高考数学三轮冲刺压轴小题13 与球相关的外接与内切问题 (2份打包，解析版+原卷版)

一．方法综述

     如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力。

研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：

（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.

（2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决.

（3）球自身的对称性与多面体的对称性；

二．解题策略

 类型一   柱体与球

【例1】已知长方体的表面积为，，则该长方体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【举一反三】

1.已知三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱垂直于底面且侧棱长为2，若该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

2.已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为，则这个球的表面积为（    ）．

A． B． C． D．

3．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（    ）

（附：）

A．个 B．个 C．个 D．个

类型二   锥体与球

【例2】已知球O的半径为，以球心O为中心的正四面体的各条棱均在球O的外部，若球O的球面被的四个面截得的曲线的长度之和为，则正四面体的体积为_________．

【举一反三】

1.正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为______．

2．《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为            

3．在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是一个正三角形，若平面平面，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

类型三    构造法（补形法）

【例3】已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，，，，是线段上一点，且.过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【举一反三】

1.三棱锥中，侧棱与底面垂直，，，且，则三棱锥的外接球的表面积等于      ．

2.已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为

A． B． C． D．

3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

类型四    与球体相关的最值问题

【例4】在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高（   ）

A． B． C． D．

【举一反三】

1.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球体积为（    ）

A． B． C． D．

2．已知，，，四点在同一个球的球面上，，，若四面体体积的最大值为3，则这个球的表面积为（   ）

A． B． C． D．

3．菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，沿对角线AC将三角形ACD折起，当三棱锥D－ABC体积最大时，其外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

三．强化训练

一、选择题

1．棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的表面积为（    ）

A． B． C． D．

2、（在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（　　）

A． B． C． D．

3．如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体.古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》的卷13中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球.若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为（    ）

A． B． C． D．

4．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，，，，则四棱锥外接球的表面积为（   ）

A．            B．              C．                D．

5．在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（　　）

A． B． C． D．

6、某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（   ）

A． B．

C． D．

7．如图，三棱锥的体积为，又，，，，且二面角为锐角，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

8．在如图所示的空间几何体中，下面的长方体的三条棱长，，上面的四棱锥中，，，则过五点、、、、的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

9．三棱锥P—ABC中，底面ABC满足BA=BC， ，点P在底面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到底面ABC的距离为（    ）

A．3 B． C． D．

10．在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD=30°，，若将△ABD沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BDC外接球的表面积是(   )

A．4π B．5π C．6π D．8π

11．设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，，则当三棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

12.已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（　　）

A． B． C． D．

13．已知球夹在一个二面角之间，与两个半平面分别相切于点.若，球心到该二面角的棱的距离为2，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

14．已知点在半径为2的球面上，满足，，若S是球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

15．已知半球与圆台有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

16．圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，该圆柱内有一个体积为V的球，则V的最大值为              

17．半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为，则该二十四等边体外接球的表面积为               

18．在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，，若平面交于点，四棱锥的五个顶点都在球的球面上，则球半径为          

19．设是同一个半径为4的球的球面上四点，在中，,,则三棱锥体积的最大值为          

20．正三棱锥S－ABC的外接球半径为2，底边长AB＝3，则此棱锥的体积为           

21．已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，，点B在AC上的射影为D，则三棱锥体积的最大值为            

22．已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为__________.

23．如图，在三棱锥中，平面，，，，是的中点，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最小值为___

24．若正四棱锥的底面边长和高均为8，M为侧棱的中点，则四棱锥外接球的表面积为___________.

25．已知P为球O球面上一点，点M满足，过点M与成的平面截球O，截面的面积为，则球O的表面积为________.

26．如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，设图中球和球的半径分别为1和3，，截面分别与球和球切于点和，则此椭圆的长轴长为___________.

27．在长方体中，，，，过点A且与直线平行的平面将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为___________.

28．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为___________.

29．已知四面体的棱长均为分别为棱上靠近点的三等分点，过三点的平面与四面体的外接球的球面相交,得圆，则球的半径为___________，圆的面积为__________．