专题26以旋转为载体的几何综合问题 -挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

  专题26以旋转为载体的几何综合问题         

【例1】（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．

(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；

(2)延长ED交直线BC于点F．

①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；

②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．

【例2】（2022·山东菏泽·中考真题）如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE．

(1)直接写出CE与AB的位置关系；

(2)如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；

(3)如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长．

【例3】（2022·内蒙古通辽·中考真题）已知点在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点．

(1)如图1，当点在上，在上，求的值为多少；

(2)将正方形绕点逆时针方向旋转，如图2，求：的值为多少；

(3)，，将正方形绕逆时针方向旋转，当，，三点共线时，请直接写出的长度．

【例4】（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】

甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接，如图③所示，交于E，交于F，通过证明，可得．

请你证明：．

【迁移应用】

延长分别交所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明与的位置关系．

【拓展延伸】

小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系．

【例5】（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，D，E，F分别为的中点，连接．

(1)如图1，求证：；

(2)如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由；

(3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长．

一、解答题【共20题】

1．（2022·辽宁阜新·中考真题）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，．

(1)如图，求证：≌；

(2)直线与相交于点．

如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；

如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．

2．（2022·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．

(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证；

(2)当时，求的长；

(3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值．

3．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，P为EF中点，连接AF，G为AF中点，连接PG，DG，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．

(1)如图1，当α＝0°时，DG与PG的关系为　　；

(2)如图2，当α＝90°时

①求证：△AGD≌△FGM；

②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

4．（2022·山东青岛·中考真题）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题：

(1)当时，求t的值；

(2)设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

5．（2022·辽宁·本溪市教师进修学院中考真题）在中，，线段绕点A逆时针旋转至（不与重合），旋转角记为，的平分线与射线相交于点E，连接．

(1)如图①，当时，的度数是_____________；

(2)如图②，当时，求证：；

(3)当时，请直接写出的值．

6．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．

①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；

②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．

7．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，和的顶点重合，，，，．

(1)特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______；

(2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值．

8．（2022·湖北十堰·中考真题）已知，在内部作等腰，，．点为射线上任意一点（与点不重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交射线于点．

(1)如图1，当时，线段与的数量关系是_________；

(2)如图2，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)若，，，过点作，垂足为，请直接写出的长（用含有的式子表示）．

9．（2022·山西·中考真题）综合与实践

问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：

（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；

问题解决：

（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；

（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．

10．（2022·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)在图（1）中，，分别是边，与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点，画出点，再在上画点，使；

(2)在图（2）中，是边上一点，．先将绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称．

11．（2022·四川广元·中考真题）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．

(1)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为 　   　；

(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α时

①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；

②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．

12．（2022·江苏连云港·中考真题）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，．

【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转．

(1)如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长．

(2)若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离．

(3)连接，取的中点，三角板由初始位置（图1），旋转到点、、首次在同一条直线上（如图3），求点所经过的路径长．

(4)如图4，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是_____．

13．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：

(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；

(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；

(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．

(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．

14．（2021·辽宁沈阳·中考真题）在中，，中，（），，，，点B，C，E不共线，点P为直线上一点，且．

（1）如图1，点D在线段延长线上，则________，________，（用含的代数式表示）；

（2）如图2，点A，E在直线同侧，求证：平分；

（3）若，，将图3中的绕点C按顺时针方向旋转，当时，直线交于点G，点M是中点，请直接写出的长．

15．（2021·山东日照·中考真题）问题背景：

如图1，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点．

实验探究：

（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点按逆时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①_____；②直线与所夹锐角的度数为______．

（2）小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．

拓展延伸：

在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为______．

16．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）（1）如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝39°，连接AC，BD交于点M．填空：的值为        ，∠AMB的度数为        ；

（2）如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OBA＝∠ODC＝60°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝；点Q为CD的中点，则在旋转的过程中，AQ的最大值为        ．

17．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）【操作与发现】

如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN＝MN．

(1)【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．

(2)如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN，求证：M是CD的中点．

(3)【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是______．

18．（2021·四川乐山·三模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．

(1)观察猜想

如图1，当α＝60°时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　．

(2)类比探究

如图2，当α＝90°时，请写出，并就图2的情形说明理由．

(3)解决问题

当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．

19．（2021·山东济南·一模）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．

(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；

(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；

(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值．

20．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市富拉尔基区教师进修学校三模）综合与实践

如图①，Rt△ABC中，∠ACB= 90° ，CD为Rt△ABC的斜边上的中线，在证明CD=AD= BD的过程中，我们可以延长CD到E，使得CD=DE ，连接BE．很容易证明∠ACD≌△BED，进而证明△ABC≌△ECB，所以AB=CE，所以CD= AD= BD．我们可以得到直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．

实践操作：

将两个全等的Rt△ABD，Rt△ACE拼在一起 ，如图②，△ABD不动．

问题解决：

（1）将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB，MC，如图③，求证：MB=MC；

拓展延伸：

（2）若将图②中的CE向上平移，且∠CAE不变，连接DE ，M是DE的中点，连接MB ，MC，如图④，则线段MB，MC的数量关系为                       ；

问题再探：

（3）在（2）的条件下，若∠CAE改变大小，如图⑤，其他条件不变，请你判断线段MB ，MC的数量关系还成立吗?请说明理由．