专题24以三角形为载体的几何综合问题 -挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

    专题24以三角形为载体的几何综合问题        

【例1】（2022·山东枣庄·中考真题）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．

(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；

(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？

【例2】（2022·山东菏泽·中考真题）如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE．

(1)直接写出CE与AB的位置关系；

(2)如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；

(3)如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长．

【例3】（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．

(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；

(2)延长ED交直线BC于点F．

①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；

②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．

【例4】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．

(1)如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 　   　，位置关系是 　   　；

(2)如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．

①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

②连接DM，求∠EMD的度数；

③若DM＝6，ED＝12，求EM的长．

【例5】（2022·辽宁大连·中考真题）综合与实践

问题情境：

数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，D是上一点，．求证．

独立思考：

（1）请解答王老师提出的问题．

实践探究：

（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长至点E，使，与的延长线相交于点F，点G，H分别在上，，．在图中找出与相等的线段，并证明．”

问题解决：

（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，若给出中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．”

26．（2022·山东烟台·中考真题）

(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．

(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．

①求的值；

②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

一、解答题【共20题】

1．（2022·安徽·合肥市五十中学新校二模）和都是等腰直角三角形，，是的中点，连接、．

(1)如图①，当点、分别是线段、上的点时，求的度数；

(2)如图②，当点是线段上的点时，求证：；

(3)如图③，当点、、共线且是的中点时，探究和之间的数量关系．

2．（2022·上海·华东师范大学松江实验中学三模）如图所示，的顶点在矩形对角线的延长线上，与交于点，连接，满足∽其中对应对应对应

(1)求证：．

(2)若，求的值．

3．（2022·福建·厦门市翔安区教师进修学校（厦门市翔安区教育研究中心）模拟预测）（1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，，则线段、的数量关系为_______，、所在直线的位置关系为________；

（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由．

4．（2020·重庆市育才中学二模）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°． E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG．先证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是                  ．

【灵活运用】

（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°， F、F分别是BC、CD上的点．且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立？请说明理由．

【延伸拓展】

（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF=BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．

5．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知四边形，，，，，是的角平分线，交射线于，线段的延长线上取一点使，直线，交于点．

(1)补全图形；

(2)猜想的形状，并证明你的猜想；

(3)求与的数量关系．

6．（2022·北京市第十九中学三模）如图，在中，，，是的中点，是延长线上一点，平移到，线段的中垂线与线段的延长线交于点，连接、．

(1)连接，求证：；

(2)依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

7．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测）知识呈现

（1）如图，在四边形中，与互余，我们发现四边形中这对互余的角可进行拼合：先作，再过点作交于点，连接后，易于发现，，之间的数量关系是______；

方法运用

（2）如图，在四边形中，连接，，点是两边垂直平分线的交点，连接，．

求证：；

连接，如图，已知，，，求的长用含，的式子表示．

8．（2022·浙江宁波·一模）若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍，我们把这个三角形叫做和谐三角形．

(1)已知是和谐三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长；

(2)在中，，D为边上一点，，连接，若为和谐三角形，求的长；

(3)如图，在等腰中，D为的中点，且，E为上一点，满足，连接．求证：为和谐三角形．

9．（2022·广东·华南师大附中三模）在我们的数学课本上有这样一道练习题：

已知，如图1所示，△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，直线MN经过点A，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D，E试判断BD+CE与DE的关系，并给出证明．

(1)还记得是怎么做的吗？请你再做一遍．

(2)拓展探究：请从上面的练习题中获取灵感来解决下面的问题：

已知，如图2，△ABC、△DEC均为等腰直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，连接BE、AD，过C点作CP⊥BE于P，延长PC交AD于Q，试判断Q点在AD上的位置，并说明理由．

10．（2021·吉林·长春市赫行实验学校二模）阅读理解在学习中，我们学习了一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在中，，若点是斜边的中点，则．

灵活应用如图2，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，．

(1)根据题意，则的长为 　　．

(2)判断的形状，并说明理由．

(3)请直接写出的长 　　．

11．（2022·广东·东莞市光明中学三模）中，，，点为直线上一动点点不与，重合，以为边在右侧作菱形，使，连接．

(1)观察猜想：如图，当点在线段上时，

与的位置关系为：______．

，，之间的数量关系为：______；

(2)数学思考：如图，当点在线段的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

(3)拓展延伸：如图，当点在线段的延长线上时，设与相交于点，若已知，，求的长．

12．（2022·辽宁鞍山·二模）如图所示，在中，点D是BC中点，点E是AC延长线上一点，连接BE、AD．

(1)如图1，若是等边三角形，点C是AE中点，若，求BE的长．

(2)如图2，过点C作，交AD的延长线于点F，若，；

①，求证：；

②如图3，若，求．

13．（2021·福建福州·一模）如图，直角梯形ABCD中，．点E为线段DC的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线A→B→C向点C运动，设点P的运动时间为t．

(1)点P在运动过程中，BP=_________________；（用含t的代数式表示）

(2)点P在运动过程中，如果以D、P、E为顶点的三角形为等腰三角形，求t的值；

(3)当点P运动到线段BC上时，过点P作直线LDC，与线段AB交于点Q，使四边形DQPE为直角梯形，求此时直角梯形DQPE与直角梯形ABCD面积之比．

14．（2021·浙江宁波·二模）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC=4，BA＝8，点D、E分别为BC、BA的中点，作直线AE、CD，设它们的交点为点P．

(1)猜想：在旋转的过程中，线段AE、CD有怎样的数量和位置关系？答：        、            ．

(2)利用图2，证明你在（1）中的猜想．

(3)当点D恰好落在直线AE上时，求线段PC的长．

(4)在旋转过程中，直接写出△PBC面积的最大值．

15．（2021·四川乐山·三模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．

(1)观察猜想

如图1，当α＝60°时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　．

(2)类比探究

如图2，当α＝90°时，请写出，并就图2的情形说明理由．

(3)解决问题

当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．

16．（2021·四川眉山·三模）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，将AE绕着E点沿顺时针方向旋转90°后与∠DCG的角平分线相交于点F，过F点作BC的垂线交BC的延长线于点G．

(1)求证：△ABE∽△EGF；

(2)若EC＝2，求证△ABE≌△EGF；

(3)当EC为何值时，△CEF的面积最大，并求出其最大值．

17．（2018·广东·陆丰市湖东中学一模）如图，是等边三角形，是射线上的一个动点（点不与，重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线交射线于点，连接．

(1)如图1，点在线段上时，求证：；

(2)请判断图1中四边形的形状，并说明理由；

(3)若点在边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．

18．（2022·山东东营·中考真题）和均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿运动，运动到点B、C停止.

(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段的数量关系是____________，位置关系是____________；

(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)当点D运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.

19．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．

(1)求证：；

(2)当点在线段上（点不与点，重合）时，求的值；

(3)过点作交于点，若，请直接写出的值．

20．（2022·辽宁朝阳·中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．

(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明ADE≌ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．

(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．

(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．