第17讲 三角形全等（讲通）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

【2022讲通练透】二轮

第十七讲  三角形全等

一、三大必备知识点

考点一  手拉手模型证全等

考点二  倍长中线证全等

考点三  手拉手+倍长中线模型

考点四  半角模型证全等

考点五  三垂直模型证全等

考点六  对角互补模型证全等

一、三大必备知识点

1．三角形全等的判定定理：

1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；

2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；

3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；

4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；

5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

2．全等三角形的性质：

1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；

2）全等三角形的周长相等，面积相等；

3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．

3．全等三角形的思路：

1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：

（1）已知两边

（2）已知一边、一角

（3）已知两角

2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．

考点一  手拉手模型证全等

1．如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED．

（1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：EC平分∠BCD；

（2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD＝AB＝4．求点E到BC的距离．

2．如图，已知等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，CA＝CB，以BC为边向外作等边△CBD，连接AD，过点C作∠ACB的角平分线与AD交于点E，连接BE．

（1）若AE＝2，求CE的长度；

（2）以AB为边向下作△AFB，∠AFB＝60°，连接FE，求证：FA+FB＝FE．

3．如图，C为AB上一点，△ACD和△BCE为等边三角形，AE交CD于M，DB交CE于N．求证：

（1）AE＝DB；

（2）MN∥AB；

（3）PC平分∠APB；

（4）PC+PE＝PB．

4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D、E分别在AB，AC上，且AD＝AE．若△ADE绕点A逆时针旋转，得到AD1E1，设旋转角为a（0°＜a≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．

（1）求证：BD1＝CE1；

（2）当∠CPD1＝2∠CAD1时，求旋转角为a的度数．

考点二  倍长中线证全等

1．在等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，连接CD．E为CD中点．

（1）如图1，连接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC＝6，EH＝2，求AB的长；

（2）如图2，点F为腰AC上一点，连接BF、BE．若∠A＝∠ABE＝∠CBF．求证：BD+CF＝AB．

2．如图1，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC；在等腰Rt△DCE中，∠DCE＝90°，CD＝CE；点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、BE，点N是线段BE的中点，连接CN与AD交于点G．

（1）若CN＝12.5，CE＝7，求BD的值．

（2）求证：CN⊥AD．

（3）把等腰Rt△DCE绕点C转至如图2位置，点N是线段BE的中点，延长NC交AD于点H，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

3．如图，在平行四边形ABCD中，点H为DC上一点，BD、AH交于点O，△ABO为等边三角形，点E在线段AO上，OD＝OE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，且∠GAD＝60°．

（1）若CH＝2，AB＝4，求BC的长；

（2）求证：BD＝AB+AE．

考点三  手拉手+倍长中线模型

1．在△ABC中，AB＝AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．

（1）如图①，当∠BAC＝∠DCF＝90°时，已知AC＝，CD＝2，求AG的长度；

（2）如图②，当∠BAC＝∠DCF＝60°时，AG与DG有怎样的位置和数量关系，并证明；

（3）当∠BAC＝∠DCF＝α时，试探究AG与DG的位置和数量关系（数量关系用含α的式子表达）．

2．平行四边形ABCD中，∠ABD＝90°，G点为BC边上一点，连接DG，E点在BC边所在直线上，过E点作EF∥CD交GD于F点．

（1）如图1，若G为BC边中点，EF交GD延长线于F点，tanA＝，CE＝CG，DG＝，求EF；

（2）如图2，若E点在BC边上，G为BE中点，且GD平分∠BDC，求证：DB＝2FG+DF；

（3）如图3，若E点在BC延长线上，G为BE中点，且∠GDC＝30°，问（2）中结论还成立吗？若不成立，那么线段DB、FG、DF满足怎样的数量关系，请直接写出结论．

3．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．  

（1）求证：CE＝CF；

（2）若∠ABC＝120°，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：DG⊥GE．

考点四  半角模型证全等

1．如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 　　　．

2．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边AC上两点，且∠DAE＝45°，若BE＝4，CD＝3，则AB的长为　　　　．

3．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：

①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．

其中正确的结论是　　　．（填写所有正确结论的序号）

考点五  三垂直模型证全等

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8cm，BE＝3cm，则DE＝　　cm．

2．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（1）如图1，若AB＝8，点D是AC的中点，连接BD，求S△BCD；

（2）如图2，若D、E是AC边上两点，且AD＝CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，连接BE、GE，求证：∠ADB＝∠CEG．

3．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，G为AB的中点，过点G作DG⊥AB交AC于点D．

（1）如图1，连接CG，若CG＝，BC＝3，求DG的长；

（2）如图2，过点D作DE⊥BD，连接AE，以点E为直角顶点，AE为直角边向外作等腰直角三角形AEF，使得点F刚好落在BD的延长线上，求证：BC＝DE+DF．

考点六  对角互补模型证全等

1．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

（1）小王同学探究此问题的方法是：延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG，先证明△ABG≌△ADF，再证明△AEG≌△AEF，可得出结论，他的结论应是　         　．

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

2．已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，试说明AD＝DC．

3．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且PE⊥PC．

（1）求证：PC＝PE；

（2）若BE＝2，求PB的长．