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中考数学考点一遍过 考点14 等腰三角形与直角三角形
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这是一份中考数学考点一遍过 考点14 等腰三角形与直角三角形，共64页。试卷主要包含了学会运用函数与方程思想，学会运用数形结合思想，要学会抢得分点，学会运用等价转换思想，学会运用分类讨论的思想，转化思想等内容，欢迎下载使用。
中考数学总复习六大策略
1、学会运用函数与方程思想。
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
常见的转化要领有：
（1）直接转化法：把原问题直接转化为根基定理、根基公式或根基图形问题。
（2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较庞大的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的根基问题。
（3）数形结正当：研究原问题中数量干系（解析式）与空间形式（图形)干系，通过相互调动得到转化途径。
（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，到达化归的目的
（5）特殊化要领：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题。
（6）结构法：“结构”一个符合的数学模型，把问题变为易于解决的问题。
（7）坐标法：以坐标系为工具，用计较要领解决几许问题也是转化要领的一个重要途径。
考点14 等腰三角形与直角三角形
该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用,也是考查重点,年年都会考查,分值为10 分左右，预计2021年各地中考还将出现,并且在选择、填空题中考查等腰(等边)三角形和勾股定理与中位线性质、三角形全等、三角形内外角性质、尺规作图等知识点结合考察,这部分知识需要学生扎实地掌握基础,并且会灵活运用.在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定,这部分知识主要考查基础.
一、等腰三角形
1．等腰三角形的性质
定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)．
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
2．等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等边)．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
二、等边三角形
1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．
2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
三、直角三角形与勾股定理
1．直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：(1)直角三角形两锐角互余；
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
判定：(1)两个内角互余的三角形是直角三角形；
(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
2．勾股定理及逆定理
(1)勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．
(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
考向一 等腰三角形的性质
1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．
3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可为钝角(或直角)．
4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则
1．(2020·青海中考真题)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
【答案】D
【分析】先根据等腰三角形的定义，分的内角为顶角和的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】(1)当的内角为等腰三角形的顶角,则另外两个内角均为底角，它们的度数为
(2)当的内角为等腰三角形的底角，则另两个内角一个为底角，一个为顶角;底角为，顶角为
综上，另外两个内角的度数分别是或故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
2．(2020·四川泸州市·中考真题)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
【详解】解：过点A作AF⊥BC，∵AB=AC，∴BF=BC=2，在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，∴即，
解得CD=，同理BE=，∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，故选：A.
【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。
1．(2020·山东滨州市·中考真题)在等腰ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为________．
【答案】
【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°-2×50°=80°．故答案为：80°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两底角相等的性质．
4．(2020·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题)等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是_____．
【答案】10或11
【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，根据题意，正确分情况讨论是解题的关键．
考向二 等腰三角形的判定
1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．
2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．
1．(2020·浙江台州市·中考真题)如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．
(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)判断△BOC的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)等腰三角形，理由见解析．
【分析】(1)由“SAS”可证△ABD≌△ACE；(2)由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论．
【详解】证明：(1)∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)；
(2)△BOC是等腰三角形，
理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE，
∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO，∴△BOC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键．
2．(2020·四川南充市·中考真题)如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=( )
A． B． C．a-b D．b-a
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可．
【详解】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，∴∠ABD=36°=∠A，∴BD=AD，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，∴BD=BC，
∵AB=AC=a，BC=b，∴CD=AC-AD=a-b，故选：C．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答．
1．(2020·广东中考真题)如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点，求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】先证明，得到，，进而得到，故可求解．
【详解】证明：在和中
∴∴∴
又∵∴即∴是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．
考向三 等边三角形的性质
1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．
2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
1．(2020·浙江绍兴市·中考真题)如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD．若BD的长为2，则m的值为_____．
【答案】2或2．
【分析】由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到BE＝，当点D、B在AC的两侧时，如图，证出BE＝DE，即可求出m；当点D、B在AC的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，
∵△ABC是等边三角形，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，
设垂足为E，∵AC＝AB＝2，∴BE＝AB·sin60°=，
当点D、B在AC的两侧时，如图，∵BD＝2，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；
当点D、B在AC的同侧时，如图，∵＝2，∴＝3，∴＝＝2，∴m＝2，综上所述，m的值为2或2，故答案为：2或2．
【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、垂直平分线的性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握等边三角形的性质、垂直平分线的性质、分类讨论的数学思想、锐角三角函数和勾股定理是解决此题的关键．
2．(2020·吉林中考真题)如图，是等边三角形，，动点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，过点作，交折线于点，以为边作等边三角形，使点，在异侧．设点的运动时间为，与重叠部分图形的面积为．(1)的长为______(用含的代数式表示)．(2)当点落在边上时，求的值．
(3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)当时，；当时，；当时，．
【分析】(1)根据“路程速度时间”即可得；(2)如图(见解析)，先根据等边三角形的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后在中，利用直角三角形的性质列出等式求解即可得；
(3)先求出点Q与点C重合时x的值，再分、和三种情况，然后分别利用等边三角形的性质、正切三角函数、以及三角形的面积公式求解即可得．
【详解】(1)由题意得： 故答案为：；
(2)如图，和都是等边三角形
，即，
在和中，
在中，，即 解得；
(3)是等边三角形
当点Q与点C重合时， 则，解得
结合(2)的结论，分以下三种情况：①如图1，当时，重叠部分图形为
由(2)可知，等边的边长为
由等边三角形的性质得：PQ边上的高为 则
②如图2，当时，重叠部分图形为四边形EFPQ
则在中，，
在中，，即
则
③如图3，当时，重叠部分图形为
同②可知，，
在中，，即
则
综上，当时，；当时，；
当时，．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质、正切三角函数等知识点，较难的是题(3)，依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键．
1．(2020·福建中考真题)如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是( )
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．
【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面积是．故选D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
2．(2020·浙江嘉兴市·中考真题)如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是( )
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，据此即可求解．
【详解】解：作AM⊥BC于M，如图：
重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形．
∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°，
∴AM＝BM＝，∴△ABC的面积＝BC×AM＝×3×＝，
∴重叠部分的面积＝△ABC的面积＝；故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外心、等边三角形的性质以及旋转的性质，理解连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都为全等的等边三角形是关键．
考向四 等边三角形的判定
在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．
1．(2020·湖北宜昌市·中考真题)如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置)测得的相关数据为：米，则________米．
【答案】48
【分析】先说明△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°∴△ABC是等边三角形 ∴AC=BC=48米．故答案为48．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，证得△ABC是等边三角形是解答本题的关键．
2．(2020·四川宜宾市·中考真题)如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形
【答案】C
【分析】先证明，得到，根据已知条件可得，证明，得到，即可得到结果；
【详解】∵都是等边三角形，∴，，，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，，又∵，∴，
在和中，∴，
∴，，∴，
∴是等边三角形．故答案选C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，正确分析题目条件是解题的关键．
1．(2020·浙江台州市·中考真题)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是_____ ．
【答案】6
【分析】先说明△DEF是等边三角形，再根据E，F是边BC上的三等分求出BC的长，最后求周长即可.
【详解】解：∵等边三角形纸片ABC∴∠B=∠C=60°
∵DE∥AB，DF∥AC∴∠DEF=∠DFE=60°∴△DEF是等边三角形∴DE=EF=DF
∵E，F是边BC上的三等分点,BC=6∴EF=2∴DE=EF=DF=2∴△DEF= DE+EF+DF=6故答案为6．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三等分点的意义，灵活应用等边三角形的性质是正确解答本题的关键．
2．(2020·四川中考真题)如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到．此时恰好点C在上，交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由旋转的性质得出BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，则△BCC'是等边三角形，∠CBC'=60°，得出∠BEA=90°，设CE=a，则BE=a，AE=3a，求出，可求出答案．
【详解】∵∠A=30°，∠ABC=90°，∴∠ACB=60°，
∵将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'，∴BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，
∴△BCC'是等边三角形，∴∠CBC'=60°，∴∠ABA'=60°，∴∠BEA=90°，
设CE=a，则BE=a，AE=3a，∴，∴，∴△ABE与△ABC的面积之比为．故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
考向五 “三线合一”
等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
1．(2020·贵州铜仁市·中考真题)已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为( )
A．2 B．3 C．4 D．4
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解即可．
【详解】根据等边三角形的三线合一性质：设它的边长为x，可得：，
解得：x＝4，x＝﹣4(舍去)，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形“三线合一”的性质，运用勾股定理列出方程求解是解答此类问题的常用方法．
2．(2020·内蒙古赤峰市·中考真题)如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得．
【详解】，AD是的平分线
，且AD是BC边上的中线(等腰三角形的三线合一)是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径
外接圆的面积为 故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键．
1．(2020·湖北荆门市·中考真题)中，，D为的中点，，则的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接AD，用等腰三角形的“三线合一”，得到的度数，及，由得，得，计算的面积即可．
【详解】连接AD，如图所示：
∵，且D为BC中点
∴，且，∴中，
∵∴∴故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，及解直角三角形和三角形面积的计算，熟知以上知识是解题的关键．
考向六 直角三角形
在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边(30°角所对的直角边)等于另一边(斜边)的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．
1．(2020·海南中考真题)如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出．
【详解】解：∵
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，∴cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，由旋转的性质可知：，且，
∴为等边三角形，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
2．(2020·广东中考真题)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_________．
【答案】
【分析】根据当、、三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．
【详解】如图当、、三点共线，距离最小，
∵，为的中点，∴，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键．
1．(2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．
【答案】
【分析】首先证明DB=AD=2CD，然后再由条件BC=可得答案．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝AD．
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AD，∴BD＝2CD．
∵BC＝，∴CD＋2CD＝，∴CD＝，∴DB＝，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
2．(2020·山东济宁市·中考真题)如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是( )
A．4 B．2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面积．
【详解】解：过点B作BH⊥CD于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，则∠BDH=60°，
∵BD=4，BD：CD=2：1∴DH=2，BH=2，CD=2，
∴△DBC的面积为CD•BH=×2×2=2.故选B.
【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
考向七 勾股定理
1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．
2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
1．(2020·浙江绍兴市·中考真题)如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为_____．
【答案】4．
【分析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可.
【详解】解：由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，
故直角三角形的另一条直角边长为：，
故阴影部分的面积是：，故答案为：4.
【点睛】此题考查勾股定理解三角形，正方形的性质，正确理解正方形的边长3与直角三角形的关系是解题的关键.
2．(2020·山东烟台市·中考真题)如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝(3﹣x)2，解得x＝，∴DE＝EF＝3﹣x＝，∴tan∠DAE＝，故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．
1．(2020·山东烟台市·中考真题)如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为( )
A．()n B．()n﹣1 C．()n D．()n﹣1
【答案】B
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．
【详解】解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，∴OA2＝；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴OA3＝2＝；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴OA4＝2＝．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴OA5＝4＝，……
∴OAn的长度为()n﹣1，故选：B．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．
2．(2020·陕西中考真题)如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝，
∴，∴，∴BD＝，故选：D．
【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
1．(2020·贵州铜仁市·中考真题)已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于( )
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
【答案】B
【分析】当m=4或n=4时，即x=4，代入方程即可得到结论，当m=n时，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到结论．
【详解】当m=4或n=4时，即x=4，∴方程为42﹣6×4+k+2=0，解得：k=6；
当m=n时，﹣6+k+2=0∵，，，
∴，解得：，
综上所述，k的值等于6或7，故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键．
2．(2020·广西中考真题)如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCA，进而求得∠ACD，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，利用角平分线定义求解即可．
【详解】∵在中，，∴，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴，故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义和作法，熟练掌握等腰三角形的性质以及角平分线的尺规作图法是解答的关键．
3．(2020·四川中考真题)已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为( )
A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．2
【答案】B
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB＝4，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．
【详解】解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，∴斜边AB＝4，
∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，
当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CM＝AB＝2，
∵PC＝2，∴PM＝CM﹣CP＝2﹣2，故选：B．
【点睛】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解．
4．(2020·山东济宁市·中考真题)一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是( )
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB即可．
【详解】解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，∴BC=AB，
∵AB=15海里/时×2时=30海里，∴BC=30海里，即海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选C.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出∠C=∠CAB，题目比较典型，难度不大．
5．(2020·湖南张家界市·中考真题)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为( )
A．2 B．4 C．8 D．2或4
【答案】A
【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
【详解】解：x2－6x+8=0 (x－4)(x－2)=0 解得：x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，
所以三角形的底边长为2，故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
6．(2020·重庆中考真题)如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若，，，的面积为2，则点F到BC的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．
【详解】解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝2，∴S△ADE＝4，
由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，
∴•(AF+DF)•BF＝4，∴•(3+DF)•2＝4，∴DF＝1，
∴DB＝＝＝，设点F到BD的距离为h，
则•BD•h＝•BF•DF，∴h＝，故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
7．(2020·黑龙江绥化市·中考真题)在中，，若，则的长是________．
【答案】17
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，∴AC2+BC2=AB2，
即(AB-2)2+82=AB2，解得AB=17．故答案为：17．
【点睛】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．
8．(2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题)如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．
【答案】10
【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．
【详解】解：在中，
∵，∴．
在中，．故答案为：10．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC是解决本题的关键．
9．(2020·江苏宿迁市·中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为_____．
【答案】5
【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=6，
∴∠ADB=90°，∴AB=，
∵E为AB的中点，∴DE=AB=5，故答案为：5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
10．(2020·四川雅安市·中考真题)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．
【答案】20
【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，∴AD2+BC2=22+42=20，故答案为：20.
【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理.
11．(2020·江苏常州市·中考真题)如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则_________°．
【答案】30
【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.
【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°.故答案为：30.
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF.
12．(2020·天津中考真题)如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．
【答案】
【分析】延长DC交EF于点M(图见详解)，根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．
【详解】解：如下图所示，延长DC交EF于点M，，，
平行四边形的顶点C在等边的边上，
，是等边三角形，．
在平行四边形中，，，
又是等边三角形， ，．
G为的中点，，是的中点，且是的中位线，
．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键．
13．(2020·湖北襄阳市·中考真题)如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=_______．
【答案】40°
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20°，∴∠B==80°，
∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，
∵AD=DC，∴∠C==40°．
14．(2020·湖北武汉市·中考真题)如图，折叠矩形纸片，使点落在边的点处，为折痕，，．设的长为，用含有的式子表示四边形的面积是________．
【答案】
【分析】首先根据题意可以设DE=EM=x，在三角形AEM中用勾股定理进一步可以用t表示出x，再可以设CF=y，连接MF，所以BF=2−y，在三角形MFN与三角形MFB中利用共用斜边，根据勾股定理可求出用t表示出y，进而根据四边形的面积公式可以求出答案.
【详解】设DE=EM=x，∴，∴x= ，设CF=y，连接FM，∴BF=2−y，
又∵FN= y，NM=1，∴，∴y=，
∴四边形的面积为：=∙1，故答案为：.
【点睛】本题主要考查了勾股定理的综合运用，熟练掌握技巧性就可得出答案.
15．(2020·辽宁阜新市·中考真题)如图，在中，，．将绕点B逆时针旋转60°，得到，则边的中点D与其对应点的距离是____________．
【答案】
【分析】先由旋转的旋转证明：为等边三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 绕点B逆时针旋转60°， 分别为的中点，
为等边三角形，
为中点，
故答案为：
【点睛】本题考查的是旋转的旋转，直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
16．(2020·贵州贵阳市·中考真题)如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为_____．
【答案】
【分析】如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则由线段垂直平分线的性质可得CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠EFC=∠A=2∠CBE，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定可得FC=FG，设CE=EF=x，则可根据线段间的和差关系求出DF的长，进而可求出FC的长，然后根据勾股定理即可求出CD的长，再一次运用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，
∵EA=EB，∴∠A=∠EBA，∵∠AEB=∠CEF，∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G，
∵∠EFC=∠G+∠FCG，∴∠G=∠FCG，∴FC=FG，
设CE=EF=x，则AE=BE=11－x，∴DE=8－(11－x)=x－3，∴DF=x－(x－3)=3，
∵DG=DB=8，∴FG=5，∴CF=5，
在Rt△CDF中，根据勾股定理，得，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键．
17．(2020·湖北中考真题)如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为_____．
【答案】12
【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，
∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA(SAS)，∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6
【点睛】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题．
18．(2020·江西中考真题)如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________．
【答案】
【分析】如图，连接，延长与交于点利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到 再次利用等腰三角形的性质得到：从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，延长与交于点
平分，， 是的垂直平分线，
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
19．(2020·辽宁大连市·中考真题)如图，中，，点在边上，．求证．
【答案】证明见解析．
【分析】
先根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差可得，然后根据三角形的判定与性质即可得证．
【详解】，，，，即，
在和中，，，，
即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
20．(2020·山东烟台市·中考真题)如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
(问题解决)(1)如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
(类比探究)(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)FC＝CD+CE，见解析
【分析】(1)在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC(SAS)，得出DH＝CF，即可得出结论；
(2)过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD(SAS)，得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．
【详解】(1)证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC(SAS)，∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；
(2)解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD(SAS)，
∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．
21．(2020·黑龙江牡丹江市·朝鲜族学校中考真题)等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=45º，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，∠CAD为90º，请画出图形，并直接写出点B到CD的距离．
【答案】画出图形见解析；点B到CD的距离为2或．
【分析】根据题目描述可以作出两个图形，利用等腰直角三角形的性质分别进行求解即可．
【详解】本题有两种情况：(1)如图，
∵是等腰直角三角形，，∴，
∵，∴，∴点B到CD的距离等于点A到CD的距离，
过点A作，∵，∴，∴点B到CD的距离为2；
(2)如图：
∵是等腰直角三角形，，∴，
∵，∴，∴点B到CD的距离即BE的长，
∵，∴，∴，即点B到CD的距离为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，根据题目描述作出两个图形是解题的关键．
22．(2020·湖北荆门市·中考真题)如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．(1)若，求的度数；(2)若，求的长．
【答案】(1)；(2)．
【分析】(1)先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质求出，，再根据垂直与外角的性质即可求出；(2)根据题意证明，再得到为等边三角形，故可得到，可根据三角函数的性质即可求出AF．
【详解】(1)∵，，∴．
∵平分，∴，
∵，∴，∴．
(2)∵，∴，又，
∴，∴， ∵
∴，∴，∴，∴为等边三角形，
∴，∴，∵，∴，
在中，．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知等腰三角形、等边三角形的判定与性质、三角函数的应用．
23．(2020·浙江绍兴市·中考真题)问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数． 答案：∠DAC＝45°
思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由；(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
【答案】(1)∠DAC的度数不会改变，值为45°；(2)n°．
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°-∠BAD＝90°-(45°+∠C)＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；(2)设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：(1)∠DAC的度数不会改变；∵EA＝EC，∴∠AED＝2∠C，①
∵∠BAE＝90°，∴∠BAD＝ [180°﹣(90°﹣2∠C)]＝45°+∠C，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣(45°+∠C)＝45°﹣∠C，②
由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°；
(2)设∠ABC＝m°，则∠BAD＝(180°﹣m°)＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，
∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，
∵EA＝EC，∴∠CAE＝∠AEB＝90°﹣n°﹣m°，
∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．
1．(2020·河北中考真题)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( )
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【答案】B
【分析】根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大三角形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形．
【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c，由勾股定理，得，
A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：；
B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：；
C、∵3+4≠5，则不符合题意；
D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：；∵，故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题．
2．(2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题)已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为( )
A．9 B．17或22 C．17 D．22
【答案】D
【分析】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可．
【详解】解：分两种情况：当腰为4时，，所以不能构成三角形；
当腰为9时，，所以能构成三角形，周长是：．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
3．(2020·浙江宁波市·中考真题)△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道( )
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长 C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
【答案】A
【分析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．
【详解】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG(AAS)，∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF
＝(BD+DF+AF)+(CE+BE)，＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
4．(2020·福建中考真题)如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于( )
A．10 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD的长．
【详解】∵是等腰三角形的顶角平分线∴CD=BD=5．故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识．
5．(2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题)如图，的垂直平分线交于点，若，则的度数是( )
A．25° B．20° C．30° D．15°
【答案】D
【分析】根据等要三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．
【详解】解：∵AB=AC，∠C=∠ABC=65°，∴∠A=180°-65°×2=50°，
∵MN垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°，故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理．
6．(2020·浙江绍兴市·中考真题)如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°＜θ＜90°)，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数( )
A．随着θ的增大而增大 B．随着θ的增大而减小 C．不变 D．随着θ的增大，先增大后减小
【答案】C
【分析】
由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．
【详解】
解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ(0°＜θ＜90°)，得到BP，
∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，
∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠PAH的度数是定值，故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
7．(2020·辽宁盘锦市·中考真题)我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度是尺，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：设芦苇的长度是尺，如下图
则，， 在中， 即故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键．
8．(2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题)如图，把某矩形纸片沿，折叠(点E、H在边上，点F，G在边上)，使点B和点C落在边上同一点P处，A点的对称点为、D点的对称点为，若，为8，的面积为2，则矩形的长为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出D′H＝x，由S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，可解得x=2，分别求出PE和PH，从而得出AD的长.
【详解】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，
设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，
又∵，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′P D′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，
∴∠A′PE=∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2=8：2，∴A′P：D′H=2：1，
∵A′P=x，∴D′H=x，∵S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，即，∴x=2(负根舍弃)，
∴AB=CD=2，D′H=DH=，D′P=A′P=CD=2，A′E=2D′P=4，
∴PE=，PH=，
∴AD==，故选D.
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
9．(2020·山东青岛市·中考真题)如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先证明再求解利用轴对称可得答案．
【详解】解：由对折可得：
矩形，
BC=8
由对折得： 故选C．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，轴对称的性质，掌握以上知识是解题的关键．
10．(2020·江苏无锡市·中考真题)如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为( )
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【答案】D
【分析】①通过分析图形，由线段在边上运动，可得出，即可判断出与不可能相等；②假设与相似，设，利用相似三角形的性质得出的值，再与的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；
③过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F，利用函数求四边形面积的最大值，设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值；
④作点D关于直线的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形P′CDQ′的周长为：，其值最小，再由D1Q′=DQ′=D2 P′，，且∠AD1D2=120°，∠D2AC=90°，可得的最小值，即可得解．
【详解】解：①∵线段在边上运动，，
∴,∴与不可能相等，则①错误；
②设，∵，，∴，即，
假设与相似，∵∠A=∠B=60°，∴，即，
从而得到，解得或(经检验是原方程的根)，
又，∴解得的或符合题意，即与可能相似，则②正确；
③如图，过P作PE⊥BC于E，过D作DF⊥AB于F，
设，由，，得，即，∴，
∵∠B=60°，∴，∵，∠A =60°，∴,
则，
，
∴四边形面积为：,
又∵，∴当时，四边形面积最大，最大值为：，
即四边形面积最大值为，则③正确；
④如图，作点D关于直线的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，
此时四边形P′CDQ′的周长为：，其值最小，
∴D1Q′=DQ′=D2 P′，，且∠AD1D2=180∠D1AB=180∠DAB =120°，
∴∠D1AD2=∠D2AD1==30°，∠D2AC=90°，
在△D1AD2中，∠D1AD2=30°，，∴，
在Rt△AD2C中，由勾股定理可得，，
∴四边形P′CDQ′的周长为：，
则④错误，所以可得②③正确，故选：D．
【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解．
11．(2020·湖北黄冈市·中考真题)已知：如图，在中，点在边上，，则_______度．
【答案】40
【分析】根据等边对等角得到，再根据三角形外角的性质得到，故，由三角形的内角和即可求解的度数．
【详解】解：∵，∴，∴，
∵，∴，∴，故答案为：40．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和，熟练掌握几何知识并灵活运用是解题的关键．
12．(2020·湖南岳阳市·中考真题)如图：在中，是斜边上的中线，若，则_________．
【答案】
【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质得出，则有，最后利用三角形外角的性质即可得出答案．
【详解】∵在中，是斜边上的中线，，∴．
∵，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质，掌握直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质是解题的关键．
13．(2020·辽宁阜新市·中考真题)如图，在中，，．将绕点B逆时针旋转60°，得到，则边的中点D与其对应点的距离是____________．
【答案】
【分析】先由旋转的旋转证明：为等边三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 绕点B逆时针旋转60°， 分别为的中点，
为等边三角形，
为中点，
故答案为：
【点睛】本题考查的是旋转的旋转，直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
14．(2020·湖南邵阳市·中考真题)如图，在中，，斜边，过点C作，以为边作菱形，若，则的面积为________．
【答案】
【分析】如下图，先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．
【详解】
如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，
∵根据题意四边形ABEF为菱形，∴AB=BE=，
又∵∠ABE=30°∴在RT△BHE中，EH=，根据题意，AB∥CF，
根据平行线间的距离处处相等，∴HE=CG=，∴的面积为．
【点睛】本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE=CG，最终求出直角三角形面积．
15．(2020·辽宁丹东市·中考真题)如图，在四边形中，，，，，点和点分别是和的中点，连接，，，若，则的面积是_________．
【答案】．
【分析】由题可得△ACD为等腰直角三角形，CD=8，可求出AD=AC=，点和点分别是和的中点，根据中位线定理和直角三角形斜边中线定理可得到EF=AD，BE=AC，从而得到EF=EB，又，得∠CAB=15°，∠CEB=30°进一步得到∠FEB=120°，又△EFB为等腰三角形，所以∠EFB=∠EBF=30°，过E作EH垂直于BF于H点，在Rt△EFH中，解直角三角形求出EH，FH,以BF为底，EH为高，即可求出△BEF的面积．
【详解】解：∵，，∴△ADC为等腰直角三角，
∵CD=8，∴AD=AC=CD=，∵E,F为AC，DC的中点，
∴FE∥AD，EF=AD=，∴BE=AC=，
∵AD=AC，∴EF=EB，△EFB为等腰三角形，又∵EF∥AD，∴EF⊥AC，∴∠FEC=90°，
又EB=EA，∴∠EAB=∠EBA=105°－90°=15°，∴∠CEB=30°，∴∠FEB=120°，∴∠EFB=∠EBF=30°，
过E作EH垂直于BF于H点，∴BH=FH，
在Rt△EFH中，∵∠EFH=30°，∴EH=EF·sin30°=×= ，
FH=EF·cos30°=×= ，∴BF=2×=，∴SBEF=BF·EH=××= ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，解直角三角形。正确的运用解题方法求出相关线段长度是解题的关键．
16．(2020·黑龙江牡丹江市·中考真题)如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接．则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则；⑥，正确的有___________．(只填序号)
【答案】①②③④⑤⑥
【分析】证明△BCF≌△CAE，得到BF=CE，可判断①；再证明△BFM≌△CEM，从而判断△EMF为等腰直角三角形，得到EF=EM，可判断③，同时得到∠MEF=∠MFE=45°，可判断②；再证明△DFM≌△NEM，得到△DMN为等腰直角三角形，得到DN=DM，可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出DE=EM，再证明△ADE≌△ACE，得到DE=CE，则有，从而判断⑤；最后证明△CDM∽ADE，得到，结合BM=CM，AE=CF，可判断⑥.
【详解】解：∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ACE=∠CBF，
又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC，∴△BCF≌△CAE(AAS)，∴BF=CE，故①正确；
由全等可得：AE=CF，BF=CE，∴AE-CE=CF=CE=EF，连接FM，CM，
∵点M是AB中点，∴CM=AB=BM=AM，CM⊥AB，
在△BDF和△CDM中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM，
∴∠DBF=∠DCM，又BM=CM，BF=CE，∴△BFM≌△CEM，∴FM=EM，∠BMF=∠CME，
∵∠BMC=90°，∴∠EMF=90°，即△EMF为等腰直角三角形，∴EF=EM=，故③正确，
∠MEF=∠MFE=45°，∵∠AEC=90°，∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正确，
设AE与CM交于点N，连接DN，∵∠DMF=∠NME，FM=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°，
∴△DFM≌△NEM，∴DF=EN，DM=MN，∴△DMN为等腰直角三角形，
∴DN=DM，而∠DEA=90°，∴，故④正确；
∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=45°，∵AE平分∠BAC， ∴∠DAE=∠CAE=22.5°，∠ADE=67.5°，
∵∠DEM=45°，∴∠EMD=67.5°，即DE=EM，
∵AE=AE，∠AED=∠AEC，∠DAE=∠CAE，∴△ADE≌△ACE，∴DE=CE，
∵△MEF为等腰直角三角形，∴EF=，∴，故⑤正确；
∵∠CDM=∠ADE，∠CMD=∠AED=90°，∴△CDM∽ADE，∴，
∵BM=CM，AE=CF，∴，∴，故⑥正确；故答案为：①②③④⑤⑥.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等量代换，难度较大，解题的关键是添加辅助线，找到全等三角形说明角相等和线段相等.
17．(2020·四川广元市·中考真题)如图所示，均为等边三角形，边长分别为，B、C、D三点在同一条直线上，则下列结论正确的________________．(填序号)
① ② ③为等边三角形 ④ ⑤CM平分
【答案】①②③⑤
【分析】①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE；
②过E作,根据等边三角形求出ED、CN的长，即可求出BE的长；
③由等边三角形的判定得出△CMN是等边三角形；
④证明△DMC∽△DBA，求出CM长；
⑤证明M、F、C、G四点共圆，由圆周角定理得出∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，得出∠BMC＝∠DMC，所以CM平分∠BMD.
【详解】解：连接MC，FG，过点E作EN⊥BD，垂足为N，
①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE＝120°，
在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE；①正确；
②∵△CDE都是等边三角形，且边长为3cm.∴CN=cm，EN=cm.
∵BC=5cm.∴，②正确；
③∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACG和△BCF中，
∴△ACG≌△BCF(ASA)，∴CG＝CF而∠GCF＝60°，∴△CFG是等边三角形，③正确；
⑤∵∠EMD＝∠MBD＋∠MDB＝∠MAC＋∠MDB＝60°＝∠FCG，
∴M、F、C、G四点共圆，∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，
∴∠BMC＝∠DMC，∴CM平分∠BMD，⑤正确；
④∵∠DMC=∠ABD，∠MDC=∠BDA∴△DMC∽△DBA
∴∴∴CM=.④错误.故答案为：①②③⑤.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．(2020·江苏常州市·中考真题)如图，在中，，D、E分别是、的中点，连接，在直线和直线上分别取点F、G，连接、．若，且直线与直线互相垂直，则的长为_______．
【答案】4或2
【分析】分当点F在点D右侧时，当点F在点D左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及平行四边形的性质求解即可.
【详解】解：如图，当点F在点D右侧时，
过点F作FM∥DG，交直线BC于点M，过点B作BN⊥DE，交直线DE于点N，
∵D，E分别是AB和AC中点，AB=，∴DE∥BC，BD=AD=，∠FBM=∠BFD，
∴四边形DGMF为平行四边形，则DG=FM，∵DG⊥BF，BF=3DG，∴∠BFM=90°，
∴tan∠FBM==tan∠BFD，∴，
∵∠ABC=45°=∠BDN，∴△BDN为等腰直角三角形，∴BN=DN=，∴FN=3BN=9，DF=GM=6，
∵BF==，∴FM==，∴BM=，∴BG=10-6=4；
当点F在点D左侧时，过点B作BN⊥DE，交直线DE于N，过点B作BM∥DG，交直线DE于M，延长FB和DG，交点为H，可知：∠H=∠FBM=90°，四边形BMDG为平行四边形，∴BG=MD，BM=DG，
∵BF=3DG，∴tan∠BFD=，
同理可得：△BDN为等腰直角三角形，BN=DN=3，∴FN=3BN=9，∴BF=，
设MN=x，则MD=3-x，FM=9+x，在Rt△BFM和Rt△BMN中，有，
即，解得：x=1，即MN=1，∴BG=MD=ND-MN=2.
综上：BG的值为4或2.故答案为：4或2.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平行四边形的判定和性质，勾股定理，难度较大，解题的关键是根据题意画出图形，分清情况.
19．(2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题)如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
(2)若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．
(3)若B、C、E三点在一条直线上(如图2)，且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．
【答案】(1)全等，理由见解析；(2)BD＝；(3)△ACD的面积为，AD＝．
【分析】(1)依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD；
(2)由(1)知：BD＝AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；
(3)过点A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长．
【详解】解：(1)全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD(SAS)；
(2)如图3，由(1)得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，
∵△DCE都是等边三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，
∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，∴，∴BD＝；
(3)如图2，过点A作AF⊥CD于F，∵B、C、E三点在一条直线上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，
在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，∴AF＝AC×sin∠ACF＝，
∴S△ACD＝，
∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×，FD＝CD﹣CF＝，
在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝，∴AD＝．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，第(3)小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．(2020·湖北荆州市·中考真题)如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．(1)求证：；(2)若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】(1)先利用旋转的性质证明△ABD为等边三角形，则可证，即再根据平行线的判定证明即可．(2)利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．
【详解】(1)证明：由旋转性质得：
是等边三角形 所以∴；
(2)依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，
所以A，C两点经过的路径长之和为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、弧长公式等知识，熟练掌握这些知识点之间的联系及弧长公式是解答的关键．
21．(2020·湖南衡阳市·中考真题)如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、．(1)求证：；(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)=80°
【分析】(1)利用已知条件和等腰三角形的性质证明，根据全等三角形的性质即可证明；
(2)根据三角形内角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC中利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：(1)证明：∵点D为BC的中点，∴BD=CD，
∵，，∴∠DEB=∠DFC=90°
在△BDE和△CDF中，∴，∴．
(2)∵∴∠B=180°-(∠BDE+∠BED)=50°，∴∠C=50°，
在△ABC中，=180°-(∠B+∠C)=80°，故=80°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质并灵活应用是解题的关键．
22．(2020·黑龙江牡丹江市·中考真题)在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题：
(1)当点E在线段上，是的角平分线时，如图①，求证：；(提示：延长，交于点M．)
(2)当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，如图②；当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；
(3)在(1)、(2)的条件下，若，则___________．
【答案】(1)见解析；(2)BC=AE+CF或AE=CF+BC；(3)18或6．
【分析】(1)延长，交于点M．利用AAS证明，得到ME=BC，并利用角平分线加平行的模型证明CF=MF，AE=EF，从而得证；
(2)延长，EF交于点M．类似于(1)的方法可证明当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC；
(3)先求出AE，AB，即可利用线段的和差求出答案．
【详解】(1)如图①，延长，交于点M．
∵，∴∠A=∠BCA=∠EFA，∴AE=EF ∴∴∠MED=∠B， ∠M=∠BCD
又∵∠FCM=∠BCM，∴∠M=∠FCM∴CF=MF又∵BD=DE∴
∴ME=BC∴CF=MF=ME+EF=BC+AE即AE+BC=CF；
(2)当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，
如图②，延长，EF交于点M．
由①同理可证，∴ME=BC
由①证明过程同理可得出MF=CF，AE=EF，∴BC=ME=EF+MF=AE+CF；
当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC.
如图③，延长交EF于点M，
由上述证明过程易得，BC=EM，CF=FM，
又∵AB=BC，∴∠ACB=∠CAB=∠FAE
∵∴∠F=∠FCB，∴EF=AE，∴AE=FE=FM+ME=CF+BC
(3)CF=18或6
当DE=2AE=6时，图①中，由(1)得：AE=3，BC=AB=BD+DE+AE=15，∴CF=AE+BC=3+15=18；
图②中，由(2)得：AE=AD=3，BC=AB=BD+AD=9，∴CF=BC-AE=9-3=6；
图③中，DE小于AE，故不存在．故答案为18或6．
【点睛】本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．
23．(2020·山东潍坊市·中考真题)如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接．
(1)当时，求证：；
(2)如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；
(3)在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)的面积的最大值为，旋转角的度数为
【分析】(1)利用 “SAS”证得△ACE△ABD即可得到结论；(2)利用 “SAS”证得△ACE△ABD，推出∠ACE=∠ABD，计算得出AD=BC=，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
(3)观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
【详解】(1)根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90，∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，，∴△ACE△ABD(SAS)，∴CE=BD；
(2)根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90，且∠AEC=∠FEB，∴∠ABD+∠FEB=90，∴∠EFB=90，∴CF⊥BD，
∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，
∴BC=AB =，CD= AC+ AD=，∴BC= CD，
∵CF⊥BD，∴CF是线段BD的垂直平分线；
(3)中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图：
∵∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，DG⊥BC于G，
∴AG=BC=，∠GAB=45，
∴DG=AG+AD=，∠DAB=180-45=135，
∴的面积的最大值为：，旋转角．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
24．(2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题)已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．
【答案】(1)证明见解析；(2)、、、．
【分析】(1)可得，进而利用SAS证明，即可得出结论；
(2)由已知计算出图形中角的度数，由等角对等边即可得出结论．
【详解】(1)证明：如图1，，，
在和中，，∴(SAS)，∴；
(2)顶角为45°的等腰三角形有以下四个：、、、．
证明：∵，，∴，，
∵，，即：是等腰三角形，；
∴，∴，
∴，∴，
∴、即：、是等腰三角形，，
∵∴∠DBF=∠C=45°，，
又∵，∴，
∴、即：是等腰三角形，．
【点睛】本题考察了等腰三角形性质和判定及全等三角形性质和判定，掌握等腰三角形性质和判定是解题关键．
中考数学总复习六大策略
1、学会运用函数与方程思想。
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
常见的转化要领有：
（1）直接转化法：把原问题直接转化为根基定理、根基公式或根基图形问题。
（2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较庞大的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的根基问题。
（3）数形结正当：研究原问题中数量干系（解析式）与空间形式（图形)干系，通过相互调动得到转化途径。
（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，到达化归的目的
（5）特殊化要领：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题。
（6）结构法：“结构”一个符合的数学模型，把问题变为易于解决的问题。
（7）坐标法：以坐标系为工具，用计较要领解决几许问题也是转化要领的一个重要途径。
考点14 等腰三角形与直角三角形
该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用,也是考查重点,年年都会考查,分值为10 分左右，预计2021年各地中考还将出现,并且在选择、填空题中考查等腰(等边)三角形和勾股定理与中位线性质、三角形全等、三角形内外角性质、尺规作图等知识点结合考察,这部分知识需要学生扎实地掌握基础,并且会灵活运用.在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定,这部分知识主要考查基础.
一、等腰三角形
1．等腰三角形的性质
定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)．
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
2．等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等边)．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
二、等边三角形
1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．
2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
三、直角三角形与勾股定理
1．直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：(1)直角三角形两锐角互余；
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
判定：(1)两个内角互余的三角形是直角三角形；
(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
2．勾股定理及逆定理
(1)勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．
(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
考向一 等腰三角形的性质
1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．
3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可为钝角(或直角)．
4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则
1．(2020·青海中考真题)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
【答案】D
【分析】先根据等腰三角形的定义，分的内角为顶角和的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】(1)当的内角为等腰三角形的顶角,则另外两个内角均为底角，它们的度数为
(2)当的内角为等腰三角形的底角，则另两个内角一个为底角，一个为顶角;底角为，顶角为
综上，另外两个内角的度数分别是或故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
2．(2020·四川泸州市·中考真题)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
【详解】解：过点A作AF⊥BC，∵AB=AC，∴BF=BC=2，在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，∴即，
解得CD=，同理BE=，∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，故选：A.
【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。
1．(2020·山东滨州市·中考真题)在等腰ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为________．
【答案】
【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°-2×50°=80°．故答案为：80°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两底角相等的性质．
4．(2020·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题)等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是_____．
【答案】10或11
【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，根据题意，正确分情况讨论是解题的关键．
考向二 等腰三角形的判定
1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．
2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．
1．(2020·浙江台州市·中考真题)如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．
(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)判断△BOC的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)等腰三角形，理由见解析．
【分析】(1)由“SAS”可证△ABD≌△ACE；(2)由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论．
【详解】证明：(1)∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)；
(2)△BOC是等腰三角形，
理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE，
∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO，∴△BOC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键．
2．(2020·四川南充市·中考真题)如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=( )
A． B． C．a-b D．b-a
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可．
【详解】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，∴∠ABD=36°=∠A，∴BD=AD，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，∴BD=BC，
∵AB=AC=a，BC=b，∴CD=AC-AD=a-b，故选：C．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答．
1．(2020·广东中考真题)如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点，求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】先证明，得到，，进而得到，故可求解．
【详解】证明：在和中
∴∴∴
又∵∴即∴是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．
考向三 等边三角形的性质
1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．
2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
1．(2020·浙江绍兴市·中考真题)如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD．若BD的长为2，则m的值为_____．
【答案】2或2．
【分析】由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到BE＝，当点D、B在AC的两侧时，如图，证出BE＝DE，即可求出m；当点D、B在AC的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，
∵△ABC是等边三角形，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，
设垂足为E，∵AC＝AB＝2，∴BE＝AB·sin60°=，
当点D、B在AC的两侧时，如图，∵BD＝2，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；
当点D、B在AC的同侧时，如图，∵＝2，∴＝3，∴＝＝2，∴m＝2，综上所述，m的值为2或2，故答案为：2或2．
【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、垂直平分线的性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握等边三角形的性质、垂直平分线的性质、分类讨论的数学思想、锐角三角函数和勾股定理是解决此题的关键．
2．(2020·吉林中考真题)如图，是等边三角形，，动点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，过点作，交折线于点，以为边作等边三角形，使点，在异侧．设点的运动时间为，与重叠部分图形的面积为．(1)的长为______(用含的代数式表示)．(2)当点落在边上时，求的值．
(3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)当时，；当时，；当时，．
【分析】(1)根据“路程速度时间”即可得；(2)如图(见解析)，先根据等边三角形的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后在中，利用直角三角形的性质列出等式求解即可得；
(3)先求出点Q与点C重合时x的值，再分、和三种情况，然后分别利用等边三角形的性质、正切三角函数、以及三角形的面积公式求解即可得．
【详解】(1)由题意得： 故答案为：；
(2)如图，和都是等边三角形
，即，
在和中，
在中，，即 解得；
(3)是等边三角形
当点Q与点C重合时， 则，解得
结合(2)的结论，分以下三种情况：①如图1，当时，重叠部分图形为
由(2)可知，等边的边长为
由等边三角形的性质得：PQ边上的高为 则
②如图2，当时，重叠部分图形为四边形EFPQ
则在中，，
在中，，即
则
③如图3，当时，重叠部分图形为
同②可知，，
在中，，即
则
综上，当时，；当时，；
当时，．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质、正切三角函数等知识点，较难的是题(3)，依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键．
1．(2020·福建中考真题)如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是( )
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．
【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面积是．故选D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
2．(2020·浙江嘉兴市·中考真题)如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是( )
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，据此即可求解．
【详解】解：作AM⊥BC于M，如图：
重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形．
∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°，
∴AM＝BM＝，∴△ABC的面积＝BC×AM＝×3×＝，
∴重叠部分的面积＝△ABC的面积＝；故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外心、等边三角形的性质以及旋转的性质，理解连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都为全等的等边三角形是关键．
考向四 等边三角形的判定
在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．
1．(2020·湖北宜昌市·中考真题)如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置)测得的相关数据为：米，则________米．
【答案】48
【分析】先说明△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°∴△ABC是等边三角形 ∴AC=BC=48米．故答案为48．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，证得△ABC是等边三角形是解答本题的关键．
2．(2020·四川宜宾市·中考真题)如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形
【答案】C
【分析】先证明，得到，根据已知条件可得，证明，得到，即可得到结果；
【详解】∵都是等边三角形，∴，，，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，，又∵，∴，
在和中，∴，
∴，，∴，
∴是等边三角形．故答案选C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，正确分析题目条件是解题的关键．
1．(2020·浙江台州市·中考真题)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是_____ ．
【答案】6
【分析】先说明△DEF是等边三角形，再根据E，F是边BC上的三等分求出BC的长，最后求周长即可.
【详解】解：∵等边三角形纸片ABC∴∠B=∠C=60°
∵DE∥AB，DF∥AC∴∠DEF=∠DFE=60°∴△DEF是等边三角形∴DE=EF=DF
∵E，F是边BC上的三等分点,BC=6∴EF=2∴DE=EF=DF=2∴△DEF= DE+EF+DF=6故答案为6．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三等分点的意义，灵活应用等边三角形的性质是正确解答本题的关键．
2．(2020·四川中考真题)如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到．此时恰好点C在上，交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由旋转的性质得出BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，则△BCC'是等边三角形，∠CBC'=60°，得出∠BEA=90°，设CE=a，则BE=a，AE=3a，求出，可求出答案．
【详解】∵∠A=30°，∠ABC=90°，∴∠ACB=60°，
∵将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'，∴BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，
∴△BCC'是等边三角形，∴∠CBC'=60°，∴∠ABA'=60°，∴∠BEA=90°，
设CE=a，则BE=a，AE=3a，∴，∴，∴△ABE与△ABC的面积之比为．故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
考向五 “三线合一”
等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
1．(2020·贵州铜仁市·中考真题)已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为( )
A．2 B．3 C．4 D．4
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解即可．
【详解】根据等边三角形的三线合一性质：设它的边长为x，可得：，
解得：x＝4，x＝﹣4(舍去)，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形“三线合一”的性质，运用勾股定理列出方程求解是解答此类问题的常用方法．
2．(2020·内蒙古赤峰市·中考真题)如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得．
【详解】，AD是的平分线
，且AD是BC边上的中线(等腰三角形的三线合一)是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径
外接圆的面积为 故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键．
1．(2020·湖北荆门市·中考真题)中，，D为的中点，，则的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接AD，用等腰三角形的“三线合一”，得到的度数，及，由得，得，计算的面积即可．
【详解】连接AD，如图所示：
∵，且D为BC中点
∴，且，∴中，
∵∴∴故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，及解直角三角形和三角形面积的计算，熟知以上知识是解题的关键．
考向六 直角三角形
在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边(30°角所对的直角边)等于另一边(斜边)的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．
1．(2020·海南中考真题)如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出．
【详解】解：∵
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，∴cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，由旋转的性质可知：，且，
∴为等边三角形，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
2．(2020·广东中考真题)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_________．
【答案】
【分析】根据当、、三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．
【详解】如图当、、三点共线，距离最小，
∵，为的中点，∴，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键．
1．(2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．
【答案】
【分析】首先证明DB=AD=2CD，然后再由条件BC=可得答案．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝AD．
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AD，∴BD＝2CD．
∵BC＝，∴CD＋2CD＝，∴CD＝，∴DB＝，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
2．(2020·山东济宁市·中考真题)如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是( )
A．4 B．2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面积．
【详解】解：过点B作BH⊥CD于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，则∠BDH=60°，
∵BD=4，BD：CD=2：1∴DH=2，BH=2，CD=2，
∴△DBC的面积为CD•BH=×2×2=2.故选B.
【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
考向七 勾股定理
1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．
2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
1．(2020·浙江绍兴市·中考真题)如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为_____．
【答案】4．
【分析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可.
【详解】解：由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，
故直角三角形的另一条直角边长为：，
故阴影部分的面积是：，故答案为：4.
【点睛】此题考查勾股定理解三角形，正方形的性质，正确理解正方形的边长3与直角三角形的关系是解题的关键.
2．(2020·山东烟台市·中考真题)如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝(3﹣x)2，解得x＝，∴DE＝EF＝3﹣x＝，∴tan∠DAE＝，故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．
1．(2020·山东烟台市·中考真题)如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为( )
A．()n B．()n﹣1 C．()n D．()n﹣1
【答案】B
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．
【详解】解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，∴OA2＝；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴OA3＝2＝；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴OA4＝2＝．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴OA5＝4＝，……
∴OAn的长度为()n﹣1，故选：B．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．
2．(2020·陕西中考真题)如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝，
∴，∴，∴BD＝，故选：D．
【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
1．(2020·贵州铜仁市·中考真题)已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于( )
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
【答案】B
【分析】当m=4或n=4时，即x=4，代入方程即可得到结论，当m=n时，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到结论．
【详解】当m=4或n=4时，即x=4，∴方程为42﹣6×4+k+2=0，解得：k=6；
当m=n时，﹣6+k+2=0∵，，，
∴，解得：，
综上所述，k的值等于6或7，故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键．
2．(2020·广西中考真题)如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCA，进而求得∠ACD，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，利用角平分线定义求解即可．
【详解】∵在中，，∴，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴，故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义和作法，熟练掌握等腰三角形的性质以及角平分线的尺规作图法是解答的关键．
3．(2020·四川中考真题)已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为( )
A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．2
【答案】B
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB＝4，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．
【详解】解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，∴斜边AB＝4，
∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，
当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CM＝AB＝2，
∵PC＝2，∴PM＝CM﹣CP＝2﹣2，故选：B．
【点睛】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解．
4．(2020·山东济宁市·中考真题)一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是( )
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB即可．
【详解】解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，∴BC=AB，
∵AB=15海里/时×2时=30海里，∴BC=30海里，即海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选C.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出∠C=∠CAB，题目比较典型，难度不大．
5．(2020·湖南张家界市·中考真题)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为( )
A．2 B．4 C．8 D．2或4
【答案】A
【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
【详解】解：x2－6x+8=0 (x－4)(x－2)=0 解得：x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，
所以三角形的底边长为2，故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
6．(2020·重庆中考真题)如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若，，，的面积为2，则点F到BC的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．
【详解】解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝2，∴S△ADE＝4，
由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，
∴•(AF+DF)•BF＝4，∴•(3+DF)•2＝4，∴DF＝1，
∴DB＝＝＝，设点F到BD的距离为h，
则•BD•h＝•BF•DF，∴h＝，故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
7．(2020·黑龙江绥化市·中考真题)在中，，若，则的长是________．
【答案】17
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，∴AC2+BC2=AB2，
即(AB-2)2+82=AB2，解得AB=17．故答案为：17．
【点睛】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．
8．(2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题)如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．
【答案】10
【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．
【详解】解：在中，
∵，∴．
在中，．故答案为：10．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC是解决本题的关键．
9．(2020·江苏宿迁市·中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为_____．
【答案】5
【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=6，
∴∠ADB=90°，∴AB=，
∵E为AB的中点，∴DE=AB=5，故答案为：5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
10．(2020·四川雅安市·中考真题)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．
【答案】20
【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，∴AD2+BC2=22+42=20，故答案为：20.
【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理.
11．(2020·江苏常州市·中考真题)如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则_________°．
【答案】30
【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.
【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°.故答案为：30.
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF.
12．(2020·天津中考真题)如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．
【答案】
【分析】延长DC交EF于点M(图见详解)，根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．
【详解】解：如下图所示，延长DC交EF于点M，，，
平行四边形的顶点C在等边的边上，
，是等边三角形，．
在平行四边形中，，，
又是等边三角形， ，．
G为的中点，，是的中点，且是的中位线，
．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键．
13．(2020·湖北襄阳市·中考真题)如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=_______．
【答案】40°
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20°，∴∠B==80°，
∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，
∵AD=DC，∴∠C==40°．
14．(2020·湖北武汉市·中考真题)如图，折叠矩形纸片，使点落在边的点处，为折痕，，．设的长为，用含有的式子表示四边形的面积是________．
【答案】
【分析】首先根据题意可以设DE=EM=x，在三角形AEM中用勾股定理进一步可以用t表示出x，再可以设CF=y，连接MF，所以BF=2−y，在三角形MFN与三角形MFB中利用共用斜边，根据勾股定理可求出用t表示出y，进而根据四边形的面积公式可以求出答案.
【详解】设DE=EM=x，∴，∴x= ，设CF=y，连接FM，∴BF=2−y，
又∵FN= y，NM=1，∴，∴y=，
∴四边形的面积为：=∙1，故答案为：.
【点睛】本题主要考查了勾股定理的综合运用，熟练掌握技巧性就可得出答案.
15．(2020·辽宁阜新市·中考真题)如图，在中，，．将绕点B逆时针旋转60°，得到，则边的中点D与其对应点的距离是____________．
【答案】
【分析】先由旋转的旋转证明：为等边三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 绕点B逆时针旋转60°， 分别为的中点，
为等边三角形，
为中点，
故答案为：
【点睛】本题考查的是旋转的旋转，直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
16．(2020·贵州贵阳市·中考真题)如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为_____．
【答案】
【分析】如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则由线段垂直平分线的性质可得CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠EFC=∠A=2∠CBE，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定可得FC=FG，设CE=EF=x，则可根据线段间的和差关系求出DF的长，进而可求出FC的长，然后根据勾股定理即可求出CD的长，再一次运用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，
∵EA=EB，∴∠A=∠EBA，∵∠AEB=∠CEF，∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G，
∵∠EFC=∠G+∠FCG，∴∠G=∠FCG，∴FC=FG，
设CE=EF=x，则AE=BE=11－x，∴DE=8－(11－x)=x－3，∴DF=x－(x－3)=3，
∵DG=DB=8，∴FG=5，∴CF=5，
在Rt△CDF中，根据勾股定理，得，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键．
17．(2020·湖北中考真题)如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为_____．
【答案】12
【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，
∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA(SAS)，∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6
【点睛】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题．
18．(2020·江西中考真题)如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________．
【答案】
【分析】如图，连接，延长与交于点利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到 再次利用等腰三角形的性质得到：从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，延长与交于点
平分，， 是的垂直平分线，
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
19．(2020·辽宁大连市·中考真题)如图，中，，点在边上，．求证．
【答案】证明见解析．
【分析】
先根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差可得，然后根据三角形的判定与性质即可得证．
【详解】，，，，即，
在和中，，，，
即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
20．(2020·山东烟台市·中考真题)如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
(问题解决)(1)如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
(类比探究)(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)FC＝CD+CE，见解析
【分析】(1)在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC(SAS)，得出DH＝CF，即可得出结论；
(2)过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD(SAS)，得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．
【详解】(1)证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC(SAS)，∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；
(2)解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD(SAS)，
∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．
21．(2020·黑龙江牡丹江市·朝鲜族学校中考真题)等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=45º，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，∠CAD为90º，请画出图形，并直接写出点B到CD的距离．
【答案】画出图形见解析；点B到CD的距离为2或．
【分析】根据题目描述可以作出两个图形，利用等腰直角三角形的性质分别进行求解即可．
【详解】本题有两种情况：(1)如图，
∵是等腰直角三角形，，∴，
∵，∴，∴点B到CD的距离等于点A到CD的距离，
过点A作，∵，∴，∴点B到CD的距离为2；
(2)如图：
∵是等腰直角三角形，，∴，
∵，∴，∴点B到CD的距离即BE的长，
∵，∴，∴，即点B到CD的距离为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，根据题目描述作出两个图形是解题的关键．
22．(2020·湖北荆门市·中考真题)如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．(1)若，求的度数；(2)若，求的长．
【答案】(1)；(2)．
【分析】(1)先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质求出，，再根据垂直与外角的性质即可求出；(2)根据题意证明，再得到为等边三角形，故可得到，可根据三角函数的性质即可求出AF．
【详解】(1)∵，，∴．
∵平分，∴，
∵，∴，∴．
(2)∵，∴，又，
∴，∴， ∵
∴，∴，∴，∴为等边三角形，
∴，∴，∵，∴，
在中，．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知等腰三角形、等边三角形的判定与性质、三角函数的应用．
23．(2020·浙江绍兴市·中考真题)问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数． 答案：∠DAC＝45°
思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由；(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
【答案】(1)∠DAC的度数不会改变，值为45°；(2)n°．
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°-∠BAD＝90°-(45°+∠C)＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；(2)设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：(1)∠DAC的度数不会改变；∵EA＝EC，∴∠AED＝2∠C，①
∵∠BAE＝90°，∴∠BAD＝ [180°﹣(90°﹣2∠C)]＝45°+∠C，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣(45°+∠C)＝45°﹣∠C，②
由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°；
(2)设∠ABC＝m°，则∠BAD＝(180°﹣m°)＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，
∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，
∵EA＝EC，∴∠CAE＝∠AEB＝90°﹣n°﹣m°，
∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．
1．(2020·河北中考真题)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( )
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【答案】B
【分析】根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大三角形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形．
【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c，由勾股定理，得，
A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：；
B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：；
C、∵3+4≠5，则不符合题意；
D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：；∵，故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题．
2．(2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题)已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为( )
A．9 B．17或22 C．17 D．22
【答案】D
【分析】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可．
【详解】解：分两种情况：当腰为4时，，所以不能构成三角形；
当腰为9时，，所以能构成三角形，周长是：．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
3．(2020·浙江宁波市·中考真题)△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道( )
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长 C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
【答案】A
【分析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．
【详解】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG(AAS)，∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF
＝(BD+DF+AF)+(CE+BE)，＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
4．(2020·福建中考真题)如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于( )
A．10 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD的长．
【详解】∵是等腰三角形的顶角平分线∴CD=BD=5．故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识．
5．(2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题)如图，的垂直平分线交于点，若，则的度数是( )
A．25° B．20° C．30° D．15°
【答案】D
【分析】根据等要三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．
【详解】解：∵AB=AC，∠C=∠ABC=65°，∴∠A=180°-65°×2=50°，
∵MN垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°，故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理．
6．(2020·浙江绍兴市·中考真题)如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°＜θ＜90°)，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数( )
A．随着θ的增大而增大 B．随着θ的增大而减小 C．不变 D．随着θ的增大，先增大后减小
【答案】C
【分析】
由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．
【详解】
解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ(0°＜θ＜90°)，得到BP，
∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，
∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠PAH的度数是定值，故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
7．(2020·辽宁盘锦市·中考真题)我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度是尺，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：设芦苇的长度是尺，如下图
则，， 在中， 即故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键．
8．(2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题)如图，把某矩形纸片沿，折叠(点E、H在边上，点F，G在边上)，使点B和点C落在边上同一点P处，A点的对称点为、D点的对称点为，若，为8，的面积为2，则矩形的长为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出D′H＝x，由S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，可解得x=2，分别求出PE和PH，从而得出AD的长.
【详解】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，
设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，
又∵，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′P D′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，
∴∠A′PE=∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2=8：2，∴A′P：D′H=2：1，
∵A′P=x，∴D′H=x，∵S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，即，∴x=2(负根舍弃)，
∴AB=CD=2，D′H=DH=，D′P=A′P=CD=2，A′E=2D′P=4，
∴PE=，PH=，
∴AD==，故选D.
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
9．(2020·山东青岛市·中考真题)如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先证明再求解利用轴对称可得答案．
【详解】解：由对折可得：
矩形，
BC=8
由对折得： 故选C．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，轴对称的性质，掌握以上知识是解题的关键．
10．(2020·江苏无锡市·中考真题)如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为( )
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【答案】D
【分析】①通过分析图形，由线段在边上运动，可得出，即可判断出与不可能相等；②假设与相似，设，利用相似三角形的性质得出的值，再与的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；
③过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F，利用函数求四边形面积的最大值，设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值；
④作点D关于直线的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形P′CDQ′的周长为：，其值最小，再由D1Q′=DQ′=D2 P′，，且∠AD1D2=120°，∠D2AC=90°，可得的最小值，即可得解．
【详解】解：①∵线段在边上运动，，
∴,∴与不可能相等，则①错误；
②设，∵，，∴，即，
假设与相似，∵∠A=∠B=60°，∴，即，
从而得到，解得或(经检验是原方程的根)，
又，∴解得的或符合题意，即与可能相似，则②正确；
③如图，过P作PE⊥BC于E，过D作DF⊥AB于F，
设，由，，得，即，∴，
∵∠B=60°，∴，∵，∠A =60°，∴,
则，
，
∴四边形面积为：,
又∵，∴当时，四边形面积最大，最大值为：，
即四边形面积最大值为，则③正确；
④如图，作点D关于直线的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，
此时四边形P′CDQ′的周长为：，其值最小，
∴D1Q′=DQ′=D2 P′，，且∠AD1D2=180∠D1AB=180∠DAB =120°，
∴∠D1AD2=∠D2AD1==30°，∠D2AC=90°，
在△D1AD2中，∠D1AD2=30°，，∴，
在Rt△AD2C中，由勾股定理可得，，
∴四边形P′CDQ′的周长为：，
则④错误，所以可得②③正确，故选：D．
【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解．
11．(2020·湖北黄冈市·中考真题)已知：如图，在中，点在边上，，则_______度．
【答案】40
【分析】根据等边对等角得到，再根据三角形外角的性质得到，故，由三角形的内角和即可求解的度数．
【详解】解：∵，∴，∴，
∵，∴，∴，故答案为：40．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和，熟练掌握几何知识并灵活运用是解题的关键．
12．(2020·湖南岳阳市·中考真题)如图：在中，是斜边上的中线，若，则_________．
【答案】
【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质得出，则有，最后利用三角形外角的性质即可得出答案．
【详解】∵在中，是斜边上的中线，，∴．
∵，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质，掌握直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质是解题的关键．
13．(2020·辽宁阜新市·中考真题)如图，在中，，．将绕点B逆时针旋转60°，得到，则边的中点D与其对应点的距离是____________．
【答案】
【分析】先由旋转的旋转证明：为等边三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 绕点B逆时针旋转60°， 分别为的中点，
为等边三角形，
为中点，
故答案为：
【点睛】本题考查的是旋转的旋转，直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
14．(2020·湖南邵阳市·中考真题)如图，在中，，斜边，过点C作，以为边作菱形，若，则的面积为________．
【答案】
【分析】如下图，先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．
【详解】
如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，
∵根据题意四边形ABEF为菱形，∴AB=BE=，
又∵∠ABE=30°∴在RT△BHE中，EH=，根据题意，AB∥CF，
根据平行线间的距离处处相等，∴HE=CG=，∴的面积为．
【点睛】本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE=CG，最终求出直角三角形面积．
15．(2020·辽宁丹东市·中考真题)如图，在四边形中，，，，，点和点分别是和的中点，连接，，，若，则的面积是_________．
【答案】．
【分析】由题可得△ACD为等腰直角三角形，CD=8，可求出AD=AC=，点和点分别是和的中点，根据中位线定理和直角三角形斜边中线定理可得到EF=AD，BE=AC，从而得到EF=EB，又，得∠CAB=15°，∠CEB=30°进一步得到∠FEB=120°，又△EFB为等腰三角形，所以∠EFB=∠EBF=30°，过E作EH垂直于BF于H点，在Rt△EFH中，解直角三角形求出EH，FH,以BF为底，EH为高，即可求出△BEF的面积．
【详解】解：∵，，∴△ADC为等腰直角三角，
∵CD=8，∴AD=AC=CD=，∵E,F为AC，DC的中点，
∴FE∥AD，EF=AD=，∴BE=AC=，
∵AD=AC，∴EF=EB，△EFB为等腰三角形，又∵EF∥AD，∴EF⊥AC，∴∠FEC=90°，
又EB=EA，∴∠EAB=∠EBA=105°－90°=15°，∴∠CEB=30°，∴∠FEB=120°，∴∠EFB=∠EBF=30°，
过E作EH垂直于BF于H点，∴BH=FH，
在Rt△EFH中，∵∠EFH=30°，∴EH=EF·sin30°=×= ，
FH=EF·cos30°=×= ，∴BF=2×=，∴SBEF=BF·EH=××= ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，解直角三角形。正确的运用解题方法求出相关线段长度是解题的关键．
16．(2020·黑龙江牡丹江市·中考真题)如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接．则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则；⑥，正确的有___________．(只填序号)
【答案】①②③④⑤⑥
【分析】证明△BCF≌△CAE，得到BF=CE，可判断①；再证明△BFM≌△CEM，从而判断△EMF为等腰直角三角形，得到EF=EM，可判断③，同时得到∠MEF=∠MFE=45°，可判断②；再证明△DFM≌△NEM，得到△DMN为等腰直角三角形，得到DN=DM，可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出DE=EM，再证明△ADE≌△ACE，得到DE=CE，则有，从而判断⑤；最后证明△CDM∽ADE，得到，结合BM=CM，AE=CF，可判断⑥.
【详解】解：∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ACE=∠CBF，
又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC，∴△BCF≌△CAE(AAS)，∴BF=CE，故①正确；
由全等可得：AE=CF，BF=CE，∴AE-CE=CF=CE=EF，连接FM，CM，
∵点M是AB中点，∴CM=AB=BM=AM，CM⊥AB，
在△BDF和△CDM中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM，
∴∠DBF=∠DCM，又BM=CM，BF=CE，∴△BFM≌△CEM，∴FM=EM，∠BMF=∠CME，
∵∠BMC=90°，∴∠EMF=90°，即△EMF为等腰直角三角形，∴EF=EM=，故③正确，
∠MEF=∠MFE=45°，∵∠AEC=90°，∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正确，
设AE与CM交于点N，连接DN，∵∠DMF=∠NME，FM=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°，
∴△DFM≌△NEM，∴DF=EN，DM=MN，∴△DMN为等腰直角三角形，
∴DN=DM，而∠DEA=90°，∴，故④正确；
∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=45°，∵AE平分∠BAC， ∴∠DAE=∠CAE=22.5°，∠ADE=67.5°，
∵∠DEM=45°，∴∠EMD=67.5°，即DE=EM，
∵AE=AE，∠AED=∠AEC，∠DAE=∠CAE，∴△ADE≌△ACE，∴DE=CE，
∵△MEF为等腰直角三角形，∴EF=，∴，故⑤正确；
∵∠CDM=∠ADE，∠CMD=∠AED=90°，∴△CDM∽ADE，∴，
∵BM=CM，AE=CF，∴，∴，故⑥正确；故答案为：①②③④⑤⑥.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等量代换，难度较大，解题的关键是添加辅助线，找到全等三角形说明角相等和线段相等.
17．(2020·四川广元市·中考真题)如图所示，均为等边三角形，边长分别为，B、C、D三点在同一条直线上，则下列结论正确的________________．(填序号)
① ② ③为等边三角形 ④ ⑤CM平分
【答案】①②③⑤
【分析】①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE；
②过E作,根据等边三角形求出ED、CN的长，即可求出BE的长；
③由等边三角形的判定得出△CMN是等边三角形；
④证明△DMC∽△DBA，求出CM长；
⑤证明M、F、C、G四点共圆，由圆周角定理得出∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，得出∠BMC＝∠DMC，所以CM平分∠BMD.
【详解】解：连接MC，FG，过点E作EN⊥BD，垂足为N，
①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE＝120°，
在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE；①正确；
②∵△CDE都是等边三角形，且边长为3cm.∴CN=cm，EN=cm.
∵BC=5cm.∴，②正确；
③∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACG和△BCF中，
∴△ACG≌△BCF(ASA)，∴CG＝CF而∠GCF＝60°，∴△CFG是等边三角形，③正确；
⑤∵∠EMD＝∠MBD＋∠MDB＝∠MAC＋∠MDB＝60°＝∠FCG，
∴M、F、C、G四点共圆，∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，
∴∠BMC＝∠DMC，∴CM平分∠BMD，⑤正确；
④∵∠DMC=∠ABD，∠MDC=∠BDA∴△DMC∽△DBA
∴∴∴CM=.④错误.故答案为：①②③⑤.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．(2020·江苏常州市·中考真题)如图，在中，，D、E分别是、的中点，连接，在直线和直线上分别取点F、G，连接、．若，且直线与直线互相垂直，则的长为_______．
【答案】4或2
【分析】分当点F在点D右侧时，当点F在点D左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及平行四边形的性质求解即可.
【详解】解：如图，当点F在点D右侧时，
过点F作FM∥DG，交直线BC于点M，过点B作BN⊥DE，交直线DE于点N，
∵D，E分别是AB和AC中点，AB=，∴DE∥BC，BD=AD=，∠FBM=∠BFD，
∴四边形DGMF为平行四边形，则DG=FM，∵DG⊥BF，BF=3DG，∴∠BFM=90°，
∴tan∠FBM==tan∠BFD，∴，
∵∠ABC=45°=∠BDN，∴△BDN为等腰直角三角形，∴BN=DN=，∴FN=3BN=9，DF=GM=6，
∵BF==，∴FM==，∴BM=，∴BG=10-6=4；
当点F在点D左侧时，过点B作BN⊥DE，交直线DE于N，过点B作BM∥DG，交直线DE于M，延长FB和DG，交点为H，可知：∠H=∠FBM=90°，四边形BMDG为平行四边形，∴BG=MD，BM=DG，
∵BF=3DG，∴tan∠BFD=，
同理可得：△BDN为等腰直角三角形，BN=DN=3，∴FN=3BN=9，∴BF=，
设MN=x，则MD=3-x，FM=9+x，在Rt△BFM和Rt△BMN中，有，
即，解得：x=1，即MN=1，∴BG=MD=ND-MN=2.
综上：BG的值为4或2.故答案为：4或2.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平行四边形的判定和性质，勾股定理，难度较大，解题的关键是根据题意画出图形，分清情况.
19．(2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题)如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
(2)若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．
(3)若B、C、E三点在一条直线上(如图2)，且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．
【答案】(1)全等，理由见解析；(2)BD＝；(3)△ACD的面积为，AD＝．
【分析】(1)依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD；
(2)由(1)知：BD＝AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；
(3)过点A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长．
【详解】解：(1)全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD(SAS)；
(2)如图3，由(1)得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，
∵△DCE都是等边三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，
∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，∴，∴BD＝；
(3)如图2，过点A作AF⊥CD于F，∵B、C、E三点在一条直线上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，
在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，∴AF＝AC×sin∠ACF＝，
∴S△ACD＝，
∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×，FD＝CD﹣CF＝，
在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝，∴AD＝．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，第(3)小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．(2020·湖北荆州市·中考真题)如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．(1)求证：；(2)若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】(1)先利用旋转的性质证明△ABD为等边三角形，则可证，即再根据平行线的判定证明即可．(2)利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．
【详解】(1)证明：由旋转性质得：
是等边三角形 所以∴；
(2)依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，
所以A，C两点经过的路径长之和为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、弧长公式等知识，熟练掌握这些知识点之间的联系及弧长公式是解答的关键．
21．(2020·湖南衡阳市·中考真题)如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、．(1)求证：；(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)=80°
【分析】(1)利用已知条件和等腰三角形的性质证明，根据全等三角形的性质即可证明；
(2)根据三角形内角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC中利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：(1)证明：∵点D为BC的中点，∴BD=CD，
∵，，∴∠DEB=∠DFC=90°
在△BDE和△CDF中，∴，∴．
(2)∵∴∠B=180°-(∠BDE+∠BED)=50°，∴∠C=50°，
在△ABC中，=180°-(∠B+∠C)=80°，故=80°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质并灵活应用是解题的关键．
22．(2020·黑龙江牡丹江市·中考真题)在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题：
(1)当点E在线段上，是的角平分线时，如图①，求证：；(提示：延长，交于点M．)
(2)当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，如图②；当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；
(3)在(1)、(2)的条件下，若，则___________．
【答案】(1)见解析；(2)BC=AE+CF或AE=CF+BC；(3)18或6．
【分析】(1)延长，交于点M．利用AAS证明，得到ME=BC，并利用角平分线加平行的模型证明CF=MF，AE=EF，从而得证；
(2)延长，EF交于点M．类似于(1)的方法可证明当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC；
(3)先求出AE，AB，即可利用线段的和差求出答案．
【详解】(1)如图①，延长，交于点M．
∵，∴∠A=∠BCA=∠EFA，∴AE=EF ∴∴∠MED=∠B， ∠M=∠BCD
又∵∠FCM=∠BCM，∴∠M=∠FCM∴CF=MF又∵BD=DE∴
∴ME=BC∴CF=MF=ME+EF=BC+AE即AE+BC=CF；
(2)当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，
如图②，延长，EF交于点M．
由①同理可证，∴ME=BC
由①证明过程同理可得出MF=CF，AE=EF，∴BC=ME=EF+MF=AE+CF；
当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC.
如图③，延长交EF于点M，
由上述证明过程易得，BC=EM，CF=FM，
又∵AB=BC，∴∠ACB=∠CAB=∠FAE
∵∴∠F=∠FCB，∴EF=AE，∴AE=FE=FM+ME=CF+BC
(3)CF=18或6
当DE=2AE=6时，图①中，由(1)得：AE=3，BC=AB=BD+DE+AE=15，∴CF=AE+BC=3+15=18；
图②中，由(2)得：AE=AD=3，BC=AB=BD+AD=9，∴CF=BC-AE=9-3=6；
图③中，DE小于AE，故不存在．故答案为18或6．
【点睛】本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．
23．(2020·山东潍坊市·中考真题)如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接．
(1)当时，求证：；
(2)如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；
(3)在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)的面积的最大值为，旋转角的度数为
【分析】(1)利用 “SAS”证得△ACE△ABD即可得到结论；(2)利用 “SAS”证得△ACE△ABD，推出∠ACE=∠ABD，计算得出AD=BC=，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
(3)观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
【详解】(1)根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90，∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，，∴△ACE△ABD(SAS)，∴CE=BD；
(2)根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90，且∠AEC=∠FEB，∴∠ABD+∠FEB=90，∴∠EFB=90，∴CF⊥BD，
∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，
∴BC=AB =，CD= AC+ AD=，∴BC= CD，
∵CF⊥BD，∴CF是线段BD的垂直平分线；
(3)中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图：
∵∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，DG⊥BC于G，
∴AG=BC=，∠GAB=45，
∴DG=AG+AD=，∠DAB=180-45=135，
∴的面积的最大值为：，旋转角．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
24．(2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题)已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．
【答案】(1)证明见解析；(2)、、、．
【分析】(1)可得，进而利用SAS证明，即可得出结论；
(2)由已知计算出图形中角的度数，由等角对等边即可得出结论．
【详解】(1)证明：如图1，，，
在和中，，∴(SAS)，∴；
(2)顶角为45°的等腰三角形有以下四个：、、、．
证明：∵，，∴，，
∵，，即：是等腰三角形，；
∴，∴，
∴，∴，
∴、即：、是等腰三角形，，
∵∴∠DBF=∠C=45°，，
又∵，∴，
∴、即：是等腰三角形，．
【点睛】本题考察了等腰三角形性质和判定及全等三角形性质和判定，掌握等腰三角形性质和判定是解题关键．
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