北师版高中数学必修第一册第5章§2 实际问题中的函数模型学案

§2　实际问题中的函数模型

1．常见的函数模型有哪几种？

2．解决函数应用题一般有哪几个步骤？

1．常见的函数模型

(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；

(2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)；

(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；

(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；

(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；

(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；

(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．

2．应用函数模型解决问题的基本过程

用函数模型解应用题的四个步骤：

(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；

(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；

(4)还原——将数学结论还原为实际问题．

(1)对于解决实际应用问题时得到的函数，如何确定其定义域？

(2)求函数最大值或最小值的方法一般有哪些？

[提示]　(1)在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人必须为自然数等．

(2)利用函数的单调性，利用基本不等式，利用基本初等函数的值域等．

1.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(　　)

A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c

C．y＝aex＋b D．y＝aln x＋b

B　[因为图中的点基本分布在一条抛物线上，所以可选择的函数模型应为二次函数，故选B.]

2.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是(　　)

A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100

C．y＝50×2x D．y＝100x

C　[当x＝4时，A中，y＝400；B中，y＝700；C中，y＝800；D中，y＝1004.故选C.]

3.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2015年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2021年冬有越冬白鹤(　　)

A．4 000只 B．5 000只

C．6 000只 D．7 000只

C　[当x＝1时，由3 000＝alog3(1＋2)，得a＝3 000，所以到2021年冬，即第7年，y＝3 000×log3(7＋2)＝6 000.故选C.]

类型1　利用二次函数模型解决实际问题

【例1】　已知某种商品涨价x成(1成＝10%)时，每天的销售量减少x(其中x>0)成．

(1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？

(2)如果适当涨价，能使每天的营业额增加，求x的取值范围．

[解]　设商品原价格为m，每天的原销售量为n，

则每天的原营业额为m·n，涨价后每天的营业额为y＝m···n.

(1)y＝m···n＝·m·n.

当x＝，即涨价12.5%时，每天的营业额最大．

(2)要使涨价后每天的营业额比原来增加，则需m···n＞m·n，

即2x2－5x＜0，变形得x(2x－5)<0.

又x>0，故0＜x＜.

∴x的取值范围为.

利用二次函数求最值的方法及注意点

(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．

(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．

1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少．

[解]　设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100(0≤t≤24)．

设u＝，则u∈[0,2]，y＝60u2－100u＋400＝602＋150，

∴当u＝，

即t＝小时时，蓄水池中的存水量最少．

类型2　利用指数、对数型函数模型解决实际问题

【例2】　一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.

(1)求p%的值；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

(3)该森林今后最多还能砍伐多少年？

[解]　(1)由题意得a(1－p%)10＝，即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.

(2)设经过m年森林面积为a，则a(1－p%)m＝a，

即＝，

＝，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．

(3)设从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n.

令a(1－p%)n≥a，

即(1－p%)n≥，≥，

得≤，解得n≤15，

故今后最多还能砍伐15年．

指数函数模型的应用

在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．

2．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若最初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(取lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)

[解]　依题意，得·n≤，即n≤.则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，

故n≥≈7.4，考虑到n∈N，即至少要过滤8次才能达到市场要求．

类型3　利用分段函数模型解决实际问题

【例3】　 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H(x)＝

其中x是仪器的月产量．

(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；

(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)

[解]　(1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，

∴f(x)＝

(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12 500，

所以当x＝150时，有最大值12 500；

当x>200时，f(x)＝30 000－100x是减函数，

f(x)<30 000－100×200<12 500.

所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12 500.

所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元．

应用分段函数时的三个注意点

(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．

(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．

(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．

3．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)

[解]　(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；

当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b(a≠0)，

由已知得解得

故函数v(x)的表达式为

v(x)＝

(2)依题意并结合(1)可得

f(x)＝

当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)在区间[0,20]上取得最大值60×20＝1 200；

当20<x≤200时，f(x)＝x(200－x)＝－(x－100)2＋≤，当且仅当x＝100时，等号成立．

所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值.

综上可得，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333.

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．

类型4　建立拟合函数模型解决实际问题

【例4】　为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示．

(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；

(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；

(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？

[解]　(1)描点，作图如图①所示．

图①

(2)从图①可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性模型：y＝a＋bx.取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，即解得a≈2.4，b≈1.8，

所以该函数模型为：y＝2.4＋1.8x.

作出函数图象(如图②)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪面积与灌溉面积的关系．

图②

(3)由(2)得y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公顷．

建立拟合函数与预测的基本步骤

4．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如表：

(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt，并说明理由；

(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．

[解]　(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得：

解得a＝，b＝－，c＝.

所以刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数Q＝t2－t＋.

(2)当t＝－＝150(天)时，芦荟种植成本最低为Q＝×1502－×150＋＝100(元/10 kg).

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系．(　　)

(2)函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．(　　)

(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．(　　)

[提示]　(1)错误．实际问题中的两个变量之间不一定有确定的函数关系．

(2)错误．在函数模型中，函数的定义域除了使函数式有意义，还要满足实际问题的要求．

(3)错误．用函数模型预测结果和实际结果可能不完全相等，但是函数模型也有意义．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为(　　)

A．200副 B．400副

C．600副 D．800副

D　[由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．]

3．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为(　　)

A．3 000×1.06×7元 B．3 000×1.067元

C．3 000×1.06×8元 D．3 000×1.068元

B　[根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3 000×1.06x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3 000×1.067.故选B.]

4．设在海拔x m处的大气压强为y kPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2 000 m处的大气压强为________ kPa.

81　[将(1 000,90)代入y＝100eax，可得a＝，y与x的函数关系可近似表示为y＝100ex，当x＝2 000时，y＝100(eln 0.9)2＝81.]

5．新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车、其他新能源汽车等．它是未来汽车的发展方向．一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量x(辆)与创造的价值y(万元)之间满足二次函数关系．已知产量为0时，创造的价值也为0；当产量为40 000辆时，创造的价值达到最大6 000万元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到5 625万元，则它可能生产的新能源汽车数量是________辆．

30 000或50 000　[设二次函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

则根据题意得： ，

解得

故y＝－×10－5·x2＋x，

令y＝5 625，解得x＝30 000或x＝50 000.

故答案为30 000或50 000.]