初中数学苏科版七年级下册第12章 证明12.2 证明习题

第12章《证明》 培优测试卷（二）

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1. 要证明命题“若则”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】B

【解析】解：A、，不满足，故错误；
B、，，满足，，是真命题，所以B选项能作为证明原命题是假命题的反例，故B符合题意；
C、，，不满足满足，所以C选项能作为证明原命题是假命题的反例；
D、，，不满足，所以D选项不能作为证明原命题是假命题的反例；
故选：B．
作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断．
本题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
 

2. 如图，AD是的角平分钱，，垂足为若，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

【答案】B

【解析】解：，，
，
，
，
是的角平分钱，
，
又，
≌
，
，，
≌  ，
，
，
，
，
，
故选：B．
根据三角形的内角和求出，利用三角形全等，求出，再利用外角求出答案．
考查角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识，根据三角形的内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键．
 

3. 下面各语句中，正确的是

A. 相等的角是对顶角
B. 直线外一点到该直线的垂线段叫点到直线的距离
C. 同角或等角的余角相等
D. 一个锐角和一个钝角一定互补

【答案】C

【解析】

【分析】
本题考查了对顶角的定义，点到直线的距离的定义，互余的性质，锐角、钝角、互补的定义．
A、根据对顶角的定义进行判断；
B、根据点到直线的距离的定义进行判断；
C、根据余角的性质进行判断
D、根据锐角、钝角以及互补的定义可得．
【解答】
解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；
B、直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故本选项错误；
C、同角或等角的余角相等，故本选项正确；
D、一个锐角和一个钝角 不一定互补，如与不互补，故故本选项错误．
故选C．
 

4. 在中，，则是

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 都有可能

【答案】C

【解析】

【分析】
本题考查了三角形内角和定理，利用“设k法”列出方程并表示出最大的角的度数是解题的关键．设，表示出、，然后根据三角形的内角和等于列式求解，再表示出最大的角的度数，然后选择答案即可．
【解答】
解：设，
则，，
，
，
，
最大的角，
为钝角三角形．
故选C．
 

5. 已知直线，将一块含角的直角三角板ABC按如图所示方式放置，若，则等于

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】解：，，，
．
直线，
．
故选：D．
利用对顶角相等及三角形内角和定理，可求出的度数，由直线，利用“两直线平行，内错角相等”可求出的度数．
本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
 

6. 如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于点若图中，，，的外角的角度和为，则的度数为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查的是多边形内角与外角的知识点，熟练掌握多边形内角与外角的关系是本题的解题关键根据外角和内角的关系可求得、、、的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得．

【解答】

解：、、、的外角的角度和为，

，

，

五边形OAGFE内角和，

，

，

故选C．

7. 下列命题中，
   长为5cm的线段AB沿某一方向平移10cm后，平移后线段AB的长为10cm
   三角形的高在三角形内部
   六边形的内角和是外角和的两倍
   平行于同一直线的两条直线平行
   两个角的两边分别平行，则这两个角相等．
   真命题个数有  

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【解析】

【分析】
本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平移的性质、三角形的高的定义、多边形的外角与内角、平行线的性质等知识，难度不大．利用平移的性质、三角形的高的定义、多边形的外角与内角、平行线的性质分别判断后即可确定正确的个数，从而确定正确的选项．
【解答】
解：长为5cm的线段AB沿某一方向平移10cm后，平移后线段AB的长为10cm，错误；
三角形的高在三角形内部，错误；
六边形的内角和是外角和的两倍，正确；
平行于同一直线的两条直线平行，正确；
两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故错误，
真命题有两个．
故选B．
 

8. 如图，将四边形ABCD沿直线MN折叠，使点A，B分别落在四边形的内部的点、处，若，，则

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】
本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：且n为整数，此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出条对角线，将n边形分割为个三角形，这个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
利用平角的定义得到，，再利用折叠的性质得，，接着利用四边形的内角和计算出，然后计算的度数．
【解答】

解：，，
，，
四边形沿直线MN折叠，使点A、B分别落在四边形的内部的点、处，
，，
，
．
故选：A．
 

9. 下列定理的逆命题正确的个数是

有两边相等的三角形是等腰三角形；若三角形的三边长a，b，c满足，则该三角形是直角三角形；全等三角形的对应角相等；若，则．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【解析】

【分析】
此题考查命题，根据等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的性质，等式的性质逐一判定，选择答案．
【解答】
解：的逆命题是“等腰三角形有两边相等”，是真命题；
的逆命题是“若直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则三边长a，b，c满足”，是真命题；
的逆命题是“对应角相等的两个三角形不一定全等”，是假命题；
的逆命题是“若，则a与b不一定相等”，是假命题．
故选B．
 

10. 一个大矩形按如图所示分割成九个小矩形，且只有标号为和的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道9个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值          

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】A

【解析】解：如图所示：设的周长为：4x，的周长为4y，的周长为4b，即可得出的边长以及和的邻边和，
设的周长为：4a，则的边长为a，可得和中都有一条边为a，
则和的另一条边长分别为：，，
故大矩形的边长分别为：，，
故大矩形的面积为：，其中b，x，y都为已知数，
故n的最小值是3．
故选：A．
根据题意结合正方形的性质得出只有表示出矩形的各边长才可以求出面积，进而得出符合题意的答案．
此题主要考查了推理与论证，正确结合正方形面积表示出矩形各边长是解题关键．
 

二、填空题

11. 如图，在中，BD和CE是的两条角平分线，若，则的度数为______．
    
    
     

【答案】

【解析】

【分析】
本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，关键是根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义计算即可．
【解答】
解：，
．
和CE是的两条角平分线，
，，
．
故答案为．
 

12. 如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，于点H，已知，则______。
    
     

【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查的是三角形内角和定理和角平分线定义的有关知识，根据角平分线的定义和三角形内角和定理可以得到，又因为，，即可得到，进而求解．
【解答】
解：三角形ABC的三个内角平分线交于点I，于点H，
，，，



，
，
，，
，
，
，
．
故答案为．
 

13. BO，CO分别是的外角，的4等分线，它们交于点O，，，，则________．
     

【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
由三角形内角和定理可求得，再利用邻补角可求得，根据，可求得，在中利用三角形内角和定理可求得．
【解答】
解：，
，
，
，，
，
．
故答案为．
 

14. 把一块含角的直角三角板放在两平行直线上，如图，则_______．
    
    
     

【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握并灵活运用三角形外角的性质是解题的关键，根据平行线的性质即可得到，再根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】
解：如图，

两条直线平行，
，
，
，
．
故答案为．
 

三、解答题

15. 已知：如图1，在中，CD是高，若．
    
    试说明；
    如图2，若AE是角平分线，AE、CD相交于点求证：．

【答案】解：在中，CD是高，，
，
，
，
；
证明：是角平分线，
，
，，
，，
，
，
，
即．

【解析】根据题意可以求得的度数，从而可以解答本题；
根据题意和中的结论，直角三角形中两个锐角互余和对顶角相等，可以求得结论成立．
本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

16. 如图，CD是的边BC的延长线，射线BE、CE相交于点E．
    若BE、CE分别平分、，求证：；提示：
    根据的结论及提示猜想：若，，，则的度数为______用含n的式子表示
    在的条件下，当，时，求n的值．

【答案】

【解析】解：是的外角，
，
、CE分别平分、，
，，
是的外角，
；

是的外角，
，
是的外角，
，
故答案为：；

当，，时，，，
，
，
．
根据外角的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，，再根据是的外角，可得，据此可得结论；
根据外角的性质，可得，根据是的外角，可得，据此可得的度数；
根据平行线的性质，即可得到，，根据，即可得出，进而得到n的值．
本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及三角形外角的性质的运用，解题时注意：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．解决问题的关键是运用三角形外角性质进行计算．
 

17. 甲、乙、丙三位老师分别教数学、物理、化学、生物、语文和历史，每位老师教两门课程化学老师和数学老师住在一起；甲老师最年轻；数学老师和丙老师爱下象棋；物理老师比生物老师年长，比乙老师年轻三人中最年长的老师住的地方比其他两位老师远三位老师分别教哪两门课程？

【答案】解：第一步：根据化学老师和数学老师住在一起；三人中最年长的教师住得比其他两位教师都远；可知乙老师不授化学和数学；
根据物理老师比生物老师年长，比乙老师年轻”，推理得出：乙老师的年龄最大，其次是物理老师，年龄最小的是生物老师；因为甲老师最年轻，所以甲老师是生物老师；由此可知：乙老师不教生物和物理；
结论：乙老师授语文和历史；
第二步：根据数学老师和丙爱下象棋；化学老师和数学老师住在一起；可知：丙授化学；
根据甲老师最年轻物理老师比生物教师年长，比乙老师年轻；可知：丙授物理；
结论：丙授化学和物理；
第三步：剩下的甲授数学和生物．

【解析】抓住“物理老师比生物老师年长，比乙老师年轻”，推理得出：乙老师的年龄最大，其次是物理老师，年龄最小的是生物老师；因为甲老师最年轻，所以甲老师是生物老师；由此入手展开讨论推理即可解决问题．
此类题要正确找到解决问题的关键点，抓住关键的条件展开讨论推理出正确答案．
 

18. 在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的和两个三角形，并写出四个条件：；；；请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．
    题设：______；
    结论：______均填写序号
    证明：
    ______．

【答案】    ，
．
在和中，，
≌，
全等三角形对应边相等；

【解析】解：答案不唯一．如：
已知：在和中，，，．
求证：．
证明：，
．
在和中，，
≌，
全等三角形对应边相等；
故答案为：；．
，
．
在和中，，
≌，
全等三角形对应边相等．
根据三角形全等的判定方法进行组合、证明，答案不唯一．
此题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定方法是关键．
 

19. 如图，点C、D分别在的OA、OB边上运动不与点O重合射线CE与射线DF分别在和内部，延长EC与DF交于点F．
    若，CE、DF分别是和的平分线，猜想：的度数是否随C，D的运动发生变化？请说明理由．
    若，，，则______用含、n的代数式表示

【答案】解：的度数不变．
是的外角，
，
、DF分别是和的平分线，
，，
是的外角，




，
的度数不变．

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的外角的性质，以及三角形的内角和是的定理的运用．解题时注意：三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和．
依据是的外角，即可得到，再根据CE、DF分别是和的平分线，可得，，再根据是的外角，即可得到，进而得到的度数不变．
利用中的方法进行计算即可得到的度数．
【解答】
解：见答案；
如图，是的外角，
，
，，且是的外角，





故答案为．
 

20. 已知中，点D是AC延长线上的一点，过点D作，DG平分，BG平分，DG与BG交于点G．
    
    如图1，若，，直接求出的度数；
    如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
    如图3，若，求证：．

【答案】解：如图1，，，
，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
如图2，，理由是：
由知：，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图3，，
，
由得：，
．

【解析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等或互补的角是关键．
先根据三角形的内角和得，然后根据角平分线的定义和平行线的性质，求出，，最后利用三角形外角的性质得的度数；
根据的结论和三角形外角的性质得出，，则，另一方面，，于是可得和的关系；
根据平行线的性质和角平分线定义可得结论．