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高中数学高考53第九章 平面解析几何 9 5 椭圆 第1课时 椭圆及其性质课件PPT
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这是一份高中数学高考53第九章 平面解析几何 9 5 椭圆 第1课时 椭圆及其性质课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，基础知识自主学习，题型分类深度剖析，课时作业等内容，欢迎下载使用。
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_____.这两个定点叫做椭圆的_____，两焦点间的距离叫做椭圆的_____.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若_____，则集合P为椭圆；(2)若_____，则集合P为线段；(3)若_____，则集合P为空集.
ZHISHISHULI
2.椭圆的标准方程和几何性质
1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？
提示 当2a＝|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的.
2.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
3.点和椭圆的位置关系有几种？如何判断.
提示 点P(x0，y0)和椭圆的位置关系有3种
4.直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？
提示 直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.判断方法为联立直线与椭圆的方程，求联立后所得方程的判别式Δ.(1)直线与椭圆相离⇔Δ<0.(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0.(3)直线与椭圆相交⇔Δ>0.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( )(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
2.[P42T4]椭圆 的焦距为4，则m等于A.4 B.8 C.4或8 D.12
解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0).由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，
5.若方程 表示椭圆，则m的取值范围是A.(－3,5) B.(－5,3) C.(－3,1)∪(1,5) D.(－5,1)∪(1,3)
解得－3
1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
题型一 椭圆的定义及应用
解析 由条件知|PM|＝|PF|，∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.
2.过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为 A.2 B.4C.8 D.
∴椭圆长轴长2a＝2，∴△ABF2的周长为4a＝4.
4.(2018·河北衡水中学调研)设F1，F2分别是椭圆 的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为______.
解析 由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，
∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.
椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
题型二 椭圆的标准方程
例1 (1)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为
(2)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是
解析 由|AC|＋|BC|＝18－8＝10>8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线).
由A，B，C不共线知y≠0.
解析 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2， )是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为___________.
解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，
(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.
跟踪训练1 (1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为
∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a＝6，
∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ①
由①②得b2＝4，a2＝20，
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 求离心率的值(或范围)
例3 (1)(2018·深圳模拟)设椭圆C： ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为
解析 方法一 如图，在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，
∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
方法二 (特殊值法)：在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，
由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2，则|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2，∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，整理得x2＋y2＋5c2＝2a2，
(3)已知椭圆 (a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于 (a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是________.
而|PF2|的最小值为a－c，
所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0. ①又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，所以2e2<1. ②
命题点2 求参数的值(或范围)
解析 方法一 设椭圆焦点在x轴上，则0
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞).故选A.
求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝ 求解.(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝ 求解.(3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
跟踪训练2 (1)已知椭圆 (0
即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2，
∴离心率0
所以c1＝c2，所以两个曲线的焦距相等.
2.设F1，F2分别是椭圆 的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为 A.4 B.3 C.2 D.5
∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.
3.(2016·全国Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为
在Rt△FOB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，
解析 根据题意可知，当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大.
6.(2018·昆明调研)2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2； ②a1－c1＝a2－c2；
其中正确式子的序号是A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
解析 观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；
即④式正确，③式不正确.故选D.
7.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为____________________.
又b2＝a2－c2，∴b2＝9，
∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，
又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，
a2＝b2＋c2， ③
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，
又由题意知a2＝b2＋2，将其代入(*)式整理得3b4－2b2－8＝0，所以b2＝2，则a2＝4，
10.已知A，B，F分别是椭圆x2＋ ＝1(00，则椭圆的离心率的取值范围为_______.
11.已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点.求点M的轨迹C的方程.
解 由题意得F1(－1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4，且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
12.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝ ，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，
13.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为
解析 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，
在△ABC中，|AB|＝6，|BC|＋|AC|＝10，
得3x2＋12x＋18－2b2＝0，由Δ＝122－4×3×(18－2b2)＝0，解得b2＝3，
又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，
因为PF2是△PF1F2的一边，
即c2＋2ac－a2>0，所以e2＋2e－1>0(0
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_____.这两个定点叫做椭圆的_____，两焦点间的距离叫做椭圆的_____.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若_____，则集合P为椭圆；(2)若_____，则集合P为线段；(3)若_____，则集合P为空集.
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2.椭圆的标准方程和几何性质
1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？
提示 当2a＝|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的.
2.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
3.点和椭圆的位置关系有几种？如何判断.
提示 点P(x0，y0)和椭圆的位置关系有3种
4.直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？
提示 直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.判断方法为联立直线与椭圆的方程，求联立后所得方程的判别式Δ.(1)直线与椭圆相离⇔Δ<0.(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0.(3)直线与椭圆相交⇔Δ>0.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( )(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
2.[P42T4]椭圆 的焦距为4，则m等于A.4 B.8 C.4或8 D.12
解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0).由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，
5.若方程 表示椭圆，则m的取值范围是A.(－3,5) B.(－5,3) C.(－3,1)∪(1,5) D.(－5,1)∪(1,3)
解得－3
1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
题型一 椭圆的定义及应用
解析 由条件知|PM|＝|PF|，∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.
2.过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为 A.2 B.4C.8 D.
∴椭圆长轴长2a＝2，∴△ABF2的周长为4a＝4.
4.(2018·河北衡水中学调研)设F1，F2分别是椭圆 的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为______.
解析 由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，
∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.
椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
题型二 椭圆的标准方程
例1 (1)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为
(2)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是
解析 由|AC|＋|BC|＝18－8＝10>8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线).
由A，B，C不共线知y≠0.
解析 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2， )是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为___________.
解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，
(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.
跟踪训练1 (1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为
∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a＝6，
∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ①
由①②得b2＝4，a2＝20，
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 求离心率的值(或范围)
例3 (1)(2018·深圳模拟)设椭圆C： ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为
解析 方法一 如图，在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，
∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
方法二 (特殊值法)：在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，
由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2，则|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2，∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，整理得x2＋y2＋5c2＝2a2，
(3)已知椭圆 (a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于 (a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是________.
而|PF2|的最小值为a－c，
所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0. ①又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，所以2e2<1. ②
命题点2 求参数的值(或范围)
解析 方法一 设椭圆焦点在x轴上，则0
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞).故选A.
求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝ 求解.(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝ 求解.(3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
跟踪训练2 (1)已知椭圆 (0
即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2，
∴离心率0
所以c1＝c2，所以两个曲线的焦距相等.
2.设F1，F2分别是椭圆 的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为 A.4 B.3 C.2 D.5
∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.
3.(2016·全国Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为
在Rt△FOB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，
解析 根据题意可知，当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大.
6.(2018·昆明调研)2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2； ②a1－c1＝a2－c2；
其中正确式子的序号是A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
解析 观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；
即④式正确，③式不正确.故选D.
7.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为____________________.
又b2＝a2－c2，∴b2＝9，
∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，
又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，
a2＝b2＋c2， ③
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，
又由题意知a2＝b2＋2，将其代入(*)式整理得3b4－2b2－8＝0，所以b2＝2，则a2＝4，
10.已知A，B，F分别是椭圆x2＋ ＝1(0
11.已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点.求点M的轨迹C的方程.
解 由题意得F1(－1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4，且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
12.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝ ，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，
13.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为
解析 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，
在△ABC中，|AB|＝6，|BC|＋|AC|＝10，
得3x2＋12x＋18－2b2＝0，由Δ＝122－4×3×(18－2b2)＝0，解得b2＝3，
又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，
因为PF2是△PF1F2的一边，
即c2＋2ac－a2>0，所以e2＋2e－1>0(0
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