第12讲 直线和圆的方程-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

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【考点梳理】
一、直线与方程
1.直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).
2.直线的斜率
(1)定义：直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.
(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2).若直线的倾斜角为θ(θ≠eq \f(π,2))，则k＝tan__θ.
3.直线方程的五种形式
两条直线的位置关系
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一对应.
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解.
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
圆的方程
1.圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.
四、直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
【解题方法和技巧】
1.求倾斜角的取值范围的一般步骤
(1)求出斜率k＝tan α的取值范围．
(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2.已知两直线的一般方程
两直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系数A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关系：
A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2；
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0⇔l1∥l2.
3.判断直线与圆的位置关系常见的方法：
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程随后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
4.求圆的弦长的常用方法
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则()2＝r2－d2.
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：
设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝.
5.(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
(2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
6.在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错．
【考点剖析】
【考点1】直线的倾斜角与斜率
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）“”是“直线与平行”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】首先根基两直线平行求出的值，再根据小范围推大范围选出答案.
【详解】因为直线与平行，
所以 且两直线的斜率相等即解得；
而当时直线为，同时为，两直线重合不满足题意；当时，与平行，满足题意；
故，
根据小范围推大范围可得：是的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
(3)两直线平行时要注意验证，排除掉两直线重合的情况.
2．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：
①；
②当时，有最小值，无最大值；
③；
④当且时，的取值范围是.
正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由与的位置关系有，数形结合法判断位置，结合的几何意义判断、的范围，应用点线距离公式有判断③.
【详解】将代入有，
而与在的两侧，则，①错误；
由上知：且，则在直线上方与y轴右侧部分，
所以，故无最值，②错误；
由上图知：在直线左上方，则，③正确；
由过且且，即在直线上方与y轴右侧部分，
而表示与连线的斜率，由图知：，④正确.
故选：B
二、填空题
3．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）直线与直线垂直，则______．
【答案】
【分析】根据两直线垂直得，即可求出答案.
【详解】由直线与直线垂直得，.
故答案为：.
4．（2022·上海·高三专题练习）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________
【答案】
【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.
【详解】由可得，
所以圆心为，
由可得，所以直线的斜率为，
所以与直线垂直的直线的斜率为，
所以所求直线的方程为：，即，
故答案为：.
5．（2022·上海·高三专题练习）求直线与直线的夹角为________.
【答案】
【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为，
直线的斜率为，倾斜角为，
故直线与直线的夹角为，
故答案为：．
6．（2022·上海·高三专题练习）已知双曲线的左右焦点分别为、，直线与的左、右支分别交于点、（、均在轴上方）．若直线、的斜率均为，且四边形的面积为，则=___________．
【答案】
【解析】斜率相等，两条线平行，然后用余弦定理求出和，根据四边形
的面积为建立等式解出即可.
【详解】按题意作出图如下：
由双曲线方程可得：，，因为直线、的斜率均为，
所以直线∥，在三角形中，设，则，
设的倾斜角为，则由余弦定理得，
解得，同理可得：，所以四边形的面积
，
解得或者（舍去），故.
故答案为：
【点睛】两直线平行转化为：斜率相等或者向量平行；
两直线垂直转化为：斜率之积为或者向量数量积为0；
三、解答题
7．（2022·上海·高三专题练习）已知函数.
（1）设是图象上的两点，直线斜率存在，求证：；
（2）求函数在区间上的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）当时，；当时，.
【分析】（1）由解析式判断的单调性，进而判断k的符号，即可证结论.
（2）由题设整理，令有，根据二次函数的性质可求区间最大值.
【详解】（1）∵单调递增，单调递减，
∴在定义域上是单调增函数，而，
∴恒成立，结论得证.
（2）由题意，有且，
令，则，开口向上且对称轴为，
∴当，即时，，即；
当，即时，，即；
【考点2】直线的方程
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）若点和都在直线上，又点和点，则
A．点和都不在直线上B．点和都在直线上
C．点在直线上且不在直线上D．点不在直线上且在直线上
【答案】B
【详解】由题意得：，
易得点满足
由方程组得，两式相加得，即点 在直线上，
故选B.
2．（2022·上海·高三专题练习）如下图，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线与轴交点为求解.
【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，
所以斜率，
所以直线与轴的交点为，
所以直线的点斜式方程可得：，
即．
故选：D
3．（2022·上海市七宝中学高三期中）在平面直角坐标系中，函数的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横坐标之和为0，则这条直线必过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画出函数图像，由图可知，直线，当时，由，解得其中一根，
当时，联立直线和函数方程，由韦达定理及三根之和为0，即可求解.
【详解】解：当，
当
所以，画出图像：
设直线方程为：，当时，直线l与函数的图像的交点个数不可能是3个,
故，依题意可知，关于x的方程有三个不等实根，
当时，由，可解得，不妨令，
当时，由可得，
，
则关于x的方程（*）有两个不等负实根，
则由韦达定理可得，，
依题意可知，
则，
直线方程为：，故直线恒过定点，
故选：A.
4．（2022·上海·高三专题练习）设是公比为，首项为的等比数列，是其前项和，则点（ ）
A．一定在直线上B．一定在直线上
C．一定在直线上D．一定在直线上
【答案】D
【分析】由于，即可得出.
【详解】∵，∴，
∴点一定在直线上.
故选：D.
【点睛】本题考查了等比数列的前项和公式、直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
二、填空题
5．（2022·上海奉贤·二模）构造一个二元二次方程组，使得它的解恰好为，，要求与的每个方程均要出现，两个未知数．答：________.
【答案】
【分析】不妨令为过、两点的直线，为以、两点为直径的圆，即可满足题意.
【详解】过、两点的直线为，整理得
、两点间距离为
、两点的中点坐标为
则以、两点为直径的圆为
则可令为，为
故答案为：
6．（2022·上海·高三专题练习）在△中，，，，为角平分线上一点，且在△内部，则到三边距离倒数之和的最小值为________
【答案】
【分析】先根据题意建立平面直角坐标系，求出所在直线的方程为和角
平分线的方程为，求出交点的坐标，令，依题意知，根据点到直线的距离表示出到三边的距离的倒数和，构造函数，，利用导数求出函数的最小值．
【详解】
由，，可知△为直角三角形，以为原点，以直角边为轴，直角边为轴建立平面直角坐标系，易知，，角平分线的方程为，由截距式知所在直线的方程为，即，
解得，令依题可知，
由点到直线的距离公式知到的距离为，
则到三边距离倒数之和为

令，，
则，
令，即有（该极值点在区间上），
当 时，，则递减；
当时，，则递增，

故答案为
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、导数和函数的最值关系，培养了学生的计算能力、转化能力，属于中档题．
7．（2022·上海·高三专题练习）已知直线过点，直线的一个方向向量是，则直线的点方向式方程是___________.
【答案】
【分析】利用直线的点方向式方程可得出结果.
【详解】因为直线过点，它的一个方向向量为，
所以，直线的点方向式方程为.
故答案为：.
8．（2022·上海·复旦附中模拟预测）经过点且法向量为的直线l的一般式方程是______．
【答案】
【分析】由法向量的定义求出直线方程法向式再化为一般式．
【详解】设是直线上任一点，则由得直线方程为，即．
故答案为：．
【考点3】两直线的位置关系
一、单选题
1．（2021·上海市七宝中学模拟预测）“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用两直线垂直可求得的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若直线与直线垂直，则，
即，解得或，
因为，所以，“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.
故选：A.
二、填空题
2．（2022·上海徐汇·二模）已知，若直线：与直线：平行，则______________．
【答案】3
【分析】根据两条直线平行的充要条件列方程组求解即可得答案.
【详解】解：因为直线：与直线：平行，
所以，解得，
故答案为：3.
3．（2022·上海市行知中学高二期中）若直线与互相垂直，则______.
【答案】
【分析】根据两个直线垂直的公式代入计算即可.
【详解】因为直线与互相垂直，
所以，解得，
故答案为：.
4．（2022·上海宝山·二模）已知直线与直线互相平行且距离为.等差数列的公差为，且，令，则的值为__．
【答案】52
【分析】根据平行线的距离求出d和m的值，利用等差数列的定义和性质求出通项公式，进而求和即可.
【详解】由题意知，，
因为两直线平行，所以，解得，
由两平行直线间距离公式得，
由，解得或.
又，所以，即，
解得，所以.
所以
．
故答案为：52.
5．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）若直线与直线平行，则与之间的距离为______．
【答案】
【分析】利用直线平行可求得，代入距离公式即可得出结果.
【详解】根据两直线平行，可得，解得，
所以两直线的方程为：，
根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离，
故答案为：.
【考点4】直线与圆的位置关系
一、单选题
1．（2022·上海·模拟预测）设集合①存在直线l，使得集合中不存在点在l上，而存在点在l两侧；②存在直线l，使得集合中存在无数点在l上：（ ）
A．①成立②成立B．①成立②不成立
C．①不成立②成立D．①不成立②不成立
【答案】B
【分析】根据圆与圆的位置关系及直线与圆的位置关系一一判断即可；
【详解】解：若①成立，则相邻两圆外离，
不妨设相邻两圆方程为，圆心为，半径，
，圆心为，半径，
则
当时，
即成立，所以结论①成立；
对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离，
当时，
所以直线只能与有限个圆相交，所以结论②不成立；
故选：B
2．（2022·上海·高三专题练习）直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
试题分析：由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对成性当时, 的面积为.所以不要性不成立.故选A.
考点：1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.
二、填空题
3．（2022·上海·模拟预测）设直线系，对于下列四个命题：
①M中所有直线均经过一个定点；
②存在定点P不在M中的任一条直线上；
③对于任意整数，存在正n边形，使其所有边均在M中的直线上；
④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号）
【答案】②③
【分析】令，消去，即可得到直线系表示圆的切线的集合，即可判断①②③，再利用特殊值判断④；
【详解】解：由直线系，
可令，消去可得，
故直线系表示圆的切线的集合，故①不正确；
因为对任意，存在定点不在直线系中的任意一条上，故②正确；
由于圆的外切正边形，所有的边都在直线系中，故③正确；
中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，故它们的面积不一定相等，如图中等边三角形和面积不相等，故④不正确．
综上，正确的命题是②③．
故答案为：②③．
4．（2022·上海·高三开学考试）已知点是直线上的点，点是圆上的点，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】由题意可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可
【详解】圆的圆心为，半径为1，
则圆心到直线的距离为
，
所以的最小值为，
故答案为：
5．（2022·上海·高三专题练习）若直线与曲线交于两点、，则的值为________.
【答案】
【分析】直接利用圆与直线的位置关系,建立一元二次方程根与系数的关系,进一步求出结果.
【详解】解：直线与曲线交于两点、,
则：
所以：,
则,,
则

故答案为：
【点睛】本题考查的知识要点：直线与曲线的位置关系的应用,一元二次方程根与系数的关系的应用.
6．（2022·上海·高三专题练习）过原点且与圆相切的直线方程为_______.
【答案】
【分析】切线的斜率显然存在,设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,列方程可解得答案.
【详解】由得,
所以圆心为,半径为,
因为圆心到轴的距离为2,所以所求切线的斜率一定存在,
所以设所求切线方程为,即,
依题意得,解得,
所以所求切线方程为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了求圆的切线方程,属于基础题.
7．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为，．若，则实数的值等于____________．
【答案】4．
【分析】取中点，设，则利用斜率公式转化条件得，再结合圆的切线性质得，即得，最后根据三点共线求结果．
【详解】由得，圆心为，设，
取中点，由题意得，
因为
所以，则
因此，从而三点关系，即得 .
故答案为：4.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用斜率关系转化为三点共线问题求解．
8．（2022·上海·高三专题练习）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【答案】
【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【详解】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.
9．（2021·上海·高三专题练习）过直线上任意点向圆作两条切线，切点分别为，线段AB的中点为，则点到直线的距离的取值范围为______．
【答案】
【分析】设P（t，2﹣t），可得过O、A、P、B的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q的坐标，由点Q到直线的距离公式和不等式的性质可得．
【详解】∵点为直线上的任意一点，∴可设，
则过的圆的方程为，
化简可得，
与已知圆的方程相减可得的方程为，
由直线的方程为，
联立两直线方程可解得，，
故线段的中点，
∴点到直线的距离，
∵，∴，
∴，∴，
∴，即
故答案为
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的相交弦和点到直线的距离公式，以及不等式求函数的值域，属中档题．
10．（2022·上海交大附中高三期中）圆的圆心在抛物线上，且圆与轴相切于点A，与轴相交于、两点，若（为坐标原点），则______．
【答案】
【分析】不妨设点在第一象限，设，则，根据求出，从而可求得圆的方程，求出的坐标即可得解.
【详解】解：不妨设点在第一象限，
设，则，
故，解得，
故圆心，
所以圆的半径等于，
所以圆的方程为，
当时，或，
所以.
故答案为：.
11．（2022·上海·高三专题练习）已知圆，圆，为上的动点，､为上的动点，满足，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先由勾股定理得出的中点的轨迹，再结合向量的运算得出，最后由得出的取值范围.
【详解】设的中点，，即的中点的轨迹是，
所以，又 ，所以
故答案为：
12．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知曲线，直线，若对于点，存在上的点和上的点，使得，则取值范围是_________．
【答案】
【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过，说明是的中点，结合的范围，求出的范围即可．
【详解】
解：曲线，是以原点为圆心，3为半径的半圆（圆的下半部分），
并且，，对于点，存在上的点和上的使得，
说明是的中点，的纵坐标，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．
三、解答题
13．（2022·上海·模拟预测）如图，由半圆和部分抛物线合成的曲线称为“羽毛球开线”，曲线与轴有两个焦点，且经过点
(1)求的值；
(2)设为曲线上的动点，求的最小值；
(3)过且斜率为的直线与“羽毛球形线”相交于点三点，问是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，且，详见解析
【分析】（1）将代入求出，再由与轴交点坐标，代入圆的方程，即可求出；
（2）先设，得到，分别讨论，和两种情况，由抛物线与圆的方程，即可求出结果；
（3）先由题意得到的方程，与抛物线联立，求出；与圆联立，求出，根据得到，化简得到关于的方程，求解，即可得出结果.
【详解】（1）由题意，将代入，得到；所以抛物线；
又与轴交于，所以，代入圆的方程，可得；
所以，；
（2）设，因为，则，
当时，，所以，
所以时，；
当时，，，
所以时，；
而，所以的最小值为；
（3）由题意，可得：的方程为，
由，整理得：，
解得或，即；
由，整理得：
解得：或，则，
由，可得，
即，整理得，解得（由题意，负值舍去）
因此，存在实数，使得.
【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记直线与圆位置关系，以及直线与抛物线物位置关系即可，属于常考题型.
14．（2022·上海·高三专题练习）某景区欲建造同一水平面上的两条圆形景观步道、（宽度忽略不计），已知，（单位：米），要求圆与、分别相切于点、，与、分别相切于点、，且.
（1）若，求圆、圆的半径（结果精确到米）；
（2）若景观步道、的造价分别为每米千元、千元，如何设计圆、圆的大小，使总造价最低？最低总造价为多少（结果精确到千元）？
【答案】（1）圆、圆的半径分别为米、米；
（2）的半径与圆的半径分别为米与米时，总造价最低，最低总造价为千元.
【分析】（1）直接利用锐角三角函数的定义可计算出两圆的半径；
（2）设，可得，其中，然后得出总造价（千元）关于的函数表达式，并利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立求出对应的的值，即可计算出两圆的半径长.
【详解】（1）依题意，圆的半径（米），
，
圆的半径（米） ，
答：圆、圆的半径分别为米、米；
（2）设，则，其中，
故景观步道的总造价为.
（当且仅当时取等号），
当时，，
答：设计圆的半径与圆的半径分别为米与米时，总造价最低，最低总造价为（千元）.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是建立函数模型的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
【考点5】圆与圆的位置关系
一、单选题
1．（2020·上海·高三专题练习）已知，且，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】借助圆与圆关系确定选择.
【详解】,表示圆心为，半径为的圆内部的点，范围记为P
表示圆心为，半径为的圆内部的点，
因为，所以两圆外切，P在A中所表示的点的范围外，所以A不成立；
表示圆心为，半径为的圆外部的点，
因为，所以两圆外切，P在B中所表示的点的范围内，所以B成立；
表示圆心为，半径为的圆内部的点，
因为，所以两圆相交，P中有些点在C中所表示的点的范围外，所以C不恒成立；
表示圆心为，半径为的圆外部的点，
因为，所以两圆相交，P中有些点在D中所表示的点的范围外，所以D不恒成立；
故选：B
【点睛】本题考查两圆位置关系，考查综合分析判断能力，属中档题.
2．（2022·上海·高三专题练习）若圆和圆没有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解．
【详解】化圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k，
则k＞﹣25，圆心坐标为（3，4），半径为，
圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．
要使圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，
则|C1C2|或|C1C2|，
即5或5，
解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11．
∴实数k的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）．
故选：D．
【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是基础题．
3．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知圆：（为参数），与圆关于直线对称的圆的普通方程是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得圆的普通方程为，与圆对称的圆的圆心和圆的圆心关于直线对称，半径和圆相同，求解计算即可.
【详解】圆：（为参数）转化为普通方程为，
圆心为，半径为，设圆关于直线对称的圆的圆心为，半径为，
所以点与点关于对称，所以，解得，
所以对称的圆的圆心为，半径为，
故对称的圆的普通方程是.
故选：A.
二、填空题
4．（2020·上海·高三专题练习）若圆与圆的公共弦长为8，则________.
【答案】或5
【分析】将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程，根据弦长与半径以及弦心距之间的关系即可得到d＝＝3．从而解得m＝﹣55或5．
【详解】解：x2+y2＝25①
x2+y2﹣6x+8y+m＝0②
两式相减得
6x﹣8y﹣25﹣m＝0．
圆x2+y2＝25的圆心为（0，0），半径r＝5．
圆心（0，0）到直线6x﹣8y﹣25﹣m＝0的距离为
＝．
因为公共弦长为2＝8
∴r2﹣d2＝16．
∴d2＝9．
∴d＝＝3．
解得，m＝﹣55或d＝5
故答案为：﹣55或5．
【点睛】本题考查两圆相交的性质，公共弦以及点到直线的距离公式等知识，属于中档题．
三、解答题
5．（2020·上海·高三专题练习）求经过两圆与的两个交点且半径最小的圆的方程.
【答案】
【分析】根据两圆的方程求出两圆相交弦所在的直线方程，结合待定系数法、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】设圆和圆的两个交点为，，则直线的方程为
，
即，设所求圆方程为.
化简得：
则半径最小时，圆心在直线上.
解得.
故所求圆的方程为.
【点睛】本题考查了过两圆交点且半径最小的圆的方程，考查了圆的几何性质，考查了数学运算能力.
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知平面直角坐标系中的直线、.设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，到、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中.则、公共点的个数不可能为（ ）
A．0个B．4个C．8个D．12个
【答案】D
【分析】由题意结合点到直线距离公式，整理等式，可判断曲线为矩形，曲线为椭圆，则由图形的对称性即可得到结果.
【详解】由题意，直线与直线相互垂直，设曲线上的点为，满足，即，
则当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，，
所以曲线是以、、、为顶点的矩形，
设曲线上的点为，满足，即，
所以是椭圆，
所以二者公共点的个数只可能是0、4、8个，
故选：D
2．（2022·上海闵行·二模）已知直线与圆有公共点，且公共点的横､纵坐标均为整数，则满足的有（ ）
A．40条B．46条C．52条D．54条
【答案】A
【分析】通过分析得出圆上的整数点共有12个，由直线为截距式，先排除掉关于原点对称的两点所连直线，关于x轴对称的两点所连直线（不含），
关于y轴对称的两点所连直线（不含），再结合变形为，利用几何意义得到原点到直线的距离小于等于，
利用垂径定理，弦长越小，原点到直线的距离越大，故先求解最小弦长，进而求出原点到此类直线的距离，与比较后发现不合要求，进而继续求解第二小弦长，第三小弦长，求出原点到每类直线的距离，与比较得到结论，利用组合知识求出答案.
【详解】圆上的整数点共有12个，分别为，
如图所示，
由题意可知：直线的横、纵截距都不为0，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，
所以关于原点对称的两点所连直线不合题意，有6条，舍去，
关于x轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去，
关于y轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去
其中变形为，
几何意义为原点到直线的距离小于等于，
这12个点所连的直线中，除去以上不合要求的直线外，根据弦长从小到大分为类，
以下为具体情况：①，弦长为的直线有4条，
此时原点到此类直线的距离为，不合要求，舍去
②，弦长为的直线有8条，
此时原点到此直线的距离为，不合要求，舍去
③，弦长为的直线有8条，
此时原点到此直线的距离为，满足要去，
④其他情况弦长均大于，故均满足要求，
由组合知识可知：满足要求的直线条数为：
故选：A
【点睛】对于比较复杂一些的排列组合知识，直接求解比较困难的时候，可以先求解出总的个数，再减去不合要求的个数，得到答案.
3．（2022·上海市实验学校模拟预测）直线与圆交于，两点，且，过点，分别作的垂线与轴交于点，，是等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由题意，得到为圆的直径，直线过圆心，得出直线的方程，再由垂直关系，得到与都是等腰直角三角形，进而求出，即可得出结果.
【详解】为圆的直径，
所以直线过圆心，
所以，则直线的方程为，
由题意，，，
因此，的斜率均为，倾斜角，
即与都是等腰直角三角形，
所以
因此.
故选：D.
【点睛】本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数，属于常考题型.
二、填空题
4．（2022·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________.
【答案】
【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件
【详解】由，可得，
由关于，的方程组有唯一解，
可得方程有唯一解，则
故答案为：
5．（2022·上海静安·二模）直线l的方向向量，且经过曲线的中心，则直线l的方程为__________.
【答案】
【分析】由方向向量得出斜率，再由该曲线的中心得出直线方程.
【详解】因为直线l的方向向量，所以直线l的斜率
易知曲线的中心为
所以，即
故答案为：
6．（2022·上海浦东新·二模）直线（为参数，）的斜率为________．
【答案】-1
【分析】根据参数方程和普通方程的转化，将参数方程化为普通方程，根据斜截式即可求解.
【详解】将参数方程化为普通方程得： ，所以斜率为
故答案为：-1
7．（2022·上海松江·二模）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线斜率的最大值为_______．
【答案】
【分析】设出点坐标，利用向量法求得点坐标并代入抛物线的方程，求得直线斜率平方的表达式，结合二次函数的性质求得最大值.
【详解】设，，
依题意，
所以，
所以，将点的坐标代入抛物线的方程得：
，整理得，
设直线的斜率为，则，
根据二次函数的性质可知，当时，
取得最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：
8．（2022·上海黄浦·二模）设，直线（为参数）的倾斜角的大小为____________．
【答案】
【分析】消去参数可得直线的直角坐标方程，再分析倾斜角即可
【详解】由题意，直线方程，即 斜率为，故倾斜角为
故答案为：
9．（2022·上海静安·二模）双曲线的焦点到其渐近线的距离是__________.
【答案】3
【分析】直接求出焦点及渐近线，再由点到直线的距离求解即可.
【详解】由题意得：，故双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，
则焦点到其渐近线的距离是.
故答案为：3.
10．（2022·上海静安·模拟预测）已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为____________．
【答案】
【分析】根据已知条件得出双曲线的渐近线方程及圆的圆心和半径，进而得出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线与圆相切，得出圆心到渐近线的距离等于半径，结合双曲线中三者之间的关系即可求解.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即.
由圆的方程为，得圆心为，半径为.
因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为.
又因为双曲线的两条渐近线均与圆相切，
所以，即，解得.所以,
所以该双曲线的标准方程为.
故答案为：.
11．（2022·上海市光明中学模拟预测）设有直线的倾斜角为．若在直线上存在点满足，且，则的取值范围是____________．
【答案】
【分析】设，易得，再根据在直线上存在点满足，圆心到直线的距离不大于半径求解.
【详解】解：设，因为，
所以，
因为在直线上存在点满足，
所以圆心到直线的距离不大于半径，
即，
解得或，
又因为，
所以的取值范围是.
故答案为：
12．（2022·上海虹口·二模）设，，三条直线：，：，：，则与的交点到的距离的最大值为_________.
【答案】
【分析】根据直线的方程易知，而直线分别过定点，所以与的交点在以为直径的圆上，直线过定点，即可利用圆心到的距离加半径解出．
【详解】因为，所以，
而直线：即过定点，
：即过定点，
所以与的交点在以为直径的圆上，
圆方程为，即，
所以到的距离的最大值为．
故答案为：．
13．（2022·上海崇明·二模）已知平面直角坐标系中的点、、，．记为外接圆的面积，则________．
【答案】
【分析】由过三点的外接圆来确定圆的半径，从而得到，再求极限即可.
【详解】设过、、这三点的外接圆方程为，
则有，
又外接圆的半径为,
所以
.
所以.
故答案为：
14．（2022·上海市七宝中学模拟预测）若圆上有且只有两点到直线的距离为2，则圆的半径的取值范围是_______.
【答案】
【分析】根据题意画出简图，根据图像即可分析出半径的取值范围.
【详解】圆心O到直线的距离为，
如图：与直线距离为2的点的轨迹是与平行且与距离为2的两平行直线（图中虚线）.由题意知直线与圆O有两不同交点，而与圆O没有公共点.因此圆O半径的取值范围是.
故答案为：.
15．（2022·上海黄浦·二模）已知复数z满足，则的最大值为___________．
【答案】3
【分析】设，结合已知条件求出点在上运动，然后将问题转化为点到上一点的最大距离，再利用圆的性质即可求解.
【详解】不妨设，
由可得，，故点在上运动，
又因为，
所以，即点与点之间的距离，
从而的最大值为点到上一点的最大距离，
又因为是以圆心，半径为1的圆，
故圆心与点之间的距离，
从而的最大值为.
故答案为：3.
16．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】化为，可得直线与圆有公共点，即，得到，转化为关于的不等式求解．
【详解】解：化为，
可得直线与圆有公共点，
，得到（当且仅当时，等号成立）．
故．
解得：．
的取值范围是，．
【点睛】本题考查了函数的几何意义的应用及基本不等式的应用，属于中档题．
17．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．
【答案】4
【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案.
【详解】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．
故答案为4
【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
18．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知点为圆与圆公共点，圆+1，圆+1 ，若，则点与直线：上任意一点之间的距离的最小值为_________．
【答案】2．
试题分析：设，则，令，则，同理可得，因此为方程两根，由韦达定理得，从而点与直线：上任意一点之间的距离的最小值为
考点：直线与圆位置关系
【名师点睛】直线与圆位置关系解题策略
1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．
2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．
3．与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题．
19．（2022·上海市七宝中学模拟预测）设直线和圆相交于点、，则弦的垂直平分线方程是____．
【答案】
【详解】由得，所以圆的圆心为，
根据圆的相关性质，可知所求的直线过圆心，由直线垂直可得所求直线的斜率为，
根据直线的点斜式方程化简可得结果为．
20．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知函数是偶函数，则函数图像与轴交点的纵坐标的最大值是______．
【答案】4
【详解】解：因为函数是偶函数，说明了,那么函数图像与轴交点的纵坐标为2a-b,
设点(a,b)表示半圆上点，
设，即，
当直线过点时，直线截距最小，.
故最大值为
21．（2022·上海徐汇·二模）圆的圆心到直线：的距离
【答案】3
试题分析：因为圆心坐标为(1,2)，所以圆心到直线的距离为．
考点：点到直线的距离．
三、解答题
22．（2022·上海·模拟预测）设有椭圆方程，直线，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为.
(1)，AM中点在x轴上，求点M的坐标；
(2)直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求b；
(3)在椭圆上存在一点P到l距离为d，使，随a的变化，求d的最小值.
【答案】(1)，(2)或，(3)
【分析】（1）由题意可得椭圆方程为，从而确定点的纵坐标，进一步可得点的坐标；
（2）由直线方程可知，分类讨论和两种情况确定的值即可；
（3）设，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得，进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得即可确定的最小值．
(1)解：由题意可得，所以，
的中点在轴上，
的纵坐标为，代入得；
(2)解：由直线方程可知，，
①若，则，即，
，
.
②若，则，
，，
，，即，
，.
综上，或；
(3)解：设，结合已知条件，由椭圆的定义及点到直线距离公式可得，
显然椭圆在直线的左下方，则，即，
，，即，
，整理可得，即，
，即的最小值为．
23．（2022·上海奉贤·二模）椭圆上有两点和，．点A关于椭圆中心的对称点为点，点在椭圆内部，是椭圆的左焦点，是椭圆的右焦点．
(1)若点在直线上，求点坐标；
(2)是否存在一个点，满足，若满足求出点坐标，若不存在请说明理由；
(3)设的面积为，的面积为，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析；(3)
【分析】（1）先求得两点坐标，进而可得直线的方程，将点坐标代入该方程，解之即可求得点坐标；
（2）假设存在符合条件的点，列方程去求点坐标，再以点在椭圆内部去判别是否存在；
（3）先求得的表达式，再去求的值域，进而求得的取值范围．
(1)由点和点在椭圆上
可得，，则直线方程为，
又点在直线上，则，解之得，则
(2)椭圆的两焦点
假设存在一个点，满足，
则点一定在双曲线的左半支上，
由，可得
又，则，
又因为点在椭圆内部，所以，得
所以满足条件的点不存在．
(3)两点、和在椭圆上，
点在椭圆内部，
则直线的方程为，
点到直线的距离
则，
同理直线的方程为，
点到直线的距离
则
令，则
由，可得，，，即
由，可得，，，即
综上，的取值范围为
则的取值范围为
24．（2022·上海崇明·二模）已知双曲线，双曲线的右焦点为，圆的圆心在轴正半轴上，且经过坐标原点，圆与双曲线的右支交于A、两点．
(1)当是以为直角顶点的直角三角形，求的面积；
(2)若点A的坐标是，求直线的方程；
(3)求证：直线与圆相切．
【答案】(1)，(2)，(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意求得，由三角形面积公式即可求得答案;
（2）设圆的方程为，由点A的坐标求得b,联立求得B点坐标，可得答案;
（3）设直线的方程为，，联立，可得根与系数的关系式，再联立可得，结合根与系数的关系式化简，可得的圆心到直线AB的距离等于半径，可证明结论.
(1)由题意是以为直角顶点的直角三角形，，
所以，所以的面积;
(2)设圆的方程为，由题意，，所以,
故圆的方程为
由，得：，所以,
故A、两点的坐标分别是,
所以直线的方程为：;
(3)证明：设直线的方程为，，
圆的方程为,
由，得：，
由题意，得：，且，,
由，得：，所以，
所以，
即，所以,
因为原点到直线的距离，所以直线与圆相切．
25．（2022·上海·模拟预测）已知直线为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在原点处发现了北偏东 海面上处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜.
（1）如果走私船和巡逻船相距6海里，求走私船能被截获的点的轨迹；
（2）若与公海的最近距离20海里，要保证在领海内捕获走私船，则，之间的最远距离是多少海里？
【答案】（1）以为圆心，以4为半径的圆；（2）海里
【分析】（1）在平面直角坐标系中，设走私船能被截获的点的坐标为，根据可得的轨迹.
（2）先求出的值，再设，类似于（1）中求轨迹的方法可求的轨迹，该轨迹与直线至多有一个公共点，从而可得的取值范围.
【详解】（1）如图，
因为，故，设走私船能被截获的点的坐标为，
则，所以，
整理得到，所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆.
（2）因为与公海的最近距离20海里，故，因，故.
故直线，
设，故，设走私船能被截获的点的坐标为，
则，故，
整理得到，
故的轨迹是以为圆心，为半径的圆.
由题设可知，该圆的圆心在直线下方且圆与直线至多有一个公共点，
故 ，解得，
故，之间的最远距离是海里.
【点睛】本题考查圆中的轨迹问题-阿波罗尼斯圆以及直线与圆的位置关系，所谓阿波罗尼斯圆，即平面中到两个定点的距离之比为的动点的轨迹，解题中注意“两定一动比确定”的特征，本题为综合题，有一定的难度.
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
方法位置
关系
几何法
代数法
相交
dΔ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜
d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0