北师大版高中数学选择性必修第一册1-2-2圆的一般方程学案

2.2　圆的一般方程

[笔记教材]

知识点一　圆的一般方程

当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程，其中圆心为________，半径为________．

答案：　

知识点二　圆的一般方程与二元二次方程的关系

比较二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0和圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，可以得出如下结论：当二元二次方程具有条件：(1)x2和y2的系数相同，且不等于0，即A＝C≠0；(2)没有xy项，即________；(3)________时，它才表示圆．

答案：(2)B＝0　(3)D2＋E2－4F＞0

知识点三　点与圆的位置关系

已知点M(x0，y0)和圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则点M与圆的位置关系的判断方法如下表所示：

[重点理解]

对圆的一般方程的两点说明：

(1)同圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2一样，圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中也有三个待定的系数D，E，F，因此必须具备三个独立条件，才能确定一个圆．

(2)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0.

[自我排查]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)平面内任何一个圆的方程都是关于x，y的二元二次方程．(√)

(2)圆的一般方程和圆的标准方程可以互化．(√)

(3)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程都表示圆．()

(4)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(√)

2．圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标及半径分别为(　　)

A．(2,0)，5    B．(2,0)，

C．(0,2)，     D．(2,2)，5

答案：B

3．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(　　)

A．m≤2    B．m<

C．m<2    D．m≤

答案：B

4．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0<a<1)，则原点O在(　　)

A．圆内    B．圆外

C．圆上    D．圆上或圆外

答案：B

5．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.

答案：3

    研习1   　二元二次方程与圆的关系

[典例1]　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径；若不能，请说明理由．

[解]　方法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝|m－2|.

方法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝·|m－2|.

[巧归纳]　解决这种类型的题目，一般要先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x2与y2的系数是否相等；(2)不含xy项．当它具有圆的一般方程的特征时，再看D2＋E2－4F>0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数．

[练习1]下列各方程是否表示圆？若表示圆，求其圆心和半径．

(1)x2＋y2＋2xy＝0；

(2)x2＋y2－4x＝0；

(3)2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；

(4)x2＋y2＋2ax＝0(a∈R)．

(1)解：因为方程x2＋y2＋2xy＝0中含有xy这样的项，所以不能表示圆．

(2)解：由方程可知D＝－4，E＝F＝0，因为D2＋E2－4F＝D2＝16＞0，所以方程表示圆．因为－＝2，－＝0，所以圆心为(2,0)，r＝＝2.

(3)解：原方程可化为x2＋y2－x＋2y＋3＝0，易知D＝－，E＝2，F＝3.因为D2＋E2－4F＝＋4－12＜0，所以方程不表示任何图形．

(4)解：因为D2＋E2－4F＝4a2＋02－4×0＝4a2，所以当a≠0时，该方程表示的是以(－a,0)为圆心，半径r＝|a|的圆；当a＝0时，原方程为x2＋y2＝0，表示点(0,0).

研习2  求圆的一般方程

[典例2]　求圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程．

[解]　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心是，由题意知，

解得即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.

[巧归纳]　用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择：(1)如果由已知条件容易求圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D，E，F.

[练习2]求圆心在y＝－x上且过两点(2,0)，(0，－4)的圆的一般方程，并把它化成标准方程．

解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则圆心坐标为.

由题意可得解得所以圆的一般方程为x2＋y2－6x＋6y＋8＝0，

化为标准方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝10.

研习2  与圆有关的动点轨迹问题

[典例3]　已知△ABC的边AB长为2a，若BC的中线为定长m，求顶点C的轨迹方程．(轨迹方程是动点坐标所满足的方程)

[解]　如图，以直线AB为x轴， 线段AB的中垂线为y轴建立坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设C(x，y)，BC中点为D(x0，y0)，则x0＝，y0＝，①

因为|AD|＝m，所以(x0＋a)2＋y＝m2.②

将①式代入②式，整理得(x＋3a)2＋y2＝4m2.因为C不能在x轴上，所以y≠0，故所求轨迹方程为(x＋3a)2＋y2＝4m2(y≠0)．

[巧归纳]　求与圆有关的轨迹问题常用的方法：(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．

[练习3](2022湖北恩施州模拟)(多选题) “平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”．在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是(　　)

A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝16

B．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线

C．△PAB的面积最大值为12

D．在C上存在点M，使得＝2

答案：ABC

解析：在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝，设P(x，y)，则＝，化简可得(x＋4)2＋y2＝16，故A正确；当A，B，P三点不共线时，由＝＝，可得射线PO是∠APB的平分线，故B正确；因为|AB|＝6，而P在圆(x＋4)2＋y2＝16上，所以P到AB的最大距离为4，所以△PAB的面积最大值为S＝×6×4＝12，故C正确；若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M(x，y)，即有＝2，化简可得x2＋y2＋x＋＝0，联立x2＋y2＋8x＝0，可得方程组无解，故不存在M，故D错误．故选ABC.

1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为(　　)

A．(1,2)    B．(1，－2)

C．(－1,2)    D．(－1，－2)

答案：B

解析：将圆的方程化为标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝5，可知其圆心坐标是(1，－2)．

2．过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，则PQ中点的轨迹方程为(　　)

A．x2＋4y2＝4    B．4x2＋y2＝4

C．x2＋y2＝    D．x2＋y2＝4

答案：A

解析：设中点为(x0，y0)，则P(x0,2y0)，代入x2＋y2＝4，得x＋4y＝4，故选A.

3．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是________．

答案：

解析：若方程x2＋y2－2x＋y＋k＝0表示圆，则(－2)2＋12－4k>0，解得k<.

4．圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P，Q关于直线kx－y＋4＝0对称，则k＝________.

答案：2

解析：圆心在直线上，代入kx－y＋4＝0，得k＝2.

[误区警示]

二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，忽略D2＋E2－4F>0致错

[示例]　已知定点P(m,2)在圆x2＋y2－2mx－y＋m2＋m＝0的外部，求实数m的取值范围．

[错解]　∵点P(m,2)在圆外，∴m2＋4－2m2－2＋m2＋m>0，∴m>－2.

[错因分析]　错解的根本原因是没理解圆的一般方程的定义．

[正解]　∵点P(m,2)在圆外，∴m2＋4－2m2－2＋m2＋m>0，即m>－2，∵方程x2＋y2－2mx－y＋m2＋m＝0表示圆，∴(－2m)2＋(－1)2－4(m2＋m)>0，即m<.∴－2<m<.

[题后总结]　1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．

2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程．