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2023年中考数学专项汇编 专题 图形的旋转、中心对称
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这是一份2023年中考数学专项汇编 专题 图形的旋转、中心对称，共86页。
专题 图形的旋转、中心对称
【题型目录】
题型一 关于原点对称的点的坐标
题型二 求旋转对称图形的旋转角度
题型三 根据旋转的性质求线段长
题型四 画旋转图形
题型五 根据中心对称图形的性质求面积、长度、角度
题型六 坐标与旋转规律问题
题型七 中心对称图形规律问题
题型八 旋转的最值问题
题型九 旋转的综合题（几何变换）
【经典例题一 关于原点对称的点的坐标】
【例1】（2022秋·山东德州·九年级统考期中）已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为
【变式训练】
【变式1】（2022·新疆乌鲁木齐·校考三模）在平面直角坐标系xoy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．x＞－3
【变式2】（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）已知点在第二象限，且，则点M关于原点对称的点的坐标是___________．
【变式3】（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出向左平移个单位长度后得到的；
(2)请画出关于原点对称的；
(3)在轴上求作一点，使得的周长最小，请画出，并直接写出点的坐标．请使用铅笔和直尺画图
【经典例题二 求旋转对称图形的旋转角度】
【例2】（2021秋·广东阳江·九年级统考期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·山西大同·九年级统考期中）利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图2中的图案是由图1所示的基本图案以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转五次而组成，则旋转角的值不可能是（ ）
A．36° B．72° C．144° D．216°
【变式2】（2021秋·广东广州·九年级校联考期中）在直角坐标平面内，有点A（﹣2，0），B（0，2），将线段AB绕点B顺时针旋转后，点A的对应点C落在y轴上，那么旋转角是 _________°．
【变式3】（2022春·河南南阳·七年级统考期末）一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转）．
(1)当旋转角为______时，；
(2)在旋转过程中，与的交点记为，如图2，若中有两个内角相等，求旋转角的度数；
(3)当边与边、有交点时，如图3，连接，设，，，试求．
【经典例题三 根据旋转的性质求线段长】
旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
特别说明：1、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转；
2、只要旋转就产生等腰三角形，而且所有等腰三角形都相似；
3、旋转不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置，旋转前后两个图形全等。
【例3】（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）如图，中，，绕顶点O逆时针旋转到 处，此时线段与的交点E为的中点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，把绕点逆时针方向旋转到，点恰好落在边上，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·广东广州·九年级广州市第七中学校考期末）如图，已知中，，，将绕点A逆时针方向旋转60°到的位置，连接，则的长为______．
【变式3】（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，是等腰直角三角形，，，B为边上一点，连接，将绕点C旋转到的位置．
(1)若，求的度数；
(2)连接，求长的最小值．
【经典例题四 画旋转图形】
旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
特别说明：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
【例4】（2021·福建福州·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是，先把向右平移3个单位长度得到，再把绕点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
【变式1】（2022·山东青岛·校考一模）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A、B的对应点A′、B′的坐标分别是（ ）
A．（﹣3，3）、（﹣2，4） B．（3，﹣3）、（1，4）
C．（3，﹣3）、（﹣2，4） D．（﹣3，3）、（1，4）
【变式2】（2020秋·山东德州·九年级校考期中）如图，在边长为1的正方形网格中，，，，.线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为______.
【变式3】（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图，方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中将向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到（点A的对应点是M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出；
(2)在方格纸中画出以为斜边的等腰直角三角形（点F在小正方形的顶点上）．连接，请直接写出线段的长．
【经典例题五 根据中心对称图形的性质求面积、长度、角度】
【例5】（2022秋·广西玉林·九年级校考阶段练习）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
【变式1】（2022·广东深圳·校考模拟预测）如图，AB垂直于BC且AB＝BC＝3cm，与关于点O中心对称，AB、BC、、所围成的图形的面积是( )cm2．
A． B．π C． D．π
【变式2】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为_____________．
【变式3】（2022·八年级单元测试）如图，在长方形中，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上运动时，______（用含的代数式表示）；
(2)当点与点重合时，求的值；
(3)当时，求的值；
(4)若点关于点的中心对称点为点，直接写出和面积相等时的值．
【经典例题六 坐标与旋转规律问题】
【例6】（2022·吉林长春·模拟预测）根据指令（，），机器人在平面上完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再朝其面对的方向行走个单位现机器人在平面直角坐标系的原点，且面对轴的正方向，如果输入指令为，那么连续执行三次这样的指令，机器人所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
【变式1】（2021秋·河南驻马店·九年级统考期中）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为( )
A．(6，4) B．(−6，4) C．(4，−6) D．(−4，6)
【变式2】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段绕点按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段……如此下去，得到线段，，，……，（为正整数），则点的坐标是______．
【变式3】（2022秋·全国·九年级专题练习）今后你将大量遇到用坐标的方法研究图形的运动变换．
如图1，在已建立直角坐标系的方格纸中，图形的顶点为A，B，C，要将它平移旋转到图（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）．
例如：将图形做如下变换（见图．
第一步：平移，使顶点移至点，得图；
第二步：绕着点旋转，得图；
第三步：平移，使点移至点，得图．
(1)写出，两点的坐标；
(2)从A，B，C，三点中选取你要的点，仿照例题格式描述出另一种与上例不同的路线的图形变换．
【经典例题七 中心对称图形规律问题】
【例7】（2021·山东济宁·统考一模）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（ ）
A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，）
【变式训练】
【变式1】（2022秋·山西大同·九年级大同一中校考阶段练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，.已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为___________.
【变式3】（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，．
观察应用：
(1)如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为 ；
(2)另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为 、 ．
拓展延伸：
(3)求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标．
【经典例题八 旋转的最值问题】
【例8】（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P为线段外一动点，且，以为边作等边，则线段的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东广州·九年级广州市第六十五中学校考阶段练习）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接．若，，则线段的最大值是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式2】（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，为线段的中点，点为直线上一动点，连结，将点绕点逆时针旋转得到点，则周长最小值为__________．
【变式3】（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）如图，点D为等腰直角三角形斜边上一动点（点D不与线段两端点重合），将绕点B顺时针方向旋转到，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长：
(3)若，请直接写出的最小值．
【经典例题九 旋转的综合题（几何变换）】
【例8】（2021秋·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期末）如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
【变式1】（2021春·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，D为内一点，，，连接BD，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·北京东城·九年级校考期中）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为___________．
【变式3】（2022秋·江西南昌·九年级统考期末）【问题呈现】
在中，，，点是斜边上的一点，连接，试说明、、之间的数量关系，并说明理由．
【解决策略】小敏同学思考后是这样做的；如图1将绕点逆时针旋转，得到，连接，经过推理使问题得到解决，请回答：
(1)的形状是 ，的形状是 ；
(2)直接写出、、之间的数量关系是 ；
【方法感悟】若条件中出现等线段共端点，可以考虑旋转某个三角形，把分散的条件或结论集中到一个三角形中．
(3)如图2，在四边形中，，，，若，，求的长；
(4)如图3，在四边形中，，，若，．求，两点之间的最大距离．
【培优检测】
1．（2022秋·河南安阳·九年级统考期中）如图，在中，将在平面内绕点A逆时针旋转得到，此时恰好使，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）如图，将边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，使边在x轴的正半轴上，顶点F在y轴的正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·辽宁大连·九年级统考期中）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A、B的对应点分别为D、E，连接．当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论：①；②；③平分．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2022秋·北京东城·九年级北京一七一中校考期末）如图，在中，，，，将绕顶点C顺时针旋转得到，取的中点E，的中点P，则在旋转过程中，线段的最大值为（ ）
A．1 B．0.5 C．2 D．1.5
5．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考阶段练习）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：
可以由绕点逆时针旋转得到；
点与的距离为；
；
四边形的面积是；
．
其中正确结论有个．（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）已知：如图，等边三角形的边长为，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·辽宁大连·九年级大连市第三十四中学校考期末）如图，点，，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转90°得到，连接．则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
8．（2022秋·安徽芜湖·九年级统考期中）如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
9．（2022秋·天津红桥·九年级校考期末）如图，已知，D是上一点，E是延长线上一点，将绕点C顺时针方向旋转，恰好能与重合．若，则旋转角为________．
10．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）如图，O为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边在射线上．将图①中的三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），设旋转时间为t秒
（1）当时，则_________
（2）在旋转一周的过程中，所在直线恰好平分，则t的值为________．
11．（2023秋·山东淄博·八年级校考期末）如图，在中，，且，是内一点，若的最小值为，则的面积为 __．
12．（2022春·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图，已知等边三角形的边长为为坐标原点，点在轴上，点在第二象限．将沿轴正方向作无滑动翻滚，经第一次翻滚后得，则翻滚次后点的对应点的坐标是___________；翻滚次后的中点的对应点的纵坐标为___________．
13．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为_________．
14．（2022·湖南娄底·统考一模）已知在中，，，．点为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是__________．
15．（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）已知和是等腰直角三角形，，F为的中点，连接．
(1)如图①，当点D在上，点E在上，请写出此时线段的数量关系和位置关系，并说明理由．
(2)如图②，在（1）的条件下将绕点A顺时针旋转，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
16．（2021秋·河南商丘·九年级统考期中）已知，中，，点E是边上一点，过点E作交于点F．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，将绕点A逆时针旋转得到．连接、．
①若，求的长；
②若，在图②的旋转过程中，当时，直接写出旋转角的大小．
17．（2022秋·九年级单元测试）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中），与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点P逆时针旋转．
(1)在图1中， ；
(2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？
18．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期中）随着教育教学改革不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题。从数学的产生和发展历程来分析，不外乎就是三个环节：观察猜想、探究证明、拓展延伸。下面请同学们从这三个方面试着解决下列问题：
如图1，有公共直角顶点A的两个不全等的等腰直角三角形叠放在一起，点B在上，点C在上．
(1)【观察猜想】
在图1中，你发现线段的数量关系是______，直线的位置关系是______．
(2)【观察猜想】探究证明
将图1中的绕点A逆时针旋转一个锐角得到图2，这时（1）中的两个结论是否仍然成立？作出判断并证明．
(3)【拓展延伸】
将图3中，若只把“有公共直角顶点A的两个不全等的等腰直角三角形”改为“有公共顶角为（锐角）的两个不全等的等腰三角形”，绕点A逆时针旋转任意一个锐角得到图4，这时（1）中的两个结论仍然成立吗？作出判断，并说明理由．
【例1】（2022秋·山东德州·九年级统考期中）已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为
【答案】D
【分析】根据点坐标的轴对称与平移变换、点坐标的旋转变换与中心对称变换逐项判断即可得．
【详解】解：A、点与点关于轴对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意；
B、点绕原点按顺时针方向旋转后到点，则横、纵坐标互换位置，且纵坐标变为相反数，所以点的坐标为，则此项错误，不符合题意；
C、点与点关于原点中心对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意；
D、点先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点，则点的坐标为，即为，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了点坐标的轴对称与平移变换、点坐标的旋转变换与中心对称变换，熟练掌握点坐标的变换规律是解题关键．
【变式训练】
【变式1】（2022·新疆乌鲁木齐·校考三模）在平面直角坐标系xoy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．x＞－3
【答案】B
【分析】先求出点P关于原点成中心对称的点的坐标，再根据第四象限点的特点列不等式即可解题．
【详解】点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标为（－2x+1，－x－3）
∵对称点在第四象限
∴
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查关于原点对称点的坐标特征，关于原点对称的两个点得横纵坐标都互为相反数．
【变式2】（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）已知点在第二象限，且，则点M关于原点对称的点的坐标是___________．
【答案】
【分析】根据以及点在第二象限，可得，再由关于原点对称的两个点的坐标特征，可得点M关于原点对称的点的坐标是．
【详解】解：∵，
∴，
∵点在第二象限，
∴，
∴，
即，
∴点M关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点坐标的特征，熟练掌握坐标的对称变换是解题的关键．
【变式3】（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出向左平移个单位长度后得到的；
(2)请画出关于原点对称的；
(3)在轴上求作一点，使得的周长最小，请画出，并直接写出点的坐标．请使用铅笔和直尺画图
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)图见解析，
【分析】（1）根据网格结构找出点、、平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点、、关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
（3）找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点的位置，然后连接、并根据图象写出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）解：如图所示，．
【点睛】本题考查了中心对称变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
【经典例题二 求旋转对称图形的旋转角度】
【例2】（2021秋·广东阳江·九年级统考期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据旋转的定义可得，再根据角的和差即可得．
【详解】由旋转的定义得：和均为旋转角，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的定义，熟练掌握旋转的概念是解题关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·山西大同·九年级统考期中）利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图2中的图案是由图1所示的基本图案以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转五次而组成，则旋转角的值不可能是（ ）
A．36° B．72° C．144° D．216°
【答案】A
【分析】根据旋转后的图形可知，旋转后的图形内部是一个正五边形，所以旋转角应为正五边形外角的正整数倍，然后判断选项即可．
【详解】解：由图可知旋转后的图形内部是正五边形
∴=n×72°（0＜n≤5且n为正整数）
∴不可能为36°
故选：A
【点睛】本题考查了旋转和正多边形外角，结合正多边形的外角是求旋转角的关键．
【变式2】（2021秋·广东广州·九年级校联考期中）在直角坐标平面内，有点A（﹣2，0），B（0，2），将线段AB绕点B顺时针旋转后，点A的对应点C落在y轴上，那么旋转角是 _________°．
【答案】315或135
【分析】根据A、B的坐标可知，△AOB是等腰直角三角形，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵A（﹣2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠OAB=45°，
∴
∴当旋转角为315°（旋转角为360°-∠ABO）或135°（旋转角为 ）时，点A的对应点C落在y轴上，
故答案为：315或135．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，图形的旋转，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质．
【变式3】（2022春·河南南阳·七年级统考期末）一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转）．
(1)当旋转角为______时，；
(2)在旋转过程中，与的交点记为，如图2，若中有两个内角相等，求旋转角的度数；
(3)当边与边、有交点时，如图3，连接，设，，，试求．
【答案】(1)15º
(2)当旋转角为30º或75º或120º时，△AFB中有两个内角相等
(3)= 105º
【分析】（1）利用直角三角形的性质求出∠BAC=60°，根据角平分线的定义及三角形外角定义求出∠EHB=∠EFB+∠B=60°，利用平行线的性质得到∠EHB=∠E=45°，即可求出旋转角；
（2）分三种情况：①当∠PAF＝∠PFA时，②当∠PFA＝∠APF时，③当∠PAF＝∠APF时，根据等边对等角求出答案；
（3）根据三角形外角的性质得到∠BMN＝∠BAE＋∠AED＝x°＋y°，∠MNB＝∠DFB＋∠D＝45°＋z°，由三角形内角和定理得到∠BMN＋∠MNB＋∠B＝180º ，代入计算可得答案．
（1）
解：如图1，
∵，，
∴∠BAC=60°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF=∠BAF=30°，
∴∠BFE=∠C+∠CAF-∠DFE=30°，
∴∠EHB=∠EFB+∠B=60°，
∵，
∴∠EHB=∠E=45°，
∴旋转角=60°-45°=15°
故答案为：15°；
（2）
解：①当∠PAF＝∠PFA时，
∵∠PAF＝30º，
∴∠PFA＝30º，
②当∠PFA＝∠APF时，
∵∠PAF＝30º，
∴∠PAF＋∠PFA＋∠APF＝180º，931105
∴∠AFB≡（180º－30º）＝75º，
③当∠PAF＝∠APF时，
∠AFP＝180º－∠PAF－∠APF＝180º－30º－30º＝120º，
∴当旋转角为30º或75º或120º时，△AFB中有两个内角相等；
（3）
解：∵∠BMN＝∠BAE＋∠AED＝x°＋y°，∠MNB＝∠DFB＋∠D＝45°＋z°，
且∠BMN＋∠MNB＋∠B＝180º ，∠B＝30º，
∴x°＋y°＋z°＋45º＋30º＝180º，
∴x°＋y°＋z°＝105º．
【点睛】此题考查了旋转的性质，旋转角的计算，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，正确理解旋转的性质是解题的关键．
【经典例题三 根据旋转的性质求线段长】
旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
特别说明：1、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转；
2、只要旋转就产生等腰三角形，而且所有等腰三角形都相似；
3、旋转不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置，旋转前后两个图形全等。
【例3】（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）如图，中，，绕顶点O逆时针旋转到 处，此时线段与的交点E为的中点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用勾股定理求出的长度，再过点O作于F，利用等面积法求出，最后利用勾股定理求出的长，结合等腰三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵绕顶点O逆时针旋转到处，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
过点O作于F，
，
解得：，
在中，，
∵，，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查主要考查旋转的性质，涉及到等面积法求线段长度，勾股定理解直角三角形及等腰三角形的性质．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，把绕点逆时针方向旋转到，点恰好落在边上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在中，利用勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，在中，由勾股定理可求的长．
【详解】解：，，，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，，
在中，，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用等知识，由旋转的性质得出是直角三角形是解题的关键．
【变式2】（2022秋·广东广州·九年级广州市第七中学校考期末）如图，已知中，，，将绕点A逆时针方向旋转60°到的位置，连接，则的长为______．
【答案】##
【分析】连接，设与交点为D，根据勾股定理得出，再由旋转的性质及等边三角形的判定和性质得出垂直平分，为等边三角形，利用勾股定理及含30度角的直角三角形性质即可得出结果
【详解】解：连接，设与交点为D，如图，
∵，
∴，
∵绕点A逆时针反向旋转到的位置，
∴，，，，
∴垂直平分，为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了旋转图形的性质，线段垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形边的性质，作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．
【变式3】（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，是等腰直角三角形，，，B为边上一点，连接，将绕点C旋转到的位置．
(1)若，求的度数；
(2)连接，求长的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质得到然后根据三角形内角和定理得到，最后根据全等三角形的性质求解即可；
（2）首先根据题意得到是等腰直角三角形，然后证明出当的长度最小时，取得最小值，最后根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）∵是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∵将绕点C旋转到的位置
∴
∴；
（2）∵
∴，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当的长度最小时，取得最小值，
∵B为边上一点，
∴点时，的长度最小，
∴此时，
∴．
∴长的最小值为．
【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，点到直线的距离等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【经典例题四 画旋转图形】
旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
特别说明：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
【例4】（2021·福建福州·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是，先把向右平移3个单位长度得到，再把绕点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据要求画出图形，即可解决问题．
【详解】解：根据题意，作出图形，如图：
观察图象可知：A2（4，2）；
故选：D.
【点睛】本题考查平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是正确画出图象，属于中考常考题型．
【变式训练】
【变式1】（2022·山东青岛·校考一模）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A、B的对应点A′、B′的坐标分别是（ ）
A．（﹣3，3）、（﹣2，4） B．（3，﹣3）、（1，4）
C．（3，﹣3）、（﹣2，4） D．（﹣3，3）、（1，4）
【答案】D
【分析】根据网格结构找出点A、B绕点C逆时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出点A′、B′的坐标即可．
【详解】如图，点A、B的对应点A′、B′的坐标分别（﹣3，3），（1，4），
故选D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握网格结构，作出旋转后的图形是解题的关键.
【变式2】（2020秋·山东德州·九年级校考期中）如图，在边长为1的正方形网格中，，，，.线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为______.
【答案】或
【分析】连接两对对应点，分别作出连线的垂直平分线，其交点即为所求．
【详解】解：如图所示，旋转中心P的坐标为（3，3）或（6，6）．
故答案为（3，3）或（6，6）．
【点睛】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
【变式3】（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图，方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中将向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到（点A的对应点是M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出；
(2)在方格纸中画出以为斜边的等腰直角三角形（点F在小正方形的顶点上）．连接，请直接写出线段的长．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，的长为
【分析】（1）根据平移规则，确定M，N，P的位置，再进行连线即可得到；
（2）先把绕点E顺时针旋转，得到，则为等腰直角三角形，连接，即为所求，利用勾股定理求即可．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
由图可知：．
【点睛】本题考查网格中作图以及勾股定理．根据题意，正确的进行作图，是解题的关键．
【经典例题五 根据中心对称图形的性质求面积、长度、角度】
【例5】（2022秋·广西玉林·九年级校考阶段练习）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点的坐标是，根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．
【详解】解：根据题意，点A、关于点对称，
设点的坐标是，
则，，
解得，，
点的坐标是．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点A、关于点成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．
【变式训练】
【变式1】（2022·广东深圳·校考模拟预测）如图，AB垂直于BC且AB＝BC＝3cm，与关于点O中心对称，AB、BC、、所围成的图形的面积是( )cm2．
A． B．π C． D．π
【答案】A
【分析】由弧OA与弧OC关于点O中心对称，根据中心对称的定义，如果连接AC，则点O为AC的中点，则题中所求面积等于△BAC的面积．
【详解】解：连AC，如图，
∵AB⊥BC，AB＝BC＝3cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
又∵与关于点O中心对称，
∴OA＝OC，＝，
∴弓形OA的面积＝弓形OC的面积，
∴AB、BC、与所围成的图形的面积＝三角形ABC的面积＝×3×3＝（cm2）．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两腰相等，两锐角都为；也考查了中心对称的性质以及三角形的面积公式．
【变式2】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为_____________．
【答案】11
【分析】连接DK，DN，证明S四边形DMNT=S△DKN=大正方形的面积，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接DK，DN，
∵∠KDN=∠MDT=90°，
∴∠KDM=∠NDT，
∵DK=DN，∠DKM=∠DNT=45°，
∴△DKM≌△DNT（ASA），
∴S△DKM=S△DNT，
∴S四边形DMNT=S△DKN=大正方形的面积，
∴正方形ABCD的面积=4××9+2=11．
故答案为：11．
【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键连接DK，DN，构造全等三角形解决问题．
【变式3】（2022·八年级单元测试）如图，在长方形中，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上运动时，______（用含的代数式表示）；
(2)当点与点重合时，求的值；
(3)当时，求的值；
(4)若点关于点的中心对称点为点，直接写出和面积相等时的值．
【答案】(1)2t-4（2≤t≤5）；
(2)
(3)t=或；
(4)满足条件的t的值为或．
【分析】（1）判断出时间t的取值范围，根据线段的和差定义求解；
（2）先判断P的位置，再根据BP+CQ=BC，构建方程求解；
（3）分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解；
（4）分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解；
【详解】（1）解：当2≤t≤5时，PB=2t-4，
故答案为：（2t-4）（2≤t≤5）；
（2）当时，重合，此时不重合，
当P，Q重合时，2t-4+t=6，
∴；
（3）当BQ=2PB时，6-t=2（4-2t）或6-t=2（2t-4），
解得，或，
∴t=或；
（4）当点P在AB上时，如图甲所示，
∴×2（4-2t）×6=×t×4，
解得，．
当点P在BC上时，如图乙所示，
×2（2t-4）×4=×t×4，解得，，
综上所述，满足条件的t的值为或．
【点睛】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【经典例题六 坐标与旋转规律问题】
【例6】（2022·吉林长春·模拟预测）根据指令（，），机器人在平面上完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再朝其面对的方向行走个单位现机器人在平面直角坐标系的原点，且面对轴的正方向，如果输入指令为，那么连续执行三次这样的指令，机器人所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得到指令表示首先逆时针旋转，然后朝其面对的方向行走个单位到,第二次道点,第三次到点，由此即可构造图形来解决．求出机器人所在位置的坐标．
【详解】解：如图所示，输入指令为，那么连续执行三次这样的指令，机器人所在位置的坐标是．
过作于，过作于，
∴，，
根据题意得到四边形是等腰梯形，四边形是矩形，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在矩形中：，
∴，
∴的坐标是．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形等知识点的应用，关键是根据题意画出图形，灵活运用勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形来解决问题．
【变式训练】
【变式1】（2021秋·河南驻马店·九年级统考期中）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为( )
A．(6，4) B．(−6，4) C．(4，−6) D．(−4，6)
【答案】C
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2022次旋转结束时，点C的坐标．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，
∵OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝45°，
∵BC＝AD＝4，
∴CE＝BE＝4，
∴OE＝OB+BE＝6，
∴C(−4，6)，
∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
则第1次旋转结束时，点C的坐标为(6，4)；
则第2次旋转结束时，点C的坐标为(4，−6)；
则第3次旋转结束时，点C的坐标为(−6，−4)；
则第4次旋转结束时，点C的坐标为(−4，6)；
…
发现规律：旋转4次一个循环，
∴2022÷4＝505•••2，
则第2022次旋转结束时，点C的坐标为(4，−6)．
故选：C．
【点睛】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2022次旋转后矩形的位置是解题的关键．
【变式2】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段绕点按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段……如此下去，得到线段，，，……，（为正整数），则点的坐标是______．
【答案】
【分析】勾股定理求出，根据旋转的规律得到，再利用角度变化得到点是第254组的第3次变化，与点在同一坐标轴上，由此得到答案．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴，
由题意得，，，，……，
∴，
∵每次都旋转，，
∴每8次变化为一个循环，
∵，
∴点是第254组的第3次变化，与点在同一坐标轴上，
∴点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了点的坐标规律探寻，读懂题意，需要从伸长的变化规律求出的长度，从旋转的变化规律求出点所在的象限两个方面考虑求解．
【变式3】（2022秋·全国·九年级专题练习）今后你将大量遇到用坐标的方法研究图形的运动变换．
如图1，在已建立直角坐标系的方格纸中，图形的顶点为A，B，C，要将它平移旋转到图（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）．
例如：将图形做如下变换（见图．
第一步：平移，使顶点移至点，得图；
第二步：绕着点旋转，得图；
第三步：平移，使点移至点，得图．
(1)写出，两点的坐标；
(2)从A，B，C，三点中选取你要的点，仿照例题格式描述出另一种与上例不同的路线的图形变换．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）根据坐标轴的特征可得到，两点的坐标
（2）根据平移和旋转可得到另外一种变换方式，但是答案不唯一
【详解】（1）根据图1可知：点的横坐标是4，纵坐标是6，
∴点的坐标是
点的横坐标是6，纵坐标是4，
∴点的坐标是
（2）第一步：平移，使顶点移至点；
第二步：绕着点旋转；
第三步：平移，使点移至点．
【点睛】本题考查图形的平移变换和旋转变换，关键是要懂得左右平移点的时候，纵坐标不变，上下移动点的时候，横坐标不变
【经典例题七 中心对称图形规律问题】
【例7】（2021·山东济宁·统考一模）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（ ）
A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，）
【答案】A
【分析】首先根据等边三角形的性质得出点A1，B1的坐标，再根据中心对称性得出点A2，
点A3，点A4的坐标，然后横纵坐标的变化规律，进而得出答案．
【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为 ，B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，纵坐标是-，
∴点A2的坐标是，
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3＝5，纵坐标是，
∴点A3的坐标是，
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5＝7，纵坐标是-，
∴点A4的坐标是，
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n的坐标是 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，中心对称的性质，数字变化规律等，根据中心对称性求出点的坐标是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·山西大同·九年级大同一中校考阶段练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称的性质解答即可．
【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），
由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．
【变式2】（2022·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，.已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为___________.
【答案】
【分析】根据平面直角坐标系中，点的对称性质，结合题意，依次求得点，，，，，，的坐标，从而发现该题的规律，求得点的坐标．
【详解】解：∵，，
∴点关于点的对称点，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
此时点与点重合．
∵，
∴与点重合，
故，
答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标的对称性质，熟练掌握点坐标的对称性质是解题的关键．
【变式3】（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，．
观察应用：
(1)如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为 ；
(2)另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为 、 ．
拓展延伸：
(3)求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标．
【答案】(1)点的坐标为
(2)、的坐标分别为，；
(3)；或或或．
【分析】（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标；
（2）根据题目所给公式求出，，的坐标，依此类推即可求出的坐标；
（3）根据所求出的坐标可得的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，利用这个规律即可求出点的坐标；然后分情况讨论，根据等腰三角形的性质求出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标．
【详解】（1）解：∵，，
∴点的坐标为；
（2）解：∵，，
∴的横坐标为，纵坐标为，即，
∵，
∴的横坐标为，纵坐标为，即，
∵，
∴的横坐标为，纵坐标为，即，
同理可得：，，，，
即点、的坐标分别为，，
故答案为：，；
（3）解：，，，，，，，；
的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，
，
的坐标与的坐标相同，即；
∴，
设轴上与点、点构成等腰三角形的点为点D，
当时，点D坐标为或；
当时，
∵，
∴，点D坐标为；
当时，点D在的垂直平分线上，
∴点D与原点重合，点D坐标为；
综上，在轴上与点、点构成等腰三角形的点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，中心对称的性质，规律型—点的坐标，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，灵活运用题目所给公式是解题的关键．
【经典例题八 旋转的最值问题】
【例8】（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P为线段外一动点，且，以为边作等边，则线段的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．
【答案】B
【分析】分情况讨论，当点P在第一象限内时，将绕着点P顺时针旋转得，连接，根据旋转的性质求得的最大值为5，当点P在第四象限内时，同理可得线段的最大值为5．
【详解】解：如图，当点P在第一象限内时,将绕着P点顺时针旋转，得，连接,则,，,
∴是等边三角形，
∴，可得当D在延长线上时，最长，此时点D与O重合，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，，，
∴,
∴线段的最大值为5；
当点P在第四象限内时，同理可得线段的最大值为5
所以最大值是5
故选：B
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键，解题时注意分类思想的运用．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东广州·九年级广州市第六十五中学校考阶段练习）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接．若，，则线段的最大值是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知，在中，利用三角形三边关系可得的最大值．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，，
∴，
∵将绕顶点C逆时针旋转得到，
∴，
∵点P为的中点，
∴，
∵M是的中点，
∴，
在中，利用三角形三边关系可得，（当三点共线时取等号）
∴，
∴的最大值为3，
故选：B
【点睛】本题主要考查了含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边关系，旋转的性质等知识，掌握几何最值的求解方法是解题的关键．
【变式2】（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，为线段的中点，点为直线上一动点，连结，将点绕点逆时针旋转得到点，则周长最小值为__________．
【答案】##
【分析】如图所示，首先根据题意证明出，然后得到点E的轨迹是经过A点且垂直于的直线，作点B关于的对称点，连接，交于点，根据两点之间线段最短得到周长的最小值为，最后根据勾股定理和三角形周长公式求解即可．
【详解】如图所示，
∵在等腰直角三角形中，为线段的中点，
∴，，
∵点为直线上一动点，连结，将点绕点逆时针旋转得到点，
∴，，
∴，
∴，
作交于点F，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点E的轨迹是经过A点且垂直于的直线，
∴作点B关于的对称点，连接，交于点，
∴周长，
∴周长的最小值为，
∵，为线段的中点，
∴，
∵点B关于的对称点，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，最短路径问题等知识，解题的关键是正确画出图形，得到点E的运动轨迹．
【变式3】（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）如图，点D为等腰直角三角形斜边上一动点（点D不与线段两端点重合），将绕点B顺时针方向旋转到，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长：
(3)若，请直接写出的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)的最小值为10．
【分析】（1）利用证明，得；
（2）由（1）得，则，再根据勾股定理可得的值，从而得出的长；
（3）由（2）知，，则点E在直线上运动，作点B关于的对称点，连接，交于E，此时最小，再根据勾股定理求的长即可．
【详解】（1）证明：∵将绕点B顺时针方向旋转到，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知，，
则点E在直线上运动，
作点B关于的对称点，连接，交于E，此时最小，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴的最小值为10．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，轴对称最短路线问题，确定点E的运动路径是解题的关键．
【经典例题九 旋转的综合题（几何变换）】
【例8】（2021秋·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期末）如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接PQ．由题意△PQA是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明∠PQB＝90°即可解决问题．
【详解】解：如图，连接PQ．
∵△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，
∴AP＝AQ＝2，PC＝BQ＝2，∠PAQ＝60°，
∴△PAQ是等边三角形，
∴PQ＝PA＝2，
∵PB＝4，
∴，
∴∠PQB＝90°，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2021春·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，D为内一点，，，连接BD，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点A作AG⊥DE于G，根据旋转的性质得∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，从而得△ADE是等腰直角三角形，即可求得∠AED=45°，DE=，从而得出∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，再因为AG⊥DE，根据等腰直角三角形的性质得到∠GAF=30°，AG=GE=，然后在Rt△AGF中，由勾股定理，得，从而求得AF=，即可由CF=AC-AF求解．
【详解】解：如图，过点A作AG⊥DE于G，
由旋转可得：∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，DE=，
∴∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，
∵AG⊥DE，
∴DG=GE，∠GAF=30°，
∴AG=GE=，FG=，
在Rt△AGF中，由勾股定理，得
，即，
解得：AF=,
∴CF=AC-AF=，
故选：A．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
【变式2】（2022秋·北京东城·九年级校考期中）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为___________．
【答案】##45度
【分析】根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明，由全等三角形的性质可知；再证明为等边三角形，可得，然后利用两角之差即可求解．
【详解】解：连接，如下图，
∵是等边三角形，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质以及图形的旋转等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式3】（2022秋·江西南昌·九年级统考期末）【问题呈现】
在中，，，点是斜边上的一点，连接，试说明、、之间的数量关系，并说明理由．
【解决策略】小敏同学思考后是这样做的；如图1将绕点逆时针旋转，得到，连接，经过推理使问题得到解决，请回答：
(1)的形状是 ，的形状是 ；
(2)直接写出、、之间的数量关系是 ；
【方法感悟】若条件中出现等线段共端点，可以考虑旋转某个三角形，把分散的条件或结论集中到一个三角形中．
(3)如图2，在四边形中，，，，若，，求的长；
(4)如图3，在四边形中，，，若，．求，两点之间的最大距离．
【答案】(1)直角三角形，等腰直角三角形
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由旋转的性质得出是等腰直角三角形，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出结论；
（3）过点作，交的延长线于点，连接，证出，由勾股定理可得出答案；
（4）将绕点顺时针旋转，得到对应的，连接，则，证出，求出的最大值可得出答案．
【详解】（1）∵将绕点逆时针旋转，得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形；
故答案是：直角三角形，等腰直角三角形；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案是：．
（3）过点作，交的延长线于点，连接，如图，
∵，
∴是直角三角形，
由（1）可知，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
（4）将绕点顺时针旋转，得到对应的，连接，如图，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴当，，三点共线时，最大，
∴，两点之间的最大距离时．
【点睛】本题主要考查了四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【培优检测】
1．（2022秋·河南安阳·九年级统考期中）如图，在中，将在平面内绕点A逆时针旋转得到，此时恰好使，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】旋转，则图中，，，，有，根据等量代换可以求出的度数，即可得到的度数．
【详解】解：将在平面内绕点逆时针旋转得到，
可以得到，，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
2．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）如图，将边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，使边在x轴的正半轴上，顶点F在y轴的正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正六边形的性质以及正六边形在坐标系中的位置，确定点D的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出答案即可．
【详解】解：如图，连接，
在正六边形中，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴点D的坐标为，
∵将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
∴6次一个循环，
∵，
∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转（共计旋转了180°）得到的的坐标相同，
∵D与关于原点对称，
∴，
∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标．
故选：A．
【点睛】本题考查正六边形的性质，旋转的性质以及旋转引起的坐标变化的规律是正确解答的前提．
3．（2022秋·辽宁大连·九年级统考期中）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A、B的对应点分别为D、E，连接．当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论：①；②；③平分．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由旋转的性质可知，再借助题意可计算，故①正确；先由旋转的性质证明，可推导、，借助可知为等边三角形，易知，再证明，故②正确；借助为等边三角形，易知，由题意可计算，即有，可证明平分，故③正确；进而解题即可．
【详解】解：①.由旋转的性质可知，，
∴当点A、、在同一条直线上时，，
故①正确；
②.由旋转的性质可知，，
∴，，
由∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故②正确；
③. ∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
故③正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，解题关键是熟练运用旋转的性质．
4．（2022秋·北京东城·九年级北京一七一中校考期末）如图，在中，，，，将绕顶点C顺时针旋转得到，取的中点E，的中点P，则在旋转过程中，线段的最大值为（ ）
A．1 B．0.5 C．2 D．1.5
【答案】D
【分析】连接，先由，，，得到，，然后由旋转的性质得到，，，然后利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到的长，最后利用三角形三边关系得到EP的最大值．
【详解】解：∵，，，
∴，，
由旋转得，，，，
∵点P是的中点，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴当点E、C、P三点共线时，最大，最大值为，
∵点E是的中点，，
∴，
∴最大值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、含30°角的直角三角形三边关系，解题的关键是熟知任意三角形三边的关系．
5．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考阶段练习）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：
可以由绕点逆时针旋转得到；
点与的距离为；
；
四边形的面积是；
．
其中正确结论有个．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明即可说明可以由绕点逆时针旋转得到，故正确；
根据旋转的性质可知是等边三角形，则点与的距离为，故正确；
由，故正确；
由四边形的面积等边面积面积，进行计算即可判断，故正确；
将线段以点A为旋转中心顺时针旋转得到线段，连接，根据面积和差关系即可判断错误．
【详解】解：∵在和中，
∴，
，
可以由绕点逆时针旋转得到，正确；
如图，连接，
根据旋转的性质可知，，
是等边三角形，
点与的距离为，，正确；
在中，，，，
，
是直角三角形，，
，正确；
面积为，等边面积为，
四边形的面积为，正确；
如图，将线段以点为旋转中心顺时针旋转得到线段，连接，
同理可得：，
是直角三角形，，
是等边三角形，，，
，，
∴，错误；
综上分析可知，正确的个数为4个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，此题难度较大，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解．
6．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）已知：如图，等边三角形的边长为，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点B和点O分别作于点C，于点D，根据是等边三角形，可得G点坐标，等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，旋转6次为一个循环，分别求出等边三角形中心G旋转后的坐标，进而可得第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标．
【详解】如图所示：
过点B和点O分别作于点C，于点D，
∵是等边三角形，
∴平分，
∴，
∵，
∴，，
∵等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，
∴旋转6次为一个循环，
∵等边三角形中心G坐标为，
第一次旋转后到y轴正半轴，坐标为：；
第二次旋转后到第二象限，坐标为：；
第三次旋转后到第三象限，坐标为：；
第四次旋转后到y轴负半轴，坐标为：；
第五次旋转后到第四象限，坐标为：；
第六次旋转后回到第一象限，坐标为：，
∵，
∴第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关键．
7．（2022秋·辽宁大连·九年级大连市第三十四中学校考期末）如图，点，，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转90°得到，连接．则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】如图1所示，当点P在x轴正半轴时，过点C作轴交x轴于D，设，利用一线三垂直模型证明推出，进而得到点C在直线上运动，则当与直线垂直时，有最小值，据此求解即可．
【详解】解：如图1所示，当点P在x轴正半轴时，过点C作轴交x轴于D，设，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴点C在直线上运动，
同理可证当点P在x轴负半轴时，点C在直线上运动，
∴当与直线垂直时，有最小值，
设直线与x轴交于点E，与y轴交于F，如图2所示，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值为，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，确定点C的运动轨迹是解题的关键．
8．（2022秋·安徽芜湖·九年级统考期中）如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再利用勾股定理求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，过点A作，截取，连接，
∵将线段绕着点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴在中，．
∵，
∴．
∵，且当点G，P，E三点共线时取等号，
∴的最小值为．
故选D．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系的应用等知识．正确作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
9．（2022秋·天津红桥·九年级校考期末）如图，已知，D是上一点，E是延长线上一点，将绕点C顺时针方向旋转，恰好能与重合．若，则旋转角为________．
【答案】
【分析】设，根据旋转的旋转得，，，的度数等于旋转角的度数，再利用三角形外角性质得，接着证明，则利用三角形内角和得到，然后求出x后计算即可得到旋转角的度数．
【详解】解：设，
∵绕点C顺时针方向旋转，恰好能与重合，
∴，，，的度数等于旋转角的度数，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴旋转角的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握旋转前后对应的角相等和边相等是解决问题的关键．
10．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）如图，O为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边在射线上．将图①中的三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），设旋转时间为t秒
（1）当时，则_________
（2）在旋转一周的过程中，所在直线恰好平分，则t的值为________．
【答案】 3或21
【分析】（1）根据旋转的性质，当时求出旋转角为，即可求解；
（2）根据所在直线恰好平分，则或，结合图形列出方程求解即可．
【详解】解：（1）当时，旋转角为，
∴，
故答案为：；
（2）当直线恰好平分时，如图，
∴或，
∴
，
当射线恰好平分时，如图，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3或21．
【点睛】本题考查了角度的计算，一元一次方程的应用，考查了角平分线定义，周角度数，列出正确的方程是解本题的关键．
11．（2023秋·山东淄博·八年级校考期末）如图，在中，，且，是内一点，若的最小值为，则的面积为 __．
【答案】4
【分析】将绕点A顺时针旋转得到，连接，，首先证当M、G、P、C共线时，的值最小，最小值为的长，由等腰直角三角形求得的长，进而求得的长，由三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图将绕点顺时针旋转得到．连接，，
则，，，，
是等边三角形，
，
，
当，，，共线时，的值最小，最小值为线段的长，
的最小值为，
，
，，
，
，
作于．则，，，
的面积．
故答案为：4．
【点睛】本题考查轴对称—最短问题，等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点间线段最短解决问题，属于中考常考题型．
12．（2022春·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图，已知等边三角形的边长为为坐标原点，点在轴上，点在第二象限．将沿轴正方向作无滑动翻滚，经第一次翻滚后得，则翻滚次后点的对应点的坐标是___________；翻滚次后的中点的对应点的纵坐标为___________．
【答案】
【分析】作出把经次翻滚后的图形，作轴于点，由勾股定理可得的长，从而可知点的纵坐标，再根据等边三角形的边长为及等腰三角形的三线合一性质，可得的长，从而可知点的坐标；由图像可知翻滚的循环规律，从而可知翻滚次后中点的纵坐标．
【详解】解：如图所示，把经次翻滚后，点落到点处，点经过点、点落到点处，点落到点处，作轴于点，
则，
，
，
由图像可知，翻滚三次为一个循环，
，
翻滚次后中点的纵坐标和开始时的纵坐标相同，
开始时点的纵坐标为，
翻滚次后中点的纵坐标为．
故答案为：、．
【点睛】本题考查的是规律型点的坐标，同时考查了等边三角形的性质等几何知识，本题难度中等偏上．
13．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：过点Q作轴于点轴于N，
在和中， ，
设，
当时，有最小值为 ，
∴最小值为，
故答案为：.
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换−旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
14．（2022·湖南娄底·统考一模）已知在中，，，．点为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是__________．
【答案】
【分析】作F点关于AC的对称点，连接A并延长交BC延长线于点，将的最小值转化为求B点到A 的最短距离，根据垂线段的性质即可解答；
【详解】解：如图作F点关于AC的对称点，连接A 并延长交BC延长线于点B′，作BD⊥AB′于点D，
由对称性可得EF=E ，
由垂线段的性质可得B到AB′的最短距离为BD，
∴EF+EB=E+EB=B≥BD，
Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=15°，
∴∠BAD=2∠BAC=30°，
Rt△ABD中，AB=5，∠BDA=90°，∠BAD=30°，∴BD=，
∴线段的最小值是，
故答案为：；
【点睛】本题考查了对称的性质，垂线段的性质，30°直角三角形的性质；掌握相关性质是解题关键．
15．（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）已知和是等腰直角三角形，，F为的中点，连接．
(1)如图①，当点D在上，点E在上，请写出此时线段的数量关系和位置关系，并说明理由．
(2)如图②，在（1）的条件下将绕点A顺时针旋转，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
【答案】(1)，理由见解析
(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析
【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，根据，，得到，进而得出；
（2）延长交于点G，，先判定，得到，结合和都是等腰直角三角形，得到，根据是等腰直角三角形，以及F是的中点，即可得到且．
【详解】（1）且．
∵，
∴，
又∵，点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴且．
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图：延长交于点G，
∵，
∴，
∴，，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
又∵F是的中点，
∴且．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形和全等三角形的判定与性质的运用．解题时需要作辅助线，构造全等三角形以及等腰直角三角形，掌握等腰直角三角形和全等三角形的性质及其判定定理是解题的关键．
16．（2021秋·河南商丘·九年级统考期中）已知，中，，点E是边上一点，过点E作交于点F．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，将绕点A逆时针旋转得到．连接、．
①若，求的长；
②若，在图②的旋转过程中，当时，直接写出旋转角的大小．
【答案】(1)见解析
(2)①6；②旋转角为或
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等，再根据平行线的性质得出，，，得出，进一步得出结论；
（2）根据旋转的性质可得，，然后证明，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（3）把绕点A逆时针旋转，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与平行的直线l相交于点M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：①由旋转的性质得，，，
在和中，
，
∴，
∴；
②由（1）可知，
所以，在绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与平行的直线l相交于点M、N，如图，
∵，，
∴，
①当点E的对应点与点M重合时，
，
，
，，
，
，
∴四边形是等腰梯形，
∴，
又∵，
∴；
②当点E的对应点与点N重合时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，当时，旋转角为或．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．
17．（2022秋·九年级单元测试）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中），与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点P逆时针旋转．
(1)在图1中， ；
(2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？
【答案】(1)
(2)①当旋转时间为3或21秒时，成立；②旋转的时间是25秒
【分析】（1）根据平角即可得到结论；
（2）①如图1，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论；如图2，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和得到，求得，于是得到结论；②设旋转的时间为t秒，由题知，，根据周角得到，列方程即可得到结论．
【详解】（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）①如图1，此时，成立，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵转速为秒，
∴旋转时间为3秒；
如图2，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵三角板绕点P逆时针旋转D的角度为，
∵转速为秒，
∴旋转时间为21秒，
综上所述，当旋转时间为3或21秒时，成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知，，
∴，
∴，
当，即，
解得：，
∴当，旋转的时间是25秒．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键．
18．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期中）随着教育教学改革不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题。从数学的产生和发展历程来分析，不外乎就是三个环节：观察猜想、探究证明、拓展延伸。下面请同学们从这三个方面试着解决下列问题：
如图1，有公共直角顶点A的两个不全等的等腰直角三角形叠放在一起，点B在上，点C在上．
(1)【观察猜想】
在图1中，你发现线段的数量关系是______，直线的位置关系是______．
(2)【观察猜想】探究证明
将图1中的绕点A逆时针旋转一个锐角得到图2，这时（1）中的两个结论是否仍然成立？作出判断并证明．
(3)【拓展延伸】
将图3中，若只把“有公共直角顶点A的两个不全等的等腰直角三角形”改为“有公共顶角为（锐角）的两个不全等的等腰三角形”，绕点A逆时针旋转任意一个锐角得到图4，这时（1）中的两个结论仍然成立吗？作出判断，并说明理由．
【答案】(1)
(2)两个结论仍然成立，理由见解析
(3)结论成立，结论不成立，理由见解析
【分析】（1）根据和是等腰直角三角形，得到，即可得出结论；
（2）由旋转的性质得到．根据证明，根据全等三角形的对应边相等得出．延长，交于点F，交于点O．由全等三角形对应角相等得到．根据三角形内角和定理和对顶角相等，得到，即可得出结论．
（3）类似（2）可得成立，不成立．
【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形，且直角顶点为A，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：将图1中的绕点A逆时针旋转一个锐角时，两个结论仍然成立．理由如下：
由旋转得：．
又∵，
∴．
∴．
如图，延长，交于点F，交于点O．
∵，
∴．
∵．
∴．
∵，
∴，即．
（3）解：结论成立，结论不成立．理由如下：
由旋转得：，
∴．
又∵，
∴．
∴．
延长，交于点M，与交于点N．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴不成立．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．证明是解答本题的关键
专题 图形的旋转、中心对称
【题型目录】
题型一 关于原点对称的点的坐标
题型二 求旋转对称图形的旋转角度
题型三 根据旋转的性质求线段长
题型四 画旋转图形
题型五 根据中心对称图形的性质求面积、长度、角度
题型六 坐标与旋转规律问题
题型七 中心对称图形规律问题
题型八 旋转的最值问题
题型九 旋转的综合题（几何变换）
【经典例题一 关于原点对称的点的坐标】
【例1】（2022秋·山东德州·九年级统考期中）已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为
【变式训练】
【变式1】（2022·新疆乌鲁木齐·校考三模）在平面直角坐标系xoy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．x＞－3
【变式2】（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）已知点在第二象限，且，则点M关于原点对称的点的坐标是___________．
【变式3】（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出向左平移个单位长度后得到的；
(2)请画出关于原点对称的；
(3)在轴上求作一点，使得的周长最小，请画出，并直接写出点的坐标．请使用铅笔和直尺画图
【经典例题二 求旋转对称图形的旋转角度】
【例2】（2021秋·广东阳江·九年级统考期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·山西大同·九年级统考期中）利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图2中的图案是由图1所示的基本图案以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转五次而组成，则旋转角的值不可能是（ ）
A．36° B．72° C．144° D．216°
【变式2】（2021秋·广东广州·九年级校联考期中）在直角坐标平面内，有点A（﹣2，0），B（0，2），将线段AB绕点B顺时针旋转后，点A的对应点C落在y轴上，那么旋转角是 _________°．
【变式3】（2022春·河南南阳·七年级统考期末）一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转）．
(1)当旋转角为______时，；
(2)在旋转过程中，与的交点记为，如图2，若中有两个内角相等，求旋转角的度数；
(3)当边与边、有交点时，如图3，连接，设，，，试求．
【经典例题三 根据旋转的性质求线段长】
旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
特别说明：1、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转；
2、只要旋转就产生等腰三角形，而且所有等腰三角形都相似；
3、旋转不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置，旋转前后两个图形全等。
【例3】（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）如图，中，，绕顶点O逆时针旋转到 处，此时线段与的交点E为的中点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，把绕点逆时针方向旋转到，点恰好落在边上，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·广东广州·九年级广州市第七中学校考期末）如图，已知中，，，将绕点A逆时针方向旋转60°到的位置，连接，则的长为______．
【变式3】（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，是等腰直角三角形，，，B为边上一点，连接，将绕点C旋转到的位置．
(1)若，求的度数；
(2)连接，求长的最小值．
【经典例题四 画旋转图形】
旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
特别说明：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
【例4】（2021·福建福州·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是，先把向右平移3个单位长度得到，再把绕点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
【变式1】（2022·山东青岛·校考一模）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A、B的对应点A′、B′的坐标分别是（ ）
A．（﹣3，3）、（﹣2，4） B．（3，﹣3）、（1，4）
C．（3，﹣3）、（﹣2，4） D．（﹣3，3）、（1，4）
【变式2】（2020秋·山东德州·九年级校考期中）如图，在边长为1的正方形网格中，，，，.线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为______.
【变式3】（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图，方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中将向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到（点A的对应点是M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出；
(2)在方格纸中画出以为斜边的等腰直角三角形（点F在小正方形的顶点上）．连接，请直接写出线段的长．
【经典例题五 根据中心对称图形的性质求面积、长度、角度】
【例5】（2022秋·广西玉林·九年级校考阶段练习）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
【变式1】（2022·广东深圳·校考模拟预测）如图，AB垂直于BC且AB＝BC＝3cm，与关于点O中心对称，AB、BC、、所围成的图形的面积是( )cm2．
A． B．π C． D．π
【变式2】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为_____________．
【变式3】（2022·八年级单元测试）如图，在长方形中，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上运动时，______（用含的代数式表示）；
(2)当点与点重合时，求的值；
(3)当时，求的值；
(4)若点关于点的中心对称点为点，直接写出和面积相等时的值．
【经典例题六 坐标与旋转规律问题】
【例6】（2022·吉林长春·模拟预测）根据指令（，），机器人在平面上完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再朝其面对的方向行走个单位现机器人在平面直角坐标系的原点，且面对轴的正方向，如果输入指令为，那么连续执行三次这样的指令，机器人所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
【变式1】（2021秋·河南驻马店·九年级统考期中）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为( )
A．(6，4) B．(−6，4) C．(4，−6) D．(−4，6)
【变式2】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段绕点按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段……如此下去，得到线段，，，……，（为正整数），则点的坐标是______．
【变式3】（2022秋·全国·九年级专题练习）今后你将大量遇到用坐标的方法研究图形的运动变换．
如图1，在已建立直角坐标系的方格纸中，图形的顶点为A，B，C，要将它平移旋转到图（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）．
例如：将图形做如下变换（见图．
第一步：平移，使顶点移至点，得图；
第二步：绕着点旋转，得图；
第三步：平移，使点移至点，得图．
(1)写出，两点的坐标；
(2)从A，B，C，三点中选取你要的点，仿照例题格式描述出另一种与上例不同的路线的图形变换．
【经典例题七 中心对称图形规律问题】
【例7】（2021·山东济宁·统考一模）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（ ）
A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，）
【变式训练】
【变式1】（2022秋·山西大同·九年级大同一中校考阶段练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，.已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为___________.
【变式3】（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，．
观察应用：
(1)如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为 ；
(2)另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为 、 ．
拓展延伸：
(3)求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标．
【经典例题八 旋转的最值问题】
【例8】（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P为线段外一动点，且，以为边作等边，则线段的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东广州·九年级广州市第六十五中学校考阶段练习）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接．若，，则线段的最大值是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式2】（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，为线段的中点，点为直线上一动点，连结，将点绕点逆时针旋转得到点，则周长最小值为__________．
【变式3】（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）如图，点D为等腰直角三角形斜边上一动点（点D不与线段两端点重合），将绕点B顺时针方向旋转到，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长：
(3)若，请直接写出的最小值．
【经典例题九 旋转的综合题（几何变换）】
【例8】（2021秋·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期末）如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
【变式1】（2021春·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，D为内一点，，，连接BD，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·北京东城·九年级校考期中）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为___________．
【变式3】（2022秋·江西南昌·九年级统考期末）【问题呈现】
在中，，，点是斜边上的一点，连接，试说明、、之间的数量关系，并说明理由．
【解决策略】小敏同学思考后是这样做的；如图1将绕点逆时针旋转，得到，连接，经过推理使问题得到解决，请回答：
(1)的形状是 ，的形状是 ；
(2)直接写出、、之间的数量关系是 ；
【方法感悟】若条件中出现等线段共端点，可以考虑旋转某个三角形，把分散的条件或结论集中到一个三角形中．
(3)如图2，在四边形中，，，，若，，求的长；
(4)如图3，在四边形中，，，若，．求，两点之间的最大距离．
【培优检测】
1．（2022秋·河南安阳·九年级统考期中）如图，在中，将在平面内绕点A逆时针旋转得到，此时恰好使，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）如图，将边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，使边在x轴的正半轴上，顶点F在y轴的正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·辽宁大连·九年级统考期中）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A、B的对应点分别为D、E，连接．当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论：①；②；③平分．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2022秋·北京东城·九年级北京一七一中校考期末）如图，在中，，，，将绕顶点C顺时针旋转得到，取的中点E，的中点P，则在旋转过程中，线段的最大值为（ ）
A．1 B．0.5 C．2 D．1.5
5．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考阶段练习）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：
可以由绕点逆时针旋转得到；
点与的距离为；
；
四边形的面积是；
．
其中正确结论有个．（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）已知：如图，等边三角形的边长为，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·辽宁大连·九年级大连市第三十四中学校考期末）如图，点，，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转90°得到，连接．则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
8．（2022秋·安徽芜湖·九年级统考期中）如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
9．（2022秋·天津红桥·九年级校考期末）如图，已知，D是上一点，E是延长线上一点，将绕点C顺时针方向旋转，恰好能与重合．若，则旋转角为________．
10．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）如图，O为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边在射线上．将图①中的三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），设旋转时间为t秒
（1）当时，则_________
（2）在旋转一周的过程中，所在直线恰好平分，则t的值为________．
11．（2023秋·山东淄博·八年级校考期末）如图，在中，，且，是内一点，若的最小值为，则的面积为 __．
12．（2022春·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图，已知等边三角形的边长为为坐标原点，点在轴上，点在第二象限．将沿轴正方向作无滑动翻滚，经第一次翻滚后得，则翻滚次后点的对应点的坐标是___________；翻滚次后的中点的对应点的纵坐标为___________．
13．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为_________．
14．（2022·湖南娄底·统考一模）已知在中，，，．点为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是__________．
15．（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）已知和是等腰直角三角形，，F为的中点，连接．
(1)如图①，当点D在上，点E在上，请写出此时线段的数量关系和位置关系，并说明理由．
(2)如图②，在（1）的条件下将绕点A顺时针旋转，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
16．（2021秋·河南商丘·九年级统考期中）已知，中，，点E是边上一点，过点E作交于点F．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，将绕点A逆时针旋转得到．连接、．
①若，求的长；
②若，在图②的旋转过程中，当时，直接写出旋转角的大小．
17．（2022秋·九年级单元测试）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中），与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点P逆时针旋转．
(1)在图1中， ；
(2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？
18．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期中）随着教育教学改革不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题。从数学的产生和发展历程来分析，不外乎就是三个环节：观察猜想、探究证明、拓展延伸。下面请同学们从这三个方面试着解决下列问题：
如图1，有公共直角顶点A的两个不全等的等腰直角三角形叠放在一起，点B在上，点C在上．
(1)【观察猜想】
在图1中，你发现线段的数量关系是______，直线的位置关系是______．
(2)【观察猜想】探究证明
将图1中的绕点A逆时针旋转一个锐角得到图2，这时（1）中的两个结论是否仍然成立？作出判断并证明．
(3)【拓展延伸】
将图3中，若只把“有公共直角顶点A的两个不全等的等腰直角三角形”改为“有公共顶角为（锐角）的两个不全等的等腰三角形”，绕点A逆时针旋转任意一个锐角得到图4，这时（1）中的两个结论仍然成立吗？作出判断，并说明理由．
【例1】（2022秋·山东德州·九年级统考期中）已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为
【答案】D
【分析】根据点坐标的轴对称与平移变换、点坐标的旋转变换与中心对称变换逐项判断即可得．
【详解】解：A、点与点关于轴对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意；
B、点绕原点按顺时针方向旋转后到点，则横、纵坐标互换位置，且纵坐标变为相反数，所以点的坐标为，则此项错误，不符合题意；
C、点与点关于原点中心对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意；
D、点先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点，则点的坐标为，即为，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了点坐标的轴对称与平移变换、点坐标的旋转变换与中心对称变换，熟练掌握点坐标的变换规律是解题关键．
【变式训练】
【变式1】（2022·新疆乌鲁木齐·校考三模）在平面直角坐标系xoy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．x＞－3
【答案】B
【分析】先求出点P关于原点成中心对称的点的坐标，再根据第四象限点的特点列不等式即可解题．
【详解】点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标为（－2x+1，－x－3）
∵对称点在第四象限
∴
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查关于原点对称点的坐标特征，关于原点对称的两个点得横纵坐标都互为相反数．
【变式2】（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）已知点在第二象限，且，则点M关于原点对称的点的坐标是___________．
【答案】
【分析】根据以及点在第二象限，可得，再由关于原点对称的两个点的坐标特征，可得点M关于原点对称的点的坐标是．
【详解】解：∵，
∴，
∵点在第二象限，
∴，
∴，
即，
∴点M关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点坐标的特征，熟练掌握坐标的对称变换是解题的关键．
【变式3】（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出向左平移个单位长度后得到的；
(2)请画出关于原点对称的；
(3)在轴上求作一点，使得的周长最小，请画出，并直接写出点的坐标．请使用铅笔和直尺画图
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)图见解析，
【分析】（1）根据网格结构找出点、、平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点、、关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
（3）找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点的位置，然后连接、并根据图象写出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）解：如图所示，．
【点睛】本题考查了中心对称变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
【经典例题二 求旋转对称图形的旋转角度】
【例2】（2021秋·广东阳江·九年级统考期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据旋转的定义可得，再根据角的和差即可得．
【详解】由旋转的定义得：和均为旋转角，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的定义，熟练掌握旋转的概念是解题关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·山西大同·九年级统考期中）利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图2中的图案是由图1所示的基本图案以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转五次而组成，则旋转角的值不可能是（ ）
A．36° B．72° C．144° D．216°
【答案】A
【分析】根据旋转后的图形可知，旋转后的图形内部是一个正五边形，所以旋转角应为正五边形外角的正整数倍，然后判断选项即可．
【详解】解：由图可知旋转后的图形内部是正五边形
∴=n×72°（0＜n≤5且n为正整数）
∴不可能为36°
故选：A
【点睛】本题考查了旋转和正多边形外角，结合正多边形的外角是求旋转角的关键．
【变式2】（2021秋·广东广州·九年级校联考期中）在直角坐标平面内，有点A（﹣2，0），B（0，2），将线段AB绕点B顺时针旋转后，点A的对应点C落在y轴上，那么旋转角是 _________°．
【答案】315或135
【分析】根据A、B的坐标可知，△AOB是等腰直角三角形，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵A（﹣2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠OAB=45°，
∴
∴当旋转角为315°（旋转角为360°-∠ABO）或135°（旋转角为 ）时，点A的对应点C落在y轴上，
故答案为：315或135．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，图形的旋转，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质．
【变式3】（2022春·河南南阳·七年级统考期末）一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转）．
(1)当旋转角为______时，；
(2)在旋转过程中，与的交点记为，如图2，若中有两个内角相等，求旋转角的度数；
(3)当边与边、有交点时，如图3，连接，设，，，试求．
【答案】(1)15º
(2)当旋转角为30º或75º或120º时，△AFB中有两个内角相等
(3)= 105º
【分析】（1）利用直角三角形的性质求出∠BAC=60°，根据角平分线的定义及三角形外角定义求出∠EHB=∠EFB+∠B=60°，利用平行线的性质得到∠EHB=∠E=45°，即可求出旋转角；
（2）分三种情况：①当∠PAF＝∠PFA时，②当∠PFA＝∠APF时，③当∠PAF＝∠APF时，根据等边对等角求出答案；
（3）根据三角形外角的性质得到∠BMN＝∠BAE＋∠AED＝x°＋y°，∠MNB＝∠DFB＋∠D＝45°＋z°，由三角形内角和定理得到∠BMN＋∠MNB＋∠B＝180º ，代入计算可得答案．
（1）
解：如图1，
∵，，
∴∠BAC=60°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF=∠BAF=30°，
∴∠BFE=∠C+∠CAF-∠DFE=30°，
∴∠EHB=∠EFB+∠B=60°，
∵，
∴∠EHB=∠E=45°，
∴旋转角=60°-45°=15°
故答案为：15°；
（2）
解：①当∠PAF＝∠PFA时，
∵∠PAF＝30º，
∴∠PFA＝30º，
②当∠PFA＝∠APF时，
∵∠PAF＝30º，
∴∠PAF＋∠PFA＋∠APF＝180º，931105
∴∠AFB≡（180º－30º）＝75º，
③当∠PAF＝∠APF时，
∠AFP＝180º－∠PAF－∠APF＝180º－30º－30º＝120º，
∴当旋转角为30º或75º或120º时，△AFB中有两个内角相等；
（3）
解：∵∠BMN＝∠BAE＋∠AED＝x°＋y°，∠MNB＝∠DFB＋∠D＝45°＋z°，
且∠BMN＋∠MNB＋∠B＝180º ，∠B＝30º，
∴x°＋y°＋z°＋45º＋30º＝180º，
∴x°＋y°＋z°＝105º．
【点睛】此题考查了旋转的性质，旋转角的计算，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，正确理解旋转的性质是解题的关键．
【经典例题三 根据旋转的性质求线段长】
旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
特别说明：1、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转；
2、只要旋转就产生等腰三角形，而且所有等腰三角形都相似；
3、旋转不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置，旋转前后两个图形全等。
【例3】（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）如图，中，，绕顶点O逆时针旋转到 处，此时线段与的交点E为的中点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用勾股定理求出的长度，再过点O作于F，利用等面积法求出，最后利用勾股定理求出的长，结合等腰三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵绕顶点O逆时针旋转到处，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
过点O作于F，
，
解得：，
在中，，
∵，，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查主要考查旋转的性质，涉及到等面积法求线段长度，勾股定理解直角三角形及等腰三角形的性质．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，把绕点逆时针方向旋转到，点恰好落在边上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在中，利用勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，在中，由勾股定理可求的长．
【详解】解：，，，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，，
在中，，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用等知识，由旋转的性质得出是直角三角形是解题的关键．
【变式2】（2022秋·广东广州·九年级广州市第七中学校考期末）如图，已知中，，，将绕点A逆时针方向旋转60°到的位置，连接，则的长为______．
【答案】##
【分析】连接，设与交点为D，根据勾股定理得出，再由旋转的性质及等边三角形的判定和性质得出垂直平分，为等边三角形，利用勾股定理及含30度角的直角三角形性质即可得出结果
【详解】解：连接，设与交点为D，如图，
∵，
∴，
∵绕点A逆时针反向旋转到的位置，
∴，，，，
∴垂直平分，为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了旋转图形的性质，线段垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形边的性质，作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．
【变式3】（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，是等腰直角三角形，，，B为边上一点，连接，将绕点C旋转到的位置．
(1)若，求的度数；
(2)连接，求长的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质得到然后根据三角形内角和定理得到，最后根据全等三角形的性质求解即可；
（2）首先根据题意得到是等腰直角三角形，然后证明出当的长度最小时，取得最小值，最后根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）∵是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∵将绕点C旋转到的位置
∴
∴；
（2）∵
∴，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当的长度最小时，取得最小值，
∵B为边上一点，
∴点时，的长度最小，
∴此时，
∴．
∴长的最小值为．
【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，点到直线的距离等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【经典例题四 画旋转图形】
旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
特别说明：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
【例4】（2021·福建福州·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是，先把向右平移3个单位长度得到，再把绕点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据要求画出图形，即可解决问题．
【详解】解：根据题意，作出图形，如图：
观察图象可知：A2（4，2）；
故选：D.
【点睛】本题考查平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是正确画出图象，属于中考常考题型．
【变式训练】
【变式1】（2022·山东青岛·校考一模）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A、B的对应点A′、B′的坐标分别是（ ）
A．（﹣3，3）、（﹣2，4） B．（3，﹣3）、（1，4）
C．（3，﹣3）、（﹣2，4） D．（﹣3，3）、（1，4）
【答案】D
【分析】根据网格结构找出点A、B绕点C逆时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出点A′、B′的坐标即可．
【详解】如图，点A、B的对应点A′、B′的坐标分别（﹣3，3），（1，4），
故选D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握网格结构，作出旋转后的图形是解题的关键.
【变式2】（2020秋·山东德州·九年级校考期中）如图，在边长为1的正方形网格中，，，，.线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为______.
【答案】或
【分析】连接两对对应点，分别作出连线的垂直平分线，其交点即为所求．
【详解】解：如图所示，旋转中心P的坐标为（3，3）或（6，6）．
故答案为（3，3）或（6，6）．
【点睛】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
【变式3】（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图，方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中将向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到（点A的对应点是M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出；
(2)在方格纸中画出以为斜边的等腰直角三角形（点F在小正方形的顶点上）．连接，请直接写出线段的长．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，的长为
【分析】（1）根据平移规则，确定M，N，P的位置，再进行连线即可得到；
（2）先把绕点E顺时针旋转，得到，则为等腰直角三角形，连接，即为所求，利用勾股定理求即可．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
由图可知：．
【点睛】本题考查网格中作图以及勾股定理．根据题意，正确的进行作图，是解题的关键．
【经典例题五 根据中心对称图形的性质求面积、长度、角度】
【例5】（2022秋·广西玉林·九年级校考阶段练习）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点的坐标是，根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．
【详解】解：根据题意，点A、关于点对称，
设点的坐标是，
则，，
解得，，
点的坐标是．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点A、关于点成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．
【变式训练】
【变式1】（2022·广东深圳·校考模拟预测）如图，AB垂直于BC且AB＝BC＝3cm，与关于点O中心对称，AB、BC、、所围成的图形的面积是( )cm2．
A． B．π C． D．π
【答案】A
【分析】由弧OA与弧OC关于点O中心对称，根据中心对称的定义，如果连接AC，则点O为AC的中点，则题中所求面积等于△BAC的面积．
【详解】解：连AC，如图，
∵AB⊥BC，AB＝BC＝3cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
又∵与关于点O中心对称，
∴OA＝OC，＝，
∴弓形OA的面积＝弓形OC的面积，
∴AB、BC、与所围成的图形的面积＝三角形ABC的面积＝×3×3＝（cm2）．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两腰相等，两锐角都为；也考查了中心对称的性质以及三角形的面积公式．
【变式2】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为_____________．
【答案】11
【分析】连接DK，DN，证明S四边形DMNT=S△DKN=大正方形的面积，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接DK，DN，
∵∠KDN=∠MDT=90°，
∴∠KDM=∠NDT，
∵DK=DN，∠DKM=∠DNT=45°，
∴△DKM≌△DNT（ASA），
∴S△DKM=S△DNT，
∴S四边形DMNT=S△DKN=大正方形的面积，
∴正方形ABCD的面积=4××9+2=11．
故答案为：11．
【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键连接DK，DN，构造全等三角形解决问题．
【变式3】（2022·八年级单元测试）如图，在长方形中，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上运动时，______（用含的代数式表示）；
(2)当点与点重合时，求的值；
(3)当时，求的值；
(4)若点关于点的中心对称点为点，直接写出和面积相等时的值．
【答案】(1)2t-4（2≤t≤5）；
(2)
(3)t=或；
(4)满足条件的t的值为或．
【分析】（1）判断出时间t的取值范围，根据线段的和差定义求解；
（2）先判断P的位置，再根据BP+CQ=BC，构建方程求解；
（3）分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解；
（4）分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解；
【详解】（1）解：当2≤t≤5时，PB=2t-4，
故答案为：（2t-4）（2≤t≤5）；
（2）当时，重合，此时不重合，
当P，Q重合时，2t-4+t=6，
∴；
（3）当BQ=2PB时，6-t=2（4-2t）或6-t=2（2t-4），
解得，或，
∴t=或；
（4）当点P在AB上时，如图甲所示，
∴×2（4-2t）×6=×t×4，
解得，．
当点P在BC上时，如图乙所示，
×2（2t-4）×4=×t×4，解得，，
综上所述，满足条件的t的值为或．
【点睛】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【经典例题六 坐标与旋转规律问题】
【例6】（2022·吉林长春·模拟预测）根据指令（，），机器人在平面上完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再朝其面对的方向行走个单位现机器人在平面直角坐标系的原点，且面对轴的正方向，如果输入指令为，那么连续执行三次这样的指令，机器人所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得到指令表示首先逆时针旋转，然后朝其面对的方向行走个单位到,第二次道点,第三次到点，由此即可构造图形来解决．求出机器人所在位置的坐标．
【详解】解：如图所示，输入指令为，那么连续执行三次这样的指令，机器人所在位置的坐标是．
过作于，过作于，
∴，，
根据题意得到四边形是等腰梯形，四边形是矩形，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在矩形中：，
∴，
∴的坐标是．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形等知识点的应用，关键是根据题意画出图形，灵活运用勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形来解决问题．
【变式训练】
【变式1】（2021秋·河南驻马店·九年级统考期中）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为( )
A．(6，4) B．(−6，4) C．(4，−6) D．(−4，6)
【答案】C
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2022次旋转结束时，点C的坐标．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，
∵OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝45°，
∵BC＝AD＝4，
∴CE＝BE＝4，
∴OE＝OB+BE＝6，
∴C(−4，6)，
∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
则第1次旋转结束时，点C的坐标为(6，4)；
则第2次旋转结束时，点C的坐标为(4，−6)；
则第3次旋转结束时，点C的坐标为(−6，−4)；
则第4次旋转结束时，点C的坐标为(−4，6)；
…
发现规律：旋转4次一个循环，
∴2022÷4＝505•••2，
则第2022次旋转结束时，点C的坐标为(4，−6)．
故选：C．
【点睛】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2022次旋转后矩形的位置是解题的关键．
【变式2】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段绕点按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段……如此下去，得到线段，，，……，（为正整数），则点的坐标是______．
【答案】
【分析】勾股定理求出，根据旋转的规律得到，再利用角度变化得到点是第254组的第3次变化，与点在同一坐标轴上，由此得到答案．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴，
由题意得，，，，……，
∴，
∵每次都旋转，，
∴每8次变化为一个循环，
∵，
∴点是第254组的第3次变化，与点在同一坐标轴上，
∴点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了点的坐标规律探寻，读懂题意，需要从伸长的变化规律求出的长度，从旋转的变化规律求出点所在的象限两个方面考虑求解．
【变式3】（2022秋·全国·九年级专题练习）今后你将大量遇到用坐标的方法研究图形的运动变换．
如图1，在已建立直角坐标系的方格纸中，图形的顶点为A，B，C，要将它平移旋转到图（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）．
例如：将图形做如下变换（见图．
第一步：平移，使顶点移至点，得图；
第二步：绕着点旋转，得图；
第三步：平移，使点移至点，得图．
(1)写出，两点的坐标；
(2)从A，B，C，三点中选取你要的点，仿照例题格式描述出另一种与上例不同的路线的图形变换．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）根据坐标轴的特征可得到，两点的坐标
（2）根据平移和旋转可得到另外一种变换方式，但是答案不唯一
【详解】（1）根据图1可知：点的横坐标是4，纵坐标是6，
∴点的坐标是
点的横坐标是6，纵坐标是4，
∴点的坐标是
（2）第一步：平移，使顶点移至点；
第二步：绕着点旋转；
第三步：平移，使点移至点．
【点睛】本题考查图形的平移变换和旋转变换，关键是要懂得左右平移点的时候，纵坐标不变，上下移动点的时候，横坐标不变
【经典例题七 中心对称图形规律问题】
【例7】（2021·山东济宁·统考一模）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（ ）
A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，）
【答案】A
【分析】首先根据等边三角形的性质得出点A1，B1的坐标，再根据中心对称性得出点A2，
点A3，点A4的坐标，然后横纵坐标的变化规律，进而得出答案．
【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为 ，B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，纵坐标是-，
∴点A2的坐标是，
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3＝5，纵坐标是，
∴点A3的坐标是，
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5＝7，纵坐标是-，
∴点A4的坐标是，
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n的坐标是 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，中心对称的性质，数字变化规律等，根据中心对称性求出点的坐标是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·山西大同·九年级大同一中校考阶段练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称的性质解答即可．
【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），
由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．
【变式2】（2022·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，.已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为___________.
【答案】
【分析】根据平面直角坐标系中，点的对称性质，结合题意，依次求得点，，，，，，的坐标，从而发现该题的规律，求得点的坐标．
【详解】解：∵，，
∴点关于点的对称点，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
此时点与点重合．
∵，
∴与点重合，
故，
答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标的对称性质，熟练掌握点坐标的对称性质是解题的关键．
【变式3】（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，．
观察应用：
(1)如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为 ；
(2)另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为 、 ．
拓展延伸：
(3)求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标．
【答案】(1)点的坐标为
(2)、的坐标分别为，；
(3)；或或或．
【分析】（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标；
（2）根据题目所给公式求出，，的坐标，依此类推即可求出的坐标；
（3）根据所求出的坐标可得的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，利用这个规律即可求出点的坐标；然后分情况讨论，根据等腰三角形的性质求出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标．
【详解】（1）解：∵，，
∴点的坐标为；
（2）解：∵，，
∴的横坐标为，纵坐标为，即，
∵，
∴的横坐标为，纵坐标为，即，
∵，
∴的横坐标为，纵坐标为，即，
同理可得：，，，，
即点、的坐标分别为，，
故答案为：，；
（3）解：，，，，，，，；
的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，
，
的坐标与的坐标相同，即；
∴，
设轴上与点、点构成等腰三角形的点为点D，
当时，点D坐标为或；
当时，
∵，
∴，点D坐标为；
当时，点D在的垂直平分线上，
∴点D与原点重合，点D坐标为；
综上，在轴上与点、点构成等腰三角形的点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，中心对称的性质，规律型—点的坐标，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，灵活运用题目所给公式是解题的关键．
【经典例题八 旋转的最值问题】
【例8】（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P为线段外一动点，且，以为边作等边，则线段的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．
【答案】B
【分析】分情况讨论，当点P在第一象限内时，将绕着点P顺时针旋转得，连接，根据旋转的性质求得的最大值为5，当点P在第四象限内时，同理可得线段的最大值为5．
【详解】解：如图，当点P在第一象限内时,将绕着P点顺时针旋转，得，连接,则,，,
∴是等边三角形，
∴，可得当D在延长线上时，最长，此时点D与O重合，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，，，
∴,
∴线段的最大值为5；
当点P在第四象限内时，同理可得线段的最大值为5
所以最大值是5
故选：B
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键，解题时注意分类思想的运用．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东广州·九年级广州市第六十五中学校考阶段练习）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接．若，，则线段的最大值是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知，在中，利用三角形三边关系可得的最大值．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，，
∴，
∵将绕顶点C逆时针旋转得到，
∴，
∵点P为的中点，
∴，
∵M是的中点，
∴，
在中，利用三角形三边关系可得，（当三点共线时取等号）
∴，
∴的最大值为3，
故选：B
【点睛】本题主要考查了含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边关系，旋转的性质等知识，掌握几何最值的求解方法是解题的关键．
【变式2】（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，为线段的中点，点为直线上一动点，连结，将点绕点逆时针旋转得到点，则周长最小值为__________．
【答案】##
【分析】如图所示，首先根据题意证明出，然后得到点E的轨迹是经过A点且垂直于的直线，作点B关于的对称点，连接，交于点，根据两点之间线段最短得到周长的最小值为，最后根据勾股定理和三角形周长公式求解即可．
【详解】如图所示，
∵在等腰直角三角形中，为线段的中点，
∴，，
∵点为直线上一动点，连结，将点绕点逆时针旋转得到点，
∴，，
∴，
∴，
作交于点F，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点E的轨迹是经过A点且垂直于的直线，
∴作点B关于的对称点，连接，交于点，
∴周长，
∴周长的最小值为，
∵，为线段的中点，
∴，
∵点B关于的对称点，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，最短路径问题等知识，解题的关键是正确画出图形，得到点E的运动轨迹．
【变式3】（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）如图，点D为等腰直角三角形斜边上一动点（点D不与线段两端点重合），将绕点B顺时针方向旋转到，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长：
(3)若，请直接写出的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)的最小值为10．
【分析】（1）利用证明，得；
（2）由（1）得，则，再根据勾股定理可得的值，从而得出的长；
（3）由（2）知，，则点E在直线上运动，作点B关于的对称点，连接，交于E，此时最小，再根据勾股定理求的长即可．
【详解】（1）证明：∵将绕点B顺时针方向旋转到，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知，，
则点E在直线上运动，
作点B关于的对称点，连接，交于E，此时最小，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴的最小值为10．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，轴对称最短路线问题，确定点E的运动路径是解题的关键．
【经典例题九 旋转的综合题（几何变换）】
【例8】（2021秋·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期末）如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接PQ．由题意△PQA是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明∠PQB＝90°即可解决问题．
【详解】解：如图，连接PQ．
∵△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，
∴AP＝AQ＝2，PC＝BQ＝2，∠PAQ＝60°，
∴△PAQ是等边三角形，
∴PQ＝PA＝2，
∵PB＝4，
∴，
∴∠PQB＝90°，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2021春·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，D为内一点，，，连接BD，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点A作AG⊥DE于G，根据旋转的性质得∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，从而得△ADE是等腰直角三角形，即可求得∠AED=45°，DE=，从而得出∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，再因为AG⊥DE，根据等腰直角三角形的性质得到∠GAF=30°，AG=GE=，然后在Rt△AGF中，由勾股定理，得，从而求得AF=，即可由CF=AC-AF求解．
【详解】解：如图，过点A作AG⊥DE于G，
由旋转可得：∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，DE=，
∴∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，
∵AG⊥DE，
∴DG=GE，∠GAF=30°，
∴AG=GE=，FG=，
在Rt△AGF中，由勾股定理，得
，即，
解得：AF=,
∴CF=AC-AF=，
故选：A．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
【变式2】（2022秋·北京东城·九年级校考期中）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为___________．
【答案】##45度
【分析】根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明，由全等三角形的性质可知；再证明为等边三角形，可得，然后利用两角之差即可求解．
【详解】解：连接，如下图，
∵是等边三角形，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质以及图形的旋转等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式3】（2022秋·江西南昌·九年级统考期末）【问题呈现】
在中，，，点是斜边上的一点，连接，试说明、、之间的数量关系，并说明理由．
【解决策略】小敏同学思考后是这样做的；如图1将绕点逆时针旋转，得到，连接，经过推理使问题得到解决，请回答：
(1)的形状是 ，的形状是 ；
(2)直接写出、、之间的数量关系是 ；
【方法感悟】若条件中出现等线段共端点，可以考虑旋转某个三角形，把分散的条件或结论集中到一个三角形中．
(3)如图2，在四边形中，，，，若，，求的长；
(4)如图3，在四边形中，，，若，．求，两点之间的最大距离．
【答案】(1)直角三角形，等腰直角三角形
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由旋转的性质得出是等腰直角三角形，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出结论；
（3）过点作，交的延长线于点，连接，证出，由勾股定理可得出答案；
（4）将绕点顺时针旋转，得到对应的，连接，则，证出，求出的最大值可得出答案．
【详解】（1）∵将绕点逆时针旋转，得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形；
故答案是：直角三角形，等腰直角三角形；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案是：．
（3）过点作，交的延长线于点，连接，如图，
∵，
∴是直角三角形，
由（1）可知，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
（4）将绕点顺时针旋转，得到对应的，连接，如图，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴当，，三点共线时，最大，
∴，两点之间的最大距离时．
【点睛】本题主要考查了四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【培优检测】
1．（2022秋·河南安阳·九年级统考期中）如图，在中，将在平面内绕点A逆时针旋转得到，此时恰好使，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】旋转，则图中，，，，有，根据等量代换可以求出的度数，即可得到的度数．
【详解】解：将在平面内绕点逆时针旋转得到，
可以得到，，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
2．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）如图，将边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，使边在x轴的正半轴上，顶点F在y轴的正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正六边形的性质以及正六边形在坐标系中的位置，确定点D的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出答案即可．
【详解】解：如图，连接，
在正六边形中，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴点D的坐标为，
∵将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
∴6次一个循环，
∵，
∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转（共计旋转了180°）得到的的坐标相同，
∵D与关于原点对称，
∴，
∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标．
故选：A．
【点睛】本题考查正六边形的性质，旋转的性质以及旋转引起的坐标变化的规律是正确解答的前提．
3．（2022秋·辽宁大连·九年级统考期中）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A、B的对应点分别为D、E，连接．当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论：①；②；③平分．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由旋转的性质可知，再借助题意可计算，故①正确；先由旋转的性质证明，可推导、，借助可知为等边三角形，易知，再证明，故②正确；借助为等边三角形，易知，由题意可计算，即有，可证明平分，故③正确；进而解题即可．
【详解】解：①.由旋转的性质可知，，
∴当点A、、在同一条直线上时，，
故①正确；
②.由旋转的性质可知，，
∴，，
由∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故②正确；
③. ∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
故③正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，解题关键是熟练运用旋转的性质．
4．（2022秋·北京东城·九年级北京一七一中校考期末）如图，在中，，，，将绕顶点C顺时针旋转得到，取的中点E，的中点P，则在旋转过程中，线段的最大值为（ ）
A．1 B．0.5 C．2 D．1.5
【答案】D
【分析】连接，先由，，，得到，，然后由旋转的性质得到，，，然后利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到的长，最后利用三角形三边关系得到EP的最大值．
【详解】解：∵，，，
∴，，
由旋转得，，，，
∵点P是的中点，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴当点E、C、P三点共线时，最大，最大值为，
∵点E是的中点，，
∴，
∴最大值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、含30°角的直角三角形三边关系，解题的关键是熟知任意三角形三边的关系．
5．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考阶段练习）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：
可以由绕点逆时针旋转得到；
点与的距离为；
；
四边形的面积是；
．
其中正确结论有个．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明即可说明可以由绕点逆时针旋转得到，故正确；
根据旋转的性质可知是等边三角形，则点与的距离为，故正确；
由，故正确；
由四边形的面积等边面积面积，进行计算即可判断，故正确；
将线段以点A为旋转中心顺时针旋转得到线段，连接，根据面积和差关系即可判断错误．
【详解】解：∵在和中，
∴，
，
可以由绕点逆时针旋转得到，正确；
如图，连接，
根据旋转的性质可知，，
是等边三角形，
点与的距离为，，正确；
在中，，，，
，
是直角三角形，，
，正确；
面积为，等边面积为，
四边形的面积为，正确；
如图，将线段以点为旋转中心顺时针旋转得到线段，连接，
同理可得：，
是直角三角形，，
是等边三角形，，，
，，
∴，错误；
综上分析可知，正确的个数为4个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，此题难度较大，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解．
6．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）已知：如图，等边三角形的边长为，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点B和点O分别作于点C，于点D，根据是等边三角形，可得G点坐标，等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，旋转6次为一个循环，分别求出等边三角形中心G旋转后的坐标，进而可得第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标．
【详解】如图所示：
过点B和点O分别作于点C，于点D，
∵是等边三角形，
∴平分，
∴，
∵，
∴，，
∵等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，
∴旋转6次为一个循环，
∵等边三角形中心G坐标为，
第一次旋转后到y轴正半轴，坐标为：；
第二次旋转后到第二象限，坐标为：；
第三次旋转后到第三象限，坐标为：；
第四次旋转后到y轴负半轴，坐标为：；
第五次旋转后到第四象限，坐标为：；
第六次旋转后回到第一象限，坐标为：，
∵，
∴第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关键．
7．（2022秋·辽宁大连·九年级大连市第三十四中学校考期末）如图，点，，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转90°得到，连接．则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】如图1所示，当点P在x轴正半轴时，过点C作轴交x轴于D，设，利用一线三垂直模型证明推出，进而得到点C在直线上运动，则当与直线垂直时，有最小值，据此求解即可．
【详解】解：如图1所示，当点P在x轴正半轴时，过点C作轴交x轴于D，设，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴点C在直线上运动，
同理可证当点P在x轴负半轴时，点C在直线上运动，
∴当与直线垂直时，有最小值，
设直线与x轴交于点E，与y轴交于F，如图2所示，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值为，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，确定点C的运动轨迹是解题的关键．
8．（2022秋·安徽芜湖·九年级统考期中）如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再利用勾股定理求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，过点A作，截取，连接，
∵将线段绕着点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴在中，．
∵，
∴．
∵，且当点G，P，E三点共线时取等号，
∴的最小值为．
故选D．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系的应用等知识．正确作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
9．（2022秋·天津红桥·九年级校考期末）如图，已知，D是上一点，E是延长线上一点，将绕点C顺时针方向旋转，恰好能与重合．若，则旋转角为________．
【答案】
【分析】设，根据旋转的旋转得，，，的度数等于旋转角的度数，再利用三角形外角性质得，接着证明，则利用三角形内角和得到，然后求出x后计算即可得到旋转角的度数．
【详解】解：设，
∵绕点C顺时针方向旋转，恰好能与重合，
∴，，，的度数等于旋转角的度数，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴旋转角的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握旋转前后对应的角相等和边相等是解决问题的关键．
10．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）如图，O为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边在射线上．将图①中的三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），设旋转时间为t秒
（1）当时，则_________
（2）在旋转一周的过程中，所在直线恰好平分，则t的值为________．
【答案】 3或21
【分析】（1）根据旋转的性质，当时求出旋转角为，即可求解；
（2）根据所在直线恰好平分，则或，结合图形列出方程求解即可．
【详解】解：（1）当时，旋转角为，
∴，
故答案为：；
（2）当直线恰好平分时，如图，
∴或，
∴
，
当射线恰好平分时，如图，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3或21．
【点睛】本题考查了角度的计算，一元一次方程的应用，考查了角平分线定义，周角度数，列出正确的方程是解本题的关键．
11．（2023秋·山东淄博·八年级校考期末）如图，在中，，且，是内一点，若的最小值为，则的面积为 __．
【答案】4
【分析】将绕点A顺时针旋转得到，连接，，首先证当M、G、P、C共线时，的值最小，最小值为的长，由等腰直角三角形求得的长，进而求得的长，由三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图将绕点顺时针旋转得到．连接，，
则，，，，
是等边三角形，
，
，
当，，，共线时，的值最小，最小值为线段的长，
的最小值为，
，
，，
，
，
作于．则，，，
的面积．
故答案为：4．
【点睛】本题考查轴对称—最短问题，等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点间线段最短解决问题，属于中考常考题型．
12．（2022春·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图，已知等边三角形的边长为为坐标原点，点在轴上，点在第二象限．将沿轴正方向作无滑动翻滚，经第一次翻滚后得，则翻滚次后点的对应点的坐标是___________；翻滚次后的中点的对应点的纵坐标为___________．
【答案】
【分析】作出把经次翻滚后的图形，作轴于点，由勾股定理可得的长，从而可知点的纵坐标，再根据等边三角形的边长为及等腰三角形的三线合一性质，可得的长，从而可知点的坐标；由图像可知翻滚的循环规律，从而可知翻滚次后中点的纵坐标．
【详解】解：如图所示，把经次翻滚后，点落到点处，点经过点、点落到点处，点落到点处，作轴于点，
则，
，
，
由图像可知，翻滚三次为一个循环，
，
翻滚次后中点的纵坐标和开始时的纵坐标相同，
开始时点的纵坐标为，
翻滚次后中点的纵坐标为．
故答案为：、．
【点睛】本题考查的是规律型点的坐标，同时考查了等边三角形的性质等几何知识，本题难度中等偏上．
13．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：过点Q作轴于点轴于N，
在和中， ，
设，
当时，有最小值为 ，
∴最小值为，
故答案为：.
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换−旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
14．（2022·湖南娄底·统考一模）已知在中，，，．点为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是__________．
【答案】
【分析】作F点关于AC的对称点，连接A并延长交BC延长线于点，将的最小值转化为求B点到A 的最短距离，根据垂线段的性质即可解答；
【详解】解：如图作F点关于AC的对称点，连接A 并延长交BC延长线于点B′，作BD⊥AB′于点D，
由对称性可得EF=E ，
由垂线段的性质可得B到AB′的最短距离为BD，
∴EF+EB=E+EB=B≥BD，
Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=15°，
∴∠BAD=2∠BAC=30°，
Rt△ABD中，AB=5，∠BDA=90°，∠BAD=30°，∴BD=，
∴线段的最小值是，
故答案为：；
【点睛】本题考查了对称的性质，垂线段的性质，30°直角三角形的性质；掌握相关性质是解题关键．
15．（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）已知和是等腰直角三角形，，F为的中点，连接．
(1)如图①，当点D在上，点E在上，请写出此时线段的数量关系和位置关系，并说明理由．
(2)如图②，在（1）的条件下将绕点A顺时针旋转，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
【答案】(1)，理由见解析
(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析
【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，根据，，得到，进而得出；
（2）延长交于点G，，先判定，得到，结合和都是等腰直角三角形，得到，根据是等腰直角三角形，以及F是的中点，即可得到且．
【详解】（1）且．
∵，
∴，
又∵，点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴且．
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图：延长交于点G，
∵，
∴，
∴，，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
又∵F是的中点，
∴且．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形和全等三角形的判定与性质的运用．解题时需要作辅助线，构造全等三角形以及等腰直角三角形，掌握等腰直角三角形和全等三角形的性质及其判定定理是解题的关键．
16．（2021秋·河南商丘·九年级统考期中）已知，中，，点E是边上一点，过点E作交于点F．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，将绕点A逆时针旋转得到．连接、．
①若，求的长；
②若，在图②的旋转过程中，当时，直接写出旋转角的大小．
【答案】(1)见解析
(2)①6；②旋转角为或
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等，再根据平行线的性质得出，，，得出，进一步得出结论；
（2）根据旋转的性质可得，，然后证明，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（3）把绕点A逆时针旋转，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与平行的直线l相交于点M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：①由旋转的性质得，，，
在和中，
，
∴，
∴；
②由（1）可知，
所以，在绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与平行的直线l相交于点M、N，如图，
∵，，
∴，
①当点E的对应点与点M重合时，
，
，
，，
，
，
∴四边形是等腰梯形，
∴，
又∵，
∴；
②当点E的对应点与点N重合时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，当时，旋转角为或．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．
17．（2022秋·九年级单元测试）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中），与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点P逆时针旋转．
(1)在图1中， ；
(2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？
【答案】(1)
(2)①当旋转时间为3或21秒时，成立；②旋转的时间是25秒
【分析】（1）根据平角即可得到结论；
（2）①如图1，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论；如图2，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和得到，求得，于是得到结论；②设旋转的时间为t秒，由题知，，根据周角得到，列方程即可得到结论．
【详解】（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）①如图1，此时，成立，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵转速为秒，
∴旋转时间为3秒；
如图2，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵三角板绕点P逆时针旋转D的角度为，
∵转速为秒，
∴旋转时间为21秒，
综上所述，当旋转时间为3或21秒时，成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知，，
∴，
∴，
当，即，
解得：，
∴当，旋转的时间是25秒．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键．
18．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期中）随着教育教学改革不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题。从数学的产生和发展历程来分析，不外乎就是三个环节：观察猜想、探究证明、拓展延伸。下面请同学们从这三个方面试着解决下列问题：
如图1，有公共直角顶点A的两个不全等的等腰直角三角形叠放在一起，点B在上，点C在上．
(1)【观察猜想】
在图1中，你发现线段的数量关系是______，直线的位置关系是______．
(2)【观察猜想】探究证明
将图1中的绕点A逆时针旋转一个锐角得到图2，这时（1）中的两个结论是否仍然成立？作出判断并证明．
(3)【拓展延伸】
将图3中，若只把“有公共直角顶点A的两个不全等的等腰直角三角形”改为“有公共顶角为（锐角）的两个不全等的等腰三角形”，绕点A逆时针旋转任意一个锐角得到图4，这时（1）中的两个结论仍然成立吗？作出判断，并说明理由．
【答案】(1)
(2)两个结论仍然成立，理由见解析
(3)结论成立，结论不成立，理由见解析
【分析】（1）根据和是等腰直角三角形，得到，即可得出结论；
（2）由旋转的性质得到．根据证明，根据全等三角形的对应边相等得出．延长，交于点F，交于点O．由全等三角形对应角相等得到．根据三角形内角和定理和对顶角相等，得到，即可得出结论．
（3）类似（2）可得成立，不成立．
【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形，且直角顶点为A，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：将图1中的绕点A逆时针旋转一个锐角时，两个结论仍然成立．理由如下：
由旋转得：．
又∵，
∴．
∴．
如图，延长，交于点F，交于点O．
∵，
∴．
∵．
∴．
∵，
∴，即．
（3）解：结论成立，结论不成立．理由如下：
由旋转得：，
∴．
又∵，
∴．
∴．
延长，交于点M，与交于点N．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴不成立．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．证明是解答本题的关键
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