2022-2023 数学浙教版中考考点经典导学 考点25图形的相似

考点25图形的相似

考点总结

1、相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

2、相似三角形的基本定理

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

用数学语言表述如下：

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC

相似三角形的等价关系：

（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；

（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC

（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。

3、三角形相似的判定

（1）三角形相似的判定方法

①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似

②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似

（2）直角三角形相似的判定方法

①以上各种判定方法均适用

②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

4、相似三角形的性质

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

（3）相似三角形周长的比等于相似比

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

真题演练

一、单选题

1．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（   ）

A． B． C． D．

3．（2021·浙江温州·中考真题）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．15

4．（2021·浙江滨江·三模）如图，与的边相切，切点为点，并分别与、边相交于、点，，过点作交于点，若的半径不变，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．无法确定

5．（2021·浙江滨江·二模）如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上分别任取一点P，Q，且AP＝CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC＝2AP，则BO＝6OP；②若BC＝8，BP＝7，则PC＝5；③AP2＝OP•AQ；④若AB＝3，则OC的最小值为，其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③

6．（2021·浙江椒江·一模）一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，最小三角形的面积为，把较大两个三角形纸片按图2方式放置，图2中的阴影部分面积为，若，则矩形的长宽之比为（    ）

A．2 B． C． D．

7．（2021·浙江椒江·一模）在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到，若点A和它的对应点的坐标分别为，则与的相似比为（    ）

A． B．2 C． D．3

8．（2021·浙江庆元·一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边BC，CD，DA上，四边形EFGH由两个正方形组成，且，则线段BE的长为（   ）

A． B． C． D．

9．（2021·浙江南湖·二模）如图，在直角坐标系中，的顶点的坐标为，现以坐标原点为位似中心，作与的位似比为的位似图形，则的坐标为（    ）

A． B．

C．或 D．或

10．（2021·浙江龙湾·二模）如图，六边形是中心对称图形．点，在面积为8的正方形的对角线上．若，点，关于对称，则四边形的面积为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．（2021·浙江丽水·中考真题）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是__________．

12．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，对角线，BD交于点O,，于点，若AB=2，，则的长为__________________．

13．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为__________________．

14．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）线段，点为线段的黄金分割点（），则的长为______．

15．（2021·浙江省杭州市上泗中学二模）在矩形中，已知点在对角线上，且，连接，过点作的垂线，交矩形的边于点，若，则_______________________．

三、解答题

16．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）如图，在中，于点，于点，．

（1）求证：∽；

（2）若，，求的长．

17．（2021·浙江金华·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．

（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．

①若，求证：．

②若，求四边形的面积．

（2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．

18．（2021·浙江·中考真题）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．

（1）如图1，过点作轴于点，连结．

①若，求证：四边形是平行四边形；