北师大版 (2019)选择性必修 第二册第一章 数列1 数列的概念及其函数特性1.1 数列的概念精品课件ppt

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1.了解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.
(1)“人口问题”是我国最大的社会问题之一，对人口数量的估计和发展趋势的预测是我们制定一系列相关政策的基础.新中国成立后，我国已进行了七次全国人口普查，历次全国人口普查公报数据资料见下表：
七次普查人口数量(百万)依次排列为601.93,723.07,1 031.88,1 160.02,1 295.33,1 370.54,1 405.97.(2)2020年1～3季度我国城市GDP亿元排行前六名数据依次为27 301.99,25 759.5,19 786.98,17 707.1,17 475.86,14 208.19.以上两组数据有什么共同特点？
三、数列通项公式的应用
问题1　下面三列数字有什么联系与区别？(1)1,2,3,4；(2)4,3,2,1；(3)3,4,1,2.
提示　联系：数字相同，区别：排列次序不同.
1.数列的概念(1)按一定次序排列的一列数叫作 ，数列中的每一个数叫作这个数列的 .(2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，或简记为数列 ，其中a1是数列的第1项，也叫数列的 ；an是数列的第n项，也叫数列的 .
2.数列的分类根据数列的项数可以将数列分为两类：(1)有穷数列——项数 的数列.(2)无穷数列——项数 的数列.
注意点：(1)数列概念中“按一定次序排列”是关键，数字相同，排列顺序不同的两列数不是同一数列.(2)有穷数列与无穷数列的分类标准是数列项数的有限还是无限.
例1　下列说法正确的是A.数列1,2,3,4,5,6与数列1,2,5,6,3,4是同一个数列B.数列1,2,3,4,5,6可以表示为{1,2,3,4,5,6}C.0,2,4,6,8，…，2n是无穷数列D.1,1,1,1,1，…是一个数列
解析　两个数列只有元素相同，排列顺序也相同时，才是同一个数列，故A不正确；数列与集合不同，数列不能表示成集合的形式，故B不正确；当n确定后，数列0,2,4,6,8，…，2n的项数就确定了，所以该数列是有穷数列，故C错误；根据数列定义知D正确.
反思感悟　数列概念的三个注意点(1)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别.(2)如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列.(3)同一个数在数列中可以重复出现.
B.数列{an}的前4项为1,2,3,4，则第5项一定是5C.－1,1,3,5，…是数列D.数列0,2,4,6,8，…是有穷数列
跟踪训练1　下列说法正确的是
B中，数列的第5项不一定为5；D中，数列应为无穷数列；很明显C正确.
问题2　若数列{an}的前5项为1,3,5,7,9，能否用一个式子表示数列中的每一项？这个式子是什么？
提示　能，an＝2n－1，n∈N＋.
数列的通项公式如果数列{an}的第n项 与 之间的 可以用一个式子表示成__ ，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的 .
注意点：(1)数列的通项公式是一个函数关系式，它的定义域是N＋(或它的有限子集).(2)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②判断某数是不是该数列中的一项.
例2　写出下列数列的一个通项公式，使它的前5项分别是下列各数：
每个根号里面可分解成两个数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，
(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9,0.999 99，…；
(4)2,22,222,2 222,22 222，….
反思感悟　根据数列的前几项求通项公式的解题思路(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号.(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
跟踪训练2　写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
解　这个数列前4项的绝对值的分母都是序号乘以比序号大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，
解　这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，
(3)7,77,777,7 777.
例3　已知数列{an}的通项公式为an＝ ，n∈N＋.(1)求a10；
(3)这个数列中有多少项是整数？
则n＝1,2,3,6，故这个数列中共有4项是整数.
(4)该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明理由.
故该数列中有等于项数的项，该项为a3＝3.
反思感悟　通项公式应用的常见题型及其解法(1)由通项公式写出数列的某项.就是把n的值代入通项公式进行计算，相当于函数中，已知函数解析式和自变量求函数值.(2)判断一个数是否为该数列中的项.由an等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项.
跟踪训练3　已知数列{an}的通项公式为an＝(1)写出数列第4项及第6项；
解得n＝5或n＝－8，因为n∈N＋，故将n＝－8舍去，
1.知识清单：(1)数列及其有关的概念.(2)数列的分类.(3)数列的通项公式及应用.2.方法归纳：观察、归纳、猜想.3.常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系.
解析　{1,3,5,7}不表示数列，故A错误；数列1，－1,1，－1,1，－1，…是无穷数列，故B错误；D中，当a＝c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误；数列中的项可以相等，故C正确.
1.下列说法中，正确的是A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.1，－1,1，－1,1，－1，…是有穷数列C.数列中的项可以相等D.数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列
2.已知数列{n(n－2)}，那么下列各数中是该数列项的是A.1 B.36 C.－48 D.－1
解析　分别令n(n－2)＝1,36，－48，－1验证.当n(n－2)＝－1时，n＝1.其他均不合适.
3.在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于A.11 B.12 C.13 D.14
解析　由前6项，可知从第3项起，每一项都是它前面两项的和，所以x＝13.
1.(多选)下列叙述不正确的是A.同一个数在数列中可能重复出现B.数列的通项公式是定义域为正整数集N＋的函数C.任何数列的通项公式都存在D.数列的通项公式是唯一的
解析　数列的通项公式的定义域是正整数集N＋或它的有限子集，选项B错误；并不是所有数列都有通项公式，选项C错误；数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2，选项D错误.
A.第22项 B.第23项C.第24项 D.第28项
A.70 B.28 C.20 D.8
所以a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.
5.数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于
解析　A项，展开可得数列为0,1,0,1，…，不符合题意；B项，展开可得数列为0，－1,0,1，…，不符合题意；C项，展开可得数列为－1,0,1,0，…，不符合题意；D项，展开可得数列为0,1,0，－1，…，符合题意.
6.数列{an}的通项公式an＝lg(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是
7.若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________， ＝_____.
解析　因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，
9.写出下列数列的一个通项公式：
解　由已知数列， …可得数列各项的分母的绝对值为2n，又数列所有的奇数项为正，偶数项为负，故可用(－1)n－1来控制各项的符号，故所求数列的一个通项公式为an＝(－1)n－1 ，n∈N＋.
解　此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为 ，
(3)1,11,111,1 111，….
10.已知数列{an}，a1＝3，a10＝21，an是项数n的一次函数.(1)求{an}的通项公式，并求a2 021；
解　设an＝kn＋b，k≠0，则有 ∴{an}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N＋，∴a2 021＝2×2 021＋1＝4 043.
(2)若数列{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成，试归纳{bn}的一个通项公式.
解　由题意可知，b1＝a2＝5，b2＝a4＝9，b3＝a6＝13，b4＝a8＝17，…归纳可知，{bn}的一个通项公式为bn＝4n＋1，n∈N＋.
11.如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有化学键A.6n个 B.(4n＋2)个C.(5n－1)个 D.(5n＋1)个
解析　由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5,1＋2×5,1＋3×5，…，于是第n个图形有(5n＋1)个化学键.
12.图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为
…，所以数列具有周期性，周期为3，
14.将正偶数按下表排列：
则2 010在第______行第_____列.
解析　由题意可知，2 010是第1 005个正偶数，因为1 005÷4＝251…1，所以2 010在第252行.观察表格知，第偶数行的四个数字从第4列开始从右至左排列，所以2 010在第252行，第4列.
15.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…这样的数称为正方形数.写出一个既是三角形数又是正方形数的数________.(答案不唯一，写出一个即可)
同理可得正方形数构成的数列的通项为bn＝n2，
故1 225既是三角形数又是正方形数.
16.数列{an}的通项公式是an＝ ，n∈N＋.(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
所以0是{an}中的第21项，
所以1不是{an}中的项.