高中数学高考第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
展开第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1.已知命题p:所有指数函数都是单调函数,则綈p为( )
A.所有的指数函数都不是单调函数
B.所有的单调函数都不是指数函数
C.存在一个指数函数,它不是单调函数
D.存在一个单调函数,它不是指数函数
解析 命题p:所有指数函数都是单调函数,则綈p为:存在一个指数函数,它不是单调函数.
答案 C
2.设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为;命题q:函数y=cos x的图象关于直线x=对称.则下列判断正确的是( )
A.p为真 B.綈p为假
C.p∧q为假 D.p∧q为真
解析 p为假命题,q为假命题,∴p∧q为假.
答案 C
3.2016年巴西里约奥运会,在体操预赛中,有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”,q是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( )
A.(綈p)∨(綈q) B.p∨(綈q)
C.(綈p)∧(綈q) D.p∨q
解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况:“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳,乙落地站稳”、“乙落地没有站稳,甲落地站稳”,故可表示为(綈p)∨(綈q).或者,命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定,即“p∧q”的否定.
答案 A
4.(2017·西安调研)已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是( )
A.p∧(綈q) B.(綈p)∧q
C.(綈p)∧(綈q) D.p∧q
解析 由题意知命题p是真命题,命题q是假命题,故綈p是假命题,綈q是真命题,由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧(綈q)是真命题.
答案 A
5.下列命题中,真命题是( )
A.∃x0∈R,ex0≤0
B.∀x∈R,2x>x2
C.a+b=0的充要条件是=-1
D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件
解析 因为y=ex>0,x∈R恒成立,所以A不正确.
因为当x=-5时,2-5<(-5)2,所以B不正确.
“=-1”是“a+b=0”的充分不必要条件,C不正确.
当a>1,b>1时,显然ab>1,D正确.
答案 D
6.命题p:∀x∈R,ax2+ax+1≥0,若綈p是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(0,4]
B.[0,4]
C.(-∞,0]∪[4,+∞)
D.(-∞,0)∪(4,+∞)
解析 因为命题p:∀x∈R,ax2+ax+1≥0,
所以命题綈p:∃x0∈R,ax+ax0+1<0,
则a<0或解得a<0或a>4.
答案 D
7.(2017·衡阳模拟)已知命题p:∃α∈R,cos(π-α)=cos α;命题q:∀x∈R,x2+1>0.则下面结论正确的是( )
A.p∧q是真命题 B.p∧q是假命题
C.綈p是真命题 D.綈q是真命题
解析 对于p:取α=,则cos(π-α)=cos α,
所以命题p为真命题;
对于命题q:∵x2≥0,∴x2+1>0,所以q为真命题.由此可得p∧q是真命题.
答案 A
8.(2017·江西赣中南五校联考)已知命题p:∃x∈R,(m+1)(x2+1)≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p∧q为假命题,则实数m的取值范围为( )
A.[2,+∞) B.(-∞,-2]∪(-1,+∞)
C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.(-1,2]
解析 由命题p:∃x∈R,(m+1)(x2+1)≤0可得m≤-1;由命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立,可得-2<m<2,若命题p,q均为真命题,则此时-2<m≤-1.
因为p∧q为假命题,所以命题p,q中至少有一个为假命题,所以m≤-2或m>-1.
答案 B
二、填空题
9.命题“∃x0∈,tan x0>sin x0”的否定是________.
答案 ∀x∈,tan x≤sin x
10.若命题“∃x0∈R,使得x+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是________.
解析 ∵“∃x0∈R,使得x+(a-1)x0+1<0”是真命题,
∴Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,
∴a-1>2或a-1<-2,
∴a>3或a<-1.
答案 (-∞,-1)∪(3,+∞)
11.(2017·石家庄调研)已知下列四个命题:
①“若x2-x=0,则x=0或x=1”的逆否命题为“x≠0且x≠1,则x2-x≠0”
②“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件
③命题p:存在x0∈R,使得x+x0+1<0,则綈p:任意x∈R,都有x2+x+1≥0
④若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
其中真命题的是________(填序号).
解析 显然①③正确.
②中,x2-3x+2>0⇔x>2或x<1.
∴“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,②正确.
④中,若p∧q为假命题,则p,q至少有一个假命题,④错误.
答案 ①②③
12.已知命题p:“∀x∈[0,1],a≥ex”;命题q:“∃x0∈R,使得x+4x0+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是________.
解析 若命题“p∧q”是真命题,那么命题p,q都是真命题.由∀x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由∃x0∈R,使x+4x0+a=0,知Δ=16-4a≥0,得a≤4,因此e≤a≤4.
答案 [e,4]
13.(2016·浙江卷)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2
B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2
C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2
D.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<x
解析 改变量词,否定结论.
∴綈p应为:∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<x.
答案 D
14.(2017·昆明一中质检)已知命题p:∀x∈R,x+≥2;命题q:∃x0∈(0,+∞),x>x,则下列命题中为真命题的是( )
A.(綈p)∧q B.p∧(綈q)
C.(綈p)∧(綈q) D.p∧q
解析 对于p:当x=-1时,x+=-2,∴p为假命题.取x0∈(0,1),此时x>x,∴q为真命题.
从而綈p为真命题,(綈p)∧q为真命题.
答案 A
15.(2017·郑州模拟)下列四个说法:
①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真;
②命题“设a,b∈R,若a+b≠6,则a≠3或b≠3”是一个假命题;
③“x>2”是“<”的充分不必要条件;
④一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真.
其中说法不正确的序号是________.
解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系,故①错误;②此命题的逆否命题为“设a,b∈R,若a=3且b=3,则a+b=6”,此命题为真命题,所以原命题也是真命题,②错误;③<,则-=<0,解得x<0或x>2,所以“x>2”是“<”的充分不必要条件,故③正确;④否命题和逆命题是互为逆否命题,真假性相同,故④正确.
答案 ①②
16.已知命题p:∃x∈R,ex-mx=0,q:∀x∈R,x2-2mx+1≥0,若p∨(綈q)为假命题,则实数m的取值范围是________.
解析 若p∨(綈q)为假命题,则p假q真.
由ex-mx=0得m=,设f(x)=,
则f′(x)==.
当x>1时,f′(x)>0,此时函数单调递增;
当0<x<1时,f′(x)<0,此时函数单调递减;
当x<0时,f′(x)<0,此时函数单调递减.
由f(x)的图象及单调性知当x=1时,f(x)=取得极小值f(1)=e,所以函数f(x)=的值域为(-∞,0)∪[e,+∞),所以若p是假命题,则0≤m<e;
命题q为真命题时,有Δ=4m2-4≤0,则-1≤m≤1.
所以当p∨(綈q)为假命题时,m的取值范围是[0,1].
答案 [0,1]
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