初中30.5 二次函数与一元二次方程的关系精品ppt课件

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1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点）2.能运用二次函数及其图像、性质确定方程的解.（重点）3.了解用图像法求一元二次方程的近似根.
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为( ， ), 一元一次方程x＋2＝0的根为________.（2）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为( ， ), 一元一次方程－3x＋6＝0的根为_______.问题一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根.
那么二次函数与一元二次方程有什么关系呢，接下来我们一起探讨.
问题1：画出二次函数 的图象，你能从图象中看出它与x轴的交点吗？
(-1,0)与(3,0)
问题2：二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0又怎样的关系？
当x=-1时，y=0，即x2-2x-3=0，也就是说，x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根；同理，当x=3时，y=0，即x2-2x-3=0，也就是说，x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根；
一般地,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0 )那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x=x1、x=x2.
x2-6x+9=0，x1=x2=3
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以 x－1＝0或mx－2＝0，解得 x1＝1，x2＝ .当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数m的值为1或2.
变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.
例2：求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）.
分析：一元二次方程 x²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.
(1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象；
(2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);
(3)确定方程2x2+x-15=0的解;
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
例3:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
y = x2－2x－2
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7.
一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=m（m是实数）图象交点的横坐标 .
既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根.
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 1.根据下列表格的对应值:
2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图像如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ；
3.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是 .
4.若一元二次方程 无实根，则抛物线 的图象位于（ ）A.x轴上方 B.第一、二、三象限C.x轴下方 D.第二、三、四象限
5.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
解：（1）x1=2,x2=4;
（2）x<2或x>4;