式
(2)点D是线段OB上一动点,过点D作y轴的平行线,与BC交于点E,与抛物线交于点F,连接CF,BF,探究是否存在点D使得四边形ACFB的面积最大?若存在,求点D的坐标;若不存在,说明理由
(3)若点P在二次函数图象上,是否存在以P为圆心,2为半径的圆与直线BC相切,若存在,直接写点P的坐标;若不存在,说明理由
【答案】(1)y=−x2−2x+3;
(2)D(−32,0);
(3)点P的坐标为(−1,4)或(−2,3)或(−3+172,−1+172)或(−3−172,−1−172).
【分析】(1)将A、B坐标代入二次函数解析式求解即可;
(2)求得C点坐标,从而得到BC解析式,设D(m,0),则E(m,m+3),F(m,−m2−2m+3),根据S四边形ACFB=S△ABC+S△BCF求解即可;
(3)过点P作PG⊥BC,过点P作PH∥BC,过点P作x轴的垂线,交BC于点N,交x轴于点M,求出PH的解析式,联立直线PH和二次函数解析式,求解即可.
(1)
解:将点A(1,0)、B(−3,0)代入y=ax2+bx+3可得
a+b+3=09a−3b+3=0,解得a=−1b=−2
即解析式为:y=−x2−2x+3;
(2)
解:由y=−x2−2x+3可得C(0,3),
由B(-3,0),C(0,3)可得BC解析式为:y=x+3,
设D(m,0),则E(m,m+3),F(m,−m2−2m+3),
S四边形ACFB=S△ABC+S△BCF=12AB×OC+12EF×OB
=12×4×3+12×(−m2−2m+3−m−3)×3=−32m2−92+6
∵−32<0,
∴m=−32时,S四边形ACFB最大,此时D(−32,0),
(3)
解:过点P作PG⊥BC,过点P作PH∥BC,过点P作x轴的垂线,交BC于点N,交x轴于点M,如图:
由题意可得:OB=OC,
∴∠OBC=45°
∴∠PNG=45°
∴PG=NG
当以P为圆心,2为半径的圆与直线BC相切,可得PG=2,
∴PG=NG=2
∴PN=PG2+NG2=2,
即BC沿y轴向上或向下平移了2个单位,所以PH的解析式为y=x+1或y=x+5,
联立直线PH和二次函数解析式可得:
y=−x2−2x+3y=x+5或y=−x2−2x+3y=x+1
解得:x=−1y=4或x=−2y=3或x=−3+172y=−1+172或x=−3−172y=−1−172
∴点P的坐标为(−1,4)或(−2,3)或(−3+172,−1+172)或(−3−172,−1−172)
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用,涉及了待定系数法求解析式,二次函数的性质,圆的切线的性质,图象的平移,勾股定理,解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解,难度始终.
13.(2022秋·全国·九年级专题练习)已知二次函数的图象交x轴于点A(3,0),B(-1,0),交y轴于点C(0,-3),P这抛物线上一动点,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式:
(2)当△PAC是以AC为直角边的直角三角形时,求点P的坐标:
(3)抛物线上是否存在点P,使得以点P为圆心,2为半径的圆既与x轴相切,又与抛物线的对称轴相交?若存在,求出点P的坐标,并求出抛物线的对称轴所截的弦MN的长度;若不存在,请说明理由.(写出过程)
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)点P的坐标为(-2,5)或(1,-4);
(3)点P的坐标为1−2,−2或1+2,−2,抛物线的对称轴所截的弦MN的长度为22
【分析】(1)利用待定系数法求解即可;
(2)分当∠PAC=90°时,当∠PCA=90°时,两种情况讨论求解即可;
(3)由圆P的半径为2,且圆P与抛物线对称轴有交点,且与x轴相切,可得点P的纵坐标为-2,由此求出点P的坐标即可;过点P作PE⊥MN于E,由垂径定理可得MN=2ME,利用勾股定理求出ME即可得到答案.
【详解】(1)解:设抛物线解析式为y=ax+1x−3,把点C(0,-3)代入得,
a0+10−3=−3,
∴a=1,
∴抛物线解析式为y=x+1x−3=x2−2x−3;
(2)解:如图所示,当∠PAC=90°时,设PA与y轴交点为D,
∵点A坐标为(3,0),点C坐标为(0,-3),
∴OA=OC=3,
∵∠AOC=90°,
∴∠CAO=45°,
∴∠DAO=45°,
∴OA=OD=3,
∴点D的坐标为(0,3),
设直线AD的解析式为y=kx+b,
∴3k+b=0b=3,
∴k=−1b=3,
∴直线AD的解析式为y=−x+3,
联立y=−x+3y=x2−2x−3,
解得x=−2y=5或x=3y=0(舍去),
∴点P的坐标为(-2,5);
当∠PCA=90°,设直线PC与x轴的交点为E,
同理可证∠ECO=45°,即OE=OC,
∴点E的坐标为(-3,0),
同理可以求出直线PC的解析式为y=−x−3,
联立y=−x−3y=x2−2x−3,
解得x=1y=−4或x=0y=−3(舍去),
∴点P的坐标为(1,-4),
综上所述,点P的坐标为(-2,5)或(1,-4);
(3)解:∵抛物线解析式为y=x2−2x−3=x−12−4,
∴抛物线对称轴为直线x=1,
∴点A和点B到抛物线的对称轴的距离都为2,
∵圆P的半径为2,且圆P与抛物线对称轴有交点,且与x轴相切,
∴点P的纵坐标为-2,
当y=−2时,x2−2x−3=−2,
解得x1=1−2,x2=1+2,
∴点P的坐标为1−2,−2或1+2,−2,
过点P作PE⊥ME交抛物线对称轴于E,
∴PE=1+2−1=2或1−1−2=2,MN=2ME,
∴ME=MP2−PE2=2,
∴MN=22,
∴点P的坐标为1−2,−2或1+2,−2,抛物线的对称轴所截的弦MN的长度为22
【点睛】本题主要考查了二次函数综合,一次函数与几何综合,圆与函数综合,待定系数法求函数解析式等等,正确理解题意,利用分类讨论和数学结合的思想求解是解题的关键.
14.(2022·江苏盐城·校考一模)如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B为抛物线y=x2上的两个动点,且OA⊥OB.
(1)若点B的坐标是(2,m),则点A的坐标是 ;
(2)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,若△AOB与△OBC相似,求cos∠OBA.
(3)在(1)问的条件下,若点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点,EH垂直于X轴于点H,交线段AB于点F,以EF为直径的圆M与AB交于点R,求当△EFR周长取最大值时E点的坐标;
(4)在(3)问的条件下,以BH为直径作圆N,点P为圆N上一动点,连接AP,Q为AP上一点且AQ=12AP,连接HQ,求OQ的最小值;
【答案】(1)A(-12,14)
(2)22(要分类讨论)
(3)E(34,916)
(4)37316−28116
【分析】(1)设Ax,x2x<0,过点A作AE⊥x轴于点E,勾股定理求得OB,证明△OAE∽△BOC,根据相似三角形的性质,列出方程,解方程求解即可;
(2)过点A作AE⊥x轴于点E,过点O作OF⊥AB于点F,BC⊥x轴,垂足为C,设A(a,a2) ,B(b,b2),若△AOB与△OBC相似,分两种情况讨论,①根据相似三角形的性质求得∠BOC = ∠BAO,可得OC=OE,四边形AECB是矩形,OF =OC= BC,根据三角形内角和定理可得∠OBC=cos45°,然后求特殊角的三角函数值即可,第②种情况同①求得;
(3)直线AB的解析式为y=32x+1,设∠AFH=α,根据题意α不变,则sinα,cosα为定值,根据圆周角定理可得△EFR是直角三角形,则EF取得最大值时,△EFR周长最大,二次函数的性质求得EF的最大值时,m=34,即可求得点E的坐标,
(4)连接PN,AN,取AN的中点S,根据题意找到Q的轨迹是在以14BH为半径的⊙S上,进而根据勾股定理求得OS,PH的长,根据点圆关系求最值即可.
(1)
设Ax,x2x<0,过点A作AE⊥x轴于点E,
则OE=-x,AE=x2
所以OA=−x2+x22=−x1+x2
∵B2,m
代入y=x2,
∴m=22=4,
∴B(2,4),
∴OC = 2,BC = 4,
∴OB=OC2+BC2=25
∵∠AOB = 90°,
∴∠AOE +∠BOC = 90°,
∵∠OEA =∠BCO = 90°
∴∠AOE+∠OAE = 90°
∴∠OAE =∠BOC,
∴△OAE∽△BOC,
∴OEBC=OAOB
∴−x4=−x1+x225
∴1+x2=52
∵x<0
∴x=−12
∴x2=14
∴A−12,14
(2)
如图,
过点A作AE⊥x轴于点E,过点O作OF⊥AB于点F,BC⊥x轴,垂足为C
设A(a,a2) ,B(b,b2)
则OE=-a,AE=a2,
∵BC⊥x轴,垂足为C,
∴OC = b,BC = b2,
若△AOB与△OBC相似,分两种情况讨论:
①当∠ABO=∠CBO时,
∠BOC = ∠BAO,
由(1)知,∠BOC=∠OAE
:∴∠OAB= ∠OAE,
∴OC = OF,OE = OF,
∴OC=OE,
∴–a=b,
根据对称性,a2=b2,
∴AB//x轴,
∴四边形AECB是矩形,
∴OC在y轴上,
∴OF =OC= BC,
∴∠OBC=OCB=12180°−∠BCO= 45°
∴cos∠OBC=cos45°=22
②当∠ABO=∠BOC时,AB//x轴,同①可得cos∠OBC =22
综上,cos∠OBC =22
(3)
由①可知A−12,14,B(2,4),
设直线AB的解析式为y=kx+b
则14=−12k+b4=2k+b
解得k=32b=1
∴直线AB的解析式为y=32x+1
设Em,m2,则Fm,32m+1
∴EF =32m+1−m2
设∠AFH=α,根据题意α不变,则sinα,cosα为定值,依题意,EF是直径,则△EFR是直角三角形
∵△EFR周长为EF+FR+ER=EF+EF×cosα+EF×sinα=EF1+sinα+cosα
∴ EF取得最大值时,△EFR周长最大
∴m=−32−2=34时,△EFR周长最大,此时E32,94
(4)
∵AQ=12AP
如图,连接PN,AN,取AN的中点S,
∴SQNP=12
∵NP=12BH
∴SQ=14BH
∴Q在以14BH为半径的⊙S上
由(3)可知,H34,0,B2,4
∴N118,2
∴BH=2−342+42= 3734
∵A−12,14
∴S716,98
∴OS=7162+982= 28116
∴OQ最小值为OS−QS=OS−12NP=OS−14BH=37316−28116
【点睛】本题考查了二次函数综合,相似三角形的性质与判定,求余弦,二次函数综合问题-线段周长问题,中位线的性质,点与圆的位置关系,综合运用以上知识是解题的关键.
15.(2022·广西河池·统考二模)如图,二次函数y=ax2+4的图象与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且tan∠OAC=1.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D,求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形?若存在,直接写出点P坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=−14x2+4
(2)点D的坐标为−2,2
(3)存在,点P1的坐标为8,−12,点P2的坐标为−2−25,−2−25
【分析】(1)由题意可知C坐标,根据题意得到三角形AOC为等腰直角三角形,确定出A坐标,代入二次函数解析式求出a的值,即可确定出解析式;
(2)由题意连接OD,作DE∥y轴,交x轴于点E,DF∥x轴,交y轴于点F,如图1所示,由圆O与直线AC相切于点D,得到OD垂直于AC,由OA=OC,利用三线合一得到D为AC中点,进而求出DE与DF的长,确定出D坐标即可;
(3)根据题意分两种情况考虑:经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y=-x-4,与抛物线解析式联立求出P坐标;经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y=x,与抛物线解析式联立求出P坐标即可.
(1)
解:∵二次函数y=ax2+4的图象与y轴交于点C,
∴点C的坐标为0,4,
∵二次函数y=ax2+4的图象与x轴交于点A,tan∠OAC=1,
∴∠CAO=45°,
∴OA=OC=4,
∴点A的坐标为−4,0,
∴0=a−42+4,
∴a=−14,
∴二次函数的解析式为y=−14x2+4;
(2)
连接OD,作DE轴,交x轴于点E,DF轴,交y轴于点F,如图1所示,
∵⊙O与直线AC相切于点D,
∴OD⊥AC,
∵OA=OC=4,
∴点D是AC的中点,
∴DE=12OC=2,DF=12OA=2,
∴点D的坐标为−2,2;
(3)
直线OD的解析式为y=-x,如图2所示,
则经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y=-x-4,
解方程组y=−x−4y=−14x2+4,消去y,得x2−4x−32=0,即x−8x+4=0,
∴x1=8,x2=−4(舍去),
∴y=-12,
∴点P1的坐标为8,−12;直线AC的解析式为y=x+4,
则经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y=x,
解方程组y=xy=−14x2+4,
消去y,得x2+4x−16=0,即x=−2+25,
∴x1=−2−25,x2=−2+25(舍去),
∴y=−2−25,
∴点P2的坐标为−2−25,−2−25.
【点睛】本题属于二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法确定二次函数解析式,坐标与图形性质,直线与抛物线的交点,直线与圆相切的性质,锐角三角函数定义,以及等腰直角三角形的性质,熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键.
16.(2022春·湖北鄂州·九年级鄂州市第八中学(吴都中学)校考阶段练习)如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OB=OC ,tan∠ACO=13.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度.
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)存在点F,坐标为(2,-3)
(3)17±12
【分析】(1)先求得抛物线与x轴的交点坐标,再由两点式求得二次函数的表达式.
(2)先求得所有满足条件的点F的坐标,再代入抛物线表达式检验即可.
(3)分别讨论直线MN在x轴上方和下方时圆对应的半径即可.
(1)
解:由已知得:C(0,-3),A(-1,0)
设二次函数的表达式为:y=ax+1x−3
将C点坐标代入得:a=1
∴这个二次函数的表达式为y=x2−2x−3.
(2)
解:由函数的顶点式得:D(1,-4)
∴直线CD的解析式为:y=−x−3
∴E点的坐标为(-3,0)
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴F点的坐标为(2,-3)或(-3,-3)或(-4,3)
代入抛物线表达式检验,只有(2,-3)符合
∴存在这样点F(2,-3)
(3)
如图:
①当直线MN在x轴上方时,设圆的半径为R(R>0),则点N坐标为(R+1,R),代入抛物线表达式,解得R=1+172
②当直线MN在x轴的下方时,设圆的半径为r(r>0),则点N坐标为(r+1,-r),代入抛物线表达式,解得r=−1+172
综上,圆的半径为1+172或−1+172.
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数、平行四边形、圆的综合,熟练掌握各知识点的性质定理,数形结合分析题目是解题的关键.
17.(2022·新疆乌鲁木齐·统考一模)如图,已知二次函数y=−14x2+32x+4 的图像与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,顶点为D,连接BC;
(1)求顶点D的坐标;
(2)求直线BC的解析式;
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点,连接BE,CE,求△BCE面积的最大值;
(4)以AB为直径,M为圆心作圆M,试判断直线CD与圆M的位置关系,并说明理由
【答案】(1)(3,254)
(2)y=−12x+4
(3)16
(4)直线与圆M相交,理由见解析
【分析】(1)利用配方法将一般式解析式转化为顶点式解析式;
(2)先解得A(−2,0),B(8,0), C(0,4),再利用待定系数法,代入点B、C的坐标即可解答;
(3)根据中点公式解得点M的坐标,再利用两点间的距离公式解得CM,MD的长,比较MD
即顶点D的坐标(3,254);
(2)由(1)知C(0,4)
令y=0得−14(x−3)2+254=0
解得x1=8,x2=−2
∴A(−2,0),B(8,0)
设直线BC的解析式:y=kx+b,代入点B、C
b=48k+b=0
∴k=−12b=4
∴y=−12x+4
(3)如图,
设E(x,−14x2+32x+4)(0
=S△BHE+S梯形COHE−S△BOC
=12BH⋅EH+(EH+CO)⋅OH2−12BO⋅CO
=12(8−x)⋅(−14x2+32x+4)+(−14x2+32x+4+4)⋅x2−12×8×4
=−x2+8x
=−(x−4)2+16
即当x=4时,△BCE面积的最大值为16;
(4)直线与圆M的位置是相交,理由如下,
如图,M为BC的中点,
∴M(0+82,0+42)
即M(4,2)
∴CM=(0−4)2+(4−2)2=25,MD=(3−4)2+(254−2)2=3054
∵25=3204,3054<3204
∴MD
即直线与圆M的位置是相交.
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合,涉及配方法、待定系数法求一次函数的解析式、直线与圆的位置关系、勾股定理、中点公式、两点距离公式等知识,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.
18.(2021·浙江嘉兴·统考二模)定义:平面直角坐标系xOy中,过二次函数图像与坐标轴交点的圆,称为该二次函数的坐标圆.
(1)已知点P(2,2),以P为圆心,5为半径作圆.请判断⊙P是不是二次函数y=x2﹣4x+3的坐标圆,并说明理由;
(2)已知二次函数y=x2﹣4x+4图像的顶点为A,坐标圆的圆心为P,如图1,求△POA周长的最小值;
(3)已知二次函数y=ax2﹣4x+4(0<a<1)图像交x轴于点A,B,交y轴于点C,与坐标圆的第四个交点为D,连接PC,PD,如图2.若∠CPD=120°,求a的值.
【答案】(1)⊙P是二次函数y=x2﹣4x+3的坐标圆,理由见解析
(2)△POA周长的最小值为6
(3)a=43+312
【分析】(1)先求出二次函数y=x2-4x+3图像与x轴、y轴的交点,再计算这三个交点是否在以P(2,2)为圆心,5为半径的圆上,即可作出判断.
(2)由题意可得,二次函数y=x2-4x+4图像的顶点A(2,0),与y轴的交点H(0,4),所以△POA周长=PO+PA+OA=PO+PH+2≥OH+2,即可得出最小值.
(3)连接CD,PA,设二次函数y=ax2-4x+4图像的对称轴l与CD交于点E,与x轴交于点F,由对称性知,对称轴l经过点P,且l⊥CD,设PE=m,由∠CPD=120°,可得PA=PC=2m,CE=3m,PF=4-m,表示出AB、AF=BF,在Rt△PAF中,利用勾股定理建立方程,求得m的值,进而得出a的值.
【详解】(1)对于二次函数y=x2﹣4x+3,
当x=0时,y=3;当y=0时,解得x=1或x=3,
∴二次函数图像与x轴交点为A(1,0),B(3,0),与y轴交点为C(0,3),
∵点P(2,2),
∴PA=PB=PC=5,
∴⊙P是二次函数y=x2﹣4x+3的坐标圆.
(2)如图1,连接PH,
∵二次函数y=x2﹣4x+4图像的顶点为A,坐标圆的圆心为P,
∴A(2,0),与y轴的交点H(0,4),
∴△POA周长=PO+PA+OA=PO+PH+2≥OH+2=6,
∴△POA周长的最小值为6.
(3)如图2,连接CD,PA,
设二次函数y=ax2﹣4x+4图像的对称轴l与CD交于点E,与x轴交于点F,
由对称性知,对称轴l经过点P,且l⊥CD,
∵AB=16−16aa=41−aa,
∴AF=BF=21−aa,
∵∠CPD=120°,PC=PD,C(0,4),
∴∠PCD=∠PDC=30°,
设PE=m,则PA=PC=2m,CE=3m,PF=4﹣m,
∵二次函数y=ax2﹣4x+4图像的对称轴l为x=2a,
∴3m=2a,即a=23m,
在Rt△PAF中,PA2=PF2+AF2,
∴4m2=(4−m)2+(21−aa)2,
即4m2=(4−m)2+4(1−23m)43m2,
化简,得(8+23)m=16,解得m=84+3,
∴a=23m=43+312.
【点睛】此题是二次函数与圆的综合题,主要考查了二次函数的性质、圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理等知识以及方程的思想,添加辅助线构造直角三角形是解答本题的关键.
19.(2022·湖南长沙·模拟预测)已知二次函数的图象经过点A(2,0),B(−4,0),C(0,4),点F为二次函数第二象限内抛物线上一动点,FH⊥x轴于点H,交直线BC于点D,以FD为直径的圆⊙M与BC交于点E.
(1)求这个二次函数的关系式;
(2)当三角形EFD周长最大时.求此时点F点坐标及三角形EFD的周长;
(3)在(2)的条件下,点N为⊙M上一动点,连接BN,点Q为BN的中点,连接HQ,求HQ的取值范围.
【答案】(1)y=−12x2−x+4;(2)F(−2,4),△EFD的周长为22+2;(3)13−12≤HQ ≤13+12.
【分析】(1)根据A、B点的坐标可设交点式,然后代入C点坐标求解即可;
(2)由题意可直接判断出△FDE∽△BCO,从而可知C△FDEC△BCO=FDBC,然后通过设点表示出FD的长度,从而列出关于△FDE周长的二次函数解析式,利用二次函数的性质进行求解判断求解即可;
(3)连接ON,根据(2)的条件可确定出HQ为△BON的中位线,由此可先确定ON的取值范围,从而确定HQ的取值范围即可.
【详解】(1)∵抛物线与x轴交于A(2,0),B(−4,0)两点,
∴设抛物线的解析式为:y=ax−2x+4,
由抛物线经过C(0,4),
∴将C(0,4)代入y=ax−2x+4,解得:a=−12,
∴抛物线的解析式为:y=−12x−2x+4,
即:y=−12x2−x+4;
(2)∵FH⊥x轴,
∴FH∥y轴,∠FDE=∠BCO,
∴△FDE∽△BCO,则C△FDEC△BCO=FDBC,
根据B(−4,0),C(0,4),可得直线BC的解析式为:y=x+4,
设Fm,−12m2−m+4,则Dm,m+4,
∴FD=yF−yD=−12m2−2m,
在△BCO中,OB=OC=4,BC=42,
∴C△BCO=8+42,
∴C△FDE8+42=−12m2−2m42,
整理得:C△FDE=−2+12m+22+22+2,
∵−2−12<0,
∴当m=−2时,C△FDE取得最大值,最大值为22+2,
将m=−2代入抛物线解析式可得:y=4,
∴点F的坐标为F(−2,4),△EFD的周长为22+2;
(3)由(2)可知,F(−2,4),D(-2,2),
∴H(-2,0),BH=OH,即H为BO的中点,
∵FD为⊙M的直径,
∴M(-2,3),
∵Q为BN的中点,
∴如图所示,连接ON,则HQ为△BON的中位线,
∴HQ=12ON,即求出ON的取值范围即可,
①∵点N在⊙M运动,
∴当O、M、N三点共线的时候,ON最长,如图所示,
此时,ON=OM+MN,
∵OM=MH2+OH2=32+22=13,MN=MD=1,
∴ON=13+1;
②当O、N、M三点共线时,ON最短,如图所示,
此时,ON=OM-MN,即:ON=13−1,
∴可得ON的取值范围是:13+1≤ON≤13−1,
∴由HQ=12ON,得HQ的取值范围是:13+12≤HQ≤13−12.
【点睛】本题考查二次函数的综合问题,相似三角形的判定与性质,灵活求解函数解析式,熟练掌握函数法求几何图形面积或周长的最值问题,以及数形结合的思想进行转化是解题关键.
20.(2022·江苏无锡·校考一模)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A和B3,0两点,与y轴交于C0,−2,对称轴为直线x=54,连接BC,在直线BC上有一动点P,过点P作y轴的平行线交二次函数的图像于点N,交x轴于点M,
(1)求抛物线与直线BC的函数解析式;
(2)设点M的坐标为m,0,求当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值:
(3)若点P在线段BC上运动,则是否存在这样的点P,使得△CPN与△BPM相似,若存在请直接写出点P的坐标,若不存在,请写出理由.
【答案】(1)抛物线解析式为y=43x2−103x−2,直线BC解析式为y=23x−2
(2)32或92
(3)存在,52,−13或118,−1312
【分析】(1)根据二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=54,可得5a=−2b,再利用待定系数法,即可求解;
(2)根据以PN为直径的圆与y轴相切,可得2OM=PN ,然后分两种情况:当点P在点N上方时和当点P在点N下方时,即可求解;
(3)设点Ms,0 ,则点Ps,23s−2 ,Ns,43s2−103s−2 ,然后分两种情况:当∠PNC=∠PMB=90°时和当∠PCN=∠PMB=90°时,即可求解.
【详解】(1)解:∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=54,
∴−b2a=54 ,即5a=−2b ,
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B3,0,与y轴交于C0,−2,
∴9a+3b+c=0c=−25a=−2b ,解得:a=43b=−103c=−2 ,
∴二次函数的解析式为y=43x2−103x−2,
设直线BC的解析式为y=kx+nk≠0 ,
把点B3,0,C0,−2代入得:
3m+n=0n=−2 ,解得:m=23n=−2 ,
∴直线BC解析式为y=23x−2;
(2)解: 根据题意得:点Pm,23m−2 ,Nm,43m2−103m−2 ,
∵以PN为直径的圆与y轴相切,
∴2OM=PN ,
当点P在点N上方时,
PN=23m−2−43m2−103m−2=−43m2+4m ,
∴2m=−43m2+4m ,
解得:m=32 或m=0(舍去),
当点P在点N下方时,
PN=43m2−103m−2−23m−2=43m2−4m,
∴2m=43m2−4m,
解得:m=92或m=0(舍去),
∴当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值为32或92;
(3)解:存在,理由如下:
设点Ms,0 ,则点Ps,23s−2 ,Ns,43s2−103s−2 ,
∴PM=0−23s−2=−23s+2,PC=s2+23s−2−−22=133s ,BM=3−s ,PN=23s−2−43s2−103s−2=−43s2+4s ,
根据题意得:∠CPN=∠BPM,
当∠PNC=∠PMB=90°时,△PBM∽△PCN,
∴CN∥x轴,
∴43s2−103s−2=−2,解得:s=52 或s=0 (舍去),
∴点P52,−13 ,
当∠PCN=∠PMB=90°时,△PBM∽△PNC,
,
∴S△PBMS△PCN=PMPC2 ,
∴123−s−23s+212s−43s2+4s=−23s+2133s2 ,解得:s=118 或s=3 (舍去),
∴点P118,−1312 ,
综上所述,存在这样的点P 52,−13或118,−1312,使得△CPN与△BPM相似.
【点睛】本题主要考查了二次函数与相似三角形以及圆的综合题,熟练掌握相关知识点,并利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键.
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