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所属成套资源：2023高考数学二轮复习讲义+分层训练[上海]
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第15讲 抛物线-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）
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这是一份第15讲 抛物线-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用），文件包含第15讲抛物线解析版docx、第15讲抛物线原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
第15讲 抛物线
【考点梳理】
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
【解题方法和技巧】
1.求抛物线的标准方程的方法：
①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
（2）利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．
2.确定及应用抛物线性质的技巧：
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．
3.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用．
【考点剖析】
【考点1】抛物线的定义
一、单选题
1．（2021·上海·格致中学三模）已知抛物线、的焦点都为，的准线方程为，的准线方程为，与相交于M、N两点，则直线MN的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义可以判定M,N到直线的距离和到y轴的距离相等，结合图形可知，直线MN的倾斜角为60°且经过原点.
【详解】如图所示，根据抛物线的定义，可得M，N到直线的距离和到y轴的距离都等于到焦点的距离，故M,N到直线的距离和到y轴的距离相等，结合图形可知，直线MN是直线与y轴的角平分线上的点，由于直线是过原点且倾斜角为30°的直线，由图可知，直线MN的倾斜角为60°，且经过坐标原点，故直线MN的方程为,
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线的定义，关键是利用抛物线的定义得到M,N直线的距离和到y轴的距离相等.
二、填空题
2．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）若点是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则__________.
【答案】8
【分析】计算，设，根据向量运算得到，再利用抛物线定义得到答案.
【详解】是抛物线的焦点，则，设，
则，
故，
.
故答案为：8
3．（2022·上海·高三专题练习）若抛物线上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点的距离等于__________.
【答案】
【分析】根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得的值，代入抛物线方程求得值，即可得到所求点的坐标，从而求得其到原点的距离．
【详解】解：抛物线方程为，焦点为，准线为，
抛物线上一点到焦点的距离等于2，根据抛物线定义可知到准线的距离等于2，
即，解之得，代入抛物线方程求得，
点坐标为：，故其到顶点的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决，属于基础题．
4．（2020·上海·高三专题练习）已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则当时，的最小值是______．
【答案】
【分析】首先根据抛物线的定义转化，再根据数形结合分析的最小值.
【详解】抛物线的焦点是，且当时，点在抛物线外.
根据抛物线的定义可知
，
，
当三点共线时，等号成立，
的最小值是，
，
的最小值是.
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线内距离的最值问题，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是根据抛物线的定义转化.属于基础题.
三、解答题
5．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知动点P到定点的距离比P点到直线的距离小2，设动点P的轨迹为曲线C.过定点的直线与曲线C交于A､B两点.
(1)求曲线C的方程；
(2)若点E的坐标为，求证：；
(3)是否存在实数，使得以为直径的圆截直线：所得弦长为定值？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义求出曲线的方程．
（2）当直线与轴垂直时，根据抛物线性质得，当直线与轴不垂直时，依题意设直线的方程为，，，联立直线与抛物线，消元、列出韦达定理，设直线，的斜率分别为，，则，即可证明．
（3）假设存在满足条件的实数，的中点为，直线与为直径的圆交于，，的中点为，则，即可得到点的坐标，由此利用弦长公式能求出，从而当时，满足条件的实数，当时，满足条件的实数不存在．
(1)解：依题意动点到定点的距离等于动点到直线的距离，
由抛物线的定义可知，动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为；
(2)证明：当直线与轴垂直时，根据抛物线性质得，
当直线与轴不垂直时，依题意设直线的方程为，，
，，则，两点坐标满足方程组，消去整理得：，
，，
设直线，的斜率分别为，，
则
，
，
，，，
，
综上．
(3)解：假设存在满足条件的实数，的中点为，
直线与为直径的圆相交于点，，的中点为，
则，点坐标为，，
，
，
，
，
与的取值无关，，解得，
此时，，
当，即时，，（定值），
当时，满足条件的实数，
当时，满足条件的实数不存在．
【考点2】抛物线标准方程
一、单选题
1．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（ ）
A．若O为线段PQ中点，则PF＝1 B．若PF＝4，则OP＝2
C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为2
【答案】D
【分析】对于A：利用焦半径公式求出,直接判断；
对于B：由求出,直接求出，即可判断;
对于C：设,由O、P、Q三点共线求出，计算出,即可判断;
对于D：直接求出,利用基本不等式求出△PFQ面积的最小值.
【详解】抛物线的准线为,焦点F(1,0).
对于A：若O为PQ中点,所以xp=1,所以,故A错误；
对于B：若,则,所以.故B错误;
对于C：设,由O、P、Q三点共线，可得，所以,,所以,所以FP与FQ不垂直,故C错误;
对于D：,当且仅当,即时取等号，所以△PFQ面积的最小值为2.故D正确.
故选：D.
二、填空题
2．（2022·上海交大附中高三期中）圆的圆心在抛物线上，且圆与轴相切于点A，与轴相交于、两点，若（为坐标原点），则______．
【答案】
【分析】不妨设点在第一象限，设，则，根据求出，从而可求得圆的方程，求出的坐标即可得解.
【详解】解：不妨设点在第一象限，
设，则，
故，解得，
故圆心，
所以圆的半径等于，
所以圆的方程为，
当时，或，
所以.
故答案为：.
3．（2022·上海·高三专题练习）动点到点等于到直线的距离，则点的轨迹方程为_________
【答案】
【分析】由抛物线的定义可得，轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，写出抛物线方程．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点到点和到直线距离相等的动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，，
故抛物线方程为；
故答案为：．
4．（2022·上海·高三专题练习）已知抛物线型拱桥的顶点距水面a米时，量得水面宽为b米，a，b为常量，当水面下降1米后，水面的宽为______米
【答案】
【分析】作出平面直角坐标系和抛物线，利用点求出抛物线的标准方程，进而求出点、的坐标和水面的宽度.
【详解】根据题意建立平面直角坐标系（如图所示），
设抛物线的标准方程为，
由题意，得抛物线过点，
则，解得，
即抛物线的标准方程为，
令，得：，
即，即，，
所以水面的宽为.
故答案为：.
5．（2022·上海市控江中学高三开学考试）已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为_________米.
【答案】
【分析】根据实际问题建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程并通过条件求解出方程，再利用所求的方程计算水面下降米后水面的宽度.
【详解】据题意，建立平面直角坐标如下，设抛物线标准方程为：，则如图所示：
根据条件可知：，，将代入，解得：，
所以抛物线方程为：，
又因为，所以，所以，所以，所以，则此时水面宽为：米.
故答案为.
【点睛】本题考查抛物线方程的实际应用，难度一般.处理抛物线方程有关的实际问题，关键是能通过题意正确将坐标系建立起来并设出抛物线方程的正确形式.
三、解答题
6．（2022·上海市松江一中高三阶段练习）如图，已知点为抛物线的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在第一象限，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线交x轴于点Q，且Q在点F的右侧，记，的面积分别为，．
(1)求p的值及抛物线的准线方程；
(2)设A点纵坐标为，求关于t的函数关系式；
(3)求的最小值及此时点G的坐标．
【答案】(1)，准线方程
(2)
(3)的最小值为，点G的坐标为
【分析】（1）由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；
（2）设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，再用代换并化简即可；
（3）根据已求的函数关系式，结合基本不等式即可求得的最小值和点G的坐标.
（1）因为点为抛物线的焦点，
所以，即，准线方程.
（2）设，
设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：
，故：，
，
设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：
，，
令可得：，则.即，
由斜率公式可得：，
直线AC的方程为：，
令可得：，
故，
且，
由于，代入上式可得：，
由可得，则，
则，
令 ，得.
即关于t的函数关系式为.
（3）设，则，
当且仅当，即，，时等号成立，
即的最小值为，
此时，，则点G的坐标为.
【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．（2022·上海·复旦附中模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，A，B分别为椭圆的上、下顶点，到直线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点M为抛物线上一点，直线与椭圆的一个交点N在y轴左侧，满足，求p的最大值；
(3)直线与椭圆交于不同的两点C，D，直线AC，AD分别交x轴于P，Q两点．问：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，且．
【分析】（1）在中由面积公式得出关系，从而求得得椭圆方程；
（2）设，，由由，用表示点的坐标，把点坐标代入抛物线方程得的表达式，利用在椭圆上，可把化为关于的函数，利用换元法、基本不等式可得最大值；
（3）假设存在点使得，设，求得，然后设，，由直线方程求得坐标，代入上式，并利用在椭圆上可求得值，得结论成立．
(1)中由面积公式得，即，解得，
椭圆方程为；
(2)设，，由（1），
由，得，
所以，
是抛物线（）上的点，
所以，又，
所以，
，
令，则，
，当且仅当时等号成立，
所以．
(3)假设存在点使得，设，
因为，所以，即，
所以，所以，
直线与椭圆交于不同的两点C，D，易知关于对称，
设，（），
由（1）知，直线方程是，令得，
直线方程是，令得，
由，得，又在椭圆上，所以，
所以，，
所以存在点，使得成立．
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题，椭圆中的定点问题、最值问题．解题方法是设出椭圆上点的坐标，通过它求出另外点的坐标，由另外的点满足的性质得出所要结论，本题考查了学生的逻辑思维能力，运算求解能力，创立意识，属于难题．
8．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）如图，是抛物线：的焦点，过的直线交抛物线于，两点，点在第一象限，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．已知点在抛物线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点纵坐标为，试用表示点的横坐标；
(3)在（2）的条件下，求的最小值及此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)的最小值为，
【分析】（1）将点的坐标代入可求出，从而可得抛物线的方程，
（2）先求出直线的方程为，代入抛物线方程，化简利用根与系数的关系可求出点的坐标，再由重心在轴上结合重心坐标公式可求出点的坐标，从而可求出点的横坐标，
（3）求出直线的方程，可求出，从而，令，代入化简后利用基本不等式可求出其最小值和点的坐标
(1)因为点在抛物线：上，
所以，得，
所以抛物线的方程为，
(2)由点纵坐标为，得点横坐标为，设，重心，
因为直线过，所以
所以直线的方程为，即，
代入，得，
所以，得，所以，
因为，，重心在轴上，
所以，得，
所以，所以，
所以
即点的横坐标为
(3)由（2）得，，
所以，
所以直线的方程为，
令，得，即，
因为在点的右侧，所以，
所以
，
令，则，
，
当且仅当，即取等号，
所以当时，取得最小值为，
此时，则，所以
【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，第（3）问解题的关键是表示出后，利用换元法，令，将其转化为，然后利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
9．（2021·上海·高三专题练习）已知三点，，，曲线上任意一点满足.
（1）求曲线的方程；
（2）动点在曲线上，曲线在点处的切线为.问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，
【解析】（1）利用坐标写出 ，，，即可求出，，再根据，化简即可求得曲线的方程；
（2）先假设存在，根据题意写出的方程，对进行讨论，联立方程解出，即可求得与的面积之比的表达式，利用其为常数,即可求得结论.
【详解】解：（1），，
，，，
即，，
，
，
，
即，
化简得曲线C的方程：；
（2）假设存在点满足条件，
则，，
直线的方程是：，
的方程是，
动点在曲线上，
，
曲线C的方程：；
即，
则，
，
曲线C在Q处的切线l的方程是：，
与y轴交点为：，
，
，
，
①当时，，
,使得：，
，
时不符合题意；
②当时，
，
与一定相交，
联立：，
即，
解得：，
联立：，
即，
解得：，
，
又，
，
又，
，
对任意，
要使为常数，
则要满足：，
解得：，此时，
故存在，使与的面积之比是常数2.
【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.
【考点3】抛物线的范围
一、单选题
1．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，则存在横坐标的点、、有（ ）
A．0个 B．2个 C．有限个，但多于2个 D．无限多个
【答案】A
【分析】首先判断出为的重心，根据重心坐标公式可得，结合基本不等式可得出，结合抛物线的定义化简得出，同理得出，进而得出结果.
【详解】设，先证，
由知，为的重心，
又，，
，，
，，，
同理，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出点为三角形的重心，属于中档题.
二、填空题
2．（2018·上海宝山·高二期末）一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2=2y（0≤y≤20）．在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为
【答案】0＜r≤1
【详解】设小球圆心（0，y0）
抛物线上点（x，y）
点到圆心距离平方
r2=x2+（y﹣y0）2=2y+（y﹣y0）2=y2+2（1﹣y0）y+y02
若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底,
此二次函数对称轴在纵轴左边，
所以1﹣y0≥0
所以0＜y0≤1
所以0＜r≤1
故答案为0＜r≤1
点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能力．
三、解答题
3．（2021·上海·高二专题练习）在平面直角坐标系中，点到直线：的距离比到点的距离大2.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）请指出曲线的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由.
【答案】（1）；（2）对称性：曲线关于轴对称；顶点：；范围：曲线在直线右侧，且右上方和右下方无限延伸.理由见解析
【分析】（1）设，根据题意列出等量关系，化简整理，即可得出结果；
（2）根据由抛物线向右平移一个单位得到，结合抛物线的性质，即可得出结果.
【详解】（1）由题意可得：动点到直线的距离与到的距离相等，
设，则，
化简整理，可得，
所以点的轨迹的方程为；
（2）由（1）得的方程为；
即由抛物线向右平移一个单位得到；
所以曲线也关于轴对称，顶点为，范围为，.
【点睛】本题主要考查求轨迹方程，以及轨迹的性质，熟记轨迹方程的求法，以及抛物线的性质即可，属于常考题型.
4．（2019·上海市建平中学高二期末）已知曲线
(1)若求出该曲线的对称轴方程、顶点坐标、焦点坐标、及的取值范围；
(2)若求经过点(-1,0)且与曲线只有一个公共点的直线方程；
(3)若请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点,此两点满足条件:无论如何变化,这两点都不在曲线上.
【答案】(1) 该曲线的对称轴方程是、顶点坐标为、焦点坐标为、的取值范围是、的取值范围是；
(2) ；
(3).
【分析】(1)把代入曲线方程中,根据抛物线的性质写出抛物线的对称轴方程、顶点坐标、焦点坐标、及的取值范围；
(2)把代入曲线方程中,设出过点(-1,0)的直线方程,与此时的曲线方程联立,利用方程有唯一根求解即可；
(3)把代入曲线方程中,利用方程的解的情况,找到两个点即可.
【详解】(1)因为所以该曲线方程为：,因此该曲线是抛物线,所以该曲线的对称轴方程是、顶点坐标为、焦点坐标为、的取值范围是、的取值范围是；
(2)因为所以该曲线的方程为：.
当过点(-1,0)的直线斜率不存在时,此时直线与曲线没有交点,不符合题意；
当过点(-1,0)的直线斜率存在时,设为,因此直线方程可设为：,
两个方程联立得：消去x可得：.
当时,此时,此时符合经过点(-1,0)且与曲线只有一个公共点；
当时，只需,解得,此时方程为：.
综上所述：符合题意的直线方程为：.
(3)因为所以曲线的方程为：,即.
当时, ；
当时, 当时，,
因此符合题意这两个点可为.
【点睛】本题考查了抛物线的性质,考查了直线与抛物线的位置关系,考查了分类讨论思想.
【考点4】抛物线的对称性
一、单选题
1．（2021·上海市控江中学高三阶段练习）已知点的坐标为，点是抛物线上的点，则使得是等腰三角形的点的个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的腰长不明确，分①；②；③；三种情况进行讨论求解．
【详解】，则P为OA垂直平分线与抛物线的交点，下图中的、；
，则P为以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、；
，则P为以A为圆心，AO为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、．
故选：C.
二、解答题
2．（2022·上海·高三专题练习）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；
（2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.
【详解】（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）[方法一]：设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
[方法二]【最优解】：设．
当时，同解法1．
当时，直线的方程为，即．
由直线与相切得，化简得，
同理，由直线与相切得．
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．
所以直线与相切．
综上所述，若直线与相切，则直线与相切．
【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路
【真题模拟题专练】
一．选择题（共2小题）
1．（2022•浦东新区校级二模）已知点P（x0，y0）是曲线C1上的动点，若抛物线C2：y2＝4x上存在不同的两点A、B满足PA、PB的中点均在C2上，则A、B两点的纵坐标是以下方程的解（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设出A，B的坐标，用中点公式求出PA，PB的中点坐标后代入抛物线方程可得．
【解答】解：设A（，y1），B（，y2），
则PA的中点M（，），PB的中点N（，），
∴（）2＝4•，即y12﹣2y0y1+8x0﹣y02＝0，
同理得y22﹣2y0y2+8x0﹣y02＝0，
因此y1，y2是方程y2﹣2y0y+8x0﹣y02＝0的两根．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．
2．（2022•闵行区校级二模）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（ ）
A．若O为线段PQ中点，则PF＝1
B．若PF＝4，则OP＝2
C．存在直线l，使得PF⊥QF
D．△PFQ面积的最小值为2
【分析】由抛物线的定义可判断A，B的正误，对于C，设P（a2，2a），则Q（﹣1，﹣），求出，的坐标，再利用向量的数量积不为0可判断C的正误，利用基本不等式可判断D的正误．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1
对于A：若O为线段PQ中点，则xP＝1，∴|PF|＝xP+1＝2，故A错误，
对于B：若|PF|＝4，则xP＝＝4﹣1＝3，
∴|OP|＝＝＝＝，故B错误，
对于C：设P（a2，2a），则Q（﹣1，﹣），∴＝（a2﹣1，2a），＝（2，），
∴＝2a2﹣2+4＝2a2+2＞0，
∴FP与FQ不垂直，故C错误，
对于D：S△PFQ＝＝＝|a|+≥2，当且仅当|a|＝，即a＝±1时，等号成立，
∴△PFQ面积的最小值为2，故D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
二．填空题（共12小题）
3．（2022•闵行区校级二模）若抛物线y＝x2+ax+b与坐标轴分别交于三个不同的点A，B，C，则△ABC的外接圆恒过的定点坐标为 （0，1） ．
【分析】设抛物线y＝x2+ax+b交y轴于点B（0，b），交x轴于点A（x1，0），C（x2，0），圆心为P（），求出t﹣b＝，写出圆P的方程，可得出关于x，y的方程组，即可求解．
【解答】解：设抛物线y＝x2+ax+b交y轴于点B（0，b），交x轴于点A（x1，0），C（x2，0），
由题意可知，Δ＝a2﹣4b＞0，由韦达定理可得，x1+x2＝﹣a，x1x2＝b，
所以线段AC的中点为（﹣，0），
设圆心为P（），
由|PA|2＝|PB|2可得，＝，解得t＝，
因为，
所以t＝，则t﹣b＝，
所以圆P的方程为＝，整理可得（x2+y2﹣y）+ax+b（1﹣y）＝0，
方程组的解为，
故△ABC的外接圆恒过的定点坐标为 （0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于中档题．
4．（2022•浦东新区校级二模）已知抛物线Γ1与Γ2的焦点均为点F（2，1），准线方程分别x＝0与5x+12y＝0，设两抛物线交于A、B两点，则直线AB的方程为 y＝ ．
【分析】根据条件求出Γ1与Γ2的方程，再联立两方程，求出直线AB的方程即可．
【解答】解：根据抛物线Γ1与Γ2的焦点均为点F（2，1），准线方程分别x＝0与5x+12y＝0，
可得抛物线Γ1与Γ2的方程分别为|x|＝与，
∵两抛物线交于A、B两点，∴只需联立两方程即可求出直线AB的方程，
∴直线AB的方程为|x|＝，即y＝或y＝﹣，
经检验当y＝﹣时，不符合条件，
∴直线AB的方程为y＝，
故答案为：y＝．
【点评】本题考查了直线和抛物线的综合应用，两点间的距离公式和点到直线的距离公式，考查了方程思想，属中档题．
5．（2019•上海）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝ 3 ．
【分析】直接利用直线和抛物线的位置关系的应用求出点的坐标，进一步利用向量的运算求出结果．
【解答】解：过y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与y2＝4x交于A，B，A在B上方，
依题意：得到：A（1，2）B（1，﹣2），
设点M（x，y），
所以：M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），
则：（x，y）＝λ（1，2）+（λ﹣2）（1，﹣2）＝（2λ﹣2，4），
代入y2＝4x，
得到：λ＝3．
故答案为：3
【点评】本题考查的知识要点：直线和抛物线的位置关系的应用，向量的坐标运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
6．（2022•松江区二模）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM斜率的最大值为 ．
【分析】设出M点坐标，利用向量法求得P点坐标并代入抛物线的方程，求得直线OM斜率平方的表达式，结合二次函数的性质求得最大值．
【解答】解：设M（x0，y0），P（x，y），
依题意，
所以，
所以P（5x0﹣2p，5y0），将P点的坐标代入抛物线的方程得：
，整理得，
设直线OM的斜率为k，则，
根据二次函数的性质可知，当时，
k2取得最大值为，
所以k的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
7．（2022•徐汇区三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若Rt△ABC的“勾”|AB|＝3，“股”|CB|＝3，则抛物线的方程为 y2＝3x ．
【分析】画出抛物线的图形，利用已知条件转化求解p，即可得到抛物线的标准方程，得到答案．
【解答】解：由题意可知，抛物线的图形如图：，
可得，
所以∠CAB＝60°，△ABF是正三角形，并且F是AC的中点，所以|AB|＝3，则，
所以抛物线方程为：y2＝3x．
故答案为：y2＝3x．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
8．（2022•杨浦区模拟）已知抛物线y2＝4x，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为Q'，点P关于直线x＝1的对称点为P'，且满足P'Q'⊥PQ，则直线l的方程为 y＝±（x﹣1） ．
【分析】设P，Q的坐标，由题意可得P'，Q'的坐标，设直线l的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和，求出直线P'Q'的斜率，将两根之和代入，由题意可得k的方程，求出k的值．
【解答】解：由抛物线的方程y2＝4x可得焦点F（1，0），设直线l的方程为：y＝k（x﹣1），设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），
则由题意可得P'（2﹣x1，y1），Q'（x2，﹣y2），
所以kP'Q'＝，又因为P'Q'⊥PQ，可得＝﹣，
联立，整理可得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
Δ＞0，且x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣2）＝k•（﹣2）＝，
可得＝﹣，解得：k＝±1满足Δ＞0，
则直线l的方程：y＝±（x﹣1），
故答案为：y＝±（x﹣1）．
【点评】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
9．（2022•青浦区二模）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AB|＝10，则线段AB的中点M到直线x+1＝0的距离为 5 ．
【分析】根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得MN为直角梯形ABDC中位线，由抛物线的定义分析可得答案．
【解答】解：如图，抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线为x＝﹣1，即x+1＝0．
分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，
则有|AB|＝|AF|+|BF|＝|AC|+|BD|＝10．
过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，
则MN为直角梯形ABDC中位线，
则|MN|＝（|AC|+|BD|）＝5，即M到准线x＝﹣1的距离为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查抛物线的几何性质以及抛物线的定义，注意利用抛物线的定义进行转化分析，属中档题．
10．（2022•金山区二模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|•|BF|＝8，则p的值为 2 ．
【分析】设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可x1+x2＝3p，x1x2＝，由抛物线的定义可知，|AF|＝x1+，|BF|＝x2+，即可得到p．
【解答】解：抛物线y2＝2px的焦点F（，0），
准线方程为x＝﹣，设A（x1，y2），B（x2，y2）
∴直线AB的方程为y＝x﹣
代入y2＝2px可得x2﹣3px+＝0
∴x1+x2＝3p，x1x2＝，
由抛物线的定义可知，|AF|＝x1+，|BF|＝x2+，
∴|AF|•|BF|＝（x1+）（x2+）＝x1x2+（x1+x2）+＝2p2＝8，
解得p＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线的定义、性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题
11．（2021•上海）已知抛物线y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在抛物线上，焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直线AB的斜率为 ．
【分析】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，根据已知条件结合斜率的定义，求出直线AB的斜率即可．
【解答】解：如图所示，设抛物线的准线为l，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，AE⊥BD于点E，
由抛物线的定义，可得AC＝AF＝2，BD＝BF＝4，
∴，
∴直线AB的斜率．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线斜率的定义与计算，抛物线的定义等知识，属于基础题．
12．（2022•静安区模拟）已知点F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该抛物线的准线方程为 x＝﹣1 ．
【分析】先求得抛物线标准方程，再去求其准线方程即可解决．
【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，
由y2＝16p，可得，不妨令，
则，解之得p＝2，
则抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
13．（2022•奉贤区二模）抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝ 2 ．
【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．
【解答】解：因为抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，
所以＝1，
所以p＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
14．（2022•黄浦区校级模拟）设抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），F为Γ的焦点，过F的直线l交Γ于A，B两点．若|AB|＝4且OF⊥FA，则抛物线的方程为 y2＝4x ．
【分析】根据题意，OF⊥FA，可得AB⊥x轴，再根据|AB|＝4即可求出p，即可得解．
【解答】解：根据题意，抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），F为Γ的焦点，则；
因为OF⊥FA，所以AB⊥x轴，
则F为线段AB的中点，
令，则y＝±p，
所以|AB|＝2p＝4，解得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x．
故答案为：y2＝4x．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，注意抛物线的定义，属于基础题．
三．解答题（共6小题）
15．（2022•宝山区模拟）已知点F1，F2分别为双曲线Γ：﹣y2＝1的左、右焦点，直线l：y＝kx+1与Γ有两个不同的交点A，B．
（1）当F1∈l时，求F2到l的距离；
（2）若O为原点，直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D，证明；当△COD的面积最小时，直线CD平行于x轴；
（3）设P为x轴上一点，是否存在实数k（k＞0），使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）易求焦点坐标，可得F2到l的距离；
（2）求得两渐近线方程，联立方程可得S△CDO＝×1×|﹣|，可证结论；
（3）假设存在实数k（k＞0），使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，设P（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程可得x1+x2＝，x1x2＝，由AP＝BP，可得m＝，由PA⊥PB，得（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）＝0，求解即可．
【解答】解：（1）由双曲线Γ：﹣y2＝1的左焦点F1（﹣，0），右焦点F2（，0），
∵F1∈l时，∴0＝﹣k+1，∴k＝，
∴直线l：y＝x+1，F2到l的距离d＝＝；
（2）由双曲线Γ：﹣y2＝1得两渐近线的方程为y＝±x，
∵直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D，∴﹣＜k＜0，
由得交点C的横坐标为，
由得交点D的横坐标为，
∴S△CDO＝×1×|﹣|＝||≥2，当k＝0时取等号，
所以当△COD的面积最小时，直线CD平行于x轴；
（3）假设存在实数k（k＞0），使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
设P（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去y得（1﹣2k2）x2﹣4kx﹣4＝0，
∴Δ＝16k2﹣4（1﹣2k2）（﹣4）＞0且1﹣2k2≠0，解得﹣1＜k＜1且k≠±，
x1+x2＝，x1x2＝，
AB的中点M（，），
所以AB的垂直平分线方程为y﹣＝﹣（x﹣），令y＝0，则m＝，
•＝0，则（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）＝0，
∴（k2+1）x1x2+（k﹣m）（x1+x2）+1+m2＝0，
∴（k2+1）×+（k﹣m）•+1+m2＝0，
∴﹣4﹣4km+（1+m2）（1﹣2k2）＝0，
∴﹣4﹣4k×+（1+（）2（1﹣2k2）＝0，
∴4k4+k2﹣3＝0，解得k＝±，又k＞0，故k＝，点P（﹣3，0），
存在实数k＝，使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，此时P（﹣3，0）．
【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，属难题．
16．（2020•上海）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．
（1）若点M纵坐标为，求M与焦点的距离；
（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：yA•yB为常数；
（3）是否存在t，使得yA•yB＝1且yP•yQ为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）点M的横坐标xM＝（）2＝2，由y2＝x，得p＝，由此能求出M与焦点的距离．
（2）设M（），直线PM：y﹣1＝（x﹣1），当x＝﹣1时，，同理求出yB＝，由此能证明yA•yB为常数．
（3）解设M（），A（t，yA），直线MA：y﹣y0＝（x﹣y02），联立y2＝x，得+＝0，求出yP＝，同理得yQ＝，由此能求出存在t＝1，使得yA•yB＝1且yP•yQ为常数1．
【解答】解：（1）解：∵抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），
过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．
点M纵坐标为，
∴点M的横坐标xM＝（）2＝2，
∵y2＝x，∴p＝，
∴M与焦点的距离为MF＝＝2+＝．
（2）证明：设M（），直线PM：y﹣1＝（x﹣1），
当x＝﹣1时，，
直线QM：y+1＝（x﹣1），x＝﹣1时，yB＝，∴yAyB＝﹣1，
∴yA•yB为常数﹣1．
（3）解：设M（），A（t，yA），直线MA：y﹣y0＝（x﹣y02），
联立y2＝x，得+＝0，
∴y0+yp＝，即yP＝，
同理得yQ＝，
∵yA•yB＝1，
∴yPyQ＝，
要使yPyQ为常数，即t＝1，此时yPyQ为常数1，
∴存在t＝1，使得yA•yB＝1且yP•yQ为常数1．
【点评】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17．（2018•上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x＝t，曲线Γ：y2＝8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t＝3，|FQ|＝2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t＝8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；
方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；
（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；
（3）设P及E点坐标，根据直线kPF•kFQ＝﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+＝，求得E点坐标，则（）2＝8（+6），即可求得P点坐标．
【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），
则|BF|＝＝t+2，
∴|BF|＝t+2；
方法二：由题意可知：设B（t，2t），
由抛物线的性质可知：|BF|＝t+＝t+2，∴|BF|＝t+2；
（2）F（2，0），|FQ|＝2，t＝3，则|FA|＝1，
∴|AQ|＝，∴Q（3，），设OQ的中点D，
D（，），
kPF＝＝﹣，则直线PF方程：y＝﹣（x﹣2），
联立，整理得：3x2﹣20x+12＝0，
解得：x＝，x＝6（舍去），
∴△AQP的面积S＝××＝；
（3）存在，设P（，y），E（，m），则kPF＝＝，kFQ＝，
直线QF方程为y＝（x﹣2），∴yQ＝（8﹣2）＝，Q（8，），
根据+＝，则E（+6，），
∴（）2＝8（+6），解得：y2＝，
∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
18．（2018•上海）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射灯的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC⊥AB于C，AB＝3米，OC＝4.5米．
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）．
【分析】（1）建立坐标系，求出抛物线标准方程即可得出结论；
（2）根据相似计算SD，计算sin∠CSD得出答案．
【解答】解：（1）在图2中，以O为原点，以OC为y轴负半轴建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0），由题意可知B（，﹣），
∴＝﹣2p•（﹣），解得p＝．
∴抛物线的焦点到准线的距离为．
（2）在图3中，∵OC∥SD，
∴，
∴SD＝2OC＝9，
又DC＝AB＝，∴sin∠CSD＝＝．
∴圆锥的母线与轴的夹角为arcsin≈9.59°．
【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
19．（2019•上海）已知抛物线方程y2＝4x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：．
（1）当时，求d（P）；
（2）证明：存在常数a，使得2d（P）＝|PF|+a；
（3）P1，P2，P3为抛物线准线上三点，且|P1P2|＝|P2P3|，判断d（P1）+d（P3）与2d（P2）的关系．
【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得PF的斜率和方程，解得Q的坐标，由两点的距离公式可得所求值；
（2）求得P（﹣1，0），可得a＝2，设P（﹣1，yP），yP＞0，PF：x＝my+1，代入抛物线方程，求得Q的纵坐标，计算2d（P）﹣|PF|，化简整理即可得证；
（3）设P1（﹣1，y1），P2（﹣1，y2），P3（﹣1，y3），计算2[d（P1）+d（p3）]﹣4d（P2），结合条件，化简整理，配方和不等式的性质，即可得到大小关系．
【解答】解：（1）抛物线方程y2＝4x的焦点F（1，0），，
kPF＝＝，PF的方程为y＝（x﹣1），代入抛物线的方程，解得xQ＝，
抛物线的准线方程为x＝﹣1，可得|PF|＝＝，
|QF|＝+1＝，d（P）＝＝；
（2）证明：当P（﹣1，0）时，a＝2d（P）﹣|PF|＝2×2﹣2＝2，
设P（﹣1，yP），yP＞0，PF：x＝my+1，则myP＝﹣2，
联立x＝my+1和y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，yQ＝＝2m+2，
2d（P）﹣|PF|＝2﹣yP＝2•+
＝﹣2•+＝2，
则存在常数a，使得2d（P）＝|PF|+a；
另解：＝＝1+＝1+＝1+，
可得2d（P）＝|PF|+2．
（3）设P1（﹣1，y1），P2（﹣1，y2），P3（﹣1，y3），则
2[d（P1）+d（p3）]﹣4d（P2）＝|P1F|+|P3F|﹣2|P2F|＝+﹣2
＝+﹣2＝+﹣，
由（+）2﹣[（y1+y3）2+16]＝2﹣2y1y3﹣8，
（4+y12）（4+y32）﹣（y1y3+4）2＝4（y12+y32）﹣8y1y3＝4（y1﹣y3）2＞0，
则d（P1）+d（P3）＞2d（P2）．
【点评】本题考查抛物线的定义和方程及性质，考查新定义的理解和运用，考查两点的距离公式和联立直线方程和抛物线方程，以及作差法，考查化简运算能力，属于中档题．
20．（2022•虹口区二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于M（x1，y1），N（x2，y2）（x2＞x1）两点．
（1）若x1+x2＝2p，求|MF|+|NF|的值；
（2）若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；
（3）若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由．
【分析】（1）根据焦半径公式即可求出；
（2）设直线MN的方程，与抛物线联立即可利用M是线段AN的中点求出m，从而解出；
（3）设，即可求出直线PM与QN的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在定直线上．
【解答】解：（1）因为准线为，所以；
（2）设直线MN的方程，联立y2＝2px（p＞0）可得，y2﹣2mpy+p2＝0，
所以Δ＝4m2﹣4p2＞0，y1+y2＝2mp，，
而M是线段AN的中点，所以，
解得：，即，解得：，
所以直线MN的方程为，即；
（3）直线MN的方程，设，
则＝，
联立可得：，由，代入解得：
，
所以直线PM与QN的交点在定直线上．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
第15讲 抛物线
【考点梳理】
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
【解题方法和技巧】
1.求抛物线的标准方程的方法：
①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
（2）利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．
2.确定及应用抛物线性质的技巧：
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．
3.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用．
【考点剖析】
【考点1】抛物线的定义
一、单选题
1．（2021·上海·格致中学三模）已知抛物线、的焦点都为，的准线方程为，的准线方程为，与相交于M、N两点，则直线MN的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义可以判定M,N到直线的距离和到y轴的距离相等，结合图形可知，直线MN的倾斜角为60°且经过原点.
【详解】如图所示，根据抛物线的定义，可得M，N到直线的距离和到y轴的距离都等于到焦点的距离，故M,N到直线的距离和到y轴的距离相等，结合图形可知，直线MN是直线与y轴的角平分线上的点，由于直线是过原点且倾斜角为30°的直线，由图可知，直线MN的倾斜角为60°，且经过坐标原点，故直线MN的方程为,
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线的定义，关键是利用抛物线的定义得到M,N直线的距离和到y轴的距离相等.
二、填空题
2．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）若点是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则__________.
【答案】8
【分析】计算，设，根据向量运算得到，再利用抛物线定义得到答案.
【详解】是抛物线的焦点，则，设，
则，
故，
.
故答案为：8
3．（2022·上海·高三专题练习）若抛物线上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点的距离等于__________.
【答案】
【分析】根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得的值，代入抛物线方程求得值，即可得到所求点的坐标，从而求得其到原点的距离．
【详解】解：抛物线方程为，焦点为，准线为，
抛物线上一点到焦点的距离等于2，根据抛物线定义可知到准线的距离等于2，
即，解之得，代入抛物线方程求得，
点坐标为：，故其到顶点的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决，属于基础题．
4．（2020·上海·高三专题练习）已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则当时，的最小值是______．
【答案】
【分析】首先根据抛物线的定义转化，再根据数形结合分析的最小值.
【详解】抛物线的焦点是，且当时，点在抛物线外.
根据抛物线的定义可知
，
，
当三点共线时，等号成立，
的最小值是，
，
的最小值是.
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线内距离的最值问题，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是根据抛物线的定义转化.属于基础题.
三、解答题
5．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知动点P到定点的距离比P点到直线的距离小2，设动点P的轨迹为曲线C.过定点的直线与曲线C交于A､B两点.
(1)求曲线C的方程；
(2)若点E的坐标为，求证：；
(3)是否存在实数，使得以为直径的圆截直线：所得弦长为定值？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义求出曲线的方程．
（2）当直线与轴垂直时，根据抛物线性质得，当直线与轴不垂直时，依题意设直线的方程为，，，联立直线与抛物线，消元、列出韦达定理，设直线，的斜率分别为，，则，即可证明．
（3）假设存在满足条件的实数，的中点为，直线与为直径的圆交于，，的中点为，则，即可得到点的坐标，由此利用弦长公式能求出，从而当时，满足条件的实数，当时，满足条件的实数不存在．
(1)解：依题意动点到定点的距离等于动点到直线的距离，
由抛物线的定义可知，动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为；
(2)证明：当直线与轴垂直时，根据抛物线性质得，
当直线与轴不垂直时，依题意设直线的方程为，，
，，则，两点坐标满足方程组，消去整理得：，
，，
设直线，的斜率分别为，，
则
，
，
，，，
，
综上．
(3)解：假设存在满足条件的实数，的中点为，
直线与为直径的圆相交于点，，的中点为，
则，点坐标为，，
，
，
，
，
与的取值无关，，解得，
此时，，
当，即时，，（定值），
当时，满足条件的实数，
当时，满足条件的实数不存在．
【考点2】抛物线标准方程
一、单选题
1．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（ ）
A．若O为线段PQ中点，则PF＝1 B．若PF＝4，则OP＝2
C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为2
【答案】D
【分析】对于A：利用焦半径公式求出,直接判断；
对于B：由求出,直接求出，即可判断;
对于C：设,由O、P、Q三点共线求出，计算出,即可判断;
对于D：直接求出,利用基本不等式求出△PFQ面积的最小值.
【详解】抛物线的准线为,焦点F(1,0).
对于A：若O为PQ中点,所以xp=1,所以,故A错误；
对于B：若,则,所以.故B错误;
对于C：设,由O、P、Q三点共线，可得，所以,,所以,所以FP与FQ不垂直,故C错误;
对于D：,当且仅当,即时取等号，所以△PFQ面积的最小值为2.故D正确.
故选：D.
二、填空题
2．（2022·上海交大附中高三期中）圆的圆心在抛物线上，且圆与轴相切于点A，与轴相交于、两点，若（为坐标原点），则______．
【答案】
【分析】不妨设点在第一象限，设，则，根据求出，从而可求得圆的方程，求出的坐标即可得解.
【详解】解：不妨设点在第一象限，
设，则，
故，解得，
故圆心，
所以圆的半径等于，
所以圆的方程为，
当时，或，
所以.
故答案为：.
3．（2022·上海·高三专题练习）动点到点等于到直线的距离，则点的轨迹方程为_________
【答案】
【分析】由抛物线的定义可得，轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，写出抛物线方程．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点到点和到直线距离相等的动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，，
故抛物线方程为；
故答案为：．
4．（2022·上海·高三专题练习）已知抛物线型拱桥的顶点距水面a米时，量得水面宽为b米，a，b为常量，当水面下降1米后，水面的宽为______米
【答案】
【分析】作出平面直角坐标系和抛物线，利用点求出抛物线的标准方程，进而求出点、的坐标和水面的宽度.
【详解】根据题意建立平面直角坐标系（如图所示），
设抛物线的标准方程为，
由题意，得抛物线过点，
则，解得，
即抛物线的标准方程为，
令，得：，
即，即，，
所以水面的宽为.
故答案为：.
5．（2022·上海市控江中学高三开学考试）已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为_________米.
【答案】
【分析】根据实际问题建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程并通过条件求解出方程，再利用所求的方程计算水面下降米后水面的宽度.
【详解】据题意，建立平面直角坐标如下，设抛物线标准方程为：，则如图所示：
根据条件可知：，，将代入，解得：，
所以抛物线方程为：，
又因为，所以，所以，所以，所以，则此时水面宽为：米.
故答案为.
【点睛】本题考查抛物线方程的实际应用，难度一般.处理抛物线方程有关的实际问题，关键是能通过题意正确将坐标系建立起来并设出抛物线方程的正确形式.
三、解答题
6．（2022·上海市松江一中高三阶段练习）如图，已知点为抛物线的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在第一象限，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线交x轴于点Q，且Q在点F的右侧，记，的面积分别为，．
(1)求p的值及抛物线的准线方程；
(2)设A点纵坐标为，求关于t的函数关系式；
(3)求的最小值及此时点G的坐标．
【答案】(1)，准线方程
(2)
(3)的最小值为，点G的坐标为
【分析】（1）由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；
（2）设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，再用代换并化简即可；
（3）根据已求的函数关系式，结合基本不等式即可求得的最小值和点G的坐标.
（1）因为点为抛物线的焦点，
所以，即，准线方程.
（2）设，
设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：
，故：，
，
设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：
，，
令可得：，则.即，
由斜率公式可得：，
直线AC的方程为：，
令可得：，
故，
且，
由于，代入上式可得：，
由可得，则，
则，
令 ，得.
即关于t的函数关系式为.
（3）设，则，
当且仅当，即，，时等号成立，
即的最小值为，
此时，，则点G的坐标为.
【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．（2022·上海·复旦附中模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，A，B分别为椭圆的上、下顶点，到直线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点M为抛物线上一点，直线与椭圆的一个交点N在y轴左侧，满足，求p的最大值；
(3)直线与椭圆交于不同的两点C，D，直线AC，AD分别交x轴于P，Q两点．问：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，且．
【分析】（1）在中由面积公式得出关系，从而求得得椭圆方程；
（2）设，，由由，用表示点的坐标，把点坐标代入抛物线方程得的表达式，利用在椭圆上，可把化为关于的函数，利用换元法、基本不等式可得最大值；
（3）假设存在点使得，设，求得，然后设，，由直线方程求得坐标，代入上式，并利用在椭圆上可求得值，得结论成立．
(1)中由面积公式得，即，解得，
椭圆方程为；
(2)设，，由（1），
由，得，
所以，
是抛物线（）上的点，
所以，又，
所以，
，
令，则，
，当且仅当时等号成立，
所以．
(3)假设存在点使得，设，
因为，所以，即，
所以，所以，
直线与椭圆交于不同的两点C，D，易知关于对称，
设，（），
由（1）知，直线方程是，令得，
直线方程是，令得，
由，得，又在椭圆上，所以，
所以，，
所以存在点，使得成立．
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题，椭圆中的定点问题、最值问题．解题方法是设出椭圆上点的坐标，通过它求出另外点的坐标，由另外的点满足的性质得出所要结论，本题考查了学生的逻辑思维能力，运算求解能力，创立意识，属于难题．
8．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）如图，是抛物线：的焦点，过的直线交抛物线于，两点，点在第一象限，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．已知点在抛物线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点纵坐标为，试用表示点的横坐标；
(3)在（2）的条件下，求的最小值及此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)的最小值为，
【分析】（1）将点的坐标代入可求出，从而可得抛物线的方程，
（2）先求出直线的方程为，代入抛物线方程，化简利用根与系数的关系可求出点的坐标，再由重心在轴上结合重心坐标公式可求出点的坐标，从而可求出点的横坐标，
（3）求出直线的方程，可求出，从而，令，代入化简后利用基本不等式可求出其最小值和点的坐标
(1)因为点在抛物线：上，
所以，得，
所以抛物线的方程为，
(2)由点纵坐标为，得点横坐标为，设，重心，
因为直线过，所以
所以直线的方程为，即，
代入，得，
所以，得，所以，
因为，，重心在轴上，
所以，得，
所以，所以，
所以
即点的横坐标为
(3)由（2）得，，
所以，
所以直线的方程为，
令，得，即，
因为在点的右侧，所以，
所以
，
令，则，
，
当且仅当，即取等号，
所以当时，取得最小值为，
此时，则，所以
【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，第（3）问解题的关键是表示出后，利用换元法，令，将其转化为，然后利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
9．（2021·上海·高三专题练习）已知三点，，，曲线上任意一点满足.
（1）求曲线的方程；
（2）动点在曲线上，曲线在点处的切线为.问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，
【解析】（1）利用坐标写出 ，，，即可求出，，再根据，化简即可求得曲线的方程；
（2）先假设存在，根据题意写出的方程，对进行讨论，联立方程解出，即可求得与的面积之比的表达式，利用其为常数,即可求得结论.
【详解】解：（1），，
，，，
即，，
，
，
，
即，
化简得曲线C的方程：；
（2）假设存在点满足条件，
则，，
直线的方程是：，
的方程是，
动点在曲线上，
，
曲线C的方程：；
即，
则，
，
曲线C在Q处的切线l的方程是：，
与y轴交点为：，
，
，
，
①当时，，
,使得：，
，
时不符合题意；
②当时，
，
与一定相交，
联立：，
即，
解得：，
联立：，
即，
解得：，
，
又，
，
又，
，
对任意，
要使为常数，
则要满足：，
解得：，此时，
故存在，使与的面积之比是常数2.
【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.
【考点3】抛物线的范围
一、单选题
1．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，则存在横坐标的点、、有（ ）
A．0个 B．2个 C．有限个，但多于2个 D．无限多个
【答案】A
【分析】首先判断出为的重心，根据重心坐标公式可得，结合基本不等式可得出，结合抛物线的定义化简得出，同理得出，进而得出结果.
【详解】设，先证，
由知，为的重心，
又，，
，，
，，，
同理，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出点为三角形的重心，属于中档题.
二、填空题
2．（2018·上海宝山·高二期末）一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2=2y（0≤y≤20）．在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为
【答案】0＜r≤1
【详解】设小球圆心（0，y0）
抛物线上点（x，y）
点到圆心距离平方
r2=x2+（y﹣y0）2=2y+（y﹣y0）2=y2+2（1﹣y0）y+y02
若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底,
此二次函数对称轴在纵轴左边，
所以1﹣y0≥0
所以0＜y0≤1
所以0＜r≤1
故答案为0＜r≤1
点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能力．
三、解答题
3．（2021·上海·高二专题练习）在平面直角坐标系中，点到直线：的距离比到点的距离大2.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）请指出曲线的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由.
【答案】（1）；（2）对称性：曲线关于轴对称；顶点：；范围：曲线在直线右侧，且右上方和右下方无限延伸.理由见解析
【分析】（1）设，根据题意列出等量关系，化简整理，即可得出结果；
（2）根据由抛物线向右平移一个单位得到，结合抛物线的性质，即可得出结果.
【详解】（1）由题意可得：动点到直线的距离与到的距离相等，
设，则，
化简整理，可得，
所以点的轨迹的方程为；
（2）由（1）得的方程为；
即由抛物线向右平移一个单位得到；
所以曲线也关于轴对称，顶点为，范围为，.
【点睛】本题主要考查求轨迹方程，以及轨迹的性质，熟记轨迹方程的求法，以及抛物线的性质即可，属于常考题型.
4．（2019·上海市建平中学高二期末）已知曲线
(1)若求出该曲线的对称轴方程、顶点坐标、焦点坐标、及的取值范围；
(2)若求经过点(-1,0)且与曲线只有一个公共点的直线方程；
(3)若请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点,此两点满足条件:无论如何变化,这两点都不在曲线上.
【答案】(1) 该曲线的对称轴方程是、顶点坐标为、焦点坐标为、的取值范围是、的取值范围是；
(2) ；
(3).
【分析】(1)把代入曲线方程中,根据抛物线的性质写出抛物线的对称轴方程、顶点坐标、焦点坐标、及的取值范围；
(2)把代入曲线方程中,设出过点(-1,0)的直线方程,与此时的曲线方程联立,利用方程有唯一根求解即可；
(3)把代入曲线方程中,利用方程的解的情况,找到两个点即可.
【详解】(1)因为所以该曲线方程为：,因此该曲线是抛物线,所以该曲线的对称轴方程是、顶点坐标为、焦点坐标为、的取值范围是、的取值范围是；
(2)因为所以该曲线的方程为：.
当过点(-1,0)的直线斜率不存在时,此时直线与曲线没有交点,不符合题意；
当过点(-1,0)的直线斜率存在时,设为,因此直线方程可设为：,
两个方程联立得：消去x可得：.
当时,此时,此时符合经过点(-1,0)且与曲线只有一个公共点；
当时，只需,解得,此时方程为：.
综上所述：符合题意的直线方程为：.
(3)因为所以曲线的方程为：,即.
当时, ；
当时, 当时，,
因此符合题意这两个点可为.
【点睛】本题考查了抛物线的性质,考查了直线与抛物线的位置关系,考查了分类讨论思想.
【考点4】抛物线的对称性
一、单选题
1．（2021·上海市控江中学高三阶段练习）已知点的坐标为，点是抛物线上的点，则使得是等腰三角形的点的个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的腰长不明确，分①；②；③；三种情况进行讨论求解．
【详解】，则P为OA垂直平分线与抛物线的交点，下图中的、；
，则P为以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、；
，则P为以A为圆心，AO为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、．
故选：C.
二、解答题
2．（2022·上海·高三专题练习）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；
（2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.
【详解】（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）[方法一]：设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
[方法二]【最优解】：设．
当时，同解法1．
当时，直线的方程为，即．
由直线与相切得，化简得，
同理，由直线与相切得．
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．
所以直线与相切．
综上所述，若直线与相切，则直线与相切．
【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路
【真题模拟题专练】
一．选择题（共2小题）
1．（2022•浦东新区校级二模）已知点P（x0，y0）是曲线C1上的动点，若抛物线C2：y2＝4x上存在不同的两点A、B满足PA、PB的中点均在C2上，则A、B两点的纵坐标是以下方程的解（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设出A，B的坐标，用中点公式求出PA，PB的中点坐标后代入抛物线方程可得．
【解答】解：设A（，y1），B（，y2），
则PA的中点M（，），PB的中点N（，），
∴（）2＝4•，即y12﹣2y0y1+8x0﹣y02＝0，
同理得y22﹣2y0y2+8x0﹣y02＝0，
因此y1，y2是方程y2﹣2y0y+8x0﹣y02＝0的两根．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．
2．（2022•闵行区校级二模）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（ ）
A．若O为线段PQ中点，则PF＝1
B．若PF＝4，则OP＝2
C．存在直线l，使得PF⊥QF
D．△PFQ面积的最小值为2
【分析】由抛物线的定义可判断A，B的正误，对于C，设P（a2，2a），则Q（﹣1，﹣），求出，的坐标，再利用向量的数量积不为0可判断C的正误，利用基本不等式可判断D的正误．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1
对于A：若O为线段PQ中点，则xP＝1，∴|PF|＝xP+1＝2，故A错误，
对于B：若|PF|＝4，则xP＝＝4﹣1＝3，
∴|OP|＝＝＝＝，故B错误，
对于C：设P（a2，2a），则Q（﹣1，﹣），∴＝（a2﹣1，2a），＝（2，），
∴＝2a2﹣2+4＝2a2+2＞0，
∴FP与FQ不垂直，故C错误，
对于D：S△PFQ＝＝＝|a|+≥2，当且仅当|a|＝，即a＝±1时，等号成立，
∴△PFQ面积的最小值为2，故D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
二．填空题（共12小题）
3．（2022•闵行区校级二模）若抛物线y＝x2+ax+b与坐标轴分别交于三个不同的点A，B，C，则△ABC的外接圆恒过的定点坐标为 （0，1） ．
【分析】设抛物线y＝x2+ax+b交y轴于点B（0，b），交x轴于点A（x1，0），C（x2，0），圆心为P（），求出t﹣b＝，写出圆P的方程，可得出关于x，y的方程组，即可求解．
【解答】解：设抛物线y＝x2+ax+b交y轴于点B（0，b），交x轴于点A（x1，0），C（x2，0），
由题意可知，Δ＝a2﹣4b＞0，由韦达定理可得，x1+x2＝﹣a，x1x2＝b，
所以线段AC的中点为（﹣，0），
设圆心为P（），
由|PA|2＝|PB|2可得，＝，解得t＝，
因为，
所以t＝，则t﹣b＝，
所以圆P的方程为＝，整理可得（x2+y2﹣y）+ax+b（1﹣y）＝0，
方程组的解为，
故△ABC的外接圆恒过的定点坐标为 （0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于中档题．
4．（2022•浦东新区校级二模）已知抛物线Γ1与Γ2的焦点均为点F（2，1），准线方程分别x＝0与5x+12y＝0，设两抛物线交于A、B两点，则直线AB的方程为 y＝ ．
【分析】根据条件求出Γ1与Γ2的方程，再联立两方程，求出直线AB的方程即可．
【解答】解：根据抛物线Γ1与Γ2的焦点均为点F（2，1），准线方程分别x＝0与5x+12y＝0，
可得抛物线Γ1与Γ2的方程分别为|x|＝与，
∵两抛物线交于A、B两点，∴只需联立两方程即可求出直线AB的方程，
∴直线AB的方程为|x|＝，即y＝或y＝﹣，
经检验当y＝﹣时，不符合条件，
∴直线AB的方程为y＝，
故答案为：y＝．
【点评】本题考查了直线和抛物线的综合应用，两点间的距离公式和点到直线的距离公式，考查了方程思想，属中档题．
5．（2019•上海）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝ 3 ．
【分析】直接利用直线和抛物线的位置关系的应用求出点的坐标，进一步利用向量的运算求出结果．
【解答】解：过y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与y2＝4x交于A，B，A在B上方，
依题意：得到：A（1，2）B（1，﹣2），
设点M（x，y），
所以：M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），
则：（x，y）＝λ（1，2）+（λ﹣2）（1，﹣2）＝（2λ﹣2，4），
代入y2＝4x，
得到：λ＝3．
故答案为：3
【点评】本题考查的知识要点：直线和抛物线的位置关系的应用，向量的坐标运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
6．（2022•松江区二模）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM斜率的最大值为 ．
【分析】设出M点坐标，利用向量法求得P点坐标并代入抛物线的方程，求得直线OM斜率平方的表达式，结合二次函数的性质求得最大值．
【解答】解：设M（x0，y0），P（x，y），
依题意，
所以，
所以P（5x0﹣2p，5y0），将P点的坐标代入抛物线的方程得：
，整理得，
设直线OM的斜率为k，则，
根据二次函数的性质可知，当时，
k2取得最大值为，
所以k的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
7．（2022•徐汇区三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若Rt△ABC的“勾”|AB|＝3，“股”|CB|＝3，则抛物线的方程为 y2＝3x ．
【分析】画出抛物线的图形，利用已知条件转化求解p，即可得到抛物线的标准方程，得到答案．
【解答】解：由题意可知，抛物线的图形如图：，
可得，
所以∠CAB＝60°，△ABF是正三角形，并且F是AC的中点，所以|AB|＝3，则，
所以抛物线方程为：y2＝3x．
故答案为：y2＝3x．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
8．（2022•杨浦区模拟）已知抛物线y2＝4x，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为Q'，点P关于直线x＝1的对称点为P'，且满足P'Q'⊥PQ，则直线l的方程为 y＝±（x﹣1） ．
【分析】设P，Q的坐标，由题意可得P'，Q'的坐标，设直线l的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和，求出直线P'Q'的斜率，将两根之和代入，由题意可得k的方程，求出k的值．
【解答】解：由抛物线的方程y2＝4x可得焦点F（1，0），设直线l的方程为：y＝k（x﹣1），设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），
则由题意可得P'（2﹣x1，y1），Q'（x2，﹣y2），
所以kP'Q'＝，又因为P'Q'⊥PQ，可得＝﹣，
联立，整理可得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
Δ＞0，且x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣2）＝k•（﹣2）＝，
可得＝﹣，解得：k＝±1满足Δ＞0，
则直线l的方程：y＝±（x﹣1），
故答案为：y＝±（x﹣1）．
【点评】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
9．（2022•青浦区二模）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AB|＝10，则线段AB的中点M到直线x+1＝0的距离为 5 ．
【分析】根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得MN为直角梯形ABDC中位线，由抛物线的定义分析可得答案．
【解答】解：如图，抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线为x＝﹣1，即x+1＝0．
分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，
则有|AB|＝|AF|+|BF|＝|AC|+|BD|＝10．
过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，
则MN为直角梯形ABDC中位线，
则|MN|＝（|AC|+|BD|）＝5，即M到准线x＝﹣1的距离为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查抛物线的几何性质以及抛物线的定义，注意利用抛物线的定义进行转化分析，属中档题．
10．（2022•金山区二模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|•|BF|＝8，则p的值为 2 ．
【分析】设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可x1+x2＝3p，x1x2＝，由抛物线的定义可知，|AF|＝x1+，|BF|＝x2+，即可得到p．
【解答】解：抛物线y2＝2px的焦点F（，0），
准线方程为x＝﹣，设A（x1，y2），B（x2，y2）
∴直线AB的方程为y＝x﹣
代入y2＝2px可得x2﹣3px+＝0
∴x1+x2＝3p，x1x2＝，
由抛物线的定义可知，|AF|＝x1+，|BF|＝x2+，
∴|AF|•|BF|＝（x1+）（x2+）＝x1x2+（x1+x2）+＝2p2＝8，
解得p＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线的定义、性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题
11．（2021•上海）已知抛物线y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在抛物线上，焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直线AB的斜率为 ．
【分析】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，根据已知条件结合斜率的定义，求出直线AB的斜率即可．
【解答】解：如图所示，设抛物线的准线为l，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，AE⊥BD于点E，
由抛物线的定义，可得AC＝AF＝2，BD＝BF＝4，
∴，
∴直线AB的斜率．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线斜率的定义与计算，抛物线的定义等知识，属于基础题．
12．（2022•静安区模拟）已知点F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该抛物线的准线方程为 x＝﹣1 ．
【分析】先求得抛物线标准方程，再去求其准线方程即可解决．
【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，
由y2＝16p，可得，不妨令，
则，解之得p＝2，
则抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
13．（2022•奉贤区二模）抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝ 2 ．
【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．
【解答】解：因为抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，
所以＝1，
所以p＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
14．（2022•黄浦区校级模拟）设抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），F为Γ的焦点，过F的直线l交Γ于A，B两点．若|AB|＝4且OF⊥FA，则抛物线的方程为 y2＝4x ．
【分析】根据题意，OF⊥FA，可得AB⊥x轴，再根据|AB|＝4即可求出p，即可得解．
【解答】解：根据题意，抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），F为Γ的焦点，则；
因为OF⊥FA，所以AB⊥x轴，
则F为线段AB的中点，
令，则y＝±p，
所以|AB|＝2p＝4，解得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x．
故答案为：y2＝4x．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，注意抛物线的定义，属于基础题．
三．解答题（共6小题）
15．（2022•宝山区模拟）已知点F1，F2分别为双曲线Γ：﹣y2＝1的左、右焦点，直线l：y＝kx+1与Γ有两个不同的交点A，B．
（1）当F1∈l时，求F2到l的距离；
（2）若O为原点，直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D，证明；当△COD的面积最小时，直线CD平行于x轴；
（3）设P为x轴上一点，是否存在实数k（k＞0），使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）易求焦点坐标，可得F2到l的距离；
（2）求得两渐近线方程，联立方程可得S△CDO＝×1×|﹣|，可证结论；
（3）假设存在实数k（k＞0），使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，设P（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程可得x1+x2＝，x1x2＝，由AP＝BP，可得m＝，由PA⊥PB，得（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）＝0，求解即可．
【解答】解：（1）由双曲线Γ：﹣y2＝1的左焦点F1（﹣，0），右焦点F2（，0），
∵F1∈l时，∴0＝﹣k+1，∴k＝，
∴直线l：y＝x+1，F2到l的距离d＝＝；
（2）由双曲线Γ：﹣y2＝1得两渐近线的方程为y＝±x，
∵直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D，∴﹣＜k＜0，
由得交点C的横坐标为，
由得交点D的横坐标为，
∴S△CDO＝×1×|﹣|＝||≥2，当k＝0时取等号，
所以当△COD的面积最小时，直线CD平行于x轴；
（3）假设存在实数k（k＞0），使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
设P（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去y得（1﹣2k2）x2﹣4kx﹣4＝0，
∴Δ＝16k2﹣4（1﹣2k2）（﹣4）＞0且1﹣2k2≠0，解得﹣1＜k＜1且k≠±，
x1+x2＝，x1x2＝，
AB的中点M（，），
所以AB的垂直平分线方程为y﹣＝﹣（x﹣），令y＝0，则m＝，
•＝0，则（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）＝0，
∴（k2+1）x1x2+（k﹣m）（x1+x2）+1+m2＝0，
∴（k2+1）×+（k﹣m）•+1+m2＝0，
∴﹣4﹣4km+（1+m2）（1﹣2k2）＝0，
∴﹣4﹣4k×+（1+（）2（1﹣2k2）＝0，
∴4k4+k2﹣3＝0，解得k＝±，又k＞0，故k＝，点P（﹣3，0），
存在实数k＝，使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，此时P（﹣3，0）．
【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，属难题．
16．（2020•上海）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．
（1）若点M纵坐标为，求M与焦点的距离；
（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：yA•yB为常数；
（3）是否存在t，使得yA•yB＝1且yP•yQ为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）点M的横坐标xM＝（）2＝2，由y2＝x，得p＝，由此能求出M与焦点的距离．
（2）设M（），直线PM：y﹣1＝（x﹣1），当x＝﹣1时，，同理求出yB＝，由此能证明yA•yB为常数．
（3）解设M（），A（t，yA），直线MA：y﹣y0＝（x﹣y02），联立y2＝x，得+＝0，求出yP＝，同理得yQ＝，由此能求出存在t＝1，使得yA•yB＝1且yP•yQ为常数1．
【解答】解：（1）解：∵抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），
过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．
点M纵坐标为，
∴点M的横坐标xM＝（）2＝2，
∵y2＝x，∴p＝，
∴M与焦点的距离为MF＝＝2+＝．
（2）证明：设M（），直线PM：y﹣1＝（x﹣1），
当x＝﹣1时，，
直线QM：y+1＝（x﹣1），x＝﹣1时，yB＝，∴yAyB＝﹣1，
∴yA•yB为常数﹣1．
（3）解：设M（），A（t，yA），直线MA：y﹣y0＝（x﹣y02），
联立y2＝x，得+＝0，
∴y0+yp＝，即yP＝，
同理得yQ＝，
∵yA•yB＝1，
∴yPyQ＝，
要使yPyQ为常数，即t＝1，此时yPyQ为常数1，
∴存在t＝1，使得yA•yB＝1且yP•yQ为常数1．
【点评】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17．（2018•上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x＝t，曲线Γ：y2＝8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t＝3，|FQ|＝2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t＝8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；
方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；
（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；
（3）设P及E点坐标，根据直线kPF•kFQ＝﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+＝，求得E点坐标，则（）2＝8（+6），即可求得P点坐标．
【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），
则|BF|＝＝t+2，
∴|BF|＝t+2；
方法二：由题意可知：设B（t，2t），
由抛物线的性质可知：|BF|＝t+＝t+2，∴|BF|＝t+2；
（2）F（2，0），|FQ|＝2，t＝3，则|FA|＝1，
∴|AQ|＝，∴Q（3，），设OQ的中点D，
D（，），
kPF＝＝﹣，则直线PF方程：y＝﹣（x﹣2），
联立，整理得：3x2﹣20x+12＝0，
解得：x＝，x＝6（舍去），
∴△AQP的面积S＝××＝；
（3）存在，设P（，y），E（，m），则kPF＝＝，kFQ＝，
直线QF方程为y＝（x﹣2），∴yQ＝（8﹣2）＝，Q（8，），
根据+＝，则E（+6，），
∴（）2＝8（+6），解得：y2＝，
∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
18．（2018•上海）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射灯的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC⊥AB于C，AB＝3米，OC＝4.5米．
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）．
【分析】（1）建立坐标系，求出抛物线标准方程即可得出结论；
（2）根据相似计算SD，计算sin∠CSD得出答案．
【解答】解：（1）在图2中，以O为原点，以OC为y轴负半轴建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0），由题意可知B（，﹣），
∴＝﹣2p•（﹣），解得p＝．
∴抛物线的焦点到准线的距离为．
（2）在图3中，∵OC∥SD，
∴，
∴SD＝2OC＝9，
又DC＝AB＝，∴sin∠CSD＝＝．
∴圆锥的母线与轴的夹角为arcsin≈9.59°．
【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
19．（2019•上海）已知抛物线方程y2＝4x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：．
（1）当时，求d（P）；
（2）证明：存在常数a，使得2d（P）＝|PF|+a；
（3）P1，P2，P3为抛物线准线上三点，且|P1P2|＝|P2P3|，判断d（P1）+d（P3）与2d（P2）的关系．
【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得PF的斜率和方程，解得Q的坐标，由两点的距离公式可得所求值；
（2）求得P（﹣1，0），可得a＝2，设P（﹣1，yP），yP＞0，PF：x＝my+1，代入抛物线方程，求得Q的纵坐标，计算2d（P）﹣|PF|，化简整理即可得证；
（3）设P1（﹣1，y1），P2（﹣1，y2），P3（﹣1，y3），计算2[d（P1）+d（p3）]﹣4d（P2），结合条件，化简整理，配方和不等式的性质，即可得到大小关系．
【解答】解：（1）抛物线方程y2＝4x的焦点F（1，0），，
kPF＝＝，PF的方程为y＝（x﹣1），代入抛物线的方程，解得xQ＝，
抛物线的准线方程为x＝﹣1，可得|PF|＝＝，
|QF|＝+1＝，d（P）＝＝；
（2）证明：当P（﹣1，0）时，a＝2d（P）﹣|PF|＝2×2﹣2＝2，
设P（﹣1，yP），yP＞0，PF：x＝my+1，则myP＝﹣2，
联立x＝my+1和y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，yQ＝＝2m+2，
2d（P）﹣|PF|＝2﹣yP＝2•+
＝﹣2•+＝2，
则存在常数a，使得2d（P）＝|PF|+a；
另解：＝＝1+＝1+＝1+，
可得2d（P）＝|PF|+2．
（3）设P1（﹣1，y1），P2（﹣1，y2），P3（﹣1，y3），则
2[d（P1）+d（p3）]﹣4d（P2）＝|P1F|+|P3F|﹣2|P2F|＝+﹣2
＝+﹣2＝+﹣，
由（+）2﹣[（y1+y3）2+16]＝2﹣2y1y3﹣8，
（4+y12）（4+y32）﹣（y1y3+4）2＝4（y12+y32）﹣8y1y3＝4（y1﹣y3）2＞0，
则d（P1）+d（P3）＞2d（P2）．
【点评】本题考查抛物线的定义和方程及性质，考查新定义的理解和运用，考查两点的距离公式和联立直线方程和抛物线方程，以及作差法，考查化简运算能力，属于中档题．
20．（2022•虹口区二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于M（x1，y1），N（x2，y2）（x2＞x1）两点．
（1）若x1+x2＝2p，求|MF|+|NF|的值；
（2）若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；
（3）若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由．
【分析】（1）根据焦半径公式即可求出；
（2）设直线MN的方程，与抛物线联立即可利用M是线段AN的中点求出m，从而解出；
（3）设，即可求出直线PM与QN的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在定直线上．
【解答】解：（1）因为准线为，所以；
（2）设直线MN的方程，联立y2＝2px（p＞0）可得，y2﹣2mpy+p2＝0，
所以Δ＝4m2﹣4p2＞0，y1+y2＝2mp，，
而M是线段AN的中点，所以，
解得：，即，解得：，
所以直线MN的方程为，即；
（3）直线MN的方程，设，
则＝，
联立可得：，由，代入解得：
，
所以直线PM与QN的交点在定直线上．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
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