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高考数学三轮冲刺压轴小题26 创新型问题 (2份打包，解析版+原卷版)
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这是一份高考数学三轮冲刺压轴小题26 创新型问题 (2份打包，解析版+原卷版)，文件包含高考数学三轮冲刺压轴小题26创新型问题解析版doc、高考数学三轮冲刺压轴小题26创新型问题原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
创新型问题主要包括：
（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）.
（Ⅱ）创新性问题
①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.
②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.
③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.
【解题策略】
类型一 实际应用问题
【例1】（2020·湖南长郡中学高考模拟（理））“军事五项”是衡量军队战斗力的一种标志，从1950年开始，国际军体理事会每年组织一届军事五项世界锦标赛．“军事五项”的五个项目分别为200米标准步枪射击、500米障碍赛跑、50米实用游泳、投弹、8公里越野跑．已知甲、乙、丙共三人参加“军事五项”．规定每一项运动队的前三名得分都分别为a、b、c（a＞b＞c且a、b、c∈N*），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的投弹比赛获得了第一名，则50米实用游泳比赛的第三名是
A．甲B．乙C．丙D．乙和丙都有可能
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题中所给的条件，求得三个名次对应的分数 SKIPIF 1 < 0 的值，从而得到甲乙丙三人各自的得分，从而得到相应的名次，从而求得结果.
【详解】
根据题中所给的五人的得分，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为乙投弹获得了第一名，且得分为 SKIPIF 1 < 0 分，所以 SKIPIF 1 < 0 不合题意，
所以得到乙的成绩为投弹第一，剩下的都是第三名，
因为甲得分22分，所以甲投弹第二，其余四项都是第一，
所以丙投弹第三，剩下四项都是第二，从而得到50米实用游泳比赛的第三名是乙，故选B.
【例2】某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，从 SKIPIF 1 < 0 点测得 SKIPIF 1 < 0 ，从点 SKIPIF 1 < 0 测得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从点 SKIPIF 1 < 0 测得 SKIPIF 1 < 0 ，并测得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （单位：千米），测得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的距离为___________千米.
【来源】数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略（二）（新高考地区专用）【名师堂】（5月22日）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 （千米）.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
点睛：解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
【举一反三】
1.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 SKIPIF 1 < 0 变轨进入月球球 SKIPIF 1 < 0 为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在 SKIPIF 1 < 0 点第二次变轨进入仍以 SKIPIF 1 < 0 为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 ③ SKIPIF 1 < 0 ④ SKIPIF 1 < 0
其中正确的式子的序号是（ ）
A． ②③ B． ①④ C． ①③ D． ②④
【答案】B
2.(2020北京市西城区一模)团体购买公园门票，票价如下表：
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数____；____.
【答案】70 40
【解析】
∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a+b≥51，
（1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）＝990得：a+b＝90，①
由共需支付门票费为1290元可知，11a+13b＝1290 ②
解①②得：b＝150，a＝﹣60，不符合题意．
（2）若a+b≥100，则9 （a+b）＝990，得 a+b＝110 ③
由共需支付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，
得11a+13b＝1290 ④，
解③④得：a＝70人，b＝40人，
故答案为：70，40．
【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．
类型二 创新性问题
【例3】（2020·广东高考模拟（理））设是直角坐标平面上的任意点集，定义．若，则称点集“关于运算*对称”．给定点集，，，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】试题分析：将 SKIPIF 1 < 0 带入 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，显然不行，故集合A不满足关于运算 SKIPIF 1 < 0 对称，将 SKIPIF 1 < 0 带入 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，显然不行，故集合B不满足关于运算 SKIPIF 1 < 0 对称，将 SKIPIF 1 < 0 带入 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，故集合C满足关于运算 SKIPIF 1 < 0 对称，故只有一个集合满足关于运算 SKIPIF 1 < 0 对称，故选B.
【例4】对于向量 SKIPIF 1 < 0 ，把能够使得 SKIPIF 1 < 0 取到最小值的点 SKIPIF 1 < 0 称为 SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”.如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 的两条对角线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，联结 SKIPIF 1 < 0 ，分别交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点.下列的结论中，正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”为 SKIPIF 1 < 0 .
B． SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”为 SKIPIF 1 < 0 的中点.
C． SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”存在且唯一.
D． SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”必为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”为线段上的任意一点，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”为三角形内部对3条边的张角均为 SKIPIF 1 < 0 的点，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”是线段 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对 SKIPIF 1 < 0 ，因为矩形 SKIPIF 1 < 0 的两条对角线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，联结 SKIPIF 1 < 0 ，分别交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，所以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”必为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
【举一反三】
1．对任一实数序列 SKIPIF 1 < 0 ，定义序列 SKIPIF 1 < 0 ，它的第 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 .假定序列 SKIPIF 1 < 0 的所有项都为1，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1000B．2000C．2003D．4006
【来源】湖南省常德市第一中学2021届高三下学期第五次月考数学试题
【答案】D
【解析】依题意知 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列,设其首项为 SKIPIF 1 < 0 ,通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，于是
SKIPIF 1 < 0 由于 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2.（2020兰州高三联考）若数列满足：对任意的且，总存在，使得 ，则称数列是“数列”．现有以下四个数列：①；②；③；④．其中是“数列”的有( )
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【解析】
令，则，所以数列是“数列”；
令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；
令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；
令，则 ，所以数列是“数列”．
综上，“数列”的个数为．
本题选择C选项.
3．（2020·河南高考模拟）在实数集R中定义一种运算“”，对于任意给定的为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意；
（2）对任意；
（3）对任意.
关于函数的性质，有如下说法：
①函数的最小值为3；
②函数为奇函数；
③函数的单调递增区间为.
其中所有正确说法的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】试题分析：在（3）中，令，可得，则，易知函数是非奇非偶函数，故②错；又范围不确定，不能直接用基本不等式求最值.故①错.又，由可得函数单调递增区间为，故③对.故本题答案选C.
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性与导数间的关系.
【思路点晴】本题是新定义题型.主要考查函数的奇偶性，函数的单调性.基本不等式. 此种类型题目的关键在于对新定义的理解.如本题中运算.利用新定义将运算转化为常规运算.转化后就看对基本不等式的理解，利用基本不等式求最值时，一定要求各项必须为正数.本题中无此范围，故最值不能直接求，可利用函数的单调性讨论解决.
【强化训练】
一、选择题
1．对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若正整数组 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的一个拆，设 SKIPIF 1 < 0 中全为奇数，偶数时拆的个数分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 B．不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
C．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 D．不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
【来源】浙江省宁波市宁海中学2021届高三下学期3月高考适应性考试数学试题
【答案】D
【解析】对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，至少存在一个全为1的拆分，故A错误；
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 是每个数均为偶数的分拆，则它至少对应了 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的均为奇数的拆，
当 SKIPIF 1 < 0 时，偶数拆为 SKIPIF 1 < 0 ，奇数拆为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，偶数拆为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，奇数拆为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
故当 SKIPIF 1 < 0 时，对于偶数的拆，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的拆，故 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误，D正确.
故选：D
2．（2020·武邑宏达学校高考模拟（理））定义：如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“中值函数”.已知函数是上的“中值函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，由题意在上有两个不等实根，方程即为，令 ，则，解得．故选B．
3．（2020·福建高考模拟）定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则=( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：设数列{}的前n项和为，则由题意可得，
∴，，
∴，∴．
4．（2020北京市四中高考调研卷）若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；④．
其中为“柯西函数”的个数为 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，
当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，
结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.
①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；
②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；
③；④．显然都是柯西函数.
故选：B
5．（2020·永安市第一中学高考模拟）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（ ）
A．3972B．3974C．3991D．3993
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意知，每次涂成红色的数字成等差数列，并且第n次染色时所染的最后一个数是n(2n-1)，可以求出2019个数是在第45次染色的倒数第7个数，因此可求得结果．
【详解】第1此染色的数为1=1 SKIPIF 1 < 0 ，共染色1个，
第2次染色的最后一个数为6=2 SKIPIF 1 < 0 ，共染色3个，
第3次染色的最后一个数为15=3 SKIPIF 1 < 0 ，共染色5个，
第4次染色的最后一个数为28=4 SKIPIF 1 < 0 ，共染色7个，
第5次染色的最后一个数为45=5 SKIPIF 1 < 0 ，共染色9个，
…
∴第n次染色的最后一个数为n SKIPIF 1 < 0 ，共染色2n-1个，
经过n次染色后被染色的数共有1+3+5+…+（2n-1）=n2个，
而2019 SKIPIF 1 < 0 ，
∴第2019个数是在第45次染色时被染色的，第45次染色的最后一个数为45 SKIPIF 1 < 0 ，且相邻两个数相差2，
∴2019＝45 SKIPIF 1 < 0 ＝3993．故选D．
6．（2020·福建高考模拟（理））如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为 SKIPIF 1 < 0 ．现用 SKIPIF 1 < 0 米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为 SKIPIF 1 < 0 米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据: SKIPIF 1 < 0 ）
A． SKIPIF 1 < 0 个B． SKIPIF 1 < 0 个C． SKIPIF 1 < 0 个D． SKIPIF 1 < 0 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件可得由外到内的正方形的边长依次构成等比数列，再根据等比数列求和公式得这些正方形的周长，列不等式，解得结果.
【详解】记由外到内的第 SKIPIF 1 < 0 个正方形的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故可制作完整的正方形的个数最多为 SKIPIF 1 < 0 个. 应选B.
7．（2020·四川成都七中高考模拟（理））如果 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列，但若 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，那么称 SKIPIF 1 < 0 为“局部等差”数列.已知数列 SKIPIF 1 < 0 的项数为4，记事件 SKIPIF 1 < 0 ：集合 SKIPIF 1 < 0 ，事件 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 为“局部等差”数列，则条件概率 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出事件 SKIPIF 1 < 0 与事件 SKIPIF 1 < 0 的基本事件的个数，用 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 计算结果.
【详解】由题意知，事件 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 =120个基本事件，事件 SKIPIF 1 < 0 “局部等差”数列共有以下24个基本事件，
（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个， 含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.
含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个.
含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共 2个，
含4，3，2的同理也有2个.
含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个，
含5，3，1的也有上述4个，共24个，
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .故选C.
8．（2020北京市清华大学附属中学一模）正方形的边长为1，点在边上，点在边上，．动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为( )
A．4B．3C．8D．6
【答案】D
【解析】
根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，
在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，
G在DA上，且DG，
第三次碰撞点为H，H在DC上，且DH，
第四次碰撞点为M，M在CB上，且CM，
第五次碰撞点为N，N在DA上，且AN，
第六次回到E点，AE．
故需要碰撞6次即可．
故选：D．
9．几何中常用表示 SKIPIF 1 < 0 的测度，当 SKIPIF 1 < 0 为曲线、平面图形和空间几何体时， SKIPIF 1 < 0 分别对应其长度、面积和体积．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 内部一动点（含边界），在空间中，到点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 的点的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【来源】专题4.3 立体几何的动态问题-玩转压轴题，进军满分之2021高考数学选择题填空题
【答案】D
【解析】空间中，到点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 的点的轨迹所构成的空间几何体在垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 的角度看，如下图所示：
其中： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 区域内的几何体为底面半径为 SKIPIF 1 < 0 的半圆柱； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 区域内的几何体是高为 SKIPIF 1 < 0 的直三棱柱.
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为矩形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 区域内的几何体合成一个完整的，半径为 SKIPIF 1 < 0 的球，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 区域内的几何体的体积之和 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 区域内的几何体的体积之和 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 区域内的直三棱柱体积 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
10．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面 SKIPIF 1 < 0 上有一个小孔 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点到 SKIPIF 1 < 0 的距离为3，若该正方体水槽绕 SKIPIF 1 < 0 倾斜（ SKIPIF 1 < 0 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面 SKIPIF 1 < 0 与桌面所成角的正切值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【来源】热点08 立体几何-2021年高考数学【热点�重点�难点】专练（山东专用）
【答案】D
【解析】由题意知，水的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
设正方体水槽绕 SKIPIF 1 < 0 倾斜后，水面分别与棱 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，水的体积为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
在平面 SKIPIF 1 < 0 内，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，且 SKIPIF 1 < 0
又侧面 SKIPIF 1 < 0 与桌面所成的角即侧面 SKIPIF 1 < 0 与水面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，即侧面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角,其平面角为 SKIPIF 1 < 0 ,
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
二、填空题
11.（2020安徽省宣城市二调）数列的前项和为，定义的“优值”为 ，现已知的“优值”，则_________.
【答案】
【解析】解：由＝2n，
得a1+2a2+…+2n﹣1an＝n•2n，①
n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1＝（n﹣1）•2n﹣1，②
①﹣②得2n﹣1an＝n•2n﹣（n﹣1）•2n﹣1＝（n+1）•2n﹣1，即an＝n+1，
对n＝1时，a1＝2也成立，
所以 .
12．（2020·广西高考模拟（理））如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为 SKIPIF 1 < 0 厘米，底面半径为 SKIPIF 1 < 0 厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】对圆柱沿底面直径进行纵切,如图所示:
切点为 SKIPIF 1 < 0 ,与圆柱面相交于 SKIPIF 1 < 0 ,此时可知 SKIPIF 1 < 0 即为椭圆的长轴 SKIPIF 1 < 0 ,在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,又因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长,即 SKIPIF 1 < 0 ,则求得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故选A.
点睛:本题主要考查圆锥曲线与三角函数交汇处的综合应用,属于难题.此题的难点是如何求出长半轴 SKIPIF 1 < 0 的值,需要先利用切线性质求出 SKIPIF 1 < 0 ,再利用相似求出 SKIPIF 1 < 0 长,即为 SKIPIF 1 < 0 ,短轴长为底面半径,故 SKIPIF 1 < 0 比较容易求出,根据椭圆中的关系式 SKIPIF 1 < 0 ,得出 SKIPIF 1 < 0 值,进而求出离心率.
13.（2020山东省淄博实验中学一诊）定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期若为线周期函数，则的值为______.
【答案】1
【解析】
若为线周期函数
则满足对任意，恒成立
即，
即
则
本题正确结果：
14．（2020四川省成都市二诊）在平面直角坐标系中，定义两点，间的折线距离为，已知点,,，则的最小值为___.
【答案】
【解析】d（O，C）＝|x|+|y|＝1，
首先证明：，两边平方得到
变形为，由重要不等式，显然此不等式成立，
故根据不等式的性质得到：．
故答案为：．
15．如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB＝1m，AD＝0.5m，则五边形ABCEF的面积最大值为____m2.
【答案】
【解析】
以O为坐标原点，AD所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设边缘线OM上一点，则，
设EF与边缘线OM的切点为,
因为，所以，故EF所在直线方程为，
因此，其中，
从而
因为
当时，，当时，，
即当时取最小值，从而五边形ABCEF的面积取最大值.
16．（2020北京师范大学附属实验中学）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：
①数列是等比数列；
②数列是递增数列；
③存在最小的正数，使得对任意的正整数 ，都有 ；
④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有．
其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.
【答案】②④
【解析】
由题意，得图1中线段为，即；
图2中正六边形边长为，则；
图3中的最小正六边形边长为，则；
图4中的最小正六边形边长为，则；
由此类推，，
所以为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确；
因为
，
即存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有，
即④正确；③错误，
综上可知正确的由②④.
17．（2020河南省十所名校联考）若函数的图象存在经过原点的对称轴，则称为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有_________.（填写所有正确结论的序号）
①；②；③.
【答案】①②
【解析】
对于①中，的反函数为：，所以函数关于直线对称，故①是“旋转对称函数”.
对于②，，所以函数是偶函数，它关于轴对称，故②是“旋转对称函数”.
对于③，，当时，，则函数的图像只可能关于直线对称，又，当时，，这与函数的图像关于直线对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”.
18．（2020·四川高考模拟）如图，在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，动点 SKIPIF 1 < 0 在其表面上运动，且 SKIPIF 1 < 0 ，把点的轨迹长度 SKIPIF 1 < 0 称为“喇叭花”函数，给出下列结论：
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0
其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号）
【答案】②③④
【解析】
SKIPIF 1 < 0 由如图三段相同的四分之一个圆心为A半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆弧长组成，因此 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 由如图三段相同的四分之一个圆心为A半径为1 的圆弧长组成，因此 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 由如图三段相同的四分之一个圆心分别为 SKIPIF 1 < 0 半径为1 的圆弧长组成，因此 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 由如图三段相同弧长组成，圆心角为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，因此选②③④
19．（2020·辽宁高考模拟（理））大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．如图所示，已知∠ABE＝α，∠ADE＝β，垂直放置的标杆BC的高度h＝4米，大雁塔高度H＝64米．某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与α，β的关系．该小组测得α，β的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离d，使α与β的差较大时，可以提高测量精确度，求α﹣β最大时，标杆到大雁塔的距离d为_____米．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，因此当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，即 SKIPIF 1 < 0 取最大，即标杆到大雁塔的距离 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
20．（2020·山东省淄博实验中学高考模拟（理））定义在封闭的平面区域 SKIPIF 1 < 0 内任意两点的距离的最大值称为平面区域 SKIPIF 1 < 0 的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点 SKIPIF 1 < 0 在半径为1的圆上，且 SKIPIF 1 < 0 ，分别以 SKIPIF 1 < 0 各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和 SKIPIF 1 < 0 构成平面区域 SKIPIF 1 < 0 ，则平面区域 SKIPIF 1 < 0 的“直径”的最大值是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设三个半圆圆心分别为G,F，E，半径分别为 SKIPIF 1 < 0 M,P,N分别为半圆上的动点，则PM≤ SKIPIF 1 < 0 +GF= SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当M,G,F,P共线时取等；同理：PN ≤ SKIPIF 1 < 0 MN≤ SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 外接圆半径为1， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,∴BC=a=2sin SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 解b+c≤2 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当b=c= SKIPIF 1 < 0 取等；故 SKIPIF 1 < 0
21．（2020·首都师范大学附属中学高考模拟（理））定义：对于数列 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，那么我们称数列 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 ﹣摆动数列”.
①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 _____“ SKIPIF 1 < 0 ﹣摆动数列”， SKIPIF 1 < 0 _____“ SKIPIF 1 < 0 ﹣摆动数列”（回答是或不是）；
②已知“ SKIPIF 1 < 0 ﹣摆动数列” SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则常数 SKIPIF 1 < 0 的值为_____.
【答案】不是 是 SKIPIF 1 < 0
【解析】①由 SKIPIF 1 < 0 知道 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，故不存在满足定义的 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 正负数值交替出现，故 SKIPIF 1 < 0 时满足定义
②因为数列 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 ﹣摆动数列”，故 SKIPIF 1 < 0 时有 SKIPIF 1 < 0
可求得： SKIPIF 1 < 0
又因为使对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，即有 SKIPIF 1 < 0 成立
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0
同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
同理 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
综上， SKIPIF 1 < 0
本题正确结果：不是；是； SKIPIF 1 < 0 购票人数
1~50
51~100
100以上
门票价格
13元/人
11元/人
9元/人
创新型问题主要包括：
（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）.
（Ⅱ）创新性问题
①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.
②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.
③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.
【解题策略】
类型一 实际应用问题
【例1】（2020·湖南长郡中学高考模拟（理））“军事五项”是衡量军队战斗力的一种标志，从1950年开始，国际军体理事会每年组织一届军事五项世界锦标赛．“军事五项”的五个项目分别为200米标准步枪射击、500米障碍赛跑、50米实用游泳、投弹、8公里越野跑．已知甲、乙、丙共三人参加“军事五项”．规定每一项运动队的前三名得分都分别为a、b、c（a＞b＞c且a、b、c∈N*），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的投弹比赛获得了第一名，则50米实用游泳比赛的第三名是
A．甲B．乙C．丙D．乙和丙都有可能
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题中所给的条件，求得三个名次对应的分数 SKIPIF 1 < 0 的值，从而得到甲乙丙三人各自的得分，从而得到相应的名次，从而求得结果.
【详解】
根据题中所给的五人的得分，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为乙投弹获得了第一名，且得分为 SKIPIF 1 < 0 分，所以 SKIPIF 1 < 0 不合题意，
所以得到乙的成绩为投弹第一，剩下的都是第三名，
因为甲得分22分，所以甲投弹第二，其余四项都是第一，
所以丙投弹第三，剩下四项都是第二，从而得到50米实用游泳比赛的第三名是乙，故选B.
【例2】某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，从 SKIPIF 1 < 0 点测得 SKIPIF 1 < 0 ，从点 SKIPIF 1 < 0 测得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从点 SKIPIF 1 < 0 测得 SKIPIF 1 < 0 ，并测得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （单位：千米），测得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的距离为___________千米.
【来源】数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略（二）（新高考地区专用）【名师堂】（5月22日）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 （千米）.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
点睛：解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
【举一反三】
1.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 SKIPIF 1 < 0 变轨进入月球球 SKIPIF 1 < 0 为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在 SKIPIF 1 < 0 点第二次变轨进入仍以 SKIPIF 1 < 0 为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 ③ SKIPIF 1 < 0 ④ SKIPIF 1 < 0
其中正确的式子的序号是（ ）
A． ②③ B． ①④ C． ①③ D． ②④
【答案】B
2.(2020北京市西城区一模)团体购买公园门票，票价如下表：
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数____；____.
【答案】70 40
【解析】
∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a+b≥51，
（1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）＝990得：a+b＝90，①
由共需支付门票费为1290元可知，11a+13b＝1290 ②
解①②得：b＝150，a＝﹣60，不符合题意．
（2）若a+b≥100，则9 （a+b）＝990，得 a+b＝110 ③
由共需支付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，
得11a+13b＝1290 ④，
解③④得：a＝70人，b＝40人，
故答案为：70，40．
【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．
类型二 创新性问题
【例3】（2020·广东高考模拟（理））设是直角坐标平面上的任意点集，定义．若，则称点集“关于运算*对称”．给定点集，，，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】试题分析：将 SKIPIF 1 < 0 带入 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，显然不行，故集合A不满足关于运算 SKIPIF 1 < 0 对称，将 SKIPIF 1 < 0 带入 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，显然不行，故集合B不满足关于运算 SKIPIF 1 < 0 对称，将 SKIPIF 1 < 0 带入 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，故集合C满足关于运算 SKIPIF 1 < 0 对称，故只有一个集合满足关于运算 SKIPIF 1 < 0 对称，故选B.
【例4】对于向量 SKIPIF 1 < 0 ，把能够使得 SKIPIF 1 < 0 取到最小值的点 SKIPIF 1 < 0 称为 SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”.如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 的两条对角线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，联结 SKIPIF 1 < 0 ，分别交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点.下列的结论中，正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”为 SKIPIF 1 < 0 .
B． SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”为 SKIPIF 1 < 0 的中点.
C． SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”存在且唯一.
D． SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”必为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”为线段上的任意一点，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”为三角形内部对3条边的张角均为 SKIPIF 1 < 0 的点，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”是线段 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对 SKIPIF 1 < 0 ，因为矩形 SKIPIF 1 < 0 的两条对角线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，联结 SKIPIF 1 < 0 ，分别交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，所以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”必为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
【举一反三】
1．对任一实数序列 SKIPIF 1 < 0 ，定义序列 SKIPIF 1 < 0 ，它的第 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 .假定序列 SKIPIF 1 < 0 的所有项都为1，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1000B．2000C．2003D．4006
【来源】湖南省常德市第一中学2021届高三下学期第五次月考数学试题
【答案】D
【解析】依题意知 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列,设其首项为 SKIPIF 1 < 0 ,通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，于是
SKIPIF 1 < 0 由于 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2.（2020兰州高三联考）若数列满足：对任意的且，总存在，使得 ，则称数列是“数列”．现有以下四个数列：①；②；③；④．其中是“数列”的有( )
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【解析】
令，则，所以数列是“数列”；
令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；
令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；
令，则 ，所以数列是“数列”．
综上，“数列”的个数为．
本题选择C选项.
3．（2020·河南高考模拟）在实数集R中定义一种运算“”，对于任意给定的为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意；
（2）对任意；
（3）对任意.
关于函数的性质，有如下说法：
①函数的最小值为3；
②函数为奇函数；
③函数的单调递增区间为.
其中所有正确说法的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】试题分析：在（3）中，令，可得，则，易知函数是非奇非偶函数，故②错；又范围不确定，不能直接用基本不等式求最值.故①错.又，由可得函数单调递增区间为，故③对.故本题答案选C.
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性与导数间的关系.
【思路点晴】本题是新定义题型.主要考查函数的奇偶性，函数的单调性.基本不等式. 此种类型题目的关键在于对新定义的理解.如本题中运算.利用新定义将运算转化为常规运算.转化后就看对基本不等式的理解，利用基本不等式求最值时，一定要求各项必须为正数.本题中无此范围，故最值不能直接求，可利用函数的单调性讨论解决.
【强化训练】
一、选择题
1．对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若正整数组 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的一个拆，设 SKIPIF 1 < 0 中全为奇数，偶数时拆的个数分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 B．不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
C．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 D．不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
【来源】浙江省宁波市宁海中学2021届高三下学期3月高考适应性考试数学试题
【答案】D
【解析】对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，至少存在一个全为1的拆分，故A错误；
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 是每个数均为偶数的分拆，则它至少对应了 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的均为奇数的拆，
当 SKIPIF 1 < 0 时，偶数拆为 SKIPIF 1 < 0 ，奇数拆为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，偶数拆为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，奇数拆为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
故当 SKIPIF 1 < 0 时，对于偶数的拆，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的拆，故 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误，D正确.
故选：D
2．（2020·武邑宏达学校高考模拟（理））定义：如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“中值函数”.已知函数是上的“中值函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，由题意在上有两个不等实根，方程即为，令 ，则，解得．故选B．
3．（2020·福建高考模拟）定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则=( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：设数列{}的前n项和为，则由题意可得，
∴，，
∴，∴．
4．（2020北京市四中高考调研卷）若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；④．
其中为“柯西函数”的个数为 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，
当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，
结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.
①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；
②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；
③；④．显然都是柯西函数.
故选：B
5．（2020·永安市第一中学高考模拟）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（ ）
A．3972B．3974C．3991D．3993
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意知，每次涂成红色的数字成等差数列，并且第n次染色时所染的最后一个数是n(2n-1)，可以求出2019个数是在第45次染色的倒数第7个数，因此可求得结果．
【详解】第1此染色的数为1=1 SKIPIF 1 < 0 ，共染色1个，
第2次染色的最后一个数为6=2 SKIPIF 1 < 0 ，共染色3个，
第3次染色的最后一个数为15=3 SKIPIF 1 < 0 ，共染色5个，
第4次染色的最后一个数为28=4 SKIPIF 1 < 0 ，共染色7个，
第5次染色的最后一个数为45=5 SKIPIF 1 < 0 ，共染色9个，
…
∴第n次染色的最后一个数为n SKIPIF 1 < 0 ，共染色2n-1个，
经过n次染色后被染色的数共有1+3+5+…+（2n-1）=n2个，
而2019 SKIPIF 1 < 0 ，
∴第2019个数是在第45次染色时被染色的，第45次染色的最后一个数为45 SKIPIF 1 < 0 ，且相邻两个数相差2，
∴2019＝45 SKIPIF 1 < 0 ＝3993．故选D．
6．（2020·福建高考模拟（理））如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为 SKIPIF 1 < 0 ．现用 SKIPIF 1 < 0 米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为 SKIPIF 1 < 0 米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据: SKIPIF 1 < 0 ）
A． SKIPIF 1 < 0 个B． SKIPIF 1 < 0 个C． SKIPIF 1 < 0 个D． SKIPIF 1 < 0 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件可得由外到内的正方形的边长依次构成等比数列，再根据等比数列求和公式得这些正方形的周长，列不等式，解得结果.
【详解】记由外到内的第 SKIPIF 1 < 0 个正方形的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故可制作完整的正方形的个数最多为 SKIPIF 1 < 0 个. 应选B.
7．（2020·四川成都七中高考模拟（理））如果 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列，但若 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，那么称 SKIPIF 1 < 0 为“局部等差”数列.已知数列 SKIPIF 1 < 0 的项数为4，记事件 SKIPIF 1 < 0 ：集合 SKIPIF 1 < 0 ，事件 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 为“局部等差”数列，则条件概率 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出事件 SKIPIF 1 < 0 与事件 SKIPIF 1 < 0 的基本事件的个数，用 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 计算结果.
【详解】由题意知，事件 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 =120个基本事件，事件 SKIPIF 1 < 0 “局部等差”数列共有以下24个基本事件，
（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个， 含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.
含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个.
含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共 2个，
含4，3，2的同理也有2个.
含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个，
含5，3，1的也有上述4个，共24个，
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .故选C.
8．（2020北京市清华大学附属中学一模）正方形的边长为1，点在边上，点在边上，．动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为( )
A．4B．3C．8D．6
【答案】D
【解析】
根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，
在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，
G在DA上，且DG，
第三次碰撞点为H，H在DC上，且DH，
第四次碰撞点为M，M在CB上，且CM，
第五次碰撞点为N，N在DA上，且AN，
第六次回到E点，AE．
故需要碰撞6次即可．
故选：D．
9．几何中常用表示 SKIPIF 1 < 0 的测度，当 SKIPIF 1 < 0 为曲线、平面图形和空间几何体时， SKIPIF 1 < 0 分别对应其长度、面积和体积．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 内部一动点（含边界），在空间中，到点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 的点的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【来源】专题4.3 立体几何的动态问题-玩转压轴题，进军满分之2021高考数学选择题填空题
【答案】D
【解析】空间中，到点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 的点的轨迹所构成的空间几何体在垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 的角度看，如下图所示：
其中： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 区域内的几何体为底面半径为 SKIPIF 1 < 0 的半圆柱； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 区域内的几何体是高为 SKIPIF 1 < 0 的直三棱柱.
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为矩形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 区域内的几何体合成一个完整的，半径为 SKIPIF 1 < 0 的球，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 区域内的几何体的体积之和 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 区域内的几何体的体积之和 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 区域内的直三棱柱体积 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
10．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面 SKIPIF 1 < 0 上有一个小孔 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点到 SKIPIF 1 < 0 的距离为3，若该正方体水槽绕 SKIPIF 1 < 0 倾斜（ SKIPIF 1 < 0 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面 SKIPIF 1 < 0 与桌面所成角的正切值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【来源】热点08 立体几何-2021年高考数学【热点�重点�难点】专练（山东专用）
【答案】D
【解析】由题意知，水的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
设正方体水槽绕 SKIPIF 1 < 0 倾斜后，水面分别与棱 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，水的体积为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
在平面 SKIPIF 1 < 0 内，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，且 SKIPIF 1 < 0
又侧面 SKIPIF 1 < 0 与桌面所成的角即侧面 SKIPIF 1 < 0 与水面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，即侧面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角,其平面角为 SKIPIF 1 < 0 ,
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
二、填空题
11.（2020安徽省宣城市二调）数列的前项和为，定义的“优值”为 ，现已知的“优值”，则_________.
【答案】
【解析】解：由＝2n，
得a1+2a2+…+2n﹣1an＝n•2n，①
n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1＝（n﹣1）•2n﹣1，②
①﹣②得2n﹣1an＝n•2n﹣（n﹣1）•2n﹣1＝（n+1）•2n﹣1，即an＝n+1，
对n＝1时，a1＝2也成立，
所以 .
12．（2020·广西高考模拟（理））如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为 SKIPIF 1 < 0 厘米，底面半径为 SKIPIF 1 < 0 厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】对圆柱沿底面直径进行纵切,如图所示:
切点为 SKIPIF 1 < 0 ,与圆柱面相交于 SKIPIF 1 < 0 ,此时可知 SKIPIF 1 < 0 即为椭圆的长轴 SKIPIF 1 < 0 ,在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,又因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长,即 SKIPIF 1 < 0 ,则求得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故选A.
点睛:本题主要考查圆锥曲线与三角函数交汇处的综合应用,属于难题.此题的难点是如何求出长半轴 SKIPIF 1 < 0 的值,需要先利用切线性质求出 SKIPIF 1 < 0 ,再利用相似求出 SKIPIF 1 < 0 长,即为 SKIPIF 1 < 0 ,短轴长为底面半径,故 SKIPIF 1 < 0 比较容易求出,根据椭圆中的关系式 SKIPIF 1 < 0 ,得出 SKIPIF 1 < 0 值,进而求出离心率.
13.（2020山东省淄博实验中学一诊）定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期若为线周期函数，则的值为______.
【答案】1
【解析】
若为线周期函数
则满足对任意，恒成立
即，
即
则
本题正确结果：
14．（2020四川省成都市二诊）在平面直角坐标系中，定义两点，间的折线距离为，已知点,,，则的最小值为___.
【答案】
【解析】d（O，C）＝|x|+|y|＝1，
首先证明：，两边平方得到
变形为，由重要不等式，显然此不等式成立，
故根据不等式的性质得到：．
故答案为：．
15．如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB＝1m，AD＝0.5m，则五边形ABCEF的面积最大值为____m2.
【答案】
【解析】
以O为坐标原点，AD所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设边缘线OM上一点，则，
设EF与边缘线OM的切点为,
因为，所以，故EF所在直线方程为，
因此，其中，
从而
因为
当时，，当时，，
即当时取最小值，从而五边形ABCEF的面积取最大值.
16．（2020北京师范大学附属实验中学）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：
①数列是等比数列；
②数列是递增数列；
③存在最小的正数，使得对任意的正整数 ，都有 ；
④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有．
其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.
【答案】②④
【解析】
由题意，得图1中线段为，即；
图2中正六边形边长为，则；
图3中的最小正六边形边长为，则；
图4中的最小正六边形边长为，则；
由此类推，，
所以为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确；
因为
，
即存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有，
即④正确；③错误，
综上可知正确的由②④.
17．（2020河南省十所名校联考）若函数的图象存在经过原点的对称轴，则称为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有_________.（填写所有正确结论的序号）
①；②；③.
【答案】①②
【解析】
对于①中，的反函数为：，所以函数关于直线对称，故①是“旋转对称函数”.
对于②，，所以函数是偶函数，它关于轴对称，故②是“旋转对称函数”.
对于③，，当时，，则函数的图像只可能关于直线对称，又，当时，，这与函数的图像关于直线对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”.
18．（2020·四川高考模拟）如图，在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，动点 SKIPIF 1 < 0 在其表面上运动，且 SKIPIF 1 < 0 ，把点的轨迹长度 SKIPIF 1 < 0 称为“喇叭花”函数，给出下列结论：
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0
其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号）
【答案】②③④
【解析】
SKIPIF 1 < 0 由如图三段相同的四分之一个圆心为A半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆弧长组成，因此 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 由如图三段相同的四分之一个圆心为A半径为1 的圆弧长组成，因此 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 由如图三段相同的四分之一个圆心分别为 SKIPIF 1 < 0 半径为1 的圆弧长组成，因此 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 由如图三段相同弧长组成，圆心角为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，因此选②③④
19．（2020·辽宁高考模拟（理））大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．如图所示，已知∠ABE＝α，∠ADE＝β，垂直放置的标杆BC的高度h＝4米，大雁塔高度H＝64米．某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与α，β的关系．该小组测得α，β的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离d，使α与β的差较大时，可以提高测量精确度，求α﹣β最大时，标杆到大雁塔的距离d为_____米．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，因此当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，即 SKIPIF 1 < 0 取最大，即标杆到大雁塔的距离 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
20．（2020·山东省淄博实验中学高考模拟（理））定义在封闭的平面区域 SKIPIF 1 < 0 内任意两点的距离的最大值称为平面区域 SKIPIF 1 < 0 的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点 SKIPIF 1 < 0 在半径为1的圆上，且 SKIPIF 1 < 0 ，分别以 SKIPIF 1 < 0 各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和 SKIPIF 1 < 0 构成平面区域 SKIPIF 1 < 0 ，则平面区域 SKIPIF 1 < 0 的“直径”的最大值是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设三个半圆圆心分别为G,F，E，半径分别为 SKIPIF 1 < 0 M,P,N分别为半圆上的动点，则PM≤ SKIPIF 1 < 0 +GF= SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当M,G,F,P共线时取等；同理：PN ≤ SKIPIF 1 < 0 MN≤ SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 外接圆半径为1， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,∴BC=a=2sin SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 解b+c≤2 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当b=c= SKIPIF 1 < 0 取等；故 SKIPIF 1 < 0
21．（2020·首都师范大学附属中学高考模拟（理））定义：对于数列 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，那么我们称数列 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 ﹣摆动数列”.
①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 _____“ SKIPIF 1 < 0 ﹣摆动数列”， SKIPIF 1 < 0 _____“ SKIPIF 1 < 0 ﹣摆动数列”（回答是或不是）；
②已知“ SKIPIF 1 < 0 ﹣摆动数列” SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则常数 SKIPIF 1 < 0 的值为_____.
【答案】不是 是 SKIPIF 1 < 0
【解析】①由 SKIPIF 1 < 0 知道 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，故不存在满足定义的 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 正负数值交替出现，故 SKIPIF 1 < 0 时满足定义
②因为数列 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 ﹣摆动数列”，故 SKIPIF 1 < 0 时有 SKIPIF 1 < 0
可求得： SKIPIF 1 < 0
又因为使对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，即有 SKIPIF 1 < 0 成立
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0
同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
同理 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
综上， SKIPIF 1 < 0
本题正确结果：不是；是； SKIPIF 1 < 0 购票人数
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51~100
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