高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1 生活中的变量关系学案

第二章　函 　数

§1　生活中的变量关系

§2　函　　数

第1课时　函数概念

课前篇·自主梳理知识

【主题1】　生活中的变量关系

(1)依赖关系：一个变量的变化引起与之相关的另一个变量的________．

(2)函数关系：其中一个变量的每一个值，另一个变量都有________的值与之对应．

答案：

(1)变化　(2)唯一确定

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)变量与变量一定存在依赖关系．(　　)

(2)常量与变量不能构成函数关系．(　　)

(3)两个具有依赖关系的变量一定具有函数关系．(　　)

答案：

(1)　解析：因为只有一个变量发生变化，另一个变量随之发生变化时，两个变量才具有依赖关系．

(2)　解析：例如，实数x发生变化，变量y都有唯一的值2与之对应．

(3)　解析：只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间有函数关系．

2．下列说法不正确的是(　　)

A．依赖关系不一定是函数关系

B．函数关系是依赖关系

C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数

D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数

答案：C　

解析：由依赖关系及函数关系的定义知A，B正确；对于C，D，如m＝n2，则n＝±，不是函数关系，故C错误，D正确．

3．下列各选项中，两个变量之间的关系不能被看成函数关系的是(　　)

A．小车下滑过程中下滑时间t与支撑物高度h之间的关系

B．三角形一边上的高一定时，三角形面积S与该边的长度x之间的关系

C．骆驼某日体温随时间的变化曲线所确定的温度与时间的关系

D．y表示一个正数x的平方根，y与x之间的关系

答案：D　

解析：A．小车下滑过程中下滑时间t与支撑物高度h之间的关系，两个变量之间的关系能被看成函数关系，故不符合题意；B．三角形一边上的高一定时，三角形面积S与该边的长度x之间的关系，两个变量之间的关系能被看成函数关系，故不符合题意；C．骆驼某日体温随时间的变化曲线所确定的温度与时间的关系，两个变量之间的关系能被看成函数关系，故不符合题意；D．y表示一个正数x的平方根，y与x之间的关系不能被看成函数关系，故符合题意．

4．在速度一定的前提下，汽车行驶的路程同时间是________关系．

答案：函数　

解析：汽车速度一定的前提下，行驶路程与时间的关系满足函数关系的定义．

【主题2】　函数的概念

(1)定义：

(2)相关名称：

①自变量是________；

②函数的定义域是________；

③函数的值域是集合________．

答案：

(1)非空数集　每一个数x　唯一确定的数y　对应关系f　y＝f(x)，x∈A　(2)x　集合A　{f(x)|x∈A}

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)任何两个非空集合之间都可以建立函数关系．(　　)

(2)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．(　　)

答案：

(1)　解析：由函数的定义知，只有非空数集间才可能建立函数关系．

(2)√　解析：因为由函数定义知，定义域内的任意一个数，在确定的对应关系下，都有唯一确定的数与之对应，这些数构成函数的值域，故定义域和对应关系确定后，值域随之确定．

2．下列表达式中，表示函数的是(　　)

A．y＝　　　　　　B．y＝

C．y＝        D．y2＝x

答案：C　

解析：对于A，因为－x2－1<0，所以根式无意义，不表示函数；对于B，当x＝0时，对应的函数值有两个，不符合函数的定义；对于D，任意x，与x对应的y值不唯一，因此也不表示函数．

3．函数y＝的定义域是(　　)

A．[－1，＋∞)        B．[－1,0)

C．(－1，＋∞)        D．(－1,0)

答案：C　

解析：要使函数有意义，需满足x＋1>0，即x>－1，故选C．

课堂篇·重难要点突破

研习1  依赖关系的判断

[典例1]　(1)一块农田的水稻产量与施肥量有 (　　)

A．确定关系            B．无任何关系

C．函数关系            D．依赖关系

(2) 如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象(收支差额＝车票收入－支出费用)，由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)是不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)是不改变支出费用，提高车票价格．下面给出四个图象：

在这些图象中(　　)

A．①反映了建议(Ⅱ)，③反映了建议(Ⅰ)

B．①反映了建议(Ⅰ)，③反映了建议(Ⅱ)

C．②反映了建议(Ⅰ)，④反映了建议(Ⅱ)

D．④反映了建议(Ⅰ)，②反映了建议(Ⅱ)

(3)下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？

①菱形的周长和它的边长；

②价格不变的情况下的商品销售额和销售量；

③某人的身高与脚的大小；

④某同学的学习时间与其学习成绩．

[审题路线图]依赖关系与函数关系的判定⇒当一个变量改变时，看另一个变量是否也改变来确定．

(1)答案：D

(2)答案：B

(3)解：①因为菱形的周长l与其边长a存在l＝4a的关系，因此菱形的周长与其边长存在依赖关系，也是函数关系．

②在价格不变的前提下，销售量x与销售额y之间成正比例关系．因此在价格不变的情况下，商品的销售额与销售量之间存在依赖关系，也是函数关系．

③某人的身高与脚的大小有一定的关系，但脚的大小并不完全由身高来决定，还受其他因素的影响．因此某人的身高与脚的大小之间存在依赖关系，但不是函数关系．

④某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系，但学习成绩并不完全由学习时间而定，还受其他因素的影响，如人的智力等．因此某同学的学习时间与其学习成绩之间存在依赖关系，但不是函数关系．

综上所述，①②③④均存在依赖关系，其中仅①②是函数关系．

分析两个变量是否具有函数关系，关键是看它们的关系是确定的，还是不确定的．

[练习1](1)张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x kg，每亩地小麦产量为y kg，则(　　)

A．x，y之间有依赖关系

B．x，y之间有函数关系

C．y是x的函数

D．x是y的函数

(2)下列过程中，变量之间的关系是否为函数关系？

①公路上行驶的汽车在路程一定的条件下，时间与平均车速之间的关系；

②化学实验中，加入溶液中的溶质的质量与溶液浓度之间的关系．

(1)答案：A　

解析：小麦产量与施肥有关系，但这种关系又不是确定的．

(2)解：①是函数关系．其中时间是自变量，速度是因变量；反之也行．

②是函数关系．其中溶质是自变量，溶液浓度是因变量．

研习2　有关函数概念的问题

[典例2]　(1)下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是(　　)

(2)判断下列对应是不是函数：

①y＝，x≠0，x∈R；

②y2＝x，x∈N，y∈R.

(1)答案：D

(2)解：①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的与之对应，符合函数的概念．

②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．

判断所给对应是否为函数的方法

(1)首先观察两个数集A，B是否非空；

(2)其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性，既不能没有数y对应的数x，也不能有多于一个的数y对应x.

[练习2]判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．

(1)A＝R，B＝{0,1}，对应关系f：x→y＝

(2)A＝B＝R，对应关系f：x→y＝；

(3)A＝Z，B＝Q，对应关系f：x→y＝；

(4)A＝Z，B＝Z，对应关系f：x→y＝；

(5)A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0}，对应关系如图所示．

解：(1)对于A中任意一个非负数在B中都有唯一元素1与之对应，对于A中任意一个负数在B中都有唯一元素0与之对应，所以是函数．

(2)集合A中的负数，在B中没有元素与之对应，故不是函数．

(3)集合A中的0元素在B中没有元素与之对应，故不是函数．

(4)集合A中的0元素(或－1等等)，在B中没有元素与之对应，故不是函数．

(5)集合A中的1和3在集合B中有唯一的元素－1与之对应，集合A中的2和4在集合B中有唯一的元素0与之对应，故是函数．

研习3　求函数的定义域

[典例3]　已知函数f(x)＝，g(x)＝.若函数h(x)＝f(x)＋g(x)，求函数h(x)的定义域(用区间表示)．

[审题路线图]求定义域⇒列使式子有意义的不等式(组)⇒解不等式(组)．

解：h(x)＝f(x)＋g(x)＝＋，

要使函数有意义，只需即x≥1，且x≠2.

所以函数的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)．

[延伸探究]　(1)在本例中，若条件不变，求f(f(5))，f(g(3))的值．

(2)在本例中，条件不变，求函数f(x－2)的定义域．

(1)解：因为f(5)＝＝2，g(3)＝＝1.

所以f(f(5))＝f(2)＝＝1，

f(g(3))＝f(1)＝＝0.

(2)解：因为f(x)＝，

所以f(x－2)＝＝，

若函数有意义，则x－3≥0，得x≥3，

因此函数f(x－2)的定义域为[3，＋∞)．

已知函数解析式求定义域的类型及求解策略

(1)若y＝f(x)为分式，则函数的定义域为使分母不为0的实数集．

(2)若y＝f(x)为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义)．

(3)若y＝f(x)是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集．

(4)若y＝f(x)是由实际问题确定的，其定义域要受实际问题的约束．

[练习3]求下列函数的定义域：

(1)y＝·＋2；

(2)y＝＋.

解：(1)要使函数有意义，必须

∴

故函数的定义域为{x|1≤x≤4}．

(2)要使函数有意义，必须

解得－≤x≤，且x≠±.

故函数的定义域为{x|－≤x≤，且x≠±}．

研习4　判断两个函数是否相同

[典例4]　下列各组函数中，表示同一个函数的是________．(填上你认为正确的序号)

①f(x)＝|x|，g(x)＝；

②f(x)＝，g(x)＝x＋1；

③f(x)＝，g(x)＝·.

[审题路线图]同一函数的判定⇒定义域与对应关系是否均相同．

答案：①　

解析：①f(x)＝|x|与g(x)＝＝|x|的定义域及对应关系完全相同，所以是同一个函数．

②f(x)＝＝x＋1(x≠1)与函数g(x)＝x＋1的定义域不同，所以不是同一个函数．

③f(x)＝的定义域，由x2－1≥0，得{x|x≥1或x≤－1}，而g(x)＝·的定义域，由得{x|x≥1}．则两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数．

由解析式判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一个函数的步骤

提醒：函数与自变量及因变量的表示符号无关．

[练习4]下列函数中哪个与函数y＝相同．

(1)y＝x；(2)y＝－x；

(3)y＝－；(4)y＝x2.

解：(1)y＝x＝－(x≤0)与y＝定义域相同，但对应法则不相同，因此这两个函数是不同的．

(2)y＝－x＝(x≤0)与y＝定义域是相同的，对应法则也是相同的，所以这两个函数是同一函数．

(3)y＝－(x≥0)与函数y＝定义域不同，所以这两个函数是不同的．

(4)y＝x2＝(x<0)与函数y＝(x≤0)定义域不同，所以这两个函数是不同的．

研习5  求函数的值和值域

[典例5]　(1)(2020·天水高一检测)函数y＝3－x2的值域是________．

(2)求下列函数的值域：

①y＝2x＋1；

②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；

③y＝2＋；

④y＝2x－.

[审题路线图]求值域⇒先看定义域⇒再借助于已知函数求解．

(1)答案：(－∞，3]

(2)解：①(观察法)

因为x∈R，所以2x＋1∈R，即函数的值域为R.

②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象，如图所示，可得函数的值域为[2,6)．

③因为y1＝，

所以y1≠0，

所以y＝2＋≠2，

故y＝2＋的值域是{y|y≠2}．

④(换元法)设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝22＋，由t≥0，再结合函数的图象，如图所示，可得函数的值域为.

[延伸探究]　(1)本例(2)③中函数改为y＝，则其值域是什么？

(2)本例(2)④中将函数改为y＝x＋，则其值域是什么？

(1)解：(分离常数法)因为y＝＝＝2＋，

所以由例(2)③知值域为{y|y≠2}．

(2)解：令u＝，则u≥0，x＝，

所以y＝＋u＝(u＋1)2≥.

所以函数的值域为.

求函数的值域的常用方法

(1)观察法．通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域，这就是观察法．

(2)配方法．对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域，这就是配方法．

(3)换元法．通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域．

[练习5]求下列函数的值域．

(1)y＝；

(2)y＝2x2－4x－1，x∈R.

解：(1)函数的值域为{y|y∈R，且y≠0}．

(2)∵y＝2x2－4x－1＝2(x－1)2－3，x∈R，

∴2(x－1)2－3≥－3，当且仅当x＝1时，等号成立．

∴函数的值域为[－3，＋∞)．

课后篇·演练提升方案

1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：

其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　)

A．0        B．1

C．2        D．3

答案：B

2．下列四组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的一组是(　　)

A．f(x)＝x，g(x)＝()2

B．f(x)＝x0，g(x)＝

C．f(x)＝x，g(x)＝

D．f(x)＝，g(x)＝

答案：B　

解析：同一函数需满足定义域、对应关系相同．故选B．

3．设f(x)＝，则＝(　　)

A．1        B．－1

C．        D．－

答案：B　

解析：f(2)＝＝，f＝＝－，

∴＝＝－1.故选B．

4．y＝的定义域为____________．

答案：[－2,1)∪(1,2]　

解析：由得－2≤x≤2，且x≠1.故所求定义域为[－2,1)∪(1,2]．

5．函数y＝的值域是____________．

答案：(－1,1]　

解析：y＝＝＝－1＋.

∵1＋2x2≥1，∴0＜≤1.

∴0＜≤2，∴－1＜y≤1.

6．求函数y＝x－的值域．

解：设t＝，则t≥0，x＝.

于是函数就可以化成y＝－t＝(t－1)2.

∵t≥0，∴y≥0.

∴函数y＝x－的值域为[0，＋∞)．

[误区警示]　对函数定义域的逆向问题考虑不全面致误

[典例]　已知函数y＝的定义域为R，求实数k的值．

[错解]　函数的定义域为R，

即k2x2＋3kx＋1≠0对任意的实数x恒成立．

∴ Δ＝9k2－4k2＜0，此时5k2＜0，

无解，∴ k值不存在．

[错因分析]　忽视k＝0时情况的讨论，误认为f(x)＝k2x2＋3kx＋1一定是二次函数．

[正解]　问题转化为：求使k2x2＋3kx＋1≠0成立的k的值．

(1)当k＝0时，y＝＝－8，定义域为R，

∴ k＝0符合题意．

(2)当k≠0时，k2＞0，

∴ k2x2＋3kx＋1≠0，

即Δ＝9k2－4k2＜0，

此时5k2＜0，无解．

综上，k＝0时函数y＝的定义域为R.

[防范措施]　(1)已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，常转化为方程或不等式的解的问题．

(2)本题中k2x2＋3kx＋1≠0对x∈R恒成立，注意对二次项系数k2的讨论，不可掉以轻心．