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第一章 三角形的证明（培优卷）——2022-2023学年八年级下册数学单元卷（北师大版）（原卷版+解析版）
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第一章 三角形的证明（B卷·能力提升练）
（时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案中是正确的，每小题2分，共20分）
- 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为
A．9 B．7 C．12 D．9或12
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于，则三角形不存在；
（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故选：．
- 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为
A． B． C． D．或
【分析】题中没有指明该角是顶角还是底角，故应该分两种情况进行分析．
【解答】解：当这个角是底角时，其顶角；
当这个角是顶角时，顶角；
故选：．
- 如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】由为的平分线，得到一对角相等，再由与平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换得到，再由等角对等边得到，同理，然后利用三边之和表示出三角形的周长，等量代换得到其周长等于的长，由的长即可求出三角形的周长．
【解答】解：平分，
，
又，
，
，
，
同理，
，
则的周长．
故选：．
- 下列命题不正确的是
A．等腰三角形的底角不能是钝角
B．等腰三角形不能是直角三角形
C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形
D．两个全等的且有一个锐角为的直角三角形可以拼成一个等边三角形
【分析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果．
【解答】解：本题可采用排除法；
、利用等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，若两底角均为钝角，不能构成三角形，故这种说法错误，故不选；
、举反例：等腰直角三角形，故不正确．
即答案选．
- 下列条件不能判定两个直角三角形全等的是
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
【分析】根据三角形全等的判定定理判断即可．
【解答】解：、根据定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
、根据定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
、根据定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；
故选：．
- 如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上； ②； ③； ④．正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得平分，从而判断出①正确，然后证明出与全等，根据全等三角形对应边相等即可得到②正确，然后根据等边对等角的性质可得，然后得到，然后根据内错角相等两直线平行可得，从而判断出③正确；④由，，即可得到④正确．
【解答】解：是等边三角形，，，且，
在的平分线上，故①正确；
，，
，
，故②正确；
，
，
，故③正确；
由③得，是等边三角形，
，
又由②可知，④，故④也正确，
①②③④都正确，
故选：．
- 如图所示，在直角三角形中，已知，点是的中点，且，交的延长线于点、交于点，若，，则的长是
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】连接，由直角三角形的性质求出，根据中垂线的性质求出，求出，则可得出．
【解答】解：连接，
，，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
又，
，
．
故选：．
- 用反证法证明“”时，应假设
A． B． C． D．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．要注意的是的反面有多种情况，需一一否定．
【解答】解：用反证法证明“”时，应先假设．
故选：．
- 如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形是其中一腰），则图中符合条件的格点有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】首先由勾股定理可求得的长，然后分别从，，去分析求解即可求得答案．
【解答】解：如图所示：
由勾股定理得：，
①若，则符合要求的有：，，共4个点；
②若，则符合要求的有：，共2个点；
若，则不存在这样格点．
这样的点有5个．
故选：．
- 如图，，，，若，则
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】过点作，交于点，先证明是等边三角形，再证明，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得的长，最后将与相加即可．
【解答】解：如图，过点作，交于点
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，即，
是等边三角形，，
平分，
，
在中，，
；
方法二、
，，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，，
平分，
，
，，
，
；
故选：．
二、填空题（每小题3分，共18分）
- 如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 7 ．
【分析】可判定，从而得出，则．
【解答】解：，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为7．
- 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是 或 ．
【分析】先分情况讨论：是等腰三角形的底角或是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【解答】解：当是等腰三角形的顶角时，则顶角就是；
当是等腰三角形的底角时，则顶角是．
故答案为：或．
- 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点，，若为，的周长为，则的周长为 18 ．
【分析】由已知条件，利用垂直平分线的性质可得其两条边，然后等效替换即可求出周长．
【解答】解：垂直平分，
，
，，
的周长为，
，
的周长．
故填18．
- 等边三角形的每个内角都等于 60 度．
【分析】根据等边三角形各边长相等的性质即可求得，根据三角形内角和为的性质即可求得，即可解题．
【解答】解：等边三角形各边长相等，
，
三角形内角和为，
．
故答案为：60．
- 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 或 ．
【分析】本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
【解答】解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为50，则顶角是，因而底角是；
如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：，，
故，
所以，
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为或．
故答案为：或．
- 如图，在中，、分别是和的平分线，过点作交于、交于，若，，则周长为 7 ．
【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，即可得出；求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：是，平分线的交点，
，，
，
，，
，，
，，
，
即，
的周长，
，，
的周长，
故答案为7．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
- 如图，在中，，为边的中点，于点，于点，．求证：是等边三角形．
【分析】证明得到，则，然后根据等边三角形的判定方法得到结论．
【解答】证明：为的中点，
．
，，
．
在和中，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
- 如图，，，点是上一点，于，于，，求证：．
【分析】连接，由直角三角形全等的“ “判定定理证得，根据全等三角形的性质得到，再由直角三角形全等的“ “判定定理即可证得．
【解答】解：连接，
，
在和中，
，
，
，
于，于，
，
在和中，
，
．
- 如图，在中，，是边上的中线，是边上的一点，且．求证：．
【分析】根据等腰三角形的性质得出，再得出．
【解答】证明：，是边上的中线，
，
，
又，
，
．
四、解答题：（第20题10分，第21题12分，共22分）
- 已知：如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求的周长．
【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，可得，进一步即可得证；
（2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可．
【解答】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
，
的周长，
，，
，
的周长为．
- 如图，在中，，点是上一点，点是上一点，且．若，，求的度数．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，进而得到，由，得到，由，进而求出结论．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
五、解答题：（本题12分）
- 如图，是等边三角形，是中线，延长至，，
（1）求证：．
（2）在图中过作交于，若，求的周长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到．
（2）由的长可求出，进而可求出的长，则的周长即可求出．
【解答】（1）证明：是等边三角形，是中线，
．
（等腰三角形三线合一）．
又，
．
又，
．
．
（等角对等边）；
（2），
，
，
，
，
，
的周长．
六、解答题：（本题12分）
- 如图，一只船从处出发，以18海里时的速度向正北航行，经过10小时到达处．分别从、处望灯塔，测得，度．求处与灯塔距离．
【分析】本题的关键是利用题中给出的角的度数，求得，再速度乘时间就是路程，从而求出的长．
【解答】解：是的外角
（海里）
因此处与灯塔距离是180海里．
七、解答题：(本题12分)
- 如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．
【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得，结合（1）中的结论可得为，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及的度数可得的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【解答】证明：（1），
，
，
是等边三角形．
解：
（2）是直角三角形．
理由如下：
是等边三角形，
，
，，
，
，
是直角三角形．
（3）是等边三角形，
．
，，
，
，
．
①当时，，
．
②当时，，
．
③当时，
，
．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
