高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 函数概念练习题

课时作业(十四)　函数概念

1．下列各组函数表示相等函数的是(　　)

A．f(x)＝与g(x)＝|x|

B．f(x)＝2x＋1与g(x)＝

C．f(x)＝|x2－1|与g(t)＝

D．f(x)＝与g(x)＝x

答案：C　

解析：A中f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，g(x)的定义域是R，定义域不同．B中f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是{x|x≠0}，定义域不同．C中f(x)＝|x2－1|，g(t)＝|t2－1|，虽然表示自变量的字母不同，但定义域与对应法则都相同．

D中f(x)＝|x|，g(x)＝x，对应法则不相同．

2．函数f(x)＝0＋的定义域为(　　)

A．        B．(－2，＋∞)

C．∪    D．

答案：C　

解析：要使函数有意义，必有x－≠0，且x＋2>0，即x>－2，且x≠.

3．若函数g(x＋2)＝2x＋3，则g(3)的值是(　　)

A．9        B．7

C．5        D．3

答案：C　

解析：g(3)＝g(1＋2)＝2×1＋3＝5.

4．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．(－∞，1]

B．(－∞，2]

C．∪

D．∪

答案：D　

解析：要使函数有意义，需满足

解得x∈∪.

5．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(　　)

A．1        B．0

C．－1        D．2

答案：A　

解析：f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，

f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1，

∴a3－2a2＋a＝0，∴a＝1或a＝0(舍去)．

6．若A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝________.

答案：[1，＋∞)　

解析：由A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，得A＝[－1，＋∞)，B＝[1，＋∞)，

∴A∩B＝[1，＋∞)．

7．函数y＝(x∈R)的值域是________．

答案：[0,1)　

解析：y＝＝1－，∴y的值域为[0,1)．

8．下表表示y是x的函数，则函数的值域是________.

答案：{2,3,4,5}　

解析：由所给的表格可知，函数的值域为{2,3,4，5}．

9．如果函数f：A→B，其中A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a∈A，在B中都有唯一确定的|a|和它对应，则函数的值域为________．

答案：{1,2,3,4}　

解析：由题意知，对a∈A，|a|∈B，故函数值域为{1,2,3,4}．

10．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域是________．

答案：(0,2)　

解析：由题意知，

解得

从而0<x<2，于是函数g(x)的定义域为(0,2)．

11．已知函数f(x)＝x2＋x－1.

(1)求f(2)，f；

(2)若f(x)＝5，求x.

解：(1)f(2)＝22＋2－1＝5，

f＝2＋－1＝.

(2)若f(x)＝5，则x2＋x－1＝5，

解得x＝－3或x＝2.

12．已知函数y＝(a<0，且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．

解：已知函数y＝(a<0，且a为常数)，

∵x＋1≥0，a<0，

∴x≤－a，即函数的定义域为(－∞，－a]，

∵函数在区间(－∞，1]上有意义，

∴(－∞，1]⊆(－∞，－a]，∴－a≥1，

即a∈(－∞，－1]．

13．对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．

(1)求证：A⊆B；

(2)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1,3}，求集合B．

(1)证明：若A＝∅，则A⊆B显然成立．

若A≠∅，设t∈A，则f(t)＝t，f(f(t))＝t，t∈B，

从而A⊆B．综上知，A⊆B成立．

(2)解：∵A＝{－1,3}，∴f(－1)＝－1，且f(3)＝3，

即∴∴

∴f(x)＝x2－x－3.

∵B＝{x|f(f(x))＝x}，

∴(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x，

∴(x2－x－3)2－x2＝0，即(x2－3)(x2－2x－3)＝0，

∴(x2－3)(x＋1)(x－3)＝0，

∴x＝±或x＝－1或x＝3.

∴B＝{－，－1，，3}．

14．已知函数f(x)＝.

(1)求f(2)与f，f(3)与f；

(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f有什么关系？并证明你的发现；

(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＋f＋f＋…＋f的值．

解：(1)∵f(x)＝，

∴f(2)＝＝，f＝＝，

f(3)＝＝，f＝＝.

(2)由(1)发现f(x)＋f＝1.证明如下：

f(x)＋f＝＋

＝＋＝1.

(3)f(1)＝＝.

由(2)知f(2)＋f＝1，

f(3)＋f＝1，

…

f(2 019)＋f＝1，