高中数学高考3 第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 新题培优练

[基础题组练]

1．已知命题p：所有的指数函数都是单调函数，则﹁p为(　　)

A．所有的指数函数都不是单调函数

B．所有的单调函数都不是指数函数

C．存在一个指数函数，它不是单调函数

D．存在一个单调函数，它不是指数函数

解析：选C.命题p：所有的指数函数都是单调函数，则﹁p：存在一个指数函数，它不是单调函数．

2．已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则(　　)

A．p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0

B．p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0

C．p是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0

D．p是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0

解析：选B.因为3x＞0，所以3x＋1＞1，则log2(3x＋1)＞0，所以p是假命题，﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0.故应选B.

3．(2019·玉溪模拟)有四个关于三角函数的命题：

P1：∃x∈R，sin x＋cos x＝2；

P2：∃x∈R，sin 2x＝sin x；

P3：∀x∈， ＝cos x；

P4：∀x∈(0，π)，sin x＞cos x.

其中真命题是(　　)

A．P1，P4　　　　 B．P2，P3

C．P3，P4 D．P2，P4

解析：选B.因为sin x＋cos x＝sin ，所以sin x＋cos x的最大值为，可得不存在x∈R，使sin x＋cos x＝2成立，得命题P1是假命题；

因为存在x＝kπ(k∈Z)，使sin 2x＝sin x成立，故命题P2是真命题；

因为＝cos2x，所以 ＝|cos x|，结合x∈得cos x≥0，由此可得 ＝cos x，得命题P3是真命题；

因为当x＝时，sin x＝cos x＝，不满足sin x＞cos x，

所以存在x∈(0，π)，使sin x＞cos x不成立，故命题P4是假命题．

故选B.

4．“p∨q为真”是“﹁p为假”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B.因为﹁p为假，所以p为真，所以“p∨q为真”，反之不成立，可能q为真，p为假，﹁p为真．所以“p∨q 为真”是“﹁p为假”的必要不充分条件．故选B.

5．已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是(　　)

A．“p∨q”为真命题 B．“p∧q”为真命题

C．“﹁p”为真命题 D．“﹁q”为假命题

解析：选A.由a＞|b|≥0，得a2＞b2，所以命题p为真命题．因为x2＝4⇔x＝±2，所以命题q为假命题．所以“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“﹁p”为假命题，“﹁q”为真命题．综上所述，可知选A.

6．(2019·安徽芜湖、马鞍山联考)已知命题p：∃x∈R，x－2＞lg x，命题q：∀x∈R，ex＞x，则(　　)

A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题

C．命题p∧(﹁q)是真命题 D．命题p∨(﹁q)是假命题

解析：选B.显然，当x＝10时，x－2＞lg x成立，所以命题p为真命题．设f(x)＝ex－x，则f′(x)＝ex－1，当x＞0时，f′(x)＞0，当x＜0时，f′(x)＜0，所以f(x)≥f(0)＝1＞0，所以∀x∈R，ex＞x，所以命题q为真命题．故命题p∧q是真命题，故选B.

7．(2019·惠州第一次调研)设命题p：若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则∀x∈R，f(－x)≠f(x)．命题q：f(x)＝x|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是(　　)

A．p为假命题 B．﹁q为真命题

C．p∨q为真命题 D．p∧q为假命题

解析：选C.函数f(x)不是偶函数，仍然可∃x，使得f(－x)＝f(x)，p为假命题；f(x)＝x|x|＝在R上是增函数，q为假命题．所以p∨q为假命题，故选C.

8．(2019·南昌第二次模拟)已知函数f(x)＝ax2＋x＋a，命题p：∃x0∈R，f(x0)＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A.

B.

C.∪

D.∪

解析：选C.因为命题p：∃x0∈R，f(x0)＝0是假命题，所以方程f(x)＝0没有实数根，因为f(x)＝ax2＋x＋a，所以方程ax2＋x＋a＝0没有实数根. 因为a＝0时，x＝0为方程ax2＋x＋a＝0的根，所以a≠0，所以Δ＝1－4a2＜0且a≠0，所以a＜－或a＞，故选C.

9．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＜3x；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q B．(﹁p)∧(﹁q)

C．(﹁p)∧q D．p∧(﹁q)

解析：选B.由20＝30知，p为假命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”，但是“x＞2”能推出“x＞1”，所以“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q为假命题．所以(﹁p)∧(﹁q)为真命题．故选B.

10．(2019·湖北荆州调研)已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋的最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∨(﹁q)，则其中真命题的个数为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选C.由于Δ＝4a2＋4＞0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当x＜0时，f(x)＝x＋的值为负值，故命题q为假命题．所以p∨q，p∧(﹁q)，(﹁p)∨

(﹁q)是真命题，故选C.

11．(2019·沈阳期中)有下列四个命题：

(1)命题p：∀x∈R，x2＞0为真命题；

(2)设p：＞0，q：x2＋x－2＞0，则p是q的充分不必要条件；

(3)命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题是假命题；

(4)非零向量a与b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°.

其中真命题有(　　)

A．3个 B．2个

C．1个 D．0个

解析：选C.对于(1)，∀x∈R，x2≥0，故(1)为假命题；

对于(2)，设p：＞0，q：x2＋x－2＞0，可得p∶x＞0或x＜－2；q：x＞1或x＜

－2.由p推不到q，但由q推得p，则p是q的必要不充分条件，故(2)为假命题；

对于(3)，命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题为：若ab≠0，则a≠0且b≠0，

其否命题是真命题，故(3)为假命题；

对于(4)，非零向量a与b满足|a|＝|b|＝|a－b|，

可设＝a，＝b，＝a＋b，＝a－b，可得△OAB为等边三角形，

四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，可得a与a＋b的夹角为30°，故(4)为真命题．故选C.

12．(2019·济南模拟)已知命题p：关于m的不等式log2m＜1的解集为{m|m＜2}；命题q：函数f(x)＝x3＋x2－1有极值. 下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q     B．p∧(﹁q)

C．(﹁p)∧q     D．(綈p)∧(﹁q)

解析：选C.由log2 m＜1，得0＜m＜2，故命题p为假命题；f′(x)＝3x2＋2x，令f′(x)＝0得x＝－或x＝0，所以f(x)在和(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减，故f(x)有极值，所以命题q为真命题. 所以(﹁p)∧q为真命题．

 [综合题组练]

1．(创新型)在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(　　)

A．(﹁p)∨(﹁q)为真命题 B．p∨(﹁q)为真命题

C．(﹁p)∧(﹁q)为真命题 D．p∨q为真命题

解析：选A.命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题﹁p是“第一次射击没击中目标”，命题﹁q是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(﹁p)∨(﹁q)为真命题，故选A.

2．(2019·河北武邑中学模拟)给出下列四个命题：

①若x∈A∩B，则x∈A或x∈B；

②∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x；

③若a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要条件；

④“∃x0∈R，x＋2＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”．

其中真命题的序号是________．

解析：①若x∈A∩B，则x∈A且x∈B.所以①为假命题；

②当x＝4时，x2＝2x，所以②为假命题；

③取a＝0，b＝－1，则a＞b，但a2＜b2；取a＝－2，b＝－1，则a2＞b2，但a＜b，故若a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，所以③为假命题；

④“∃x0∈R，x＋2＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，所以④为真命题．

答案：④

3．(应用型)若∃x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．

解析：因为∃x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立是假命题，所以∀x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈，使得λ≤2x＋恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋，则f′(x)＝2－，当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，所以f(x)≥f＝2，则λ≤2.

答案：(－∞，2]

4．(应用型)已知命题p：∀x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为空集；命题q：f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，若命题p∧(綈q)是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：因为∀x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为空集，所以当a＝0时，不满足题意；当a≠0时，必须满足解得a≥2.由f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，可得函数f(x)在R上单调递减，则0＜2a－5＜1，解得＜a＜3.若命题p∧(綈q)是真命题，则p为真命题，q为假命题，所以解得2≤a≤或a≥3，则实数a的取值范围是∪[3，＋∞)．

答案：∪[3，＋∞)