第24讲 圆（讲通）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

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【2022讲通练透】二轮
第二十四讲 圆
必备知识点 2
考点一 圆相关角计算 5
考点二 垂径定理与切线长定理 11
考点三 弧长与扇形面积 14
考点四 圆综合计算 17















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必备知识点
一、圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
6）弦心距：圆心到弦的距离．
2．注意
1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
二、垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
三、圆心角、弧、弦的关系
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
四、圆周角定理及其推论
1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
五、与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．(1)dr⇔点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
图形



公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d=r
d 由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
六、切线的性质与判定
1．切线的性质
1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
2．切线的判定
1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
七、三角形与圆
1．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．
2．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．
八、正多边形的有关概念
正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．
正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．
正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
九、与圆有关的计算公式
1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．
2．圆锥与侧面展开图
1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．








考点一 圆相关角计算

1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为（　　）

A．70° B．120° C．140° D．110°
【解答】解：∵BC＝CD，
∴＝，
∵∠DAB＝40°，
∴∠BAC＝∠DAB＝20°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝180°﹣∠B＝110°，
故选：D．
2．如图，BC为⊙O的直径，A、D为⊙O上的两点，且OA⊥BC．连接AD、CD，若∠AEO＝70°，则∠C的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【解答】解：如图，连接OD．则OD＝OA＝OC．
∴∠ODA＝∠OAD＝90°﹣∠AEO＝90°﹣70°＝20°，
∵∠DOE＝∠AEO﹣∠ODE＝70°﹣20°＝50°，
∴∠COD＝180°﹣∠DOE＝180°﹣50°＝130°，
∴∠C＝＝＝25°．
故选：B．

3．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
【解答】
解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
解法二：连接OC，BC．

∵DB，DC是⊙O的切线，B，C是切点，
∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC＝25°，
∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，
故选：A．
4．如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P＝40°，则∠DOE等于（　　）度．

A．40 B．50 C．70 D．80
【解答】解：连接OA、OB、OF，
∵∠P＝40°，
∴∠AOB＝140°，
∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，
∴∠AOD＝∠FOD，∠BOE＝∠FOE，
∴∠DOE＝∠AOB＝×140°＝70°．
故选：C．

5．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．若∠ADE＝36°，则∠C的度数是（　　）

A．18° B．28° C．36° D．45°
【解答】解：连接OA，DE，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵∠ADE＝36°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝72°，
∴∠C＝90°﹣∠AOE＝90°﹣72°＝18°，
故选：A．

6．如图，AB为圆O的直径，直线CD为圆O的切线，且BC＝BD，则∠BAC＝（　　）

A．12° B．18° C．30° D．36°
【解答】解：连接OC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∵直线CD为圆O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠BOC＝2∠ACO，
∵BC＝BD，
∴∠D＝∠BCD，
∴∠OBC＝2∠BCD，
∴∠OBC＝∠BOC，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BAC＝30°．
故选：C．

7．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点，连接OC、AD，若∠AOC＝60°，则∠BAD的度数为（　　）

A．40° B．35° C．30° D．25°
【解答】解：如图，连接AC．

∵OA＝OC，∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝60°，
∵＝，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
故选：C．

考点二 垂径定理与切线长定理

8．如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于点M，若AB＝24，CD＝26．则MD的长为（　　）

A．5 B．7 C．8 D．10
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，AB＝24，
∴AM＝BM＝AB＝12，OA＝OD＝CD＝13，
在Rt△OAM中，由勾股定理得：OM＝＝＝5，
∴DM＝OD﹣OM＝13﹣5＝8，
故选：C．

9．如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（　　）

A． B． C．3 D．5
【解答】解：设⊙O的半径为r，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，
∴AE＝AB＝4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：AE2+OE2＝OA2，
即42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径为5，
故选：D．
10．如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：∵⊙O内切于四边形ABCD，
∴AD+BC＝AB+CD，
∵AB＝10，BC＝7，CD＝8，
∴AD+7＝10+8，
解得：AD＝11．
故选：D．
11．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB
∵△PCD的周长等于3，
∴PA+PB＝3，
∴PA＝．
故选：A．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F，
∵AB，AE都为圆的切线，
∴AE＝AB，
∵OB＝OE，AO＝AO，
∴△ABO≌△AEO（SSS），
∴∠OAB＝∠OAE，
∴AO⊥BE，
在直角△AOB里AO2＝OB2+AB2，
∵OB＝1，AB＝3，
∴AO＝，
易证明△BOF∽△AOB，
∴BO：AO＝OF：OB，
∴1：＝OF：1，
∴OF＝，
sin∠CBE＝＝，
故选：D．


考点三 弧长与扇形面积

13．如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E，F分别是AD，BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的周长为 　π+﹣1+　．

【解答】解：连接OE，OF，根点O作OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点NM，则四边形OMAN是正方形．

在Rt△OEM中，OM＝1，OE＝2，
∴EM＝＝＝，
∵∠OME＝∠ONF＝90°，OM＝ON，OE＝OF，
∴Rt△OME≌Rt△ONF（HL），
∴ME＝FN＝，∠EOM＝∠FON，
∴∠EOF＝∠MON＝90°，
∴的长＝＝π，
∵DE＝EM﹣DM＝﹣1，AF＝FN﹣AN＝﹣1，
∴DF＝＝＝，
∴阴影部分的周长＝π+﹣1+．
故答案为：π+﹣1+．
14．如图，在扇形OAB中，∠BOA＝120°，OA＝2，C是的中点，D是OA上一点（不与点OA重合），则阴影部分的面积为 　　．

【解答】解：如图，连接OC，BC，
∵C是的中点，∠BOA＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是正三角形，
∴∠OCB＝∠AOC＝60°，
∴BC∥OA，
∴S△BCD＝S△BCO，
∴S阴影部分＝S扇形BOC＝＝，
故答案为：．

15．如图，扇形AOB中，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB交于点C，点D，E分别是OC，OB上的动点，若OA＝2，当BD+DE最小时阴影部分的面积为 　　．

【解答】解：如图，过点B作BH⊥OA于H，交OC于点D′．

∵OC平分∠AOB，
∴点E关于OC的对称点E′在OA上，连接DE′，
∵DE+DB＝BD+DE′≥BH，
∴当B，D，E′共线且与BH重合时，BD+DE的值最小，
此时S阴＝S扇形OBC﹣S△OBD′
＝﹣××1
＝π﹣，
故答案为：．
16．如图，将四边形ABCD绕顶点A逆时针旋转45°至AB′C′D′的位置，若AB＝8cm，则图中阴影部分的面积为 　8π　．

【解答】解：由旋转的性质得：∠BAB'＝45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，
则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积﹣四边形AB'C'D'的面积＝扇形ABB'的面积＝＝8π；
故答案为：8π．


考点四 圆综合计算

17．如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，tan∠EAD＝，求BC的长．

【解答】解：（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE＝∠DAE，
∴∠OEA＝∠EAD，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AF，
∴OE⊥DE，
∴CD是⊙O的切线；

（2）连接BE，∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠D，
又∠DAE＝∠BAE，
∴△ADE∽△AEB，
∴，
又tan∠EAD＝，
∴，
则AE＝2BE，又AB＝10，
在△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即（2BE）2+BE2＝102，
解得：BE＝，则AE＝，
∴，
解得：AD＝8，DE＝4，
∵OE∥AD，
∴△COE∽△CAD，
∴，
设BC＝x，
∴，
解得：x＝，
经检验：x＝是原方程的解，
故BC的长为．
18．如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）连接OC，如图：

∵CD＝DE，OC＝OA，
∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，
∵ED⊥AD，
∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，如图：

∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠E，
∵tan∠DCE＝2，
∴tanE＝2，
∵ED⊥AD，
Rt△EDA中，＝2，
设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝x，
∵BD＝1，
∴AD＝2x+1，
∴＝2，
∴ED＝x+＝CD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD2＝BD•AD，
∴（x+）2＝1×（2x+1），解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴⊙O的半径为．
19．如图，在⊙O中，AB为⊙O直径，直线MN（在直径AB上方）交⊙O于C、D两点，且MN∥AB，连接CB，DB；点P为直径AB下方⊙O上一点，连接DP，BP．
（1）求证：∠BDC+∠BCN＝90°；
（2）若tanP＝，⊙O半径为5，求CD的长．

【解答】（1）证明：连接CA．
∵，
∴∠BDC＝∠CAB，
∵MN∥AB，
∴∠BCN＝∠CBA，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴∠BDC+∠BCN＝90°．

（2）解：连接AD，过B作BE⊥MN交于E．
∵，
∴∠P＝∠DAB，
∵AB＝10，
在Rt△ADB中，，
设BD＝4x，AD＝3x，
∵BD2+AD2＝AB2，
∴（4x）2+（3x）2＝102，
∴x＝2，
∴BD＝8，AD＝6，
∵∠BDN＝∠DBA，∠BDN+∠DBN＝∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠DBN＝∠DAB＝∠P，
在Rt△EDB中，，
设DE＝4a，BE＝3a，DE2+BE2＝BD2，
∴（4a）2+（3a）2＝82，
∴，
∴，
∵四边形BCDP为圆内接四边形，
∴∠BCD+∠P＝180°，∠BCD+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠P．
在Rt△ECB中，，，
∴．

20．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点 D．取BC的中点E，连接DE，并连接OE交⊙O于点F．连接AF交BC于点G，连接BD交AG于点H．
（1）若EF＝1，BE＝，求∠EOB的度数；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）求证：点F为线段HG的中点．

【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
在直角三角形OBE中，设圆O半径为r，
∵EF＝1，BE＝，则，r2+（）2＝（r+1）2，
解得r＝1，
∴OB＝1，OE＝2，
∴∠EOB＝60°；

（2）连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵E为直角三角形BCD斜边的中点，
∴DE＝EC，
∴∠CDE＝∠C，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA+∠CDE＝∠OAD+∠C＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE是⊙O的切线；

（3）∵O、E分别为AB、BC的中点，
∴OE∥AC，
∵BD⊥AC，
∴OE⊥BD，
∴＝，
∴∠FBD＝∠FAB，
∵∠GBF＝∠FAB，
∴∠FBD＝∠GBF，
∴BF⊥HG，
∴BF平分HG，
即：点F为线段HG的中点．