2022-2023学年天津市咸水沽一中高三（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年天津市咸水沽一中高三（上）期末数学试卷

1.  已知，，，则下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  非零向量满足且与夹角为，则“”是“”的(    )

A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有辆．(    )

A. 60
B. 80
C. 40
D. 100

4.  若，，则(    )

A. 3
B. e
C.
D. 1

5.  将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  若双曲线的两个焦点，，P为双曲线上一点，且，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  若定义在R上的奇函数在单调递减，则，，的大小关系是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  设，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  将函数的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于直线对称，则当取最小值时，函数的最小正周期为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知复数，则______.

11.  某班有男生30人，女生20人，按分层抽样方法从班级中选出5人负责校园开放日的接待工作，现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是______.

12.  展开式中的系数为______.

13.  过圆内点作圆的两条互相垂直的弦AB和CD，则的最大值为______.

14.  已知中，，，点D，E分别在边AB，BC上，且，，若，则______ ；______ .

15.  设函数则______；若函数存在两个零点，则实数k的取值范围是______.

16.  在中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知，且，角C为锐角．
求角C的大小；
若，且的面积为，求

17.  如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，，E为PC的中点．
求证：平面BDE；
求证：平面

18.  已知椭圆C：的焦距与短轴长相等，椭圆上一点Q到两焦点距离之差的最大值为
求椭圆的标准方程；
若点P为椭圆上异于左右顶点A，B的任意一点，过原点O作AP的垂线交BP的延长线于点M，求M的轨迹方程．

19.  已知等差数列的前n项和为，且，，
求数列的通项公式；
若，令，求数列的前n项和

20.  已知在与时取得极值.
求a，b的值；
求的极大值和极小值；
求在上的最大值与最小值.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
根据集合的基本运算即可求解．

【解答】

解：，，，
，错误，
，正确，
，，错误，
，，错误，
故选：

2.【答案】C 

【解析】解：，
，
即，
，
，

故“”是“”的充分必要条件，
故选：
根据向量的模和向量的数量积求出，再结合充分必要条件的定义即可判断．
本题考查了向量的数量积公式和充分必要条件，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：由已知可得样本容量为200，
又数据落在区间的频率为，
时速在的汽车大约有
故选：
由已知中的频率分布直方图为200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图，我们可得到样本容量，再分析出时速在的频率，即可得到该组数据的频数，进而得到答案．
本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据已知中的频率分布直方图结合频率=矩形高组距计算各组的频率是解答此类问题的关键．
 

4.【答案】B 

【解析】解：由，可得，，所以，
由，可得，，所以，
构造函数，则函数在上为增函数，
所以由，，可知，
所以，所以
故选：
由已知可得，，构造函数，分析函数的单调性，由可求得xy的值．
本题主要考查对数的运算性质，解题的关键是对已知等式的变形，通过构造函数，利用函数的单调性求解，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，
则，
，，
设内切球的半径为R，则，
，，
故选：
利用弧长公式可求圆锥的底面半径r，高h，进而可求内切球的半径R，可求圆锥的内切球的体积．
本题主要考查了弧长公式，球的体积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：双曲线的两个焦点，，P为双曲线上一点，且，
由题意可知，则，，
由余弦定理得，
即，
解得，，
的面积
故选：
由题意可知，，，由余弦定理得，，由此能求出的面积．
本题考查三角形面积的求法，考查双曲线性质、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：根据题意，因函数在单调递减，而，于是有，
又函数是R上的奇函数，则有，变形可得：，
故选：
根据题意，先由函数的单调性比较，，的大小，再利用奇函数计算变形即得答案．
本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及函数的单调性，属于基础题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：，，
，，
即，，，

故选：
根据指数幂和对数的取值，分别判断a，b，c的取值范围，然后比较大小．
本题主要考查对数值和指数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的图象和性质判断范围是解决本题的关键，比较基础．
 

9.【答案】A 

【解析】解：将函数的图象向左平移个单位后
所得函数为，
因为的图象关于直线对称，
则有，解得，
因为，所以的最小值为，
故函数的最小正周期为
故选：
先利用三角函数的图象变换求出平移后的函数，然后利用对称轴列出关于的等式，求出的最小值，再利用周期公式求解即可．
本题考查了三角函数的图象变换，同时考查了三角函数对称性，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：
根据复数的混合运算化简z，再根据复数的模的定义即可求出
本题考查了复数的混合运算和复数的模，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：选取男生人数为：人，选取女生人数为：人，
现从这5人中随机选取2人，基本事件总数，
其中至少有1名男生包含的基本事件个数，
所以至少有1名男生的概率是
故答案为：
选取男生人数为3人，选取女生人数为2人，从这5人中随机选取2人，基本事件总数，其中至少有1名男生包含的基本事件个数，由此求出至少有1名男生的概率即可．
本题考查概率的求法，考查了古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

12.【答案】720 

【解析】解：展开式中的系数为，
故答案为：
利用组合数公式即可求得答案．
本题考查二项式定理，考查理解与运算能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：当AC的斜率为0或不存在时，可求得
当AC的斜率存在且不为0时，
设直线AC的方程为，
直线BD的方程为，
由弦长公式
可得：



故
即的最大值为
故答案为：
由于直线AC、BD均过M点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程，但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为0的情况，然后利用弦长公式，及基本不等式进行求解．
本题考查直线与圆的位置关系，直线方程的应用，基本不等式的应用，点到直线的距离公式，考查转化思想与计算能力．
 

14.【答案】  

【解析】解：如图因为，，
所以，
所以
又，
所以
又因为与不共线，
所以，
所以，
所以
故答案为：，
由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求x，y，然后结合向量数量积性质可求．
本题主要考查了向量的线性表示，平面向量基本定理及向量数量积性质，属于中档题．
 

15.【答案】   

【解析】解：函数则；
函数存在两个零点，即存在两个解，如图：
可得
故答案为：；
直接利用分段函数求解第一个空，利用函数的图象求解第二问．
本题考查函数的零点以及分段函数的应用，考查数形结合以及计算能力．
 

16.【答案】解：由，利用正弦定理可得：，化为

角C为锐角．

的面积为，
，

，
，
 

【解析】由，利用正弦定理可得：，化简即可得出．
由的面积为，可得，再利用余弦定理，即可得出．
本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

17.【答案】证明：设，连结
四边形ABCD为矩形，
是AC的中点．
是PC中点，

平面BDE，平面BDE，
平面
平面平面ABCD，，平面平面，
平面
平面PAB，

，，BC，平面PBC，
平面
平面PBC，

，且E为PC中点，

，PA，平面PAC，
平面 

【解析】设，连结根据ABCD为矩形，推断O是AC的中点，同时E是PC中点，推断出OE为中位线，即，再根据线面平行的判定定理平面BDE，平面BDE，推断出平面
根据已知平面平面ABCD，，平面平面，推断平面进而利用线面垂直性质知，根据，，BC，平面PBC，推断出平面进而知，根据，且E为PC中点，可知，最后利用线面垂直的判定定理推断出平面
本题主要考查了空间位置关系中，线面平行，线面垂直的判定．注意对线面平行，线面垂直的判定定理灵活运用，对线面平行和线面垂直的性质能熟练掌握．
 

18.【答案】解：椭圆的焦距与短轴长相等，，
椭圆上一点Q到两焦点距离之差的最大值为4，
，
椭圆的标准方程为；
设，则，
，
设PA：，PB方程：
则OM：，
由
，
的轨迹方程为 

【解析】根据椭圆的焦距与短轴长相等，可得，椭圆上一点Q到两焦点距离之差的最大值为4，可得，从而可求椭圆C的方程．
设PA：，PB方程：，则OM：，由，结合，可得，即可求M的轨迹方程．
本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆位置关系，属于中档题．
 

19.【答案】解：设等差数列的公差为d，
由，，得，
解得，因此，；
由及，得，
…，
设…，
则…，
两式相减得：…
，
，
又…，
 

【解析】设等差数列的公差为d，由已知列方程组求得首项与公差，则通项公式可求；
把中求得的通项公式代入，然后利用错位相减法求数列的前n项和
本题考查等差数列的通项公式与前n项和，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：，，
由，，
得，，
经检验，，符合题意．
由得，
，
令，可得或，
列表

所以函数的递增区间为，，递减区间为，
所以极大值为，极小值为
由可得函数在，上单调递增，在上单调递减，
且，，
所以在上的最大值为3，最小值为 

【解析】对函数求导，由导数与极值的关系，得到关于a，b的关系式，解方程即可；
对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表可得，随x变化情况，即可求得极值；
结合中单调性，求出端点值，比较极值即可求解最值．.
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，属于中档题．