5.6 错位相减法求前n项和 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法
展开第6节 错位相减法求前n项和
知识与方法
设是等差数列,是公比的等比数列,则数列的前n项和的常规求法是错位相减法,取巧可这样做:设,则,其中,.推导过程请参考视频,x、y的计算公式可不记,记住的形式,取和用待定系数法来算就可以了.
典型例题
【例题】已知,求数列的前n项和.
【解析】解法1:,
,
两式作差得:
,
所以.
解法2:由题意,,所以可设,
又,,所以,解得:,故.
【反思】上面的解法2不能作为正式作答的书写方法,操作的时候可以草稿纸上这样算,卷面上按解法1的格式来写,详情请参考本节视频.
变式 已知,求数列的前n项和.
解法1:当时,,当时,,
两式作差得:,
即,显然也满足上式,所以.
解法2:设,数列的前n项和为,则,
两式作差得:,故,
注意到数列与仅首项不同,,,所以.
强化训练
1.(★★★)设为数列的前n项和,且
(1)求的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前n项和.
【解析】(1)由题意,,故,当时,,
所以,故,从而是等比数列,所以.
(2),所以
两式作差得:
,所以.
2.(★★★)已知数列和满足,,,.
(1)证明:是等比数列,是等差数列;
(2)设,求数列的前n项和.
【解析】(1)由题意,,
所以,
又,所以是等比数列,首项为1,公比为,
所以,故,
所以是等差数列,首项为,公差为2.
(2)由(1)知,,
故,
所以,
两式作差得:
,
所以.
3.(★★★★)已知,求数列的前n项和.
解法1:当时,,
当时,
两式作差得:
,即,
显然也满足上式,故.
解法2:设,的前n项和为,
则
两式作差得:
故,注意到与仅首项不同,,,
故.
4.(★★★★)设等比数列的前n项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)在与之间插入n个数,使得这个数依次组成公差为的等差数列,设数列的前n项和为,证明:.
【解析】因为,所以当时,,
故,所以,
因为是等比数列,所以其公比为3,在中取可得,而,所以,从而,故.
(2)由题意,,所以,
从而,
所以,
故
,
所以.
艺术生高考数学专题讲义:考点30 数列前n项和与数列的通项: 这是一份艺术生高考数学专题讲义:考点30 数列前n项和与数列的通项,共7页。试卷主要包含了数列{an}的前n项和Sn等内容,欢迎下载使用。
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