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高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.5 几种简单几何体的表面积和体积精品ppt课件
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这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.5 几种简单几何体的表面积和体积精品ppt课件，共24页。PPT课件主要包含了三球的表面积计等内容，欢迎下载使用。
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.能用棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式解决简单的实际问题.3.知道球的表面积的计算公式.核心素养：数学运算、直观想象
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
1.表面积棱柱、棱锥、棱台的表面都由底面和侧面组成，因而其表面积（也称全面积）就是其底面积与侧面积之和.2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及其侧面积公式
3.棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.如图：
二、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积
2.球的表面积如果球的半径为R，那么它的表面积是S球＝4πR2.
1.若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为120°，则圆锥的表面积是底面积的（ ）倍.A.2B.3C.4D.52.若一个正方体的内切球的半径为1，则该正方体的表面积为 .
一 棱柱、棱锥、棱台的表面积计算
例1 如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为 .
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积为侧面积和底面积之和，计算侧面积的方法一般为定义法和公式法两种；定义法即是利用侧面积的定义：各个侧面面积之和；公式法即是直接利用相应的侧面积公式计算.（2）计算侧面积时经常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长构成的直角三角形（或梯形）求解.
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝1，E，F分别为棱PC，BC上一点，且BE⊥PC，EF∥平面PAB.（1）求证：AE⊥PC；（2）当BF＝2FC时，求三棱锥P-ABC的表面积.
二 圆柱、圆锥、圆台的表面积计算
解题提示：（1）由圆锥侧面展开图的定义计算；（2）由圆锥截面性质，在轴截面中得到相似三角形，由比例性质可得圆柱的底面半径，进而可得圆柱表面积.
解决圆柱、圆锥、圆台表面积问题的基本方法和步骤（1）常用方法：充分利用圆柱、圆锥和圆台等几何体的轴截面以及侧面展开图，结合底面半径、母线长以及对应展开图的边长，借助平面几何的相关知识进行计算.（2）基本步骤：①画出侧面展开图；②依次求出各个平面图形的面积；③将各平面图形的面积相加.
例3 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积.
解：分两种情况：（1）当两截面在球心的同侧时，如图所示，O1，O2为两截面圆的圆心，由截面性质知，AO1∥BO2，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.∵ π·O2B2＝49π，∴ O2B＝7 cm.∵ π·O1A2＝400π，∴ O1A＝20 cm.设球的半径为R cm，OO1＝x cm，则OO2＝（x+9）cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2+202.① 在Rt△OO2B中，R2＝（x+9）2+72.②联立①②，解得x＝15，R＝25.∴ S球＝4πR2＝2 500π（cm2）.故球的表面积为2 500π cm2.
（1）球的体积与表面积的计算关键是求出球的半径.在与截面相关的计算中，通常利用球的半径、截面圆的半径以及球心到截面的距离满足勾股定理进行计算.常需画出过球心和截面圆心的轴截面.（2）本题在求解过程中，常因漏掉两截面位于球心两侧的情况而失分.
过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积之比为 .
四 简单的组合体的表面积计算
例 4 如图（单位：cm），四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕直线AB旋转一周所成几何体的表面积.
求组合体的表面积的思路求组合体的表面积的关键是先弄清楚组合体是由哪几种简单几何体组合而成的，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求面积，再根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.
如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D，H，G.若将△ABC绕AD所在直线旋转一周，求阴影部分形成的几何体的表面积.
五 与几何体的表面积有关的实际问题
例 5 如图是一个圆台形的铁管接头，它的母线长35 cm，两底面直径分别是50 cm和20 cm，制作1万个这样的接头需要多少平方米的铁皮（π取3.1，结果精确到1 m2）？
解：设制作一个接头需要的铁皮面积为S1，制作1万个接头所需铁皮面积为S.因为S1＝π（25+10）×35＝1 225π（cm2），所以S＝10 000×S1＝12 250 000π（cm2）≈3 798（m2）.所以制作1万个这样的接头约需要3 798 m2的铁皮.
解决与几何体表面积有关的实际应用问题的步骤（1）认真审题：将题目反复研读，提取相关信息；（2）数学建模：选择合适的数学模型将题目提取的相关信息转化成数学问题；（3）解题：将转化的数学问题用相关知识解决；（4）回扣：回到原题的问题，作出解答.
某个实心零部件的形状是如图4-5-16所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD，其上是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.（1）证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2 .（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13（单位：cm），每平方厘米的加工处理费为0.2元，需加工处理费多少元？
（1）证明：∵ 四棱柱ABCD-A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，∴ AA2⊥AB，AA2⊥AD.又AB∩AD＝A，∴ AA2⊥平面ABCD.如图，连接BD.∵ BD平面ABCD，∴ AA2⊥BD.又底面ABCD是正方形，∴ AC⊥BD.根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D ∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴ B1D1∥BD.由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1.又AA2∩AC＝A，∴ B1D1⊥平面ACC2A2.
知识清单：（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积.（2）圆柱、圆锥、圆台和球的表面积.易错提醒：（1）因对表面积的概念没有正确理解而考虑不全致误.（2）对几何体可能的结构和位置情况考虑不周致误.
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.能用棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式解决简单的实际问题.3.知道球的表面积的计算公式.核心素养：数学运算、直观想象
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
1.表面积棱柱、棱锥、棱台的表面都由底面和侧面组成，因而其表面积（也称全面积）就是其底面积与侧面积之和.2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及其侧面积公式
3.棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.如图：
二、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积
2.球的表面积如果球的半径为R，那么它的表面积是S球＝4πR2.
1.若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为120°，则圆锥的表面积是底面积的（ ）倍.A.2B.3C.4D.52.若一个正方体的内切球的半径为1，则该正方体的表面积为 .
一 棱柱、棱锥、棱台的表面积计算
例1 如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为 .
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积为侧面积和底面积之和，计算侧面积的方法一般为定义法和公式法两种；定义法即是利用侧面积的定义：各个侧面面积之和；公式法即是直接利用相应的侧面积公式计算.（2）计算侧面积时经常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长构成的直角三角形（或梯形）求解.
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝1，E，F分别为棱PC，BC上一点，且BE⊥PC，EF∥平面PAB.（1）求证：AE⊥PC；（2）当BF＝2FC时，求三棱锥P-ABC的表面积.
二 圆柱、圆锥、圆台的表面积计算
解题提示：（1）由圆锥侧面展开图的定义计算；（2）由圆锥截面性质，在轴截面中得到相似三角形，由比例性质可得圆柱的底面半径，进而可得圆柱表面积.
解决圆柱、圆锥、圆台表面积问题的基本方法和步骤（1）常用方法：充分利用圆柱、圆锥和圆台等几何体的轴截面以及侧面展开图，结合底面半径、母线长以及对应展开图的边长，借助平面几何的相关知识进行计算.（2）基本步骤：①画出侧面展开图；②依次求出各个平面图形的面积；③将各平面图形的面积相加.
例3 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积.
解：分两种情况：（1）当两截面在球心的同侧时，如图所示，O1，O2为两截面圆的圆心，由截面性质知，AO1∥BO2，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.∵ π·O2B2＝49π，∴ O2B＝7 cm.∵ π·O1A2＝400π，∴ O1A＝20 cm.设球的半径为R cm，OO1＝x cm，则OO2＝（x+9）cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2+202.① 在Rt△OO2B中，R2＝（x+9）2+72.②联立①②，解得x＝15，R＝25.∴ S球＝4πR2＝2 500π（cm2）.故球的表面积为2 500π cm2.
（1）球的体积与表面积的计算关键是求出球的半径.在与截面相关的计算中，通常利用球的半径、截面圆的半径以及球心到截面的距离满足勾股定理进行计算.常需画出过球心和截面圆心的轴截面.（2）本题在求解过程中，常因漏掉两截面位于球心两侧的情况而失分.
过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积之比为 .
四 简单的组合体的表面积计算
例 4 如图（单位：cm），四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕直线AB旋转一周所成几何体的表面积.
求组合体的表面积的思路求组合体的表面积的关键是先弄清楚组合体是由哪几种简单几何体组合而成的，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求面积，再根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.
如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D，H，G.若将△ABC绕AD所在直线旋转一周，求阴影部分形成的几何体的表面积.
五 与几何体的表面积有关的实际问题
例 5 如图是一个圆台形的铁管接头，它的母线长35 cm，两底面直径分别是50 cm和20 cm，制作1万个这样的接头需要多少平方米的铁皮（π取3.1，结果精确到1 m2）？
解：设制作一个接头需要的铁皮面积为S1，制作1万个接头所需铁皮面积为S.因为S1＝π（25+10）×35＝1 225π（cm2），所以S＝10 000×S1＝12 250 000π（cm2）≈3 798（m2）.所以制作1万个这样的接头约需要3 798 m2的铁皮.
解决与几何体表面积有关的实际应用问题的步骤（1）认真审题：将题目反复研读，提取相关信息；（2）数学建模：选择合适的数学模型将题目提取的相关信息转化成数学问题；（3）解题：将转化的数学问题用相关知识解决；（4）回扣：回到原题的问题，作出解答.
某个实心零部件的形状是如图4-5-16所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD，其上是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.（1）证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2 .（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13（单位：cm），每平方厘米的加工处理费为0.2元，需加工处理费多少元？
（1）证明：∵ 四棱柱ABCD-A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，∴ AA2⊥AB，AA2⊥AD.又AB∩AD＝A，∴ AA2⊥平面ABCD.如图，连接BD.∵ BD平面ABCD，∴ AA2⊥BD.又底面ABCD是正方形，∴ AC⊥BD.根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D ∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴ B1D1∥BD.由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1.又AA2∩AC＝A，∴ B1D1⊥平面ACC2A2.
知识清单：（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积.（2）圆柱、圆锥、圆台和球的表面积.易错提醒：（1）因对表面积的概念没有正确理解而考虑不全致误.（2）对几何体可能的结构和位置情况考虑不周致误.
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