北师大版（2019）必修第一册5-1方程解的存在性及方程的近似解作业含答案

课时作业(二十七)　方程解的存在性及方程的近似解

1．y＝f(x)为R上的偶函数，则它所有零点之和为(　　)

A．4        B．2

C．0        D．不确定

答案：C　

解析：∵y＝f(x)为R上的偶函数，

∴当f(x)＝0无零点时，所有零点之和为0；

当f(x)＝0有零点时，由于f(x)为偶函数，

∴零点成对，每对和为0.

∴所有零点之和为0.

故应选C．

2．函数f(x)的图象如图所示，函数f(x)的变号零点个数为(　　)

A．4        B．1

C．2        D．3

答案：D　

解析：由图象易得变号零点为3个．

故应选D．

3．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一实根0，则f(－1)·f(1)＝(　　)

A．大于0        B．小于0

C．等于0        D．无法判断

答案：D　

解析：由f(x)＝0在(－2,2)上仅有一实根，知f(2)·f(－2)<0，但f(x)＝0的根不一定在(－1，1)内，故f(－1)·f(1)的符号无法判断．

故应选D．

4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数的零点个数是(　　)

A．0        B．1

C．2        D．无法确定

答案：C　

解析：解法一：利用开口向上(下)两零点间的函数值小于(大于)零来判断．

∵c＝f(0)，∴ac＝a·f(0)<0，

即a和f(0)异号，

即或

结合抛物线的开口方向及函数值f(0)的符号得知，函数必有两个零点．

解法二：用判别式Δ＝b2－4ac，

∵ac＜0，∴Δ＞0，

∴函数必有两个零点．

故应选C．

5．设函数f(x)＝g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是(　　)

A．4        B．3

C．2        D．1

答案：B　

解析：当x≤1时，函数f(x)＝4x－4与g(x)＝log2x的图象有两个交点，可得h(x)有2个零点；

当x＞1时，函数f(x)＝x2－4x＋3与g(x)＝log2x的图象有1个交点，可得函数h(x)有1个零点，

∴函数h(x)共有3个零点．

6．若函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点为，则f(1)＝________.

答案：0　

解析：由已知为2x2－ax＋3＝0的根；∴a＝5，

∴f(x)＝2x2－5x＋3，∴f(1)＝2－5＋3＝0.

7．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点分别为－2，3，且f(－6)＝36，则一元二次函数f(x)的解析式为________．

答案：f(x)＝x2－x－6　

解析：由题设知，一元二次函数可化为y＝a(x＋2)(x－3)，又f(－6)＝36，

∴36＝a(－6＋2)(－6－3)，∴a＝1.

∴f(x)＝(x＋2)(x－3)，即f(x)＝x2－x－6.

8．若函数f(x)＝2x2－ax＋8只有一个零点，则实数a＝________.

答案：±8　

解析：函数f(x)＝2x2－ax＋8只有一个零点，

即方程2x2－ax＋8＝0只有一个解，

则Δ＝a2－4×2×8＝0，解得a＝±8.

9．函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围．

解：①当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，零点为，满足题意．

②当m＜0时，

∵一元二次函数对称轴为x＝－＜0，且f(0)＝1，

∴满足题意．

③当m＞0时，则依题意得，

解得0＜m≤1.

综合①②③，得m的取值范围是{m|m≤1}．

10．判断方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．

解：4x3＋x－15＝0在[1,2]内存在一个实数解，理由如下：

设f(x)＝4x3＋x－15.

∵f(1)＝－10<0，f(2)＝19>0.

又∵f(x)在[1,2]上是连续的，

∴在[1,2]内存在x0∈[1,2]使f(x0)＝0，

即4x3＋x－15＝0在[1,2]内存在实数解．

又∵f(x)＝4x3＋x－15为R上的增函数(∵y＝x3与y＝x都是增函数)，

∴f(x)＝0在[1,2]内只有一个实数解，

即4x3＋x－15＝0在[1,2]内只有一个实数解．

11．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|，g(x)＝mx，若方程f(x)＝g(x)有四个不同的实根，求m的取值范围．

解：f(x)＝

其图象如图所示．

已知方程f(x)＝g(x)有四个不等实根，即y＝f(x)与y＝g(x)有四个不同的交点．

设直线l：y＝kx与f(x)的图象有3个交点，则0＜m＜k，

由kx＝－x2＋4x－3，得

x2＋(k－4)x＋3＝0.①

令Δ＝(k－4)2－12＝0，

解得k＝4±2.

当k＝4＋2时，方程①的两根为

x1＝x2＝－∉(1,3)，故不合题意，舍去；

∴m的取值范围是{m|0＜m＜4－2}．

12．(本题可以用计算器计算)以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精度为0.1)的不完整的过程，请补充完整．

解：设函数f(x)＝x3＋3x－5.其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的，且f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递________(增或减)的．

f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________.所以f(x)在区间________内存在零点x0.填下表：(可参考条件：f(1.125)<0，f(1.187 5)>0；符号填＋、－)

下结论：____________________________.

解：增　－5　－1　9　(1,2)

下结论：由表得方程x3＋3x－5＝0的一个近似解是x≈1.187 5.

13．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6有一个零点，求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过(不能用计算器)．

解：∵f(2)<0，f(3)>0，∴f(x)的零点x0∈(2,3)．

取x1＝，

∵f＝ln －1＝ln －ln e<0，

∴ff(3)<0，∴x0∈.

取x2＝，

∵f＝ln －＝ln －ln e>0，

∴ff<0，∴x0∈.

而＝≤，

∴即为符合条件的一个区间．