专题14 数学知识的延伸必考题型（真题、自招、模拟）分类训练-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

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专题14数学知识的延伸必考题型分类训练
【三年高考真题练】
一．选择题（共4小题）
1．（2021•上海）已知函数y＝f（x）的定义域为R，下列是f（x）无最大值的充分条件是（　　）
A．f（x）为偶函数且关于点（1，1）对称
B．f（x）为偶函数且关于直线x＝1对称
C．f（x）为奇函数且关于点（1，1）对称
D．f（x）为奇函数且关于直线x＝1对称
【分析】根据题意，依次判断选项：对于ABD，举出反例可得三个选项错误，对于C，利用反证法可得其正确．
【解答】解：根据题意，依次判断选项：
对于A，f（x）＝cos+1，f（x）为偶函数，且关于点（1，1）对称，存在最大值，A错误，
对于B，f（x）＝cos（πx），f（x）为偶函数且关于直线x＝1对称，存在最大值，B错误，
对于C，假设f（x）有最大值，设其最大值为M，其最高点的坐标为（a，M），
f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，则f（x）的图象存在最低点（﹣a，﹣M），
又由f（x）的图象关于点（1，1）对称，则（﹣a，﹣M）关于点（1，1）对称的点为（2+a，2+M），
与最大值为M相矛盾，则此时f（x）无最大值，C正确，
对于D，f（x）＝sin，f（x）为奇函数且关于直线x＝1对称，D错误，
故选：C．
【点评】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（2020•上海）已知直线方程3x+4y+1＝0的一个参数方程可以是（　　）
A．（t为参数）
B．（t为参数）
C．（t为参数）
D．（t为参数）
【分析】选项的参数方程，化为普通方程，判断即可．
【解答】解：（t为参数）的普通方程为：，即4x+3y﹣1＝0，不正确；
（t为参数）的普通方程为：，即3x+4y+1＝0，正确；
（t为参数）的普通方程为：，即4x+3y﹣1＝0，不正确；
（t为参数）的普通方程为：，即3x+4y﹣7＝0，不正确；
故选：B．
【点评】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化，是基本知识的考查．
3．（2021•上海）已知参数方程，t∈[﹣1，1]，以下哪个图符合该方程（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用特殊值y＝0时，x的取值情况，即图象与x轴的交点情况进行判断，即可得到答案．
【解答】解：利用特殊值法进行排除，
当y＝0时，t＝0，1，﹣1，
当t＝0时，x＝0，
当t＝1时，x＝﹣1，
当t＝﹣1时，x＝1，
故当y＝0时，x＝0或1或﹣1，即图象经过（﹣1，0），（0，0），（1，0）三个点，
对照四个选项中的图象，只有选项B符合要求．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象的识别问题，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．
4．（2020•上海）数列{an}各项均为实数，对任意n∈N*满足an+3＝an，且行列式＝c为定值，则下列选项中不可能的是（　　）
A．a1＝1，c＝1 B．a1＝2，c＝2 C．a1＝﹣1，c＝4 D．a1＝2，c＝0
【分析】化简行列式，由已知条件，作差化简得．
【解答】解：行列式＝anan+3﹣an+1an+2＝c，
∵对任意n∈N*满足an+3＝an，
∴，
作差整理得：an+1＝an（常数列，c＝0），或an+an+1+an+2＝0，
当an+an+1+an+2＝0，则 an+1+an+2＝﹣an及，
∴方程 有两根an+1，an+2，
∴Δ＝＝＞0，
因为B错，
故选：B．
【点评】本题考查行列式，以及方程求解，属于中档题．
二．填空题（共3小题）
5．（2020•上海）已知行列式＝6，则＝　2　．
【分析】直接利用行列式的运算法则求解即可．
【解答】解：行列式＝6，
可得3＝6，解得＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查行列式的应用，代数余子式的应用，是基本知识的考查．
6．（2021•上海）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 　23种　.
A运动
B运动
C运动
D运动
E运动
7点﹣8点
8点﹣9点
9点﹣10点
10点﹣11点
11点﹣12点
30分钟
20分钟
40分钟
30分钟
30分钟
【分析】由题意知至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB的组合不符合题意，由此求出结果．
【解答】解：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB的组合不符合题意；
所以满足条件的运动组合方式为：+++﹣3＝10+10+5+1﹣3＝23（种）．
故答案为：23种．
【点评】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础题．
7．（2022•上海）已知a∈R，行列式的值与行列式的值相等，则a＝　3　．
【分析】根据行列式所表示的值求解即可．
【解答】解：因为＝2a﹣3，＝a，
所以2a﹣3＝a，解得a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了行列式表示的值，属于基础题．
【三年自主招生练】
一．选择题（共4小题）
1．（2020•上海自主招生）Whichnumberofthatnumber 5 isthecubicrootof？（　　）
A．3 B．5 C．25 D．125
【分析】由题意可得5的立方为125，即可得解．
【解答】解：由题意翻译为中文为：哪个数字是5的立方？
又53＝125．
故选：D．
【点评】本题考查了简单的计算能力，属于基础题．
2．（2022•上海自主招生）直线kx+4y＝1垂直于（t为参数），k值为（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】先将参数方程化为普通方程，再结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：（t为参数），
消去参数t可得，4x+3y﹣11＝0，
∵直线kx+4y＝1垂直于（t为参数），
∴，解得k＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题主要考查参数方程的应用，属于基础题．
3．（2022•上海自主招生）ρ2cosθ+ρ﹣3ρcosθ﹣3＝0表示（　　）
A．一个圆 B．一个圆与一条直线
C．两个圆 D．两条线
【分析】根据已知条件，推得ρ＝3或ρcosθ＝﹣1，再结合极坐标公式，即可求解．
【解答】解：∵ρ2cosθ+ρ﹣3ρcosθ﹣3＝0，
∴（ρ﹣3）（ρcosθ+1）＝0，解得ρ＝3或ρcosθ＝﹣1，
∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，
∴x2+y2＝9或x＝﹣1，
故ρ2cosθ+ρ﹣3ρcosθ﹣3＝0表示一个圆与一条直线．
故选：B．
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标公式，考查转化能力，属于基础题．
4．（2020•上海自主招生）甲乙丙三人的职业分别是A，B，C，乙的年龄比C大，丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，则甲乙丙的职业分别为 （　　）
A．ABC B．CAB C．CBA D．BCA
【分析】由丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，可得乙的职业为B，进而得到甲的职业为A，丙的职业为C．
【解答】解：由丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，可知乙的职业为B，进而乙比甲的年龄小，又因为乙的年龄比C大，所以甲的职业不可能为C，从而甲的职业为A，
所以丙的职业为C，
所以甲乙丙的职业分别为ABC，
故选：A．
【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．
二．填空题（共8小题）
5．（2020•上海自主招生）已知点P在直线上，且点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，则点P的坐标是　（1，2）　．
【分析】由二项展开式性质得点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），由点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，能求出点P的坐标．
【解答】解：∵点P在直线上，
∴点P在直线4x+y﹣6＝0，
设P（a，﹣4a+6），
∵点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，
∴，
解得a＝1，
∴点P的坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（2021•上海自主招生）已知0≤n≤18，19m+n＝20212022，则n＝　1　．
【分析】推导出20212022≡72022（mod19），再由73≡1（mod19），得20212022＝1（mod19）．由此能求出n的值．
【解答】解：∵0≤n≤18，19m+n＝20212022，
∴20212022≡72022（mod19），
∵73≡1（mod19），
∴20212022＝1（mod19）．
综上，n＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查简单的归纳推理、整除等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（2020•上海自主招生）若三次方程x3+ax2+4x+5＝0有一个根是纯虚数，则实数a＝　　．
【分析】设三次方程的纯虚数根为bi（b∈R，b≠0），代入三次方程，由复数的运算性质和复数为0的条件，解方程可得所求值．
【解答】解：设三次方程的纯虚数根为bi（b∈R，b≠0），
可得﹣b3i﹣ab2+4bi+5＝0，
即（5﹣ab2）+（4b﹣b3）i＝0，
可得5﹣ab2＝0，且4b﹣b3＝0，
解得b＝±2，a＝．
故答案为：．
【点评】本题考查实系数高次方程的根的定义，以及复数的运算法则的运用，考查运算能力，是一道基础题．
8．（2020•上海自主招生）方程5ρcosθ＝4ρ+3ρcos2θ所表示的曲线形状是　两条射线　．
【分析】直接利用转换关系，消去ρ，整理成三角函数关系式，进一步求出结果．
【解答】解：根据方程5ρcosθ＝4ρ+3ρcos2θ，
整理得5cosθ＝4+3（2cos2θ﹣1），
即6cos2θ﹣5cosθ+1＝0，
解得cos或cos．
所以该曲线为两条射线．
故答案为：两条射线．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和普通方程之间的转换，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
9．（2020•上海自主招生）点（4，5）绕点（1，1）顺时针旋转60度，所得的点的坐标为 　　．
【分析】不妨设 A（1，1），B（4，5），则 ，在在复平面对应的复数求出来，并用三角表示，再结合复数乘法运算的几何意义即可求出所对应的复数z2，进而求出的坐标，再求C点坐标，即为答案．
【解答】解：不妨设 A（1，1），B（4，5），则 ，
在复平面对应的复数为 ，
则顺时针旋转 60°，则 ，
，
，
因此 ，
从而可得点 ．
【点评】本题考查复数乘法运算的几何意义，考查转化能力和计算能力，属于中档题．
10．（2020•上海自主招生）已知m，n∈Z，且0≤n≤11，若满足22020+32021＝12m+n，则n＝　7　．
【分析】通过研究2n+3n+1除以12的余数的规律得到结果．
【解答】解：归纳：21+32＝12×0+11，
22+33＝12×2+7，
23+34＝12×7+5，
24+35＝12×21+7，
25+36＝12×63+5，
26+37＝12×187+7，
27+38＝12×557+5，
…
由以上过程可知，除去第一个式子之外，余数为7，5循环；
易知2n中n为奇数对应余数为5，n为偶数对应余数为7；
2020为偶数，故余数为7．
故答案为7．
【点评】本题考查归纳推理，属于中档题．
11．（2020•上海自主招生）用同样大小的正n边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n的值为　3，4，6　．
【分析】设m个正n边形可以铺满平面，得到关于m和n的式子，找到 满足条件的正整数解即可．
【解答】解：设m个正n边形可以无重叠，无缝隙地平铺平面如图所示，则
，
化简可得：2（m+n）＝mn，
则满足条件的有，，，
因此满足条件的n的值为3，4，6，
故答案为：3，4，6

【点评】本题考查一般推理能力，属于中档偏难题目．
12．（2020•上海自主招生）平面上给定5个点，任意三点不共线．过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直．过5点中任意一点向另外4点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的5点）个数至多有　310　个．
【分析】固定一个点进行研究，然后推广开后用排除法去掉不符合要求的即可．
【解答】解：由给定的五个点两两连线共有＝10条，
记五个点为A1，A2，A3，A4，A5，
则以A1为例进行研究：
A2，A3，A4，A5四个点共产生＝6条连线，
由A1向6条连线可引出6条垂线，
则推广到其他点共可得到6×5＝30条垂线．
若每两条垂线均相交，则可得到个交点，
易知每一条线段的垂线互相平行且每一条线段共有3条垂线，
则应减去30个交点，
又A1，A2，A3，A4，A55点共可得到个三角形，
三角形的三边垂线交于一点，
故要减去20个点，
而由A1，A2，A3，A4，A55点中任一点引出的垂线必交于该点，
故减去点，
则最终有435﹣75﹣20﹣30＝310个点．
故答案为310．
【点评】本题考查了排列组合和逻辑推理的相关内容，属于难题．
三．解答题（共1小题）
13．（2021•上海自主招生）求极坐标ρ＝θ的曲线轨迹．
【分析】利用极坐标与直角坐标的关系进行求解即可．
【解答】解：根据极坐标与直角坐标的关系可得，
∴x2+y2＝ρ2＝θ2，又＝tanθ，∴θ＝arctan（），
那么 x2+y2＝arctan2（），是一条螺旋线．
【点评】本题考查极坐标方程，考查学生的运算能力，属于中档题．

【最新模拟练】
一．选择题（共10小题）
1．（2022•浦东新区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），则曲线C是（　　）
A．关于x轴对称的图形
B．关于y轴对称的图形
C．关于原点对称的图形
D．关于直线y＝x对称的图形
【分析】根据平方关系消去参数化为普通方程，由方程判断出图形特征即可．
【解答】解：由曲线C的参数方程为（θ为参数），消去θ得，（x﹣2）2+y2＝2，
方程（x﹣2）2+y2＝2表示的图形是以（2，0）为圆心，为半径的圆．
∴曲线C是关于x轴对称的图形．
故选：A．
【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，是基础题．
2．（2022•浦东新区校级二模）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D＝0是该方程组有解的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分且必要条件 D．既非充分也非必要条件
【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax＝b，其中A为2×2方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量． 而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解．
【解答】解：系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D≠0时，方程组有唯一的解；
系数矩阵D奇异时，或者说行列式D＝0时，方程组有无数个解或无解．
∴系数行列式D＝0，方程可能有无数个解，也有可能无解，
反之，若方程组有解，可能有唯一解，也可能有无数解，则行列式D可能不为0，也可能为0．
总之，两者之间互相推出的问题．
故选：D．
【点评】本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立．
3．（2022•长宁区二模）是方程组有唯一解的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据已知条件，结合行列式的公式，即可求解．
【解答】解：∵，
∴＝a1b2﹣a2b1≠0，
∴有唯一解，反之也成立，
故是方程组有唯一解的充要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查行列式的应用，属于基础题．
4．（2022•闵行区二模）参数方程（其中t∈R）表示的曲线为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【分析】根据已知条件，消去参数t，即可求解．
【解答】解：∵参数方程（其中t∈R），
∴，即y2＝x，
故该参数方程表示的曲线为抛物线．
故选：D．
【点评】本题主要考查参数方程化普通方程，属于基础题．
5．（2022•黄浦区模拟）已知圆（θ为参数），与圆C关于直线x+y＝0对称的圆的普通方程是（　　）
A．（x+3）2+（y﹣2）2＝25 B．（x﹣2）2+（y+3）2＝25
C．（x+3）2+（y﹣2）2＝5 D．（x+3）2+（y﹣2）2＝5
【分析】根据题意得圆C的普通方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝25，与圆C对称的圆的圆心和圆C的圆心关于直线x+y＝0对称，半径和圆C相同，求解计算即可．
【解答】解：圆C：（θ为参数）转化为普通方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝25，
圆心为（﹣2，3），半径为5，设圆C关于直线x+y＝0对称的圆的圆心为（a，b），半径为5，
所以点（﹣2，3）与点（a，b）关于x+y＝0对称，
所以，
解得a＝﹣3，b＝2，
所以对称的圆的圆心为（﹣3，2），半径为5，
故对称的圆的普通方程是（x+3）2+（y﹣2）2＝25．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆的参数方程与普通方程的互化，圆中的对称性问题等知识，属于基础题．
6．（2022•徐汇区二模）下列以t为参数的参数方程中，其表示的曲线与方程xy＝1表示的曲线完全一致的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据x范围依次排除ABC得到正确答案．
【解答】解：对于A，，∴x＝≥0，排除A；
对于B，，x＝|t|≥0，排除B；
对于C，，﹣1≤x＝cost≤1，排除C．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查参数的性质、排除法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（2022•浦东新区校级二模）“p＜2”是“关于x的实系数方程x2+px+1＝0没有实数根”的（　　）条件
A．必要不充分 B．充分不必要
C．充要 D．既不充分也不必要
【分析】利用方程没有实数根，求解p的范围，结合充要条件判断即可．
【解答】解：关于x的实系数方程x2+px+1＝0没有实数根，
可得p2﹣4＜0，解得﹣2＜p＜2．
所以“p＜2”是“关于x的实系数方程x2+px+1＝0没有实数根”的必要不充分条件．
故选：A．
【点评】本题考查实系数方程根的问题，韦达定理的应用，充要条件的判断，是基础题．
8．（2022•宝山区校级二模）以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程＝0的一个法向量的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据行列式运算法则得到3x﹣2y﹣1＝0，再计算直线法向量即可．
【解答】解：，故3x﹣2y﹣1＝0，
故直线的法向量为＝（3，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查了行列式的计算以及直线方程的法向量，属于基础题．
9．（2022•浦东新区校级二模）设S是整数集Z的非空子集，如果任意的a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的．若T、V是Z的两个没有公共元素的非空子集，T∪V＝Z．若任意的a，b，c∈T，有abc∈T，同时，任意的x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（　　）
A．T、V中至少有一个关于乘法是封闭的
B．T、V中至多有一个关于乘法是封闭的
C．T、V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．T、V中每一个关于乘法都是封闭的
【分析】本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z折分成两个互不相交的非空子集T、V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非员整数集进行分析排除即可．
【解答】解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；
若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；
从而可得T、V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确．
故选：A．
【点评】本题考查了集合的新定义，属于基础题．
10．（2022•徐汇区三模）当曲线C1：（θ为参数）的点到直线C2：（t为参数）的最短距离时，该点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用方程组的解法的应用求出结果．
【解答】解：直线C2：（t为参数）转换为直角坐标方程为x﹣y+1＝0．
曲线C1：（θ为参数）转换为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，
当过圆心（1，0）且垂直于直线x﹣y+1＝0时，直线的方程为y＝﹣（x﹣1）＝﹣x+1，
所以，整理或（舍去），
故坐标为（1﹣）．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，方程组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
二．填空题（共28小题）
11．（2022•黄浦区二模）行列式的值为 　22　．
【分析】根据行列式的定义计算即可．
【解答】解：依题意得，题中的行列式的值等于4×6﹣2×1＝22，
故答案为：22．
【点评】本题主要考查行列式的计算，属于基础题．
12．（2022•宝山区模拟）计算行列式＝　﹣4　．
【分析】根据已知条件，结合行列式的公式，即可求解．
【解答】解：＝0•x﹣1×4＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查行列式的公式，属于基础题．
13．（2022•宝山区校级模拟）已知方程组的增广矩阵为，若方程组有无穷组解，则m＝　﹣2　．
【分析】分别求得，，，令Dx＝Dy＝0求解即可．
【解答】解：，
而，
要使Dx＝Dy＝0，则2+m＝﹣2﹣m＝0，解得m＝﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查矩阵运算及其应用，属于基础题．
14．（2022•虹口区二模）不等式|x﹣1|＜1的解集是 　（0，2）　．
【分析】先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．
【解答】解：∵|x﹣1|＜1，
∴﹣1＜x﹣1＜1⇒0＜x＜2．
故答案为：（0，2）．
【点评】此题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型，此题是一道基础题．
15．（2022•黄浦区二模）设t∈R，直线（t为参数）的倾斜角的大小为 　　．
【分析】消去参数t，即可求解直线的一般方程，再结合斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【解答】解：直线（t为参数），
则消去参数x+y＝1，直线的斜率为﹣1，
故所求倾斜角为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查参数方程的应用，属于基础题．
16．（2022•普陀区二模）若，则实数m的值为 　2　．
【分析】根据矩阵的运算法则列式计算即可．
【解答】解：由，可得：2×3﹣1×2m＝2，解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查矩阵的运算，是基础题．
17．（2022•普陀区二模）若增广矩阵为的线性方程组无实数解，则实数m＝　﹣2　．
【分析】由，且求解即可．
【解答】解：增广矩阵为的线性方程组无实数解，
所以，且，
所以m2﹣4＝0且4m﹣8≠0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查矩阵的运算，是基础题．
18．（2022•闵行区二模）若数列{an}满足，且an存在，则an＝　9　．
【分析】由题设有an﹣﹣6＝0，令x＝有x2﹣x﹣6＝0，解方程即可得结果．
【解答】解：由题意，＝an﹣6≥0，则an﹣﹣6＝0，
又an存在，故an﹣﹣6＝0，
令x＝≥0，则an＝x2，
所以x2﹣x﹣6＝0，得x＝3或x＝﹣2（舍），
所以an＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查行列式和极限的计算，属于基础题．
19．（2022•奉贤区模拟）直线l的方程为＝0，则直线l的一个法向量为 　（1，﹣2）　．
【分析】根据已知条件，结合行列式的公式，以及法向量的定义，即可求解．
【解答】解：∵＝0，
∴x﹣1﹣2y＝0，即x﹣2y﹣1＝0，
故直线l的一个法向量为（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题主要考查行列式的公式，以及法向量的定义，属于基础题．
20．（2022•崇明区二模）已知直线l的参数方程为（t是参数），则点（1，0）到直线l的距离等于 　　．
【分析】根据题意，将直线的方程变形为直线的一般式方程，由点到直线的距离公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l的参数方程为（t是参数），
其普通方程为4（x﹣1）＝3（y﹣2），即4x﹣3y+2＝0，
则点（1，0）到直线l的距离d＝＝；
故答案为：．
【点评】本题考查直线的参数方程，注意将参数方程变形为标准方程，属于基础题．
21．（2022•宝山区模拟）在直角坐标系中，已知圆的参数方程是（θ是参数，0≤θ＜2π ），则圆的半径是 　2　．
【分析】根据题意，将参数方程变形为标准方程，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆的参数方程是（θ是参数，0≤θ＜2π ），其标准方程为x2+（y+3）2＝4，
其半径为2；
故答案为：2．
【点评】本题考查圆的参数方程，注意将参数方程变形为标准方程，属于基础题．
22．（2022•杨浦区二模）设a，b，c，d∈R，若行列式，则行列式的值为 　3　．
【分析】根据已知条件，结合行列式公式，即可求解．
【解答】解：∵，
∴3＝9，解得＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查行列式的公式，属于基础题．
23．（2022•奉贤区模拟）将曲线的参数方程（θ是参数）化为普通方程为 　x2+y2＝1　．
【分析】根据已知条件，消去参数θ，即可求解．
【解答】解：∵，
∴x2+y2＝cos2θ+sin2θ＝1，
故曲线的普通方程为x2+y2＝1．
故答案为：x2+y2＝1．
【点评】本题主要考查普通方程的求解，属于基础题．
24．（2022•浦东新区二模）直线（t为参数，t∈R）的斜率为 　﹣1　．
【分析】消去参数t，求得直线l的一般方程，再结合斜率的定义，即可求解．
【解答】解：直线（t为参数，t∈R），
则消去t可得，x+y＝2，即y＝2﹣x，
故直线l的斜率为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查直线的参数方程，属于基础题．
25．（2022•杨浦区二模）直线l的参数方程为，t∈R，则直线l的斜率为 　2　．
【分析】消去参数t可得，2x﹣y＝3，即y＝2x﹣3，再结合斜率的定义，即可求解．
【解答】解：∵直线l的参数方程为，
∴消去参数t可得，2x﹣y＝3，即y＝2x﹣3，
∴直线l的斜率为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查直线的参数方程，属于基础题．
26．（2022•宝山区校级二模）将循环小数化为最简分数为 　　．
【分析】设x＝0.63，则100x＝63.63，据此可得关于x的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：设x＝0.63，则100x＝63.63，
又63.63＝63+0.63，所以100x＝63+x，解得，
所以循环小数0.63化为最简分数为．
故答案为：．
【点评】本题考查了排序问题与算法，属于基础题．
27．（2022•上海模拟）关于x、y的线性方程组的增广矩阵是 　　．
【分析】利用增广矩阵的定义直接求解．
【解答】解：关于x、y的线性方程组转化为：，
∴它的增广矩阵是：．
故答案为：．
【点评】本题考查线性方程组的增广矩阵的求法，考查增广矩阵的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
28．（2022•上海模拟）若直线l的参数方程为，则直线l的倾斜角的大小为 　arctan　．
【分析】根据已知条件，将参数方程化为一般式，再结合斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【解答】解：∵直线l的参数方程为，
∴消t，可得，
∴直线l的斜率为，
∴直线l的倾斜角的大小为 arctan．
故答案为：arctan．
【点评】本题主要考查参数方程的应用，考查斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
29．（2022•浦东新区校级二模）已知一个关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y＝　3　．
【分析】把二元一次方程组的增广矩阵转化为方程组，求出x、y的值即可得出结论．
【解答】解：关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵是，
所以，解得，
所以x+y＝2+1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程组与对应增广矩阵的转化问题，是基础题．
30．（2022•长宁区二模）曲线的焦点坐标为 　（1，0）　．
【分析】把已知参数方程变形，借助于同角三角函数基本关系式可得曲线的普通方程，进一步求得焦点坐标．
【解答】解：由，
得（θ∈（，）），
可得，即y2＝4x，曲线为抛物线，其焦点坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查抛物线的性质，是基础题．
31．（2022•徐汇区二模）若关于x的实系数一元二次方程x2﹣bx+c＝0的一根为1﹣i（i为虚数单位），则b+c＝　4　．
【分析】利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理，求解b+c即可．
【解答】解：关于x的实系数一元二次方程x2﹣bx+c＝0的一根为1﹣i（i为虚数单位），
则1+i也是方程的根，
所以b＝1+i+1﹣i＝2，所以b＝2，
c＝（1+i）（1﹣i）＝2，
所以b+c＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查实系数方程虚根成对定理的应用，是基础题．
32．（2022•浦东新区校级二模）在复数范围内分解因式：x2﹣2x+2＝　（x﹣1+i）（x﹣1﹣i）　．
【分析】配凑二次三项式，结合平方差公式，即可求出结果．
【解答】解：∵x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＝（x﹣1）2﹣i2＝（x﹣1+i）（x﹣1﹣i）．
故答案为：（x﹣1+i）（x﹣1﹣i）．
【点评】本题考查复数范围内要解因式的运算，考查二次三项式性质、平方差公式、复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
33．（2022•浦东新区校级二模）行列式的元素π的代数余子式的值等于　7　．
【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解．
【解答】解：行列式的元素π的代数余子式的值为：
（﹣1）2+1＝﹣（4cos﹣9sin）＝﹣（2﹣9）＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
34．（2022•宝山区二模）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则c1﹣c2＝　16　．
【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．
【解答】解：由题意知，是方程组的解，
即，
则c1﹣c2＝21﹣5＝16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．
35．（2022•嘉定区校级模拟）已知椭圆（θ为参数，a＞0，b＞0）的焦点分别F1（﹣2，0）、F2（2，0），点A为椭圆Γ的上顶点，直线AF2与椭圆Γ的另一个交点为B．若|BF1|＝3|BF2|，则椭圆Γ的普通方程为 　+＝1　．
【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标可得c＝2，即可得a2＝b2+4，结合椭圆的性质可得|BF1|、|BF2|的长，分析可得B的坐标，进而可得（3+2）2+＝a2，两式联立解可得a、b的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆（θ为参数，a＞0，b＞0），其普通方程为+＝1，
若其焦点分别F1（﹣2，0）、F2（2，0），则c＝2，则有a2＝b2+4，①
点A为椭圆Γ的上顶点，则A的坐标为（0，b），
又由|BF1|＝3|BF2|，而|BF1|+|BF2|＝2a，则|BF1|＝，|BF2|＝，
又由|AF2|＝a，且A、B、F2三点共线，则B的坐标为（3，），
又由|BF1|＝，则有（3+2）2+＝a2，②
联立①②，解可得：a2＝12，b2＝8；
故椭圆的方程为+＝1；
故答案为：+＝1．

【点评】本题考查椭圆的性质，涉及椭圆的参数方程，属于中档题．
36．（2022•闵行区校级模拟）关于x的不等式|3x+1|+|x﹣2|≤ax+b对x∈[1，+∞）恒成立，则2a+b的最小值是 　9　．
【分析】画出f（x）＝|3x+1|+|x﹣2|的图象，结合图象以及f（x）≤ax+b恒成立，求得2a+b的最小值．
【解答】解：设f（x）＝|3x+1|+|x﹣2|，
则f（x）＝，
f（1）＝5，f（2）＝7，
画出函数f（x）的图象如图所示：

由函数f（x）的图象知各部分所在直线的斜率的最大值为4，且过点（1，5），
故当且仅当a≥4且a+b≥5时，f（x）≤ax+b在x∈[1，+∞）恒成立，
因此2a+b≥9，当a＝4，b＝1时取等号．
故2a+b的最小值为9．
故答案为：9．

【点评】本题考查了零点分段法化简不等式以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
37．（2022•宝山区校级二模）如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边，接着画正五边形；对这个正五边形不画第五边，接着画正六边形；……，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线．设第n条线段与第n+1条线段所夹的角为，则θ2022＝　174.46°　．

【分析】根据正三角形、正方形、正五边形的角的度数规律，类比出n多边形n﹣1个角的度数表达式，再计算出2022条线段所在的正多
边形的边数，进一步求出夹角．
【解答】解：第一条线段与第二条线段所夹的角θ1＝60°，由此类推，θ2＝90°，θ3＝90°，
θ4＝108°，θ5＝108°，θ6＝108°，θ7＝120°，θ8＝120°，θ9＝120°，θ10＝120°，……
观察规律，三角形会有1个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，
正方形有2个90°，正五边形有3个108°，正六边形有4个120°，••••••
n多边形有n﹣2个，
又观察图形得：正三角形画2条线段，正方形画2条线段，正五边形画3条线段，正六边形画4条线段，……，正n边形画n﹣2条线段；
∴画到正n多边形时，画线段的条数为m＝2+2+3+4+……+（n﹣2）＝2+，
当n＝65时，m＝2017；当n＝66时，m＝2081
第2022条线段应在正65边形中，∴θ2022＝≈174.46°，
故答案为：174.46°．
【点评】本题以实际问题为载体，考查数列模型的构建，属于中档题．
38．（2022•浦东新区校级二模）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，A是圆弧与直线AG的切点，B是圆弧与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为 　　cm2．

【分析】设大圆的半径为R，利用已知条件求出OQ、QD的长，利用tan∠ODC＝求出大圆的半径R，再根据图中线段关系得出△AOH为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．
【解答】解：
作AM垂直于EF，交OH、DG于S、N，垂足为M，过点O作OQ垂直于DQ，垂足为Q，
∵A到直线DE和EF的距离均为7cm，∴EM＝AM＝7，
又∵EF＝12，MN＝DE＝2，
∴NG＝MF＝12﹣7＝5，AN＝AM﹣NM＝7﹣2＝5，
∴∠AGD＝45°，∵BH∥DG，∴∠AHO＝45°，
由于AG是圆弧的切线，
∴AG⊥OA，∠AOH＝45°，
设大圆的半径为R，则AS＝OS＝，
OQ＝SN＝5﹣，DQ＝DN﹣QN＝7﹣，
∵tan∠ODC＝，∴＝，解得R＝2，
图中阴影部分面积分为扇形AOB和直角△AOH的面积减去小半圆的面积，
所以S阴影＝×π×（2）2+×2×2﹣×π×1＝π+4．
故答案为：π+4．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．