北师大版高中数学选择性必修第一册2-3-1抛物线及其标准方程学案

§3　抛物线

3．1　抛物线及其标准方程

[笔记教材]

知识点一　抛物线的定义

答案：相等　定点F　定直线l　|MF|＝d

知识点二　抛物线的标准方程

续表

答案：x＝－　y2＝－2px(p>0)　

　y＝－　x2＝－2py(p>0)　

[重点理解]

1．对抛物线定义的理解

(1)抛物线的定义也可归结为“一动三定”：“一动”即一个动点M；“三定”即一个定点F(焦点)、一条定直线l(准线)、一个定值1(|MF|和动点M到定直线l的距离之比为常数1)．

(2)注意定义中的关键词“l不经过点F”，否则动点M的轨迹是经过定点F且与定直线l垂直的直线，如到定点F(1,2)与定直线l：x＝1的距离相等的动点M的轨迹为过定点F(1，2)且与定直线l：x＝1垂直的直线y＝2.

(3)由抛物线的定义知，抛物线上一点到焦点的距离与它到准线的距离相等，因此两种距离可以相互转化，凡涉及抛物线上一点到焦点的距离都可以转化为该点到准线的距离．

2．理解四种标准方程时的注意点

(1)标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式．

(2)焦点的非零坐标是一次项系数的.

(3)准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称．

(4)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项的变量和其系数的符号决定抛物线的开口方向．

(5)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线方程才具有标准形式．

[自我排查]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)抛物线y2＝20x的焦点坐标是(0,5)．()

(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．(√)

(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．()

2．(2020全国卷(理))已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)

A．2　　　　  B．3　　　　  C．6　　　　　  D．9

答案：C

3．(2022北京东直门中学检测)设抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)

A．1　   B．2　   C．3　   D．4

答案：C

4．(2022陕西西安中学检测)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝－1　   B．x＝－2

C．x＝－3   D．x＝－4

答案：D

5．(2022上海七宝中学检测)抛物线y＝ax2(a<0)的焦点坐标为________．

答案：

研习1 　求抛物线的焦点坐标和准线方程

[典例1]　求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．

(1)y2＝－14x；

(2)5x2－2y＝0；

(3)y2＝ax(a≠0)．

[解]　(1)因为p＝7，所以焦点坐标是，准线方程是x＝.

(2)抛物线方程化为标准形式为x2＝y，所以p＝，所以焦点坐标是，准线方程是y＝－.

(3)当a>0时，p＝，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－.当a<0时，方程可看作y2＝－(－a)x，2p＝－a，p＝－，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－.综上，抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程是x＝－.

[巧归纳]　求抛物线焦点坐标和准线方程的一般步骤：(1)化方程为标准方程；(2)由一次项(是x还是y)及其符号(是正还是负)确定抛物线的开口方向，可得焦点和准线的位置；(3)由一次项的系数确定2p(大于零)的值，进而求得，结合(2)可得焦点坐标和准线方程．

[练习1](2022湖南益阳检测)(多选题)已知双曲线C：－＝1，它的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，则下列结论正确的是(　　)

A．C的虚轴长为4

B．C的渐近线方程为4x±3y＝0

C．C上的任意点P都满足|PF1|＋|PF2|＝6

D．C的一个顶点与抛物线y2＝12x的焦点重合

答案：BD

解析：因为双曲线C：－＝1的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，所以c＝5，a＝3，b＝4.A.C的虚轴长为8，故错误；B.C的渐近线方程为4x±3y＝0，故正确；C.C上的任意点P都满足||PF1|－|PF2||＝6，故错误；D.C的右顶点(3,0)与抛物线y2＝12x的焦点重合，故正确．故选BD.

研习2  求抛物线的标准方程

[典例2]　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：

(1)焦点为(－2,0)；

(2)准线为y＝－1；

(3)过点A(2,3)；

(4)焦点到准线的距离为.

(1)[解]　由于焦点在x轴的负半轴上，且＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.

(2)[解]　∵焦点在y轴正半轴上，且＝1，∴p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝4y.

(3)[解]　由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2,3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，∴m＝或n＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝y.

(4)[解]　由焦点到准线的距离为，可知p＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.

[巧归纳]　用待定系数法求抛物线标准方程的步骤

[注意]　当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．

[练习2]求适合下列条件的抛物线的标准方程：

(1)过点M(－6,6)；

(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．

(1)解：由于点M(－6,6)在第二象限，∴过M的抛物线开口向左或开口向上．若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y2＝－2px(p>0)，将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.

(2)解：直线l与坐标轴的交点为(2,0)和(0，－3)，

①当抛物线的焦点是F(2,0)时，＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程是y2＝8x.

②当抛物线的焦点是F(0，－3)时，∴＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.

综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.

研习3   抛物线定义的应用

[典例3]　(1)若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程；

(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．

(1)[解]　设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.

因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.

所以|MC|＝d＋1.即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4，故其方程为y2＝8x.

(2)[解]　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由右图可知，P点，(0,2)点和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝2＋(2－0)2＝.

[巧归纳]　抛物线定义的两种应用：(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．

[练习3](2020北京卷)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线(　　)

A．经过点O　　   B．经过点P

C．平行于直线OP　　    D．垂直于直线OP

答案：B

解析：如图所示：

因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|＝|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.

研习4  抛物线的实际应用

[典例4]　某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4 m，此车能否通过此隧道？请说明理由．

[解]　建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，当x＝3时，y＝－3，即点(3，－3)在抛物线上．代入得2p＝3，故抛物线方程为x2＝－3y.已知集装箱的宽为3 m，当x＝时，y＝－，而桥高为5 m，所以5－＝4>4.故卡车可以通过此隧道．

[巧归纳]　求抛物线实际应用的五个步骤

[练习4]某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．

解：如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p×(－4)，2p＝25.即抛物线方程为x2＝－25y.∵每4米需用一根支柱支撑，∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x2＝－25y，得yB＝－.∴|AB|＝4－＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．

1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　　)

A．4　　  B．2　   C．6　　  D．8

答案：A

解析：∵a2＝6，b2＝2，∴c2＝a2－b2＝4，c＝2.椭圆的右焦点为(2,0)，∴＝2，p＝4.

2．(2022云南宣威第五中学检测)若点A(2，－2)在抛物线y2＝2px上，F为抛物线的焦点，则＝(　　)

A．1　   B．2　   C．3　  D．4

答案：C

解析：∵点A(2，－2)在抛物线y2＝2px上，∴(－2)2＝4p，即p＝2，

∴|AF|＝xA＋＝2＋1＝3.故选C.

3．(2022江西进贤第一中学检测)已知点A(3，4)，F是抛物线y2＝8x的焦点，M是抛物线上的动点，当|MA|＋|MF|最小时，M点坐标是(　　)

A．(0,0)　    B．(3,2)

C．(2,4)　   D．(3，－2)

答案：C

解析：由题知点A在抛物线内．设M到准线的距离为|MK|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MK|，当|MA|＋|MK|最小时，M点坐标是(2,4)．

4．(2022福建宁德检测)(多选题)已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，圆 C: x2＋(y－1)2＝16与抛物线E交于A，B两点，点P为劣弧 上不同于A，B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l交抛物线E于点N，则以下结论正确的是(　　 )

A．点P的纵坐标的取值范围是(3,5]

B．圆C的圆心到抛物线准线的距离为1

C．|PN|＋|NF|等于点P到抛物线准线的距离

D．△PFN周长的取值范围是(8,10)

答案：ACD

解析：如图所示：A．圆C：x2＋(y－1)2＝16的圆心为(0,1)，半径为4，与y的正半轴交点为(0,5)，

由解得y＝3，所以点P的纵坐标的取值范围是(3,5]，故正确；

B．因为圆C的圆心为抛物线的焦点，所以圆C的圆心到抛物线准线的距离为p＝2，故错误；

C．由抛物线的定义得|PN|＋|NF|等于点P到抛物线准线的距离，故正确；

D．△PFN周长为|PF|＋|PN|＋|NF|＝r＋yP＋1＝yP＋5∈(8,10)，故正确．

故选ACD.

5．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．

答案：2

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，

所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．

[误区警示]

求抛物线标准方程时，忽略分类讨论导致出错

[示例]　抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．

[错解一]　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，所以抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p>0)．

设点A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝＋m，

所以

解得或

所以抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝18x.

[错解二]　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，所以当m>0时，点A在第四象限，抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p>0)．

设点A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝＋m，

所以

解得或

所以抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝18x.

当m<0时，点A在第三象限，抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p>0)．

设点A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝＋m，

所以解得

或(舍去)．

所以抛物线的标准方程为y2＝－2(5＋)x.

综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－2(5＋)x或y2＝2x或y2＝18x.

[错因分析]　错解一忽略了对m<0的讨论；错解二在m<0时计算点到准线的距离时失误．

[正解]　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，所以①当m>0时，点A 在第四象限，抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p>0)，设点A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝＋m，所以

解得或.

所以抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝18x.

②当m<0时，点A在第三象限，抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p>0)．

设点A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝－m，

所以

解得或

所以抛物线的标准方程为y2＝－2x 或y2＝－18x.

综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－2x或y＝－18x2或y2＝2x或y2＝18x.

[易错警示]　当题中未知元素的不同情况影响题中的相关条件及结果时，应注意对不同情况进行分类讨论．