04 一元二次不等式及一元二次方程——【冲刺2023】高考数学考试易错题（新高考专用）（原卷版+解析版）

专题04   一元二次不等式、一元二次不等式

易错知识

1．解分式不等式时要注意分母不能为零；

2．“大于取两边，小于取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零；

3．解决有关一元二次不等式恒成立问题要注意给定区间的开闭；

4. 有关一元二次方程根的分布条件列不全致错；

5. 解一元二次不等式时要注意相应的一元二次方程两根的大小关系；

易错分析

一、忽视分式不等式中的分母不能为零致错

1．不等式≤1的解集是________．

【错解】由≤1得－1≤0，得≤0，得≥0，得(x－1)(x＋1)≥0，得x≤－1或x≥1，所以原不等式的解集为{x|xx≤－1或x≥1}．

【错因】

【正解】

二、忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错

2.若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是(　 )

A．(－2,2)  B．(2，＋∞)  C．(－2,2]  D．[－2,2]

【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.若该不等式恒成立，必须满足

解得－2＜m＜2.综上知实数m的取值范围是(－2,2)，

选A．

【错因】

【正解】

提示：当不等式中最高项的系数含有参数时，要对其分情况讨论，不是见参就讨论，比如下面这个题目是不用讨论的。

例：若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为________．

解析：由题意有4a2－4×18<0，可得－3<a<3. 实数a的取值范围为(－3，3)。

三、忽视口诀：大于取两边，小于取中间的使用条件致错．

3．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为(　 )

A.  B.

C．{x|x≤或x≥2}． D．

【错解】由(x－2)(3－2x)≥0解得x≤或x≥2，故不等式的解集为.选C　

【错因】

【正解】

四、一元二次不等式恒成立问题中忽视区间的开闭致错

4．当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是(　 )

A．(－∞，－] B.

C.  D．

【错解】当1≤x≤3时，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a<2－恒成立，令f(x)＝2－＝2－，则当x＝2时，f(x)min＝－，所以a≤－,选A。

【错因】

【正解】

5．若不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1,2)恒成立，则实数t的取值范围为(　 )

A．(－∞，2)  B.

C．[1，＋∞)  D．

【错解】因为不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1,2)恒成立，所以t>＝x＋在区间(1,2)上恒成立，由对勾函数的性质可知函数y＝x＋ 在区间(1,2)上单调递增，且当x＝2时，y＝2＋＝，所以x＋<，故实数t的取值范围是t>.选B.

【错因】

【正解】

五、有关一元二次方程根的分布条件列不全致错

6． 若方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________．

【错解】设方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根为则，

则，即，即

解得m<－4，故m的取值范围是(－∞，－4)．

【错因】

【正解】

六、解一元二次不等式时忽视两根大小而致错

7．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．

【错解】原不等式可化为 (x－1)<0(a>0).解得<x<1，

          则该不等式的解集为.

【错因】

【正解】

【提示】对含参的不等式，应对参数进行分类讨论

(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．

(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．

(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．

易错题通关

1．若a<0，则关于x的不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为(　 )

A.   B.

 C．  D．

2．若对于任意的x∈[0,2]，不等式x2－2x＋a>0恒成立，则a的取值范围为(　 )

A．(－∞，1)  B．(1，＋∞)

C．(0，＋∞)  D．[1，＋∞)

3．已知关于的不等式对任意恒成立,则的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

4．若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ）

A． B．

C． D．

5．已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

6．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．     B． C． D．

7．在R上定义运算: ，若不等式 对任意实数恒成立，则实数的最大值为（    ）

A． B．  C． D．

8．已知关于x的不等式mx2＋mx＋m<1对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是(　 )

A．(－∞，0]∪           B．(－∞，0]

C．(－∞，0)∪           D．(－∞，0)

9．已知函数f(x)在R上为增函数，若不等式f(－4x＋a)≥f(－3－x2)对∀x∈(0,3]恒成立，则a的取值范围为(　 )

A．[－1，＋∞)  B．(3，＋∞)

C．[0，＋∞)  D．[1，＋∞)

10．已知函数f(x)在R上为增函数，若不等式f(－4x＋a)≥f(－3－x2)对∀x∈(0,3]恒成立，则a的取值范围为(　 )

A．[－1，＋∞)  B．(3，＋∞)

C．[0，＋∞)  D．[1，＋∞)

11. 若关于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1≥0的解集为空集，则实数m的取值范围为(　 )

A.  B.∪

C.  D．(0，＋∞)

12．设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

13．设集合，若，则实数的取值范围是____________；

14．函数f(x)＝x2＋ax＋3，若a∈[4,6]，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是___________．

15．解关于的不等式：．（且）．

16. 解关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0.

17．设函数f(x)＝mx2－mx－1.

(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；

(2)解不等式f(x)<(m＋1)x－3.

18．已知函数.

（1）若，，求函数的最小值；

（2）若，解关于的不等式.

19．已知函数．

（1）解关于的不等式；

（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．