2023年中考数学考前强化复习《圆 解答题》精选练习(含答案)

2023年中考数学考前强化复习

《圆 解答题》精选练习

1.如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的半圆分别交AC、BC于点D、E两点，BF与⊙O相切于点B，交AC的延长线于点F.

(1)求证：D是AC的中点；

(2)若AB＝12，sin∠CAE＝，求CF的值.

2.如图，已知Rt△ACE中，∠AEC＝90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B、C，与AC交于点D，与CE交于点F，连结BF.

(1)求证：AE是⊙O的切线；

(2)若cos∠CBF＝，AE＝8，求⊙O的半径；

(3)在(2)条件下，求BF的长.

3.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G.

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)已知BD＝2，CF＝2，求AE和BG的长.

4.如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF＝ED.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若tanA＝，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；

(3)在(2)的条件下，若OF＝1，求圆O的半径.

5.如图，⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG＝∠ABD.

求证：AD•CE＝DE•DF；

说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路过程写出来（要求至少写3步）；

（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明.

①∠CDB＝∠CEB；②AD∥EC；③∠DEC＝∠ADF，且∠CDE＝90°.

6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF＝BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH.

(1)求证：△ABC≌△EBF；   

(2)试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(3)若AB＝1，求HG•HB的值.   

7.如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F.

(1)求证：AE·BC＝AD·AB；

(2)若半圆O的直径为10，sin∠BAC＝，求AF的长．

8.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE.

(1)求证：AC平分∠DAB；

(2)求证：PC＝PF；

(3)若tan∠ABC＝，AB＝14，求线段PC的长.

9.如图，以O为圆心的弧BD的度数为60°，∠BOE＝45°，DA⊥OB于点A，EB⊥OB于点B.

(1)求的值；

(2)若OE与弧BD交于点M，OC平分∠BOE，连接CM，说明：CM是⊙O的切线；

(3)在(2)的条件下，若BC＝2，求tan∠BCO的值.

10.如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上.

(1)试说明CE是⊙O的切线；

(2)若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；

(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当0.5CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长.

参考答案

1.(1)证明：连接DB，

∴AB是⊙O直径，

∴∠ADB＝90°，

∴DB⊥AC.

又∵AB＝BC.

∴D是AC的中点.

(2)解：∵BF与⊙O相切于点B，

∴∠ABF＝90°，

∵∠CAE＝∠CBD，

∴∠CBD＝∠ABD，∠ABD＝∠F，

∴sin∠CAE＝sin∠F＝sin∠ABD，

∴在△ADB和△ABF中，

∵AB＝12，

∴AF＝8，AD＝3，

∴CF＝AF﹣AC＝2.

2.(1)证明：连接OB，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∵CB平分∠ACE，

∴∠OCB＝∠BCF，

∴∠OBC＝∠BCF，

∴∠ABO＝∠AEC＝90°，

∴OB⊥AE，

∴AE是⊙O的切线；

(2)解：连接DF交OB于G，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CFD＝90°，

∴∠CFD＝∠CEA，

∴DF∥AE，

∴∠CDF＝∠CAB，

∵∠CDF＝∠CBF，

∴∠A＝∠CBF，

∴cos∠CBF＝cos∠CEF＝，

∵AE＝8，

∴AC＝10，

∴CE＝6，

∵DF∥AE，

∴DF⊥OB，

∴DG＝GF＝BE，

设BE＝2x，则DF＝4x，CD＝5x，

∴OC＝OB＝2.5x，

∴AO＝10﹣2.5x，AB＝8﹣2x，

∵AO2＝AB2+OB2，

∴(10﹣2.5x)2＝(8﹣2x)2+(2.5x)2，解得：x＝(负值舍去)，

∴⊙O的半径＝；

(3)解：由(2)知BE＝2x＝3，

∵AE是⊙O的切线；

∴∠BCE＝∠EBF，

∵∠E＝∠E，

∴△BEF∽△CEB，

∴，∴＝，

∴EF＝，

∴BF＝.

3.(1)证明：如图，连接OD，AD.

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.

∵AB＝AC，

∴BD＝CD.

又∵OA＝OB，

∴OD∥AC.

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴直线DF与⊙O相切.

(2)解：如图，连接BE.

∵BD＝2，

∴CD＝BD＝2.

∵CF＝2，

∴DF＝＝4，

∴BE＝2DF＝8.

∵cos∠C＝cos∠ABC，

∴＝，

∴＝，

∴AB＝10，

∴AE＝＝6.

∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴BE∥GF，

∴△AEB∽△AFG，

∴＝，

∴＝，

∴BG＝.

4.(1)证明：连结OD，如图，

∵EF＝ED，

∴∠EFD＝∠EDF，

∵∠EFD＝∠CFO，

∴∠CFO＝∠EDF，

∵OC⊥OF，

∴∠OCF＋∠CFO＝90°，

∵OC＝OD，

∴∠OCF＝∠ODF，

∴∠ODC＋∠EDF＝90°，即∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，

∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线；

(2)线段AB、BE之间的数量关系为：AB＝3BE.

证明：∵AB为⊙O直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ADO＝∠BDE，

∵OA＝OD[来源:Zxxk.Com]

∴∠ADO＝∠A，

∴∠BDE＝∠A，

而∠BED＝∠DEA，

∴△EBD∽△EDA，

∴，

∵Rt△ABD中，tanA＝＝

∴＝

∴AE＝2DE，DE＝2BE

∴AE＝4BE

∴AB＝3BE；

(3)设BE＝x，则DE＝EF＝2x，AB＝3x，半径OD＝x

∵OF＝1，

∴OE＝1＋2x

在Rt△ODE中，由勾股定理可得：

(x)2＋(2x)2＝(1＋2x)2，∴x＝﹣(舍)或x＝2，

∴圆O的半径为3.

5.（1）证明：连接AF，

∵DF是⊙O的直径，

∴∠DAF＝90°，

∴∠F+∠ADF＝90°，

∵∠F＝∠ABD，∠ADG＝∠ABD，

∴∠F＝∠ADG，

∴∠ADF+∠ADG＝90°

∴直线CD是⊙O的切线

∴∠EDC＝90°，

∴∠EDC＝∠DAF＝90°；

（2）选取①完成证明

证明：∵直线CD是⊙O的切线，

∴∠CDB＝∠A.

∵∠CDB＝∠CEB，

∴∠A＝∠CEB.

∴AD∥EC.

∴∠DEC＝∠ADF.

∵∠EDC＝∠DAF＝90°，

∴△ADF∽△DEC.

∴AD：DE＝DF：EC.

∴AD•CE＝DE•DF.

6.(1)证明：∵EF是圆的直径
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，即∠BFE＋∠BEF＝90°
∵DF⊥AC
∴∠CDE＝90°，即∠C＋∠DEC＝90°
∵∠DEC＝∠BEF
∴∠C＝∠BFE
在△ABC和△EBF中

∴△ABC≌△EBF(ASA)
(2)BD与○O相切
理由：连接OB，

∵DF是AB的中垂线,∠ABC＝90∘，
∴DB＝DC＝DA，
∴∠DBC＝∠C.
由(1)∠DCB＝∠EFB，而∠EFB＝∠OBF，
∴∠DBC＝∠OBF，
∴∠DBO＝∠DBC＋∠EBO＝∠OBF＋∠EBO＝90°，
∴DB⊥OB，OB是半径
∴BD与⊙O相切。
(3)连接EH，

∵BH是∠EBF的平分线，
∴∠EBH＝∠HBF＝45°.∠HFE＝∠HBE＝45°.
又∠GHF＝∠FHB，
∴△GHF∽△FHB，
∴
∴HF2＝HG•HB，
∵⊙O是Rt△BEF的内接圆，
∴EF为⊙O的直径，
∴∠EHF＝90°，
又∠HFE＝45°，
∴EH＝HF，
∴EF2＝EH2＋HF2＝2HF2  ，
在Rt△ABC中,AB＝1,
tan∠C＝＝，
∴BC＝2,
∴AC＝
由(1)知△ABC≌△EBF，
∴EF＝AC＝，
∴2HF2＝EF2＝5，
∴HF2＝，
故HG•HB＝HF2＝.

7.(1)证明：∵AB为半圆O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BAC＋∠ABC＝90°，

∵AE为半圆O的切线，

∴∠BAE＝90°，

∴∠EAD＋∠BAC＝90°，

∴∠EAD＝∠ABC，

∵OD⊥AC，

∴∠ADE＝∠ACB＝90°，

∴△EAD∽△ABC，

∴＝，

∴AE·BC＝AD·AB；

(2)解：如解图，设BF与半圆O交于点G，连接AG，则∠AGB＝∠ACB＝90°，

∵∠ADG＝∠BDC，

∴△ADG∽△BDC，

∴＝，

∵在Rt△ABC中，BC＝AB·sin∠BAC＝10×＝6，

∴AC＝＝8，

∵OD⊥AC，

∴AD＝CD＝AC＝4，

∴＝＝＝，

设AG＝3x，则DG＝2x，

由勾股定理得AG2＋DG2＝AD2，即9x2＋4x2＝42，

解得x＝，则AG＝，

∴BG＝＝，

∵∠AFG＋∠FAG＝90°，∠FAG＋∠GAB＝90°，

∴∠AFG＝∠BAG，

∴△AGF∽△BGA，

∴＝，即＝，

∴AF＝.

8.(1)证明：∵PD切⊙O于点C，

∴OC⊥PD，

又∵AD⊥PD，

∴OC∥AD，

∴∠ACO＝∠DAC.

∵OC＝OA，

∴∠ACO＝∠CAO，

∴∠DAC＝∠CAO，

即AC平分∠DAB；

(2)证明：∵AD⊥PD，

∴∠DAC＋∠ACD＝90°.

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∴∠PCB＋∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠PCB.

又∵∠DAC＝∠CAO，

∴∠CAO＝∠PCB.

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACF＝∠BCF，

∴∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF，

∴∠PFC＝∠PCF，

∴PC＝PF；

(3)解：∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，

∴△PAC∽△PCB，

∴.

又∵tan∠ABC＝，∴，∴，

设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，PO＝3k＋7，OC＝7，

∵PC2＋OC2＝OP2，

∴(4k)2＋72＝(3k＋7)2，∴k＝6 (k＝0不合题意，舍去).

∴PC＝4k＝4×6＝24.

9.解：(1)∵EB⊥OB，∠BOE＝45°，

∴∠E＝∠EOB，

∴BE＝BO，

在Rt△OAD中， ＝sin∠DOA＝，

∴＝，∴＝＝；

(2)∵OC平分∠BOE，

∴∠BOC＝∠MOC，

在△BOC和△MOC中，

，

∴△BOC≌△MOC，

∴∠OMC＝∠OBC＝90°，

∴CM是⊙O的切线；

(3)∵△BOC≌△MOC，

∴CM＝CB＝2，

∵∠E＝∠EOB＝45°，

∴CE＝CM＝2，

∴BE＝2＋2，

∴OB＝2＋2，

∴tan∠BCO＝＋1.

10.解：(1)连接OC，如图1，

∵CA＝CE，∠CAE＝30°，             

∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，

∴∠OCE＝90°，

∴CE是⊙O的切线；             

(2)过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，             

由题可得CH＝h.在Rt△OHC中，CH＝OCsin∠COH，

∴h＝OCsin60°＝OC，∴OC＝h，

∴AB＝2OC＝h；             

(3)作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，             

则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝(180°﹣60°)＝60°.             

∵OA＝OF＝OC，

∴△AOF、△COF是等边三角形，

∴AF＝AO＝OC＝FC，

∴四边形AOCF是菱形，

∴根据对称性可得DF＝DO.

过点D作DH⊥OC于H，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC＝30°，

∴DH＝DCsin∠DCH＝DCsin30°＝DC，

∴CD＋OD＝DH＋FD.

根据两点之间线段最短可得：             

当F、D、H三点共线时，DH＋FD(即CD＋OD)最小，             

此时FH＝OFsin∠FOH＝OF＝6，

则OF＝4，AB＝2OF＝8.

∴当CD＋OD的最小值为6时，

⊙O的直径AB的长为8.