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2023年中考数学专项汇编 【图形的性质】题型精练 图形的初步认识（二）
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这是一份2023年中考数学专项汇编 【图形的性质】题型精练 图形的初步认识（二），共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
图形的初步认识（二）（精练）
A基础训练 B能力提升
A基础训练
一、单选题
1．（2022秋·河北石家庄·七年级校考期中）已知，那么的余角的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·天津·七年级校考期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．与表示同一个角
B．图中共有三个角：，，
C．也可用来表示
D．
3．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，直线，将含角的直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，是上一点，交于点，，．与的数量关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，四边形中，，将四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，则为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图，，直线交于，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，已知中上取一点上取一点使得，过点作，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河北石家庄·九年级校考期末）以为中心点的量角量与直角三角板如图所示摆放，直角顶点在零刻度线所在直线上，且量角器与三角板只有一个公共点．若点的读数为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②④
11．（2022秋·湖北黄石·八年级校考期末）如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，过点在三角板的内部作射线，使得恰好是的角平分线，此时与满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，已知平分，是上一点，于点，是射线上的一个动点，如，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·八年级单元测试）如图，在中，，，平分，交于点，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期末）一个角的度数为，那么这个角的补角度数为______．
15．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，已知点O是直线上的一点，，．
（1）当时，的度数为 _____；
（2）当比的余角大40°，的度数为 _______．
16．（2022秋·广东中山·八年级校考阶段练习）如图，将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为___________．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图：是等边三角形，是的平分线，过点D作的平行线交于点E，已知的边长为3，则的长为__．
18．（2022春·广东江门·七年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在下列给出的条件中，可以判定的有___________．
①；②；③；④；⑤．
三、解答题
19．（2022秋·天津·七年级天津市第二十一中学校考期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．
(1)求的度数．
根据题意，补全下列说理过程：
∵是的平分线
∴
∵是的平分线
∴______
∴____________°
(2)如果，求的度数．
20．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）阅读下面的解答过程，并填空．
如图，，平分，平分，．求证：．
证明：∵平分，平分，（已知）
∴__________，_________．（角平分线的定义）
又∵，（已知）
∴∠____________=∠____________．（等量代换）
又∵，（已知）
∴∠____________∠____________．（等量代换）
∴．（____________）
21．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）完成下面的证明过程．
已知：如图，，于，于，．试说明：．
解：∵（已知）
∴（______）．
∵，（已知），
∴____________．
∵．（已知），
∴______（______）．
即______．
∴____________（______）．
∴（______）．
22．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）如图，点C在射线上，于点F．
(1)使用圆规和直尺作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）
在射线上画出点E，使C为线段的中点，连接．
(2)连接，在线段，，中，线段_____________最短，依据是____________．
(3)若，求的度数．
23．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，，．
(1)求证：．
(2)若，，则的大小为___________．
24．（2022秋·湖北武汉·七年级统考期末）已知O为直线AB上的一点，是直角，平分．
(1)如图1，若，则∠BOE＝___；若，则∠BOE＝___；与的数量关系为___．
(2)在图2中，若，在的内部是否存在一条射线，使得2∠BOD与∠AOF的和等于与的差的三分之一？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．
(3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出与的数量关系．
25．（2022秋·山西吕梁·七年级统考期末）综合与探究
【背景知识】
如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点．
(1)若 ，则 ；
(2)当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由；
【类比探究】
(3)对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和，若度，度，求．
26．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）如图，在长方形中，，点，分别为线段上的动点，点从点出发，沿方向，以每秒1个单位长度的速度向点运动，点从点出发，沿方向，以每秒2个单位长度的速度向点运动，点与点同时出发，设运动时间为t秒，连接．
(1)当时，请求出的值；
(2)试判断四边形的面积是否发生变化?若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由；
(3)请探究之间的数量关系，并说明理由．
B能力提升
27．（2022秋·全国·八年级期末）如图①，中，，、的平分线交于O点，过O点作交于E、F．
(1)图中有几个等腰三角形？猜想：与、之间有怎样的关系，并说明理由．
(2)如图②，若，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中与、间的关系还存在吗？
(3)如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于O，过O点作交于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？与、关系又如何？说明你的理由．
28．（2022秋·九年级单元测试）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中），与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点P逆时针旋转．
(1)在图1中， ；
(2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？
29．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）如图，，相交于点C， ，点P从点A出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度匀速运动．P，Q两点同时出发，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．
(1)当时．_____，当时，_______．
(2)求证：．
(3)连接，当线段经过点C时，的长为______．
答案与解析
A基础训练
一、单选题
1．（2022秋·河北石家庄·七年级校考期中）已知，那么的余角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：的余角的度数．
故选：A．
2．（2022秋·天津·七年级校考期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．与表示同一个角
B．图中共有三个角：，，
C．也可用来表示
D．
【答案】C
【详解】解：A．与表示同一个角，故选项正确，不符合题意；
B．图中共有三个角：，，，故选项正确，不符合题意；
C．不可用来表示，故选项错误，符合题意；
D．，故选项正确，不符合题意．
故选：C．
3．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，直线，将含角的直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，
∵，，
∴．
∵，
∴．
故选：D．
4．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，是上一点，交于点，，．与的数量关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【详解】∵，
∴，
又∵，，
∴≌（），
∴．
故选：A．
5．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：根据对顶角定义可知，只有B符合定义，其他都不符合，
故选：B．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，四边形中，，将四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，
，
由折叠得，，
，
，
，
故选：C．
7．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图，，直线交于，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：D．
8．（2022秋·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，已知中上取一点上取一点使得，过点作，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在中，
∵，即，
∴为直角三角形，
∴，
过点作交于点，则，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
9．（2022秋·河北石家庄·九年级校考期末）以为中心点的量角量与直角三角板如图所示摆放，直角顶点在零刻度线所在直线上，且量角器与三角板只有一个公共点．若点的读数为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解∶是的切线，
故选∶D．
10．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②④
【答案】D
【详解】解：为外角的平分线，平分，
，，
又是的外角，
，
，即，故②正确；
，分别平分，，
，，
，故①、③错误；
平分，平分，
，，
，
是的外角，
，故④正确；
故选：D．
11．（2022秋·湖北黄石·八年级校考期末）如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，过点在三角板的内部作射线，使得恰好是的角平分线，此时与满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：令为，为，，
恰好是的角平分线，
，
，
，
，即，
．
故选B．
12．（2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，已知平分，是上一点，于点，是射线上的一个动点，如，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图：
当时，有最小值，
平分，，，
，
长的最小值为，
故选：B．
13．（2022秋·八年级单元测试）如图，在中，，，平分，交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
二、填空题
14．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期末）一个角的度数为，那么这个角的补角度数为______．
【答案】
【详解】解：一个角的度数为，
这个角的补角的度数为：，
故答案为：．
15．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，已知点O是直线上的一点，，．
（1）当时，的度数为 _____；
（2）当比的余角大40°，的度数为 _______．
【答案】 45°##45度 20°##20度
【详解】解：（1）∵，，
∴．
故答案为：45°．
（2）由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：20°．
16．（2022秋·广东中山·八年级校考阶段练习）如图，将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为___________．
【答案】##75度
【详解】解：如图，
由题意得：，
，
，
；
故答案为：．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图：是等边三角形，是的平分线，过点D作的平行线交于点E，已知的边长为3，则的长为__．
【答案】1.5
【详解】：解：∵是等边三角形，是的平分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴点D是的中点，
∴．
故答案为：1.5．
18．（2022春·广东江门·七年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在下列给出的条件中，可以判定的有___________．
①；②；③；④；⑤．
【答案】②③⑤
【详解】解；由，不可以证明，故①错误；
由，可以证明（内错角相等，两直线平行），故②正确；
由，可以证明（内错角相等，两直线平行），故③正确；
由，不可以证明，故④错误；
由，可以证明（同旁内角互补，两直线平行），故⑤正确；
故答案为；②③⑤．
三、解答题
19．（2022秋·天津·七年级天津市第二十一中学校考期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．
(1)求的度数．
根据题意，补全下列说理过程：
∵是的平分线
∴
∵是的平分线
∴______
∴____________°
(2)如果，求的度数．
【答案】(1)，，；
(2)．
【详解】（1）证明：∵是的平分线
∴
∵是的平分线
∴
∴
故答案为：，，；
（2）解：∵，
∴，
∴
20．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）阅读下面的解答过程，并填空．
如图，，平分，平分，．求证：．
证明：∵平分，平分，（已知）
∴__________，_________．（角平分线的定义）
又∵，（已知）
∴∠____________=∠____________．（等量代换）
又∵，（已知）
∴∠____________∠____________．（等量代换）
∴．（____________）
【答案】；；；；；；同位角相等，两直线平行
【详解】证明：∵平分，平分，（已知）
∴，．（角平分线的定义）
又∵，（已知）
∴．（等量代换）
又∵，（已知）
∴．（等量代换）
∴．（同位角相等，两直线平行）．
21．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）完成下面的证明过程．
已知：如图，，于，于，．试说明：．
解：∵（已知）
∴（______）．
∵，（已知），
∴____________．
∵．（已知），
∴______（______）．
即______．
∴____________（______）．
∴（______）．
【答案】两直线平行，内错角相等；；；；等式性质；；；；；全等三角形的对应边相等；
【详解】证明：（已知）
（两直线平行，内错角相等）．
（已知），
．
，（已知），
（等式性质），
即．
，
（全等三角形的对应边相等）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；等式性质；；全等三角形的对应边相等．
22．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）如图，点C在射线上，于点F．
(1)使用圆规和直尺作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）
在射线上画出点E，使C为线段的中点，连接．
(2)连接，在线段，，中，线段_____________最短，依据是____________．
(3)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)，垂线段最短(3)
【详解】（1）如解图即为所求．
（2）DF，垂线段最短
（3）∵与互补，，
∴．
23．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，，．
(1)求证：．
(2)若，，则的大小为___________．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵；
∴，
∴，
∴，
∵
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
24．（2022秋·湖北武汉·七年级统考期末）已知O为直线AB上的一点，是直角，平分．
(1)如图1，若，则∠BOE＝___；若，则∠BOE＝___；与的数量关系为___．
(2)在图2中，若，在的内部是否存在一条射线，使得2∠BOD与∠AOF的和等于与的差的三分之一？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．
(3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出与的数量关系．
【答案】(1)66°，，；
(2)
(3)
【详解】（1）解：（1）若，
∵是直角，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
若，
∵是直角，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
∴；
故答案为：66°，，；
（2）存在；
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
即，
解得；
（3）和的关系不成立．
设，则，，
∴．
25．（2022秋·山西吕梁·七年级统考期末）综合与探究
【背景知识】
如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点．
(1)若 ，则 ；
(2)当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由；
【类比探究】
(3)对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和，若度，度，求．
【答案】(1)(2)不变，．(3)．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵E，F分别是，的中点，
∴，．
∴．
（2）EF的长度不变．理由如下：
E，F分别是，的中点，
∴，．
∴
（3）∵，分别平分和
∴，．
∴
∵
∴
．
26．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）如图，在长方形中，，点，分别为线段上的动点，点从点出发，沿方向，以每秒1个单位长度的速度向点运动，点从点出发，沿方向，以每秒2个单位长度的速度向点运动，点与点同时出发，设运动时间为t秒，连接．
(1)当时，请求出的值；
(2)试判断四边形的面积是否发生变化?若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由；
(3)请探究之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形的面积不变，其面积为，理由见解析
(3)，理由见解析
【详解】（1）由题意知，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）四边形的面积不变，
理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴
，
∴四边形的面积不变，其面积为．
（3）如图，过点作，
则，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
则，
即．
B能力提升
27．（2022秋·全国·八年级期末）如图①，中，，、的平分线交于O点，过O点作交于E、F．
(1)图中有几个等腰三角形？猜想：与、之间有怎样的关系，并说明理由．
(2)如图②，若，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中与、间的关系还存在吗？
(3)如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于O，过O点作交于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？与、关系又如何？说明你的理由．
【答案】(1)五个等腰三角形，；
(2)还有两个等腰三角形，为、，存在；
(3)有等腰三角形：、，此时，见解析
【详解】（1）解： ∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∵、的平分线交于O点，
∴，；
∵，
∴，；
∴，；
∴、是等腰三角形，
∵，、的平分线交于O点，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中是等腰三角形的有：、、、、共五个；
与、的关系是．
理由如下：
∵，，，
∴；
（2）解：还有两个等腰三角形，为、，
如下图所示：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴为等腰三角形，在中，同理可证．
∴存在．
（3）解：有等腰三角形：、，此时，
∵如下图所示：，
∴，
又，
∴，
∴是等腰三角形，
在中，同理可证是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴
28．（2022秋·九年级单元测试）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中），与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点P逆时针旋转．
(1)在图1中， ；
(2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？
【答案】(1)
(2)①当旋转时间为3或21秒时，成立；②旋转的时间是25秒
【详解】（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）①如图1，此时，成立，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵转速为秒，
∴旋转时间为3秒；
如图2，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵三角板绕点P逆时针旋转D的角度为，
∵转速为秒，
∴旋转时间为21秒，
综上所述，当旋转时间为3或21秒时，成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知，，
∴，
∴，
当，即，
解得：，
∴当，旋转的时间是25秒．
29．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）如图，，相交于点C， ，点P从点A出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度匀速运动．P，Q两点同时出发，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．
(1)当时．_____，当时，_______．
(2)求证：．
(3)连接，当线段经过点C时，的长为______．
【答案】(1)3，2
(2)见解析
(3)1或2
【详解】（1）解：当时．，
当时．，
故答案为：3，2；
（2）解：在和中，
，
，
，
；
（3）解：由（1）得，
，，
当线段经过点C时，如下所示：
在和中，
，
，
，
，点P从点A出发，沿方向以的速度匀速运动，
时，点P到达点B，时，点P返回点A，
，
当时，，
解得，
的长为；
当时，，
解得，
的长为；
综上所述，的长为或，
故答案为：1或2．
图形的初步认识（二）（精练）
A基础训练 B能力提升
A基础训练
一、单选题
1．（2022秋·河北石家庄·七年级校考期中）已知，那么的余角的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·天津·七年级校考期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．与表示同一个角
B．图中共有三个角：，，
C．也可用来表示
D．
3．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，直线，将含角的直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，是上一点，交于点，，．与的数量关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，四边形中，，将四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，则为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图，，直线交于，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，已知中上取一点上取一点使得，过点作，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河北石家庄·九年级校考期末）以为中心点的量角量与直角三角板如图所示摆放，直角顶点在零刻度线所在直线上，且量角器与三角板只有一个公共点．若点的读数为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②④
11．（2022秋·湖北黄石·八年级校考期末）如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，过点在三角板的内部作射线，使得恰好是的角平分线，此时与满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，已知平分，是上一点，于点，是射线上的一个动点，如，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·八年级单元测试）如图，在中，，，平分，交于点，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期末）一个角的度数为，那么这个角的补角度数为______．
15．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，已知点O是直线上的一点，，．
（1）当时，的度数为 _____；
（2）当比的余角大40°，的度数为 _______．
16．（2022秋·广东中山·八年级校考阶段练习）如图，将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为___________．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图：是等边三角形，是的平分线，过点D作的平行线交于点E，已知的边长为3，则的长为__．
18．（2022春·广东江门·七年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在下列给出的条件中，可以判定的有___________．
①；②；③；④；⑤．
三、解答题
19．（2022秋·天津·七年级天津市第二十一中学校考期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．
(1)求的度数．
根据题意，补全下列说理过程：
∵是的平分线
∴
∵是的平分线
∴______
∴____________°
(2)如果，求的度数．
20．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）阅读下面的解答过程，并填空．
如图，，平分，平分，．求证：．
证明：∵平分，平分，（已知）
∴__________，_________．（角平分线的定义）
又∵，（已知）
∴∠____________=∠____________．（等量代换）
又∵，（已知）
∴∠____________∠____________．（等量代换）
∴．（____________）
21．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）完成下面的证明过程．
已知：如图，，于，于，．试说明：．
解：∵（已知）
∴（______）．
∵，（已知），
∴____________．
∵．（已知），
∴______（______）．
即______．
∴____________（______）．
∴（______）．
22．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）如图，点C在射线上，于点F．
(1)使用圆规和直尺作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）
在射线上画出点E，使C为线段的中点，连接．
(2)连接，在线段，，中，线段_____________最短，依据是____________．
(3)若，求的度数．
23．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，，．
(1)求证：．
(2)若，，则的大小为___________．
24．（2022秋·湖北武汉·七年级统考期末）已知O为直线AB上的一点，是直角，平分．
(1)如图1，若，则∠BOE＝___；若，则∠BOE＝___；与的数量关系为___．
(2)在图2中，若，在的内部是否存在一条射线，使得2∠BOD与∠AOF的和等于与的差的三分之一？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．
(3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出与的数量关系．
25．（2022秋·山西吕梁·七年级统考期末）综合与探究
【背景知识】
如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点．
(1)若 ，则 ；
(2)当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由；
【类比探究】
(3)对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和，若度，度，求．
26．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）如图，在长方形中，，点，分别为线段上的动点，点从点出发，沿方向，以每秒1个单位长度的速度向点运动，点从点出发，沿方向，以每秒2个单位长度的速度向点运动，点与点同时出发，设运动时间为t秒，连接．
(1)当时，请求出的值；
(2)试判断四边形的面积是否发生变化?若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由；
(3)请探究之间的数量关系，并说明理由．
B能力提升
27．（2022秋·全国·八年级期末）如图①，中，，、的平分线交于O点，过O点作交于E、F．
(1)图中有几个等腰三角形？猜想：与、之间有怎样的关系，并说明理由．
(2)如图②，若，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中与、间的关系还存在吗？
(3)如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于O，过O点作交于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？与、关系又如何？说明你的理由．
28．（2022秋·九年级单元测试）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中），与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点P逆时针旋转．
(1)在图1中， ；
(2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？
29．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）如图，，相交于点C， ，点P从点A出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度匀速运动．P，Q两点同时出发，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．
(1)当时．_____，当时，_______．
(2)求证：．
(3)连接，当线段经过点C时，的长为______．
答案与解析
A基础训练
一、单选题
1．（2022秋·河北石家庄·七年级校考期中）已知，那么的余角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：的余角的度数．
故选：A．
2．（2022秋·天津·七年级校考期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．与表示同一个角
B．图中共有三个角：，，
C．也可用来表示
D．
【答案】C
【详解】解：A．与表示同一个角，故选项正确，不符合题意；
B．图中共有三个角：，，，故选项正确，不符合题意；
C．不可用来表示，故选项错误，符合题意；
D．，故选项正确，不符合题意．
故选：C．
3．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，直线，将含角的直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，
∵，，
∴．
∵，
∴．
故选：D．
4．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，是上一点，交于点，，．与的数量关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【详解】∵，
∴，
又∵，，
∴≌（），
∴．
故选：A．
5．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：根据对顶角定义可知，只有B符合定义，其他都不符合，
故选：B．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，四边形中，，将四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，
，
由折叠得，，
，
，
，
故选：C．
7．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图，，直线交于，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：D．
8．（2022秋·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，已知中上取一点上取一点使得，过点作，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在中，
∵，即，
∴为直角三角形，
∴，
过点作交于点，则，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
9．（2022秋·河北石家庄·九年级校考期末）以为中心点的量角量与直角三角板如图所示摆放，直角顶点在零刻度线所在直线上，且量角器与三角板只有一个公共点．若点的读数为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解∶是的切线，
故选∶D．
10．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②④
【答案】D
【详解】解：为外角的平分线，平分，
，，
又是的外角，
，
，即，故②正确；
，分别平分，，
，，
，故①、③错误；
平分，平分，
，，
，
是的外角，
，故④正确；
故选：D．
11．（2022秋·湖北黄石·八年级校考期末）如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，过点在三角板的内部作射线，使得恰好是的角平分线，此时与满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：令为，为，，
恰好是的角平分线，
，
，
，
，即，
．
故选B．
12．（2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，已知平分，是上一点，于点，是射线上的一个动点，如，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图：
当时，有最小值，
平分，，，
，
长的最小值为，
故选：B．
13．（2022秋·八年级单元测试）如图，在中，，，平分，交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
二、填空题
14．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期末）一个角的度数为，那么这个角的补角度数为______．
【答案】
【详解】解：一个角的度数为，
这个角的补角的度数为：，
故答案为：．
15．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，已知点O是直线上的一点，，．
（1）当时，的度数为 _____；
（2）当比的余角大40°，的度数为 _______．
【答案】 45°##45度 20°##20度
【详解】解：（1）∵，，
∴．
故答案为：45°．
（2）由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：20°．
16．（2022秋·广东中山·八年级校考阶段练习）如图，将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为___________．
【答案】##75度
【详解】解：如图，
由题意得：，
，
，
；
故答案为：．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图：是等边三角形，是的平分线，过点D作的平行线交于点E，已知的边长为3，则的长为__．
【答案】1.5
【详解】：解：∵是等边三角形，是的平分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴点D是的中点，
∴．
故答案为：1.5．
18．（2022春·广东江门·七年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在下列给出的条件中，可以判定的有___________．
①；②；③；④；⑤．
【答案】②③⑤
【详解】解；由，不可以证明，故①错误；
由，可以证明（内错角相等，两直线平行），故②正确；
由，可以证明（内错角相等，两直线平行），故③正确；
由，不可以证明，故④错误；
由，可以证明（同旁内角互补，两直线平行），故⑤正确；
故答案为；②③⑤．
三、解答题
19．（2022秋·天津·七年级天津市第二十一中学校考期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．
(1)求的度数．
根据题意，补全下列说理过程：
∵是的平分线
∴
∵是的平分线
∴______
∴____________°
(2)如果，求的度数．
【答案】(1)，，；
(2)．
【详解】（1）证明：∵是的平分线
∴
∵是的平分线
∴
∴
故答案为：，，；
（2）解：∵，
∴，
∴
20．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）阅读下面的解答过程，并填空．
如图，，平分，平分，．求证：．
证明：∵平分，平分，（已知）
∴__________，_________．（角平分线的定义）
又∵，（已知）
∴∠____________=∠____________．（等量代换）
又∵，（已知）
∴∠____________∠____________．（等量代换）
∴．（____________）
【答案】；；；；；；同位角相等，两直线平行
【详解】证明：∵平分，平分，（已知）
∴，．（角平分线的定义）
又∵，（已知）
∴．（等量代换）
又∵，（已知）
∴．（等量代换）
∴．（同位角相等，两直线平行）．
21．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）完成下面的证明过程．
已知：如图，，于，于，．试说明：．
解：∵（已知）
∴（______）．
∵，（已知），
∴____________．
∵．（已知），
∴______（______）．
即______．
∴____________（______）．
∴（______）．
【答案】两直线平行，内错角相等；；；；等式性质；；；；；全等三角形的对应边相等；
【详解】证明：（已知）
（两直线平行，内错角相等）．
（已知），
．
，（已知），
（等式性质），
即．
，
（全等三角形的对应边相等）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；等式性质；；全等三角形的对应边相等．
22．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）如图，点C在射线上，于点F．
(1)使用圆规和直尺作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）
在射线上画出点E，使C为线段的中点，连接．
(2)连接，在线段，，中，线段_____________最短，依据是____________．
(3)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)，垂线段最短(3)
【详解】（1）如解图即为所求．
（2）DF，垂线段最短
（3）∵与互补，，
∴．
23．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，，．
(1)求证：．
(2)若，，则的大小为___________．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵；
∴，
∴，
∴，
∵
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
24．（2022秋·湖北武汉·七年级统考期末）已知O为直线AB上的一点，是直角，平分．
(1)如图1，若，则∠BOE＝___；若，则∠BOE＝___；与的数量关系为___．
(2)在图2中，若，在的内部是否存在一条射线，使得2∠BOD与∠AOF的和等于与的差的三分之一？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．
(3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出与的数量关系．
【答案】(1)66°，，；
(2)
(3)
【详解】（1）解：（1）若，
∵是直角，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
若，
∵是直角，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
∴；
故答案为：66°，，；
（2）存在；
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
即，
解得；
（3）和的关系不成立．
设，则，，
∴．
25．（2022秋·山西吕梁·七年级统考期末）综合与探究
【背景知识】
如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点．
(1)若 ，则 ；
(2)当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由；
【类比探究】
(3)对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和，若度，度，求．
【答案】(1)(2)不变，．(3)．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵E，F分别是，的中点，
∴，．
∴．
（2）EF的长度不变．理由如下：
E，F分别是，的中点，
∴，．
∴
（3）∵，分别平分和
∴，．
∴
∵
∴
．
26．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）如图，在长方形中，，点，分别为线段上的动点，点从点出发，沿方向，以每秒1个单位长度的速度向点运动，点从点出发，沿方向，以每秒2个单位长度的速度向点运动，点与点同时出发，设运动时间为t秒，连接．
(1)当时，请求出的值；
(2)试判断四边形的面积是否发生变化?若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由；
(3)请探究之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形的面积不变，其面积为，理由见解析
(3)，理由见解析
【详解】（1）由题意知，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）四边形的面积不变，
理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴
，
∴四边形的面积不变，其面积为．
（3）如图，过点作，
则，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
则，
即．
B能力提升
27．（2022秋·全国·八年级期末）如图①，中，，、的平分线交于O点，过O点作交于E、F．
(1)图中有几个等腰三角形？猜想：与、之间有怎样的关系，并说明理由．
(2)如图②，若，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中与、间的关系还存在吗？
(3)如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于O，过O点作交于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？与、关系又如何？说明你的理由．
【答案】(1)五个等腰三角形，；
(2)还有两个等腰三角形，为、，存在；
(3)有等腰三角形：、，此时，见解析
【详解】（1）解： ∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∵、的平分线交于O点，
∴，；
∵，
∴，；
∴，；
∴、是等腰三角形，
∵，、的平分线交于O点，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中是等腰三角形的有：、、、、共五个；
与、的关系是．
理由如下：
∵，，，
∴；
（2）解：还有两个等腰三角形，为、，
如下图所示：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴为等腰三角形，在中，同理可证．
∴存在．
（3）解：有等腰三角形：、，此时，
∵如下图所示：，
∴，
又，
∴，
∴是等腰三角形，
在中，同理可证是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴
28．（2022秋·九年级单元测试）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中），与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点P逆时针旋转．
(1)在图1中， ；
(2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？
【答案】(1)
(2)①当旋转时间为3或21秒时，成立；②旋转的时间是25秒
【详解】（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）①如图1，此时，成立，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵转速为秒，
∴旋转时间为3秒；
如图2，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵三角板绕点P逆时针旋转D的角度为，
∵转速为秒，
∴旋转时间为21秒，
综上所述，当旋转时间为3或21秒时，成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知，，
∴，
∴，
当，即，
解得：，
∴当，旋转的时间是25秒．
29．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）如图，，相交于点C， ，点P从点A出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度匀速运动．P，Q两点同时出发，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．
(1)当时．_____，当时，_______．
(2)求证：．
(3)连接，当线段经过点C时，的长为______．
【答案】(1)3，2
(2)见解析
(3)1或2
【详解】（1）解：当时．，
当时．，
故答案为：3，2；
（2）解：在和中，
，
，
，
；
（3）解：由（1）得，
，，
当线段经过点C时，如下所示：
在和中，
，
，
，
，点P从点A出发，沿方向以的速度匀速运动，
时，点P到达点B，时，点P返回点A，
，
当时，，
解得，
的长为；
当时，，
解得，
的长为；
综上所述，的长为或，
故答案为：1或2．
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