专题06 数列必考题型（真题、自招、模拟）分类训练-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

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专题06数列必考题型分类训练
【三年高考真题练】
一．选择题（共2小题）
1．（2020•上海）计算：＝（　　）
A．3 B． C． D．5
2．（2022•上海）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（　　）
A．若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列
B．若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列
C．若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021
D．若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021
二．填空题（共7小题）
3．（2021•上海）已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，则a10＝　 　．
4．（2020•上海）计算：＝　 　．
5．（2022•上海）已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5＝0，则Si（i＝0，1，2，…，100）中不同的数值有 　 　个．
6．（2021•上海）已知{an}为无穷等比数列，a1＝3，an的各项和为9，bn＝a2n，则数列{bn}的各项和为 　 　．
7．（2021•上海）在无穷等比数列{an}中，（a1﹣an）＝4，则a2的取值范围是 　 　．
8．（2020•上海）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝　 　．
9．（2021•上海）已知ai∈N*（i＝1，2，…，9）对任意的k∈N*（2≤k≤8），ak＝ak﹣1+1或ak＝ak+1﹣1中有且仅有一个成立，a1＝6，a9＝9，则a1+…+a9的最小值为 　 　．





三．解答题（共5小题）
10．（2020•上海）已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝1．
（1）若数列{an}为等差数列，S10＝70，求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}为等比数列，a4＝，求满足Sn＞100an时n的最小值．






11．（2022•上海）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn．
（1）若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；
（2）若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．




12．（2022•上海）数列{an}对任意n∈N*且n≥2，均存在正整数i∈[1，n﹣1]，满足an+1＝2an﹣ai，a1＝1，a2＝3．
（1）求a4可能值；
（2）命题p：若a1，a2，⋯，a8成等差数列，则a9＜30，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由；
（3）若a2m＝3m，（m∈N*）成立，求数列{an}的通项公式．





13．（2021•上海）已知数列{an}满足an≥0，对任意n≥2，an和an+1中存在一项使其为另一项与an﹣1的等差中项．
（1）已知a1＝5，a2＝3，a4＝2，求a3的所有可能取值；
（2）已知a1＝a4＝a7＝0，a2、a5、a8为正数，求证：a2、a5、a8成等比数列，并求出公比q；
（3）已知数列中恰有3项为0，即ar＝as＝at＝0，2＜r＜s＜t，且a1＝1，a2＝2，求ar+1+as+1+at+1的最大值．







14．（2020•上海）已知数列{an}为有限数列，满足|a1﹣a2|≤|a1﹣a3|≤…≤|a1﹣am|，则称{an}满足性质P．
（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；
（2）若a1＝1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；
（3）若{an}是1，2，3，…，m的一个排列（m≥4），{bn}符合bk＝ak+1（k＝1，2，…，m﹣1），{an}、{bn}都具有性质P，求所有满足条件的数列{an}．

【三年自主招生练】
一．选择题（共1小题）
1．（2020•上海自主招生）非零实数a，b，c，若，，成等差数列，则下列不等式成立的是 （　　）
A．|b|≤|ac| B．|b|≤ C．b2≥|ac| D．a2≤b2≤c2
二．填空题（共4小题）
2．（2020•上海自主招生）小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有　 　个．
3．（2020•上海自主招生）[++…+]＝　 　．
4．（2020•上海自主招生）向量数列满足，且满足，令，则当Sn取最大时，n的值为　 　．
5．（2020•上海自主招生）实数a，b满足（a+b）59＝﹣1，（a﹣b）60＝1，则（an+bn）＝　 　．
三．解答题（共3小题）
6．（2022•上海自主招生），求的值．



7．（2022•上海自主招生）数列{an}，a1＝2，a2＝6，an+2﹣2an+1+an＝2，求．





8．（2021•上海自主招生）若数列{an}满足，求．





【最新模拟练】
一．选择题（共9小题）
1．（2022•杨浦区模拟）数列{an}为等差数列，a1＞0且公差d＞0，若lga1，lga3，lga6也是等差数列，则其公差为（　　）
A．lgd B．lg2d C．lg D．lg
2．（2022•奉贤区二模）已知a，b，c，d成等比数列，则下列三个数列：①a+b，b+c，c+d；②ab，bc，cd；③a﹣b，b﹣c，c﹣d中，必成等比数列的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2022•黄浦区二模）记方程①：x2+a1x+1＝0，方程②：x2+a2x+2＝0，方程③：x2+a3x+4＝0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③有两个不相等的实根的是（　　）
A．方程①有实根，且②有实根
B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根
D．方程①无实根，且②无实根
4．（2022•崇明区二模）已知无穷等比数列{an}中a1＝2，|a2|＜2，它的前n项和为Sn，则下列命题正确的是（　　）
A．数列{Sn}是递增数列 B．数列{Sn}是递减数列
C．数列{Sn}存在最小项 D．数列{Sn}存在最大项
5．（2022•上海模拟）已知数列{an}是公比为q的等比数列，则“q＞0”是“数列{lgan}为等差数列”的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分又不必要
6．（2022•普陀区二模）数列{an}的前n项的和Sn满足，则下列选项中正确的是（　　）
A．数列{an+1+an}是常数列
B．若，则{an}是递增数列
C．若a1＝﹣1，则S2022＝1013
D．若a1＝1，则{an}的最小项的值为﹣1
7．（2022•青浦区二模）设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a338＝2022，且存在正整数k，使a1，a338，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值的个数为（　　）
A．1 B．4 C．5 D．无穷多
8．（2022•宝山区模拟）已知函数f（x）＝（x＞0），数列{an}满足a1＝1，an+1＝f（an），记数列{an}的前n项和为Sn，则（　　）
A．3＜S2022＜4 B．＜S2022＜3 C．4＜S2022＜ D．＜S2022＜5
9．（2022•徐汇区校级模拟）已知数列{an}满足：当an≠0时，；当an＝0时，an+1＝0；对于任意实数a1，则集合{n|an≤0，n＝1，2，3，⋯}的元素个数为（　　）
A．0个
B．有限个
C．无数个
D．不能确定，与a1的取值有关
二．填空题（共25小题）
10．（2022•徐汇区三模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8＝15﹣a5，则S9等于 　 　．
11．（2022•宝山区校级模拟）已知各项均为正数的等比数列{an}，若a4﹣a5＝2a6，则的值为 　 　．
12．（2022•浦东新区二模）首项为1，公比为的无穷等比数列{an}的各项和为 　 　．
13．（2022•嘉定区二模）若数列{an}是首项为，公比为的无穷等比数列，且数列{an}各项的和为a，则实数a的值为 　 　．
14．（2022•徐汇区校级模拟）已知数列{an}的前n项和Sn＝2n﹣2，则数列{an}的通项公式为 　 　．
15．（2022•静安区二模）数列{an}满足a1＝2，，若对于大于2的正整数n，，则a102＝　 　．
16．（2022•普陀区二模）已知等差数列{an}（n∈N*）满足，则a5＝　 　．
17．（2022•奉贤区模拟）已知等差数列{an}满足a5+a2n﹣5＝n（n∈N，n≥3），则a1+a3+a5+a7+…+a2n﹣3+a2n﹣1＝　 　．
18．（2022•宝山区校级二模）等差数列{an}的前9项和为18，第9项为18，则{an}的通项公式为 　 　．
19．（2022•金山区二模）已知等比数列{an}各项均为正数，其中a1＝1，a2+a3＝12，则{an}的公比为 　 　．
20．（2022•青浦区二模）已知数列{an}的通项公式为，数列{bn}是首项为1，公比为q的等比数列，若bk＜ak＜bk+1，其中k＝1，2，…，10，则公比q的取值范围是 　 　．
21．（2022•虹口区二模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞1，且a2+1为a1与a3的等差中项，S3＝14．若数列{bn}满足bn＝log2an，其前n项和为Tn，则Tn＝　 　．
22．（2022•闵行区校级模拟）已知数列{an}满足++…+＝（n∈N*），则an＝　 　．
23．（2022•徐汇区校级模拟）正项等比数列{an}满足：a3+a6﹣a1﹣a4＝6，则a5+a8的最小值为 　 　．
24．（2022•青浦区校级模拟）数列{an}满足a1＝1，an+1＝Sn，则数列{an}的通项公式为 　 　．
25．（2022•宝山区二模）已知直线与直线互相平行且距离为m．等差数列{an}的公差为d，且a7a8＝35，a4+a10＜0，令Sn＝|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|，则Sm的值为 　 　．
26．（2022•长宁区二模）已知数列{an}满足：对任意n∈N*，都有|an+1﹣an|＝n，．设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝0，则S8的最大值为 　 　．
27．（2022•宝山区模拟）在数列{an}中，已知a1＝a5＝1，且an+1＝，则正整数d＝　 　．
28．（2022•闵行区校级二模）已知函数，正数数列{an}满足an+1＝f（an），若对任意正整数n，不等式|an+2﹣an+1|≤λ|an+1﹣an|都成立，则实数λ的最小值为 　 　．
29．（2022•闵行区二模）已知无穷等比数列{an}的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列{an}的个数为 　 　．
30．（2022•浦东新区二模）若各项均为正数的有穷数列{yn}满足yi+1≥yi+1，（n≥3，1≤i≤n﹣1，i∈N*，n∈N*），y1+y2+y3+⋯+yn＝2022，则满足不等式yn+n≥M的正整数M的最大值为 　 　．
31．（2022•金山区二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝3an﹣1（n∈N*），函数f（x）定义域为R，对任意x∈R都有f（x+1）＝．若f（2）＝1﹣，则f（a2022）的值为 　 　．
32．（2022•黄浦区校级模拟）设角数列{an}的通项为an＝（n﹣1）+φ，n∈N*，其中k为常数且φ∈（0，）．若存在整数k∈[3，40]，使{an}的前k项中存在ai，aj（i≠j）满足cosai＝cosaj，则φ的最大值为 　 　．
33．（2022•静安区模拟）已知等差数列{an}中，，设函数，记yn＝f（an），则数列{yn}的前9项和为 　 　．
34．（2022•奉贤区二模）设项数为4的数列{an}满足：ai∈{﹣1，0，1}，i∈{1，2，3，4}且对任意1≤k＜l≤4，k∈N，l∈N，都有|ak+ak+1+⋯+al|≤1，则这样的数列{an}共有 　 　个．
三．解答题（共22小题）
35．（2022•松江区二模）在等差数列{an}中，已知a1+a2＝10，a3+a4+a5＝30．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an+bn}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn．



36．（2022•长宁区二模）甲、乙两人同时分别入职A、B两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．
（1）分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）；
（2）设甲、乙两人入职第n年的月基础工资分别为an、bn元，记cn＝an﹣bn，讨论数列{cn}的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．




37．（2022•闵行区二模）已知{an}是公差为d的等差数列，前n项和为Sn，a1，a2，a3，a4的平均值为4，a5，a6，a7，a8的平均值为12．
（1）求证：；
（2）是否存在实数t，使得对任意n∈N*恒成立，若存在，求出t的取值范围，若不存在，请说明理由．




38．（2022•宝山区校级二模）数列{an}满足条件：若存在正整数k和常数q∉{0，1}，使得an+k＝qan对任意n∈N*恒成立，则称数列{an}具有性质P（k，q），也称为类周期k数列．
（1）判断数列是否具有性质P（k，q）并说明理由；
（2）数列{an}具有性质P（3，2），且a1＝1，前4项成等差，求{an}的前100项和；
（3）若数列{an}既是类周期2数列，也是类周期3数列，求证：{an}为等比数列．



39．（2022•普陀区二模）设Sn是各项为正的等比数列{an}的前n项的和，且S2＝3，a3＝4，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在数列{an}的任意ak与ak+1项之间，都插入k（k∈N*）个相同的数（﹣1）kk，组成数列{bn}，记数列{bn}的前n项的和为Tn，求T100的值．





40．（2022•杨浦区模拟）已知a为实数，数列{an}满足：①a1＝a；②an+1＝（n∈N*）．若存在一个非零常数T∈N*，对任意n∈N*，an+T＝an都成立，则称数列{an}为周期数列．
（1）当a＝3时，求a1+a2+a3+a4的值；
（2）求证：存在正整数n，使得0≤an≤3；
（3）设Sn是数列{an}的前n项和，是否存在实数a满足：①数列{an}为周期数列；②存在正奇数k，使得Sk＝2k．若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由．





41．（2022•徐汇区三模）记实数a、b中较小者为min{a，b}，例如min{1，2}＝1，min{1，1}＝1，对于无穷数列{an}，记hk＝min{a2k﹣1，a2k}．若对任意k∈N*均有hk＜hk+1，则称数列{an}为“趋向递增数列”．
（1）已知数列{an}、{bn}的通项公式分别为，判断数列{an}、{bn}是否为“趋向递增数列”？并说明理由；
（2）已知首项为1，公比为q的等比数列{cn}是“趋向递增数列”，求公比q的取值范围；
（3）若数列{dn}满足d1、d2为正实数，且dn＝|dn+2﹣dn+1|，求证：数列{dn}为“趋向递增数列”的必要非充分条件是{dn}中没有0．










42．（2022•宝山区模拟）设数列{an}，{bn}的项数相同，对任意不相等的正整数s，t都有（as﹣at）（bs﹣bt）＞0（＜0），则称数列{an}，{bn}成同序（反序）．
（1）若an＝，bn＝logan，且{an}，{bn}成反序，求a的取值范围；
（2）记等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，求证：{an} 和{Sn}同序的充要条件是d（a1+d）＞0；
（3）若数列{an}的通项公式为an＝qn﹣1（q≠1，q＞0）其前n项的和为Sn，令bn＝，研究{an}，{bn}是成同序，反序，还是其它情况？请说明理由．






43．（2022•杨浦区二模）已知数列{an}满足：a1＝1，an+1＝﹣an或an+1＝an+2，对一切n∈N*都成立．记Sn为数列{an}的前n项和．若存在一个非零常数T∈N*，对于任意n∈N*，an+T＝an成立，则称数列{an}为周期数列，T是一个周期．
（1）求a2、a3所有可能的值，并写出a2022的最小可能值；（不需要说明理由）
（2）若an＞0，且存在正整数p，q（p≠q），使得与均为整数，求ap+q的值；
（3）记集合，求证：数列{an}为周期数列的必要非充分条件为“集合S为无穷集合”．








44．（2022•宝山区校级模拟）设有数列{an}，若存在唯一的正整数k（k≥2），使得ak＜ak﹣1，则称{an}为“k坠点数列”．记{an}的前n项和为Sn．
（1）判断：是否为“k坠点数列”，并说明理由；
（2）已知{an}满足a1＝1，|an+1﹣an|＝a+1，且是“5坠点数列”，若，求a的值；
（3）设数列{an}共有2022项且a1＞0．已知a1﹣ap﹣1+aq﹣1＝s，a2+a3+⋯+a2022＝t．若{an}为“p坠点数列”且{Sn}为“q坠点数列”，试用s，t表示S2022．






45．（2022•崇明区二模）已知集合M＝{x|1≤x≤m，x∈Z}（Z是整数集，m是大于3的正整数）．若含有m项的数列{an}满足：任意的i，j∈M，都有ai∈M，且当i≠j时有ai≠aj，当i＜m时有|ai+1﹣ai|＝2或|ai+1﹣ai|＝3，则称该数列为P数列．
（1）写出所有满足m＝5且a1＝1的P数列；
（2）若数列{an}为P数列，证明：{an}不可能是等差数列；
（3）已知含有100项的P数列{an}满足a5，a10，⋯，a5k，⋯，a100（k＝1，2，3，⋯，20）是公差为d（d＞0）等差数列，求d所有可能的值．








46．（2022•静安区二模）若数列{an}同时满足下列两个条件，则称数列{an}具有“性质A”．
①（n∈N*）；②存在实数A，使得对任意n∈N*，有an≥A成立．
（1）设，试判断{an}，{bn}是否具有“性质A”；
（2）设递增的等比数列{cn}的前n项和为Sn，若，证明：数列{Sn}具有“性质A”，并求出A的取值范围；
（3）设数列{dn}的通项公式，若数列{dn}具有“性质A”，其满足条件的A的最大值A0＝10，求t的值．





47．（2022•青浦区二模）治理垃圾是改善环境的重要举措．A地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的75%（记2020年为第1年）．
（1）写出A地每年需要焚烧垃圾量与治理年数n（n∈N*）的表达式；
（2）设An为从2020年开始n年内需要焚烧垃圾量的年平均值，证明数列{An}为递减数列．









48．（2022•金山区二模）对于集合A＝{a1，a2，a3，⋯，an}，n≥2且n∈N*，定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A且x≠y}．集合A中的元素个数记为|A|，当时，称集合A具有性质Γ．
（1）判断集合A1＝{1，2，3}，A2＝{1，2，4，5}是否具有性质Γ，并说明理由；
（2）设集合B＝{1，3，p，q}（p，q∈N，且3＜p＜q）具有性质Γ，若B+B中的所有元素能构成等差数列，求p、q的值；
（3）若集合A具有性质Γ，且A+A中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．





49．（2022•黄浦区校级模拟）已知数列{an}，{bn}满足：存在k∈N*，对于任意的n∈N*，使得bn+k＝an+an+k，则称数列{bn}与{an}成“k级关联”．记{bn}与{an}的前n项和分别为Tn，Sn．
（1）已知，判断{bn}与{an}是否成“4级关联”，并说明理由；
（2）若数列{bn}与{an}成“2级关联”，其中，且有b1＝1，b2＝2，求|T2022﹣S2022|的值；
（3）若数列{bn}与{an}成“k级关联”且有bn＝2022，求证：{Sn}为递增数列当且仅当a1，a2，⋯，a2k＞0．










50．（2022•奉贤区二模）已知数列{an}和{bn}，其中，n∈N*，数列{an+bn}的前n项和为Sn．
（1）若an＝2n，求Sn；
（2）若{bn}是各项为正的等比数列，Sn＝3n，求数列{an}和{bn}的通项公式．






51．（2022•嘉定区二模）若项数为k（k∈N*且k≥3）的有穷数列{an}满足：|a1﹣a2|≤|a2﹣a3|≤⋅⋅⋅≤|ak﹣1﹣ak|，则称数列{an}具有“性质M”．
（1）判断下列数列是否具有“性质M”，并说明理由；
①1，2，4，3；②2，4，8，16．
（2）设bm＝|am﹣am+1|（m＝1，2，⋅⋅⋅，k﹣1），若数列{an}具有“性质M”，且各项互不相同．求证：“数列{an}为等差数列”的充要条件是“数列{bm}为常数列”；
（3）已知数列{an}具有“性质M”．若存在数列{an}，使得数列{an}是连续k个正整数1，2，⋅⋅⋅，k的一个排列，且|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+⋅⋅⋅+|ak﹣1﹣ak|＝k+2，求k的所有可能的值．












52．（2022•虹口区二模）对于项数为m的数列{an}，若满足：1≤a1＜a2＜⋯＜am，且对任意1≤i≤j≤m，ai•aj与中至少有一个是{an}中的项，则称{an}具有性质P．
（1）分别判断数列1，3，9和数列2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
（2）如果数列a1，a2，a3，a4具有性质P，求证：a1＝1，a4＝a2•a3；
（3）如果数列{an}具有性质P，且项数为大于等于5的奇数．判断{an}是否为等比数列？并说明理由．







53．（2022•徐汇区校级模拟）设自然数n≥3，若由n个不同的正整数a1，a2，…，an构成的集合S＝{a1，a2，…，an}满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．
（1）试分别判断在集合S1＝{1，2，3，4}与S2＝{1，2，4，8}是否具有性质P，不必说明理由；
（2）已知集合S＝{a1，a2，…，an}具有性质P．
①记，求证：对于任意正整数k≤n，都有；
②令，，求证：Dk≥0；
（3）在（2）的条件下，求的最大值．






54．（2022•徐汇区二模）对于数列{an}，记V（n）＝|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an﹣an﹣1|（n＞1，n∈N*）．
（1）若数列{an}通项公式为：an＝），求V（5）；
（2）若数列{an}满足：a1＝a，an＝b，且a＞b，求证：V（n）＝a﹣b的充分必要条件是ai+1≤ai（i＝1，2，…，n﹣1）；
（3）已知V（2022）＝2022，若yt＝），t＝1，2，…，2022．求|y2﹣y1|+|y3﹣y2|+…+|y2022﹣y2021|的最大值．





55．（2022•浦东新区校级二模）设{an}是公差不为零的等差数列，满足a1＝1，a6+a7＝a13，设正项数列{bn}的前n项和为Sn，且4Sn+2bn＝3．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）在b1和b2之间插入1个数x11，使b1、x11、b2成等差数列；在b2和b3之间插入2个数x21、x22，使b2、x21、x22、b3成等差数列；…；在bn和bn+1之间插入n个数xn1、xn2、…、xnn，使bn、xn1、xn2、…、xnn、bn+1成等差数列，求Tn＝x11+x21+x22+⋅⋅⋅+xn1+xn2+⋅⋅⋅+xnn；
（3）对于（2）中求得的Tn，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．








56．（2022•浦东新区二模）已知数列{xn}．若存在B∈R，使得{|xn﹣B|}为递减数列，则{xn}称为“B型数列”．
（1）是否存在B∈R使得有穷数列为B型数列？若是，写出B的一个值；否则，说明理由；
（2）已知2022项的数列{un}中，（n∈N*，1≤n≤2022）．求使得{un}为B型数列的实数B的取值范围；
（3）已知存在唯一的B∈R，使得无穷数列{an}是B型数列．证明：存在递增的无穷正整数列n1＜n2＜...＜nk＜...，使得为递增数列，为递减数列．