高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第四章 对数运算和对数函数2 对数的运算2.2 换底公式同步练习题
展开【基础】2.2 换底公式-1课时练习 一.填空题 1.把对数式改写为指数式_____. 2.计算__________. 3.设,若不等式对于所有满足题设的,,均成立,则实数的最大值是__________. 4.计算的值是________. 5.若,则______写出最简结果 6.已知log23=t,则log4854=_________(用t表示). 7.=______. 8.计算______. 9.已知正数.满足,且,则________. 10.已知函数且,则__________. 11.=______. 12.求值:_________. 13.若,那么的最小值是________. 14.已知实数满足,且,则=_____. 15.________;________. 参考答案与试题解析 1.【答案】 【解析】利用指数式与对数式的互化公式直接求解. 【详解】 对数式改写为指数式为:, 故答案为:. 【点睛】 本题考查指数式与对数式的互化,是基础题,解题时要认真审题,注意指数式.对数式互化公式的合理运用,属于基础题. 2.【答案】 【解析】【详解】 。 答案: 3.【答案】 【解析】利用换底公式可化简为,观察分母的结构,前两者的倒数和为后者的分母,即可用算数平均数 调和平均数,即可得出的最大值。 【详解】 因为 所以 即 又因为算数平均数 调和平均数,即 即, 当且仅当即,即,,成等比数列时取等号, 故的最大值为4 故填4 【点睛】 本题考查对数的换底公式,对数的基本运算,基本不等式的应用,属于中档题。 4.【答案】 【解析】由对数的运算性质,换底公式 ,代入运算即可得解. 【详解】 解:原式, 故答案为:2. 【点睛】 本题考查了对数的运算性质,重点考查了换底公式,属基础题. 5.【答案】1 【解析】先利用换底公式将底数变为一样,再利用对数的运算性质即可求解. 【详解】 , . 故答案为:1. 【点睛】 本题考查对数值的求法,考查对数性质.运算法则.换底公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 6.【答案】 【解析】利用换底公式换底数为2,得到,将代入即可 【详解】 由题,可得, 故答案为: 【点睛】 本题考查换底公式的应用,考查对数的计算,考查运算能力 7.【答案】 【解析】【详解】 . 考点:对数的运算. 8.【答案】11 【解析】进行分数指数幂和对数式的运算即可. 【详解】 原式. 故答案为:11. 【点睛】 本题考查对数式和分数指数幂的运算,熟记运算性质,准确计算是关键,是基础题. 9.【答案】或 【解析】由,得出,由得出解出的值,进而得出的值,从而得出的值. 【详解】 ,,由得出, 由换底公式可得,,可得或. ①当时,,此时,,则; ②当时,,此时,,则. 因此, 或,故答案为:或. 【点睛】 本题考查对数换底公式的应用,同时也考查了指数式与对数式的互化,解题时要观察出两个对数之间的关系,考查分析问题与解决问题的能力,属于中等题. 10.【答案】5 【解析】先观察函数的结构,再证明,再利用函数的性质求解即可. 【详解】 解:因为, 所以, 又,则, 故答案为5. 【点睛】 本题考查了对数的运算及函数性质的判断,重点考查了观察能力及逻辑推理能力,属中档题. 11.【答案】 【解析】【详解】 . 考点:对数的运算. 12.【答案】1 【解析】根据对数运算,化简即可得解. 【详解】 由对数运算,化简可得 故答案为:1 【点睛】 本题考查了对数的基本运算,属于基础题. 13.【答案】 【解析】由对数的运算性质可得,由基本不等式可得,从而求得的最小值. 【详解】 ,即,, 由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立, 故的最小值是 , 故答案为. 【点睛】 本题考查对数的运算性质,以及基本不等式的应用,注意检验等号成立的条件. 14.【答案】 【解析】由得到,求出或,得到或,根据,分别计算,即可得出结果. 【详解】 因为,所以, 解得:或,则或. 当时,,则,而,得到,; 当时,,则,而,得到无解, 所以. 故答案为: 【点睛】 本题主要考查对数的运算与指数幂的运算,熟记对数运算性质,以及指数幂的运算性质即可,属于常考题型. 15.【答案】 -3 【解析】利用分数指数幂与对数的运算规则进行计算即可。 【详解】 , 故答案为:(1). (2). -3 【点睛】 本题考查分数指数幂与对数的运算规则,是基础题。
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