第16讲 圆锥曲线综合-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

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第16讲 圆锥曲线综合

【考点梳理】
1．抛物线的标准方程
【知识点的认识】
抛物线的标准方程的四种种形式：
（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）
（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）
四种形式相同点：形状、大小相同；
四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
下面以两种形式做简单的介绍：
标准方程
y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上
x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上
图形


顶点
（0，0）
（0，0）
对称轴
x轴
焦点在x轴长上
y轴
焦点在y轴长上
焦点
（，0）
（0，）
焦距
无
无
离心率
e＝1
e＝1
准线
x＝﹣
y＝﹣
2．抛物线的性质
【知识点的认识】
抛物线的简单性质：

3．双曲线的性质
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
4．曲线与方程
【曲线与方程】
在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系．
【例题解析】例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（　　）
A：直线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支．
解：对定点B分类讨论：
①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．
由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．
②若点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．
由双曲线的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支．
③若定点B与圆心A重合，如图3所示：
设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件，
因此点M的轨迹是以点A为圆心，以为半径的圆．
④若点B在圆A上，则满足条件的点是一个点B．
综上可知：可以看到满足条件的点M的轨迹可以是：椭圆、双曲线的一支，圆，一个点，而不可能是一条直线．
故选A．
这是一个非常好的题，一个题把几个很重要的曲线都包含了，我认为这个题值得每一个学生去好好研究一下．这个题的关键是找等量关系，而这个等量关系是靠自己去建立的，其中还要注意到圆半径是相等的和中垂线到两端点的距离相等这个特点，最后还需结合曲线的第二定义等来判断，是个非常有价值的题．
【考点点评】 这个考点非常重要，但也比较难，我们在学习这个考点的时候，先要认真掌握各曲线的定义，特别是椭圆、抛物线、双曲线的第二定义，然后学会去找等量关系，最后建系求解即可．

5．圆锥曲线的共同特征
【知识点的认识】
圆锥曲线的共同特征：
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到定直线的距离之比为定值e．当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆；当e＞1时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1时，圆锥曲线是抛物线．其中定点是圆锥曲线的一个焦点，定直线是相应于这个交点的准线．
6．直线与圆锥曲线的综合
【概述】直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵，
∴a＝2，
∴，
所求方程为．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而，，
设P（t，0），则
＝
当，
解得
此时对∀k∈R，；
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，，
对，，
即存在x轴上的点，使的值为常数．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】 必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．
7．圆锥曲线的综合
【知识点的认识】
1、抛物线的简单性质：

2、双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝1
±＝1
8．圆锥曲线的轨迹问题
【知识点的认识】
1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．
（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．
（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．
（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．
【解题方法和技巧】
1.求轨迹方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为（x，y）；
（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；
（4）用坐标yx、表示这个等式，并化简；
（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明．
【考点剖析】
【考点1】曲线与方程（共4小题）
1．（2022•奉贤区模拟）不论α取何实数，方程x2+2y2sinα＝1所表示的曲线必不是（　　）
A．抛物线 B．圆 C．直线 D．双曲线
2．（2021•上海模拟）由曲线x2＝4y，x2＝﹣4y，x＝4，x＝﹣4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1，满足x2+y2≤16，x2+（y﹣2）2≥4，x2+（y+2）2≥4的点（x，y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（　　）
A．V1＝V2 B．V1＝V2 C．V1＝V2 D．V1＝2V2
3．（2021•黄浦区校级三模）在xOy平面上，对任意的m∈R，曲线x2＝2my+m2+1都不经过一些点，则这些点组成的区域的面积为　 　
4．（2020•浦东新区校级模拟）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线C：（x2+y2）3＝16x2y2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（　　）
（1）方程（x2+y2）3＝16x2y2（xy＜0），表示的曲线在第二和第四象限；
（2）曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2；
（3）曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4π；
（4）曲线C上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）．

A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4）
【考点2】圆锥曲线的共同特征（共1小题）
5．（2017•徐汇区校级模拟）抛物线y＝x2﹣2xsinα+1的顶点在椭圆x2+my2＝1上，这样的抛物线有且只有两条，则m的取值范围是　 　．
【考点3】直线与圆锥曲线的综合（共6小题）
6．（2022•徐汇区校级模拟）如图，A、B是椭圆长轴的两个端点，M、N是椭圆上与A、B均不重合的相异两点，设直线AM、BN、AN的斜率分别是k1、k2、k3．
（1）若直线MN过点（1，0），求证：k1•k3为定值；
（2）设直线MN与x轴的交点为（t，0）（t为常数且t≠0），试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

7．（2022•宝山区校级模拟）已知椭圆是左、右焦点．设M是直线l：x＝t（t＞2）上的一个动点，连结MF1，交椭圆Γ于N（yN≥0）．直线l与x轴的交点为P，且M不与P重合．
（1）若M的坐标为，求四边形PMNF2的面积；
（2）若PN与椭圆Γ相切于N且，求tan∠PNF2的值；
（3）作N关于原点的对称点N'，是否存在直线F2N，使得F1N'上的任一点到F2N的距离为，若存在，求出直线F2N的方程和N的坐标，若不存在，请说明理由．




8．（2022•松江区二模）已知椭圆的右顶点坐标为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，直线l交椭圆Γ于不同的两点M和N．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过点A，求直线l的方程；
（3）若直线l与椭圆Γ相切，求证：点F1、F2到直线l的距离之积为定值．





9．（2022•青浦区二模）已知椭圆的右焦点为F，过F的直线l交Γ于A，B两点．
（1）若直线l垂直于x轴，求线段AB的长；
（2）若直线l与x轴不重合，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值；
（3）若椭圆Γ上存在点C使得|AC|＝|BC|，且△ABC的重心G在y轴上，求此时直线l的方程．








10．（2022•静安区二模）如图，点P（xP，yP）是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B，且PA，PB的中点均在抛物线C上．
（1）若P（﹣1，2），点A在第一象限，求此时点A的坐标；
（2）设AB中点为M，求证：直线PM⊥y轴；
（3）若P是曲线上的动点，求△PAB面积的最大值．

11．（2022•浦东新区二模）已知F1、F2分别为椭圆E：的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆E于A、B两点．
（1）当直线l垂直于x轴时，求弦长|AB|；
（2）当时，求直线l的方程；
（3）记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线x＝6于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．








【考点4】圆锥曲线的综合（共3小题）
12．（2022•闵行区校级模拟）已知双曲线x2﹣y2＝1的右焦点和抛物线y2＝2px的焦点重合，则p＝　 　．
13．（2021•杨浦区校级模拟）已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且|F1F2|＝4，∠F1PF2＝，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
14．（2020•浦东新区三模）如图，已知椭圆C1和双曲线C2交于P1、P2、P3、P4四个点，F1和F2分别是C1的左、右焦点，也是C2的左、右焦点，并且六边形P1P2F1P3P4F2是正六边形．若椭圆C1的方程为＝1，则双曲线C2的方程为 　 　．

【考点5】圆锥曲线的轨迹问题（共2小题）
15．（2020•嘉定区二模）如图，若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面BCC1B1内动点P到棱A1B1的距离等于它到棱BC的距离，则点P所在的曲线为（　　）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
16．（2021•青浦区校级模拟）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图
（1）求菜地内的分界线C的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．








【真题模拟题专练】
一．选择题（共1小题）
1．（2020•上海）已知椭圆+y2＝1，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y轴的垂线交椭圆于C、D两点，且AB＝CD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是（　　）
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
二．填空题（共1小题）
2．（2018•上海）已知平面上动点P到两个定点（1，0）和（﹣1，0）的距离之和等于4，则动点P的轨迹方程为　 　．
三．解答题（共3小题）
3．（2022•上海）设有椭圆方程Γ：+＝1（a＞b＞0），直线l：x+y﹣4＝0，Γ下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0）．
（1）a＝2，AM中点在x轴上，求点M的坐标；
（2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，在△ABM中有一内角余弦值为，求b；
（3）在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使|PF1|+|PF2|+d＝6，随a的变化，求d的最小值．

4．（2021•上海）已知Γ：+y2＝1，F1，F2是其左、右焦点，直线l过点P（m，0）（m≤﹣），交椭圆于A，B两点，且A，B在x轴上方，点A在线段BP上．
（1）若B是上顶点，||＝||，求m的值；
（2）若•＝，且原点O到直线l的距离为，求直线l的方程；
（3）证明：对于任意m＜﹣，使得∥的直线有且仅有一条．
5．（2016•上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图
（1）求菜地内的分界线C的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．